2024年6月14日发(作者：蔺春芳)
11． 试计算连续功率均为 1W 的两光源，分别发射 λ ＝0.5000m，ν 3000MHz 的光，
每秒 从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？ q 1 0.5 ×10 6答：粒子数分别为： n1 34
8 2.5138 × 1018 hν c 6.63 × 10 × 3 ×10 6.63 × 10 34 × λ q 1 n2 34 9 5.0277 ×
10 23 hν 6.63 × 10 × 3 ×10 m co2．热平衡时，原子能级 E 2 的数密度为 n2，下能级
E1 的数密度为 n1 ，设 g 1 g 2 ，求：1当原子跃迁时相应频率为ν ＝3000MHz，T＝300K
时 n2/n1 为若干。2若原子跃迁时发光波长 λ ＝1，n2/n1 ＝0.1 时，则温度 T 为多高？
网 E E ） hν答：（1） nm / gm e m n kT 则有： n2 e kT exp w. 6.63 × 10 34 × 3 × 10 9
1.38 × 10 23 × 300 ≈1 案 nn / gn n1 答 hν n2 6.63 ×10 34 × 3 × 108 （2） e kT
exp 23 6 0.1 T 6.26 × 10 3 K da n1 1.38 × 10 × 1 ×10 × T 后 课3．已知氢原子第一激
发态E2 与基态E 1之间能量差为 1.64×l0 －18J，设火焰T＝2700K中含有 1020 个氢原子。
设原子按玻尔兹曼分布，且 4g1 ＝g2 。求：1能级 E 2 上的原子数 n2 为 kh多少？2设
火焰中每秒发射的光子数为 l0 8 n2，求光的功率为多少瓦？ hν n2 g1 n 1.64 × 10 18答：
（1） e kT 2 4 × exp 23 3.11 × 10 19 n1 g 2 n1 1.38 × 10 × 2700 w. 且 n1 n 2 10 20 可
求出 n 2 ≈ 31ww （2）功率＝ 108 × 31 × 1.64 ×10 18 5.084 ×10 9 W4．1普通光源
发射 λ ＝0.6000m 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比q激 1 ， 求 此 时
单 色 能 量 密 度 ρν 为 若 干 ？ 2 在 He — Ne 激 光 器 中 若q自 2000 q激ρ
ν 5.0 × 10 4 J s / m3 ， λ 为 0.6328m，设 ＝1，求 为若干？ q自答：（1） 1q激 c3 λ
3 1 0.6 × 10 6 3 ＝ ρν ρν ρ ρν 3.857 × 10 17 J s / m3q自 8πhν 3 8πh 2000 8
π × 6.63 × 10 34 ν q激 c3 λ3 0.6328 × 10 6 3 （2） ＝ 3 ρν ρν 34 × 5 ×
10 4 7.6 × 10 9 q自 8πhν 8πh 8π × 6.63 × 105．在红宝石 Q 调制激光器中，有可
能将全部 Cr3＋铬离子激发到激光上能级并产生巨脉冲。设红宝石直径 0.8cm，长 8cm，
铬离子浓度为 2×1018cm－3 ，巨脉冲宽度为 10ns。求：1输出 0.6943m 激光的最大能量
和脉冲平均功率； 2如上能级的寿命 τ ＝10－ 2s，问自发辐射功率为多少瓦？ m答：（1）
最大能量 co c W N hν πr 2 d ρ h λ 3 × 10 8 π × 0.004 2 0.08 2 × 1018 × 10 6
6.63 × 10 34 2.3 J 0.6943 × 10 6 网 W 2.3 × 10 6 w. 案脉冲平均功率＝ 2.30 × 108
瓦 t 10 ×10 9 答 τ 1 da N自 ∫ n 20 e A21t dt n20τ 1 后 0 e （2） 课 1 P N自 hν τ
2.3 × 1 145瓦 自 e kh 8π hc 16．试证单色能量密度公式，用波长 λ 来表示应为 ρλ
hc λ5 λ kT e 1证明： w. dw dw c c 8πh 1 c 8πhc 1ρλ 2 ρν 2 3 × h ν kT 2 5 × h
ν dVdλ dVdν λ λ λ e 1 λ λ e kT 17. 试证明，黑体辐射能量密度 ρ ν 为极大值
