2023年12月16日发(作者：乾妙晴)

4.5天体运动热点问题

一、卫星的变轨和对接问题

1．变轨原理

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．

(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.

(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.

2．变轨过程分析

(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.

(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．

(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分r3别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律T2＝k可知T1

(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1

1．双星模型

(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．

(2)特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即m2ω22r2.

②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.

m1r2④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m＝r.

21Gm1m2Gm1m22＝mωr，111L2L2＝⑤双星的运动周期T＝2πL3.

Gm1＋m24π2L3⑥双星的总质量m1＋m2＝T2G.

2．多星模型

(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．

(2)常见的三星模型

①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

(3)常见的四星模型

①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道

做匀速圆周运动(如图丙所示)．

②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．

卫星的变轨问题

卫星变轨的实质

两类变轨

示意图

变轨起因

万有引力与向心

力的大小关系

卫星速度突然增大

Mmv2Gr2

转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动

变轨结果

新圆轨道上运动的速率比原

卫星速度突然减小

Mmv2Gr2>mr

转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动

新圆轨道上运动的速率比原离心运动 近心运动

轨道的小，周期比原轨道的大 轨道的大，周期比原轨道的小

动能减小、势能增大、机械能动能增大、势能减小、机械能增大 减小

例题1.(多选)载着登陆舱的探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹如图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆，探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．已知火星的半径为R，OQ＝4R，探测器在轨道Ⅱ上经过O点的速度为v，下列说法正确的有( )

A．在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积相等

B．探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点的速度小于v

v2C．探测器在轨道Ⅱ运动时，经过O点的加速度等于3R

D．在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与在轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是3 6∶4

如图所示，这是“嫦娥五号”探月过程的示意图。探测器在圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ，变轨前后的速度分别为v1和v2；到达轨道Ⅱ的近月点B时再次变轨进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，变轨前后的速度分别为v3和v4，则探测器( )

A．在A点变轨需要加速

B．在轨道Ⅱ上从A点到B点，速度变小

C．在轨道Ⅱ上B点的加速度大于Ⅲ轨道上B点的加速度

D．四个速度大小关系满足v3＞v4＞v1＞v2

(多选)在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接，以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小，如图所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是( )

A．在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙

B．甲可以通过增大速度来抬高轨道

C．在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大

D．返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大

星球稳定自转的临界问题

当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体GMm4π2将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是R2＝mT2R.

例题2.

2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )

A．5×109 kg/m3

C．5×1015 kg/m3

B．5×1012 kg/m3

D．5×1018 kg/m3

若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )

A.C.3πGρ

1

3πGρB.D.4πGρ

1

4πGρ为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T.则太阳的质量为(忽略地球自转)( )

4π2r3A.T2R2g

4π2mgr2C.R3T2

T2R2gB.4π2mr3

4π2mr3D.T2R2g

双星模型

1. 双星特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即

Gm1m2Gm1m222＝mωr，11122＝m2ω2r2；

LL②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2；

③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。

m1r2(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m＝r。

212．多星模型

模型

三星模型

(正三角排列)

三星模型

(直线等间距排列)

四星模型

图示

向心力

的来源

另外两星球对其万有引力的合力

另外两星球对其万有引力的合力

另外三星球对其万有引力的合力

例题3.(多选)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )

A．两者之间的万有引力变大

B．黑洞的角速度变大

C．恒星的线速度变大

D．黑洞的线速度变大

(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示．三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则( )

A．每颗星做圆周运动的线速度大小为B．每颗星做圆周运动的角速度为C．每颗星做圆周运动的周期为2πGmR

3GmR3

R33Gm

D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关

(多选)如图所示，A、B、C三颗行星组成一个独立的三星系统，在相互的万有引力作用下，绕一个共同的圆心O做角速度相等的圆周运动，已知A、B两星的质量均为m，C星的质量为2m，等边三角形的每条边长为L，则( )

m2A．C星做圆周运动的向心力大小为3GL2

m2B．A星所受的合力大小为7GL2

7C．B星的轨道半径为4L

D．三个星体做圆周运动的周期为2π

L3Gm

天体的“追及”问题

天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方GMm向相同(图甲)，根据r2＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：

1．角度关系

ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)

2．圈数关系

tt－T1T2＝n(n＝1、2、3…)

解得t＝nT1T2(n＝1、2、3…)

T2－T1

同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1ttt2n－1－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或T－T＝2(n＝1、2、3…)

12例题4. 当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( )

A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年

B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年

C．木星运行的加速度比地球的大

D．木星运行的周期比地球的小

(多选)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )

