2024年6月1日发(作者：始醉香)
第九讲 因式分解（一）
知识模块一、因式分解的概念
知识梳理：
定 义
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形
叫做因式分解，又叫分解因式。
实质：是一种恒等变形，是一种化和为积的变形。
因式分解与整式乘法是相反方向的变形
示 例 剖 析
a+a
2
=a(1+a)；4x
2
+2x
3
=2x
2
(2+x)
3a
3
b+6a
2
b+3ab=3ab(a
2
+2a+1)=3ab(a+1)
2
ma+mb+mc
多项式
因式分解
整式乘法
m(a+b+c)
因式分解
整式乘法
整式乘积
分解因式的注意事项
1、结果一定是乘积的形式；
2、每一个因式都是整式；
3、相同的因式的积要写成幂的形式；
4、没有大括号和中括号；
5、每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合
并后要注意能否再分解；
6、单项式因式写在多项式因式的前面；
7、每个因式第一项系数一般不为负；
8、若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范
围内不能再分解为止。
如：x+1=x(1+
1
)不是因式分解
x
x
2
−1=(x+1)(x−1)是因式分解
(x+y)(x−y)=x
2
−y
2
不是因式分解
x
2
+3x−2=x(x+3)−2不是因式分解
例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．3ab(a+b)=3a
2
b+3ab
2
B．2x
2
+4x=2x
2
(1+
2
)
x
C．a
2
−4b
2
=(a+2b)(a−2b) D．3x
2
−6xy+3x=3x(x−2y)+3x
例2．（1）一个多项式分解因式的结果是(b
3
+2)(2−b
3
)，那么这个多项式是（ ）
A．b
6
−4 B．4−b
6
C．b
6
+4 D．−b
6
−4
（2）若多项式x
2
+ax+b可因式分解为(x+1)(x−2)，求a+b的值为 。
知识模块二、提公因式法
知识梳理：
定 义
如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面进行因
式分解。
确定公因式的方法：
示 例 剖 析
如：ma +mb + mc =m(a+b+c)；
abc −a
3
b+a
2
b
2
−2ab=ab(c−a
2
+ab−2)；
1、系数一取多项式各项系数的最大公约数；
2、字母(或多项式因式)一取各项都含有的字母(或多项式因式)的最
低次幂。
注意事项：逐一检查，一次提净；
切勿漏一，注意符号。
易错点：提公因式后项数不变，易漏掉常数项。
2ab
2
−4a
2
bc+2ab=2ab(b−2ac+1)
例3．(1)因式分解：8x
3
y
2
+12xy
3
z
=4xy
2
( )+4xy
2
( )
=4xy
2
( + ).
（2）因式分解：−14abc−7ab+49ab
2
c= 。
例4．（1）因式分解：2a(b+c)−3(b+c)
=( )• (b+c)− ( )• (b+c)
=( − )• (b+c)
（2）因式分解：3x(a−b)−6y(b−a)= ；
（3）因式分解：m(x+y)+n(x+y)−x−y= ；
（4）因式分解：x(a−b)
2
n
+y(b−a)
2
n
+1
= ；
知识模块三、公式法
知识梳理
公式法：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。
（1）平方差公式：a
2
−b
2
=(a+b)(a−b)；
（2）完全平方公式：a
2
+2ab+b
2
=(a+b)
2
；a
2
−2ab+b
2
=(a−b)
2
；
（3）完全立方公式：a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3
=(a+b)
3
；a
3
−3a
2
b+3ab
2
−b
3
=(a−b)
3
；
（4）立方和公式：a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
−ab+b
2
)；
（5）立方差公式：a
3
−b
3
=(a−b)(a
2
+ab+b
2
)。
例5．（1）因式分解：4a
2
−9
=( )
2
−( )
2
=( + ) ( − )
（2）因式分解：−a
2
+4ab−4b
2
=−( )
=−[( )
2
−2( )•( )+( )
2
]
=−( )
2
；
（3）因式分解：−x
3
−2x
2
−x= ；