的频率 ν m 由关系 ν m T 1 2.82 kh1 给出，并ww求出辐射能量密度为极大值的波长 λ
m 与 ν m 的关系。 8π hν 3 1答：（1）由 ρν hv 可得： c3 kT e 1 hν ρν 8πh 3
ν 2 3 1 hν h 3 hν ν e kT 0 ν c kT e kT 1 e kT 1 2 hν 令x ，则上式可简化为： 3 e x 1
xex kT 2 解上面的方程可得： x ≈ 2.82 hν m 即： ≈ 2.82 ν m T 1 2.82kh1 kT （2）辐
射能量密度为极大值的波长 λm 与 ν m 的关系仍为 νm cλ m 18．由归一化条化证明
1－65a式中的比例常数 A τ m A证明： f N ν ，由归一化条件且ν 0 是极大的正数可
得： co 2 4π ν ν 0 2 1 / 2τ 2 ∞ A ∞ A∫ 2 2 2 dν 1 2∫ dν 1 0 4π ν ν 0 1 / 2
τ ν 0 4π 2 ν 2 1 / 2τ 2 ν 网 0 A 1 w. 案 ∞ ∫ dν ′ 12π 2 0 2 ν ′ 1 4πτ
2 答 A 1 4πτ arctg 4πτν ∞ 1 A da 后 2 02π τ 课 19．试证明：自发辐射的平均寿
命 τ ， A21 为自发辐射系数。 A21 kh证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）
式变化： n 2 t ＝n 20 e A21t w.自发辐射的平均寿命可定义为 1 ∞ τ ∫ n2 t dt n20 0ww
式中 n 2 t dt 为 t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔 dt 产生的总时间，因此上
述广义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得
到自发辐射的平均寿命。将（1-26）式代入积分即可得出 ∞ 1 τ ∫ e A21t dt 0 A21 310．光
的多普勒效应中，若光源相对接收器的速度为 υ ltlt c ，证明接收器接收到的频率 1 υ /
c υν ν 0 ，在一级近似下为： ν ≈ ν 0 1 1 υ / c c 1υ c υ υ 2 1 υ 1 υ2 υ证
明：ν 2 υ 0 1 1 2 υ 0 ≈ 1 1 2 υ 0 ≈ 1 υ 0 1 υ c c c c 2 c c即证11．静止氖原子
的 3S2 →2P4 谱线的中心波长为 0.6328m，设氖原子分别以±0.1c±0.5c 的速度向着接收
器运动，问接收到的频率各为多少？ m 1 υ c 1.1 c 1.1 3 × 10 8答：ν 0 .1 c ν 0 5.241
× 1014 Hz co 1 υ c 0.9 λ 0.9 0.6328 × 10 6同理可求：ν 0 .1 c 4.288 × 1014 Hz ； 网
ν 0.5c 8.211 ×1014 Hz ； ν 0.5c 2.737 × 1014 Hz w. 案12．设氖原子静止时发出
0.6328m 红光的中心频率为 4.74×1014Hz，室温下氖原子的平均 答速率设为 560m/s。求
此时接收器接收频率与中心频率相差若干？ da 后 υ 560 ν ν 0 1 ν 0 1 1 1.8667 ×
10 6 ν 0答： 课 c 3 ×10 8 ν 1.8667 ×10 6 × 4.74 ×1014 8.848 × 108 Hz kh13．1
一质地均匀的材料对光的吸收为 0.01mm-1、光通过 10cm 长的该材料后，出射光强为入射
光强的百分之几 2 —光束通过长度为 1m 的均匀激活的工作物质，如果出射光强是入射光
强的两倍，试求该物质的增益系数。 I z 1 （1） I z I 0 e Az e 0 .01100 0.368 w.答； I 0 e I z
（2） I z I 0 e Gz e G 1 2 G ln 2 0.693m 1 I 0ww 4 思考练习题 21. 利用下列数据，估算红宝石
的光增益系数 n2 －n1 ＝5×1018cm-3 ，1/fν＝2×1011 s -1 ， t自发 ＝ A211 ≈ 3×
10-3s，λ＝0.6943m， ＝l.5，g1 ＝g2。答：Gν nB21 hν f ν c c3 λ2 Gν n A21 hνf ν
n A21 f ν A21 8π 3 hν 3 8π 3 hν 3 c 8π 2 B 21 c3 m 1 0.6943 × 10 4 2 1Gν 5 ×