A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8

B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4

C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次

D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次

我国计划发射“人造月亮”，届时天空中将会同时出现月亮和“人造月亮”．月亮A和“人造月亮” B绕地球(球心为O)的运动均可视为匀速圆周运动，如图4所示，设∠BAO＝θ，运动过程中θ的最大正弦值为p，月亮绕地球运动的线速度大小和周期分别为v1和T1，“人造月亮”绕地球运动的线速度大小和周期分别为v2和T2，则( )

图4

v1T11A.v＝p，T＝3

22pv11T11C.v＝，T＝3

22ppv1T1B.v＝p，T＝p3

22v11T1D.v＝，T＝p3

22p

万有引力定律与几何知识的结合

人造卫星绕地球运动，太阳发出的光线沿直线传播，地球或卫星都会遮挡光线，从而使万有引力、天体运动与几何知识结合起来．

求解此类问题时，要根据题中情景，由光线沿直线传播画出几何图形，通过几何图形找到边界光线，从而确定临界条件，并结合万有引力提供卫星做圆

周运动所需的向心力，列式求解．

例题5.如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与AO连线间的夹角最大为θ，则卫星A、B的线速度之比为( )

A．sinθ

θ

θ

D.1sinθ

(多选)宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示．已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看做平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则( )

A．飞船绕地球运动的线速度为2πRα

Tsin20TB．一天内飞船经历“日全食”的次数为T

αT0C．飞船每次经历“日全食”过程的时间为2π

D．飞船周期为T＝2πRα

sin2α

GMsin2R2014年12月7日，中国和巴西联合研制的地球资源卫星“04星”

在太原成功发射升空，进入预定轨道，已知“04星”绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球相对“04星”的张角为θ，引力常量为G，则地球的密度为( )

A.3πGT2sin32θ B.

θGT2sin323π3π2sin3θ

3πGD.T2sin3θ

1. (多选)嫦娥五号取壤返回地球，完成了中国航天史上的一次壮举。如图所示的是嫦娥五号着陆地球前部分轨道的简化示意图，其中Ⅰ是月地转移轨道，在P点由轨道Ⅰ变为绕地椭圆轨道Ⅱ，在近地点Q再变为绕地椭圆轨道Ⅲ。下列说法正确的是( )

A．在轨道Ⅱ运行时，嫦娥五号在Q点的机械能比在P点的机械能大

B．嫦娥五号在轨道Ⅱ上运行的周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长

C．嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的向心加速度大小相等

D．嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的速度大小相等

2. 宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动．若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是( )

A．飞船加速直到追上空间站，完成对接

B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接

C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接

D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接

3. (多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是( )

A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心

B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为4＋2Gm

2L3C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍

D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变

4. 米歇尔·麦耶和迪迪埃·奎洛兹因为发现了第一颗太阳系外行星—飞马座51b而获得2019年诺贝尔物理学奖。飞马座51b与恒星相距为L，构成双星系统(如图所示)，它们绕共同的圆心O做匀速圆周运动。设它们的质量分别为m1、m2且(m1＜m2)，已知引力常量为G。则下列说法正确的是( )

A．飞马座51b与恒星运动具有相同的线速度

B．飞马座51b与恒星运动所受到的向心力之比为m1∶m2

C．飞马座51b与恒星运动轨道的半径之比为m2∶m1

D．飞马座51b与恒星运动周期之比为m1∶m2

5. (多选)在宇宙中，当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X－1就是这样一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞

的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )

A．它们间的万有引力大小变大

B．它们间的万有引力大小不变

C．恒星做圆周运动的线速度变大

D．恒星做圆周运动的角速度变大

16. (多选)卫星绕某行星做匀速圆周运动的加速度为a，卫星的轨道半径为r，a－r2的关系图像如图所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，该行星的自转周期为T0，引力常量为G，下列说法正确的是( )

kA．行星的质量为G

kB．行星的半径为b

C．行星的第一宇宙速度为kb

3kT20D．该行星同步卫星的轨道半径为

2

4π7. (多选)如图所示，月球探测器在一个环绕月球的椭圆轨道上运行，周期为T1，飞行一段时间后实施近月制动，进入距月球表面高度为h的环月圆轨道，运行周期为T2，月球的半径为R.下列说法正确的是( )