2024年6月1日发(作者：始醉香)
第九讲 因式分解（一）
知识模块一、因式分解的概念
知识梳理：
定 义
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形
叫做因式分解，又叫分解因式。
实质：是一种恒等变形，是一种化和为积的变形。
因式分解与整式乘法是相反方向的变形
示 例 剖 析
a+a
2
=a(1+a)；4x
2
+2x
3
=2x
2
(2+x)
3a
3
b+6a
2
b+3ab=3ab(a
2
+2a+1)=3ab(a+1)
2
ma+mb+mc
多项式
因式分解
整式乘法
m(a+b+c)
因式分解
整式乘法
整式乘积
分解因式的注意事项
1、结果一定是乘积的形式；
2、每一个因式都是整式；
3、相同的因式的积要写成幂的形式；
4、没有大括号和中括号；
5、每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合
并后要注意能否再分解；
6、单项式因式写在多项式因式的前面；
7、每个因式第一项系数一般不为负；
8、若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范
围内不能再分解为止。
如：x+1=x(1+
1
)不是因式分解
x
x
2
−1=(x+1)(x−1)是因式分解
(x+y)(x−y)=x
2
−y
2
不是因式分解
x
2
+3x−2=x(x+3)−2不是因式分解
例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．3ab(a+b)=3a
2
b+3ab
2
B．2x
2
+4x=2x
2
(1+
2
)
x
C．a
2
−4b
2
=(a+2b)(a−2b) D．3x
2
−6xy+3x=3x(x−2y)+3x
例2．（1）一个多项式分解因式的结果是(b
3
+2)(2−b
3
)，那么这个多项式是（ ）
A．b
6
−4 B．4−b
6
C．b
6
+4 D．−b
6
−4
（2）若多项式x
2
+ax+b可因式分解为(x+1)(x−2)，求a+b的值为 。
知识模块二、提公因式法
知识梳理：
定 义
如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面进行因
式分解。
确定公因式的方法：
示 例 剖 析
如：ma +mb + mc =m(a+b+c)；
abc −a
3
b+a
2
b
2
−2ab=ab(c−a
2
+ab−2)；
1、系数一取多项式各项系数的最大公约数；
2、字母(或多项式因式)一取各项都含有的字母(或多项式因式)的最
低次幂。
注意事项：逐一检查，一次提净；
切勿漏一，注意符号。
易错点：提公因式后项数不变，易漏掉常数项。
2ab
2
−4a
2
bc+2ab=2ab(b−2ac+1)
例3．(1)因式分解：8x
3
y
2
+12xy
3
z
=4xy
2
( )+4xy
2
( )
=4xy
2
( + ).
（2）因式分解：−14abc−7ab+49ab
2
c= 。
例4．（1）因式分解：2a(b+c)−3(b+c)
=( )• (b+c)− ( )• (b+c)
=( − )• (b+c)
（2）因式分解：3x(a−b)−6y(b−a)= ；
（3）因式分解：m(x+y)+n(x+y)−x−y= ；
（4）因式分解：x(a−b)
2
n
+y(b−a)
2
n
+1
= ；
知识模块三、公式法
知识梳理
公式法：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。
（1）平方差公式：a
2
−b
2
=(a+b)(a−b)；
（2）完全平方公式：a
2
+2ab+b
2
=(a+b)
2
；a
2
−2ab+b
2
=(a−b)
2
；
（3）完全立方公式：a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3
=(a+b)
3
；a
3
−3a
2
b+3ab
2
−b
3
=(a−b)
3
；
（4）立方和公式：a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
−ab+b
2
)；
（5）立方差公式：a
3
−b
3
=(a−b)(a
2
+ab+b
2
)。
例5．（1）因式分解：4a
2
−9
=( )
2
−( )
2
=( + ) ( − )
（2）因式分解：−a
2
+4ab−4b
2
=−( )
=−[( )
2
−2( )•( )+( )
2
]
=−( )
2
；
（3）因式分解：−x
3
−2x
2
−x= ；