1018 0.71cm 1 co 3 2 11 3 × 10 8π × 1.5 2 × 102. He-Ne 激光器中， 原子数密度 n0 ＝
n1 n2 ＝l0 12 cm-3 ，1/fν＝15×109 s-1，λ＝0.6328m， Ne t自发 ＝ A211 10- 17s，g3 ＝
3，g2＝5， 1 ≈ 1 又知 E2、E1 能级数密度之比为 4，求此介质 网 的增益系数 G 值。
w. 案 n 0 n1 n2 1012 cm 3 n1 2 × 1011 g 14答： n n 2 2 n1 × 1011 答 E2 和E1能级数密
度之比为4比1 n 2 8 × 10 11 g1 3 da 后A21 8π 3 hν 3 8πhν 3 A c3 B 21 21 3 课B 21 c3
c3 8πhν A λ2 14 1017 × 0.6328 × 10 6 2 1 khGν nB21 hν f ν n 21 f ν × 1011
× 9 0.72cm 1 c 8π 3 8π 1.5 × 103. a要制作一个腔长 L＝60cm 的对称稳定腔，反射镜
的曲率半径取值范围如何？b稳定 w. 腔的一块反射镜的曲率半径 R1＝4L，求另一面镜的
曲率半径取值范围。 L L答：（a） R1 R 2 R ； 0 ≤ 1 1 ≤ 1 R ≥ 30cm R R L L 3 L （b） 0
≤ 1 1 ≤ 1 0 ≤ 1 ≤ 1 R 2 ≥ L或R 2 ≤ 3 Lww R1 R2 4 R24. 稳定谐振腔的两块反射镜，
其曲率半径分别为 R1 ＝40cm，R2 ＝100cm，求腔长 L 的取值范围。答： L L L L0 ≤ 1 1
≤ 1 0 ≤ 1 1 ≤ 1 0 ≤ L ≤ 40cm或100 ≤ L ≤ 140cm R1 R2 40 1005. 试证非均匀增
宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式2-28。 5 0 GD ν n 0 B 21 0 hν f D ν GD
ν 0 n 0 B 21 hν 0 f D ν 0 c c 2 ln 2 1 2证明： f D ν 0 ν D π .
2024年6月14日发(作者：蔺春芳)
11． 试计算连续功率均为 1W 的两光源，分别发射 λ ＝0.5000m，ν 3000MHz 的光，
每秒 从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？ q 1 0.5 ×10 6答：粒子数分别为： n1 34
8 2.5138 × 1018 hν c 6.63 × 10 × 3 ×10 6.63 × 10 34 × λ q 1 n2 34 9 5.0277 ×
10 23 hν 6.63 × 10 × 3 ×10 m co2．热平衡时，原子能级 E 2 的数密度为 n2，下能级
E1 的数密度为 n1 ，设 g 1 g 2 ，求：1当原子跃迁时相应频率为ν ＝3000MHz，T＝300K
时 n2/n1 为若干。2若原子跃迁时发光波长 λ ＝1，n2/n1 ＝0.1 时，则温度 T 为多高？
网 E E ） hν答：（1） nm / gm e m n kT 则有： n2 e kT exp w. 6.63 × 10 34 × 3 × 10 9
1.38 × 10 23 × 300 ≈1 案 nn / gn n1 答 hν n2 6.63 ×10 34 × 3 × 108 （2） e kT
exp 23 6 0.1 T 6.26 × 10 3 K da n1 1.38 × 10 × 1 ×10 × T 后 课3．已知氢原子第一激
发态E2 与基态E 1之间能量差为 1.64×l0 －18J，设火焰T＝2700K中含有 1020 个氢原子。
设原子按玻尔兹曼分布，且 4g1 ＝g2 。求：1能级 E 2 上的原子数 n2 为 kh多少？2设
火焰中每秒发射的光子数为 l0 8 n2，求光的功率为多少瓦？ hν n2 g1 n 1.64 × 10 18答：
（1） e kT 2 4 × exp 23 3.11 × 10 19 n1 g 2 n1 1.38 × 10 × 2700 w. 且 n1 n 2 10 20 可
求出 n 2 ≈ 31ww （2）功率＝ 108 × 31 × 1.64 ×10 18 5.084 ×10 9 W4．1普通光源
发射 λ ＝0.6000m 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比q激 1 ， 求 此 时
单 色 能 量 密 度 ρν 为 若 干 ？ 2 在 He — Ne 激 光 器 中 若q自 2000 q激ρ
ν 5.0 × 10 4 J s / m3 ， λ 为 0.6328m，设 ＝1，求 为若干？ q自答：（1） 1q激 c3 λ
3 1 0.6 × 10 6 3 ＝ ρν ρν ρ ρν 3.857 × 10 17 J s / m3q自 8πhν 3 8πh 2000 8
π × 6.63 × 10 34 ν q激 c3 λ3 0.6328 × 10 6 3 （2） ＝ 3 ρν ρν 34 × 5 ×
10 4 7.6 × 10 9 q自 8πhν 8πh 8π × 6.63 × 105．在红宝石 Q 调制激光器中，有可
能将全部 Cr3＋铬离子激发到激光上能级并产生巨脉冲。设红宝石直径 0.8cm，长 8cm，
铬离子浓度为 2×1018cm－3 ，巨脉冲宽度为 10ns。求：1输出 0.6943m 激光的最大能量
和脉冲平均功率； 2如上能级的寿命 τ ＝10－ 2s，问自发辐射功率为多少瓦？ m答：（1）
最大能量 co c W N hν πr 2 d ρ h λ 3 × 10 8 π × 0.004 2 0.08 2 × 1018 × 10 6
6.63 × 10 34 2.3 J 0.6943 × 10 6 网 W 2.3 × 10 6 w. 案脉冲平均功率＝ 2.30 × 108
瓦 t 10 ×10 9 答 τ 1 da N自 ∫ n 20 e A21t dt n20τ 1 后 0 e （2） 课 1 P N自 hν τ
2.3 × 1 145瓦 自 e kh 8π hc 16．试证单色能量密度公式，用波长 λ 来表示应为 ρλ
hc λ5 λ kT e 1证明： w. dw dw c c 8πh 1 c 8πhc 1ρλ 2 ρν 2 3 × h ν kT 2 5 × h
ν dVdλ dVdν λ λ λ e 1 λ λ e kT 17. 试证明，黑体辐射能量密度 ρ ν 为极大值
的频率 ν m 由关系 ν m T 1 2.82 kh1 给出，并ww求出辐射能量密度为极大值的波长 λ
m 与 ν m 的关系。 8π hν 3 1答：（1）由 ρν hv 可得： c3 kT e 1 hν ρν 8πh 3
ν 2 3 1 hν h 3 hν ν e kT 0 ν c kT e kT 1 e kT 1 2 hν 令x ，则上式可简化为： 3 e x 1
xex kT 2 解上面的方程可得： x ≈ 2.82 hν m 即： ≈ 2.82 ν m T 1 2.82kh1 kT （2）辐
射能量密度为极大值的波长 λm 与 ν m 的关系仍为 νm cλ m 18．由归一化条化证明
1－65a式中的比例常数 A τ m A证明： f N ν ，由归一化条件且ν 0 是极大的正数可
得： co 2 4π ν ν 0 2 1 / 2τ 2 ∞ A ∞ A∫ 2 2 2 dν 1 2∫ dν 1 0 4π ν ν 0 1 / 2
τ ν 0 4π 2 ν 2 1 / 2τ 2 ν 网 0 A 1 w. 案 ∞ ∫ dν ′ 12π 2 0 2 ν ′ 1 4πτ
2 答 A 1 4πτ arctg 4πτν ∞ 1 A da 后 2 02π τ 课 19．试证明：自发辐射的平均寿
命 τ ， A21 为自发辐射系数。 A21 kh证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）
式变化： n 2 t ＝n 20 e A21t w.自发辐射的平均寿命可定义为 1 ∞ τ ∫ n2 t dt n20 0ww
式中 n 2 t dt 为 t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔 dt 产生的总时间，因此上
述广义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得
到自发辐射的平均寿命。将（1-26）式代入积分即可得出 ∞ 1 τ ∫ e A21t dt 0 A21 310．光
的多普勒效应中，若光源相对接收器的速度为 υ ltlt c ，证明接收器接收到的频率 1 υ /
c υν ν 0 ，在一级近似下为： ν ≈ ν 0 1 1 υ / c c 1υ c υ υ 2 1 υ 1 υ2 υ证
明：ν 2 υ 0 1 1 2 υ 0 ≈ 1 1 2 υ 0 ≈ 1 υ 0 1 υ c c c c 2 c c即证11．静止氖原子
的 3S2 →2P4 谱线的中心波长为 0.6328m，设氖原子分别以±0.1c±0.5c 的速度向着接收
器运动，问接收到的频率各为多少？ m 1 υ c 1.1 c 1.1 3 × 10 8答：ν 0 .1 c ν 0 5.241
× 1014 Hz co 1 υ c 0.9 λ 0.9 0.6328 × 10 6同理可求：ν 0 .1 c 4.288 × 1014 Hz ； 网
ν 0.5c 8.211 ×1014 Hz ； ν 0.5c 2.737 × 1014 Hz w. 案12．设氖原子静止时发出
0.6328m 红光的中心频率为 4.74×1014Hz，室温下氖原子的平均 答速率设为 560m/s。求
此时接收器接收频率与中心频率相差若干？ da 后 υ 560 ν ν 0 1 ν 0 1 1 1.8667 ×
10 6 ν 0答： 课 c 3 ×10 8 ν 1.8667 ×10 6 × 4.74 ×1014 8.848 × 108 Hz kh13．1
一质地均匀的材料对光的吸收为 0.01mm-1、光通过 10cm 长的该材料后，出射光强为入射
光强的百分之几 2 —光束通过长度为 1m 的均匀激活的工作物质，如果出射光强是入射光
强的两倍，试求该物质的增益系数。 I z 1 （1） I z I 0 e Az e 0 .01100 0.368 w.答； I 0 e I z
（2） I z I 0 e Gz e G 1 2 G ln 2 0.693m 1 I 0ww 4 思考练习题 21. 利用下列数据，估算红宝石
的光增益系数 n2 －n1 ＝5×1018cm-3 ，1/fν＝2×1011 s -1 ， t自发 ＝ A211 ≈ 3×
10-3s，λ＝0.6943m， ＝l.5，g1 ＝g2。答：Gν nB21 hν f ν c c3 λ2 Gν n A21 hνf ν
n A21 f ν A21 8π 3 hν 3 8π 3 hν 3 c 8π 2 B 21 c3 m 1 0.6943 × 10 4 2 1Gν 5 ×
1018 0.71cm 1 co 3 2 11 3 × 10 8π × 1.5 2 × 102. He-Ne 激光器中， 原子数密度 n0 ＝
n1 n2 ＝l0 12 cm-3 ，1/fν＝15×109 s-1，λ＝0.6328m， Ne t自发 ＝ A211 10- 17s，g3 ＝
3，g2＝5， 1 ≈ 1 又知 E2、E1 能级数密度之比为 4，求此介质 网 的增益系数 G 值。
w. 案 n 0 n1 n2 1012 cm 3 n1 2 × 1011 g 14答： n n 2 2 n1 × 1011 答 E2 和E1能级数密
度之比为4比1 n 2 8 × 10 11 g1 3 da 后A21 8π 3 hν 3 8πhν 3 A c3 B 21 21 3 课B 21 c3
c3 8πhν A λ2 14 1017 × 0.6328 × 10 6 2 1 khGν nB21 hν f ν n 21 f ν × 1011
× 9 0.72cm 1 c 8π 3 8π 1.5 × 103. a要制作一个腔长 L＝60cm 的对称稳定腔，反射镜
的曲率半径取值范围如何？b稳定 w. 腔的一块反射镜的曲率半径 R1＝4L，求另一面镜的
曲率半径取值范围。 L L答：（a） R1 R 2 R ； 0 ≤ 1 1 ≤ 1 R ≥ 30cm R R L L 3 L （b） 0
≤ 1 1 ≤ 1 0 ≤ 1 ≤ 1 R 2 ≥ L或R 2 ≤ 3 Lww R1 R2 4 R24. 稳定谐振腔的两块反射镜，
其曲率半径分别为 R1 ＝40cm，R2 ＝100cm，求腔长 L 的取值范围。答： L L L L0 ≤ 1 1
≤ 1 0 ≤ 1 1 ≤ 1 0 ≤ L ≤ 40cm或100 ≤ L ≤ 140cm R1 R2 40 1005. 试证非均匀增
宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式2-28。 5 0 GD ν n 0 B 21 0 hν f D ν GD
ν 0 n 0 B 21 hν 0 f D ν 0 c c 2 ln 2 1 2证明： f D ν 0 ν D π .