A．根据题中数据，无法求出月球探测器的质量

B．探测器在椭圆轨道远月点的速度大于近月点的速度

C．椭圆轨道的半长轴为(R＋h)3T12T22

2πR＋hD．探测器在椭圆轨道上运行的最大速度为T

28. 我国已掌握“高速半弹道跳跃式再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地

返回任务奠定基础．如图所示，假设与地球同球心的虚线球面为地球大气层边界，虚线球面外侧没有空气，返回舱从a点无动力滑入大气层，然后经b点从c点“跳出”，再经d点从e点“跃入”实现多次减速，可避免损坏返回舱．d点为轨迹最高点，离地面高h，已知地球质量为M，半径为R，引力常量为G.则返回舱( )

A．在d点加速度小于B．在d点速度等于GM

R＋h2GM

R＋hC．虚线球面上的c、e两点离地面高度相等，所以vc和ve大小相等

D．虚线球面上的a、c两点离地面高度相等，所以va和vc大小相等

9. 宇宙空间有一种由三颗星A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA

A．线速度大小关系是vA>vB>vC

B．加速度大小关系是aA>aB>aC

C．质量大小关系是mA>mB>mC

D．所受万有引力合力的大小关系是FA＝FB＝FC

10. (多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M，并且

两种系统的运动周期相同，则( )

A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同

B．直线三星系统的运动周期T＝4πRR5GM

3C．三角形三星系统中星体间的距离L＝1D．三角形三星系统的线速度大小为212R

55GMR

2023年12月16日发(作者：乾妙晴)

4.5天体运动热点问题

一、卫星的变轨和对接问题

1．变轨原理

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．

(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.

(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.

2．变轨过程分析

(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.

(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．

(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分r3别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律T2＝k可知T1

(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1

1．双星模型

(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．

(2)特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即m2ω22r2.

②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.

m1r2④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m＝r.

21Gm1m2Gm1m22＝mωr，111L2L2＝⑤双星的运动周期T＝2πL3.

Gm1＋m24π2L3⑥双星的总质量m1＋m2＝T2G.

2．多星模型

(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．

(2)常见的三星模型

①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

(3)常见的四星模型

①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道

做匀速圆周运动(如图丙所示)．

②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．

卫星的变轨问题

卫星变轨的实质

两类变轨

示意图

变轨起因

万有引力与向心

力的大小关系

卫星速度突然增大

Mmv2Gr2

转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动

变轨结果

新圆轨道上运动的速率比原

卫星速度突然减小

Mmv2Gr2>mr

转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动

新圆轨道上运动的速率比原离心运动 近心运动

轨道的小，周期比原轨道的大 轨道的大，周期比原轨道的小

动能减小、势能增大、机械能动能增大、势能减小、机械能增大 减小

例题1.(多选)载着登陆舱的探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹如图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆，探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．已知火星的半径为R，OQ＝4R，探测器在轨道Ⅱ上经过O点的速度为v，下列说法正确的有( )

A．在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积相等

B．探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点的速度小于v

v2C．探测器在轨道Ⅱ运动时，经过O点的加速度等于3R

D．在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与在轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是3 6∶4

如图所示，这是“嫦娥五号”探月过程的示意图。探测器在圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ，变轨前后的速度分别为v1和v2；到达轨道Ⅱ的近月点B时再次变轨进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，变轨前后的速度分别为v3和v4，则探测器( )

A．在A点变轨需要加速

B．在轨道Ⅱ上从A点到B点，速度变小

C．在轨道Ⅱ上B点的加速度大于Ⅲ轨道上B点的加速度

D．四个速度大小关系满足v3＞v4＞v1＞v2

(多选)在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接，以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小，如图所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是( )

A．在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙

B．甲可以通过增大速度来抬高轨道

C．在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大

D．返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大

星球稳定自转的临界问题

当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体GMm4π2将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是R2＝mT2R.

例题2.

2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )

A．5×109 kg/m3

C．5×1015 kg/m3

B．5×1012 kg/m3

D．5×1018 kg/m3

若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )

A.C.3πGρ

1

3πGρB.D.4πGρ

1

4πGρ为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T.则太阳的质量为(忽略地球自转)( )

4π2r3A.T2R2g

4π2mgr2C.R3T2

T2R2gB.4π2mr3

4π2mr3D.T2R2g

双星模型

1. 双星特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即

Gm1m2Gm1m222＝mωr，11122＝m2ω2r2；

LL②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2；

③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。

m1r2(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m＝r。

212．多星模型

模型

三星模型

(正三角排列)

三星模型

(直线等间距排列)

四星模型

图示

向心力

的来源

另外两星球对其万有引力的合力

另外两星球对其万有引力的合力

另外三星球对其万有引力的合力

例题3.(多选)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )

A．两者之间的万有引力变大

B．黑洞的角速度变大

C．恒星的线速度变大

D．黑洞的线速度变大

(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示．三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则( )

A．每颗星做圆周运动的线速度大小为B．每颗星做圆周运动的角速度为C．每颗星做圆周运动的周期为2πGmR

3GmR3

R33Gm

D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关

(多选)如图所示，A、B、C三颗行星组成一个独立的三星系统，在相互的万有引力作用下，绕一个共同的圆心O做角速度相等的圆周运动，已知A、B两星的质量均为m，C星的质量为2m，等边三角形的每条边长为L，则( )

m2A．C星做圆周运动的向心力大小为3GL2

m2B．A星所受的合力大小为7GL2

7C．B星的轨道半径为4L

D．三个星体做圆周运动的周期为2π

L3Gm

天体的“追及”问题

天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方GMm向相同(图甲)，根据r2＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：

1．角度关系

ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)

2．圈数关系

tt－T1T2＝n(n＝1、2、3…)

解得t＝nT1T2(n＝1、2、3…)

T2－T1

同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1ttt2n－1－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或T－T＝2(n＝1、2、3…)

12例题4. 当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( )

A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年

B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年

C．木星运行的加速度比地球的大

D．木星运行的周期比地球的小

(多选)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )

A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8

B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4

C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次

D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次

我国计划发射“人造月亮”，届时天空中将会同时出现月亮和“人造月亮”．月亮A和“人造月亮” B绕地球(球心为O)的运动均可视为匀速圆周运动，如图4所示，设∠BAO＝θ，运动过程中θ的最大正弦值为p，月亮绕地球运动的线速度大小和周期分别为v1和T1，“人造月亮”绕地球运动的线速度大小和周期分别为v2和T2，则( )

图4

v1T11A.v＝p，T＝3

22pv11T11C.v＝，T＝3

22ppv1T1B.v＝p，T＝p3

22v11T1D.v＝，T＝p3

22p

万有引力定律与几何知识的结合

人造卫星绕地球运动，太阳发出的光线沿直线传播，地球或卫星都会遮挡光线，从而使万有引力、天体运动与几何知识结合起来．

求解此类问题时，要根据题中情景，由光线沿直线传播画出几何图形，通过几何图形找到边界光线，从而确定临界条件，并结合万有引力提供卫星做圆

周运动所需的向心力，列式求解．

例题5.如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与AO连线间的夹角最大为θ，则卫星A、B的线速度之比为( )

A．sinθ

θ

θ

D.1sinθ

(多选)宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示．已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看做平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则( )

A．飞船绕地球运动的线速度为2πRα

Tsin20TB．一天内飞船经历“日全食”的次数为T

αT0C．飞船每次经历“日全食”过程的时间为2π

D．飞船周期为T＝2πRα

sin2α

GMsin2R2014年12月7日，中国和巴西联合研制的地球资源卫星“04星”

在太原成功发射升空，进入预定轨道，已知“04星”绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球相对“04星”的张角为θ，引力常量为G，则地球的密度为( )

A.3πGT2sin32θ B.

θGT2sin323π3π2sin3θ

3πGD.T2sin3θ

1. (多选)嫦娥五号取壤返回地球，完成了中国航天史上的一次壮举。如图所示的是嫦娥五号着陆地球前部分轨道的简化示意图，其中Ⅰ是月地转移轨道，在P点由轨道Ⅰ变为绕地椭圆轨道Ⅱ，在近地点Q再变为绕地椭圆轨道Ⅲ。下列说法正确的是( )

A．在轨道Ⅱ运行时，嫦娥五号在Q点的机械能比在P点的机械能大

B．嫦娥五号在轨道Ⅱ上运行的周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长

C．嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的向心加速度大小相等

D．嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的速度大小相等

2. 宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动．若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是( )

A．飞船加速直到追上空间站，完成对接

B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接

C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接

D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接

3. (多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是( )

A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心

B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为4＋2Gm

2L3C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍

D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变

4. 米歇尔·麦耶和迪迪埃·奎洛兹因为发现了第一颗太阳系外行星—飞马座51b而获得2019年诺贝尔物理学奖。飞马座51b与恒星相距为L，构成双星系统(如图所示)，它们绕共同的圆心O做匀速圆周运动。设它们的质量分别为m1、m2且(m1＜m2)，已知引力常量为G。则下列说法正确的是( )

A．飞马座51b与恒星运动具有相同的线速度

B．飞马座51b与恒星运动所受到的向心力之比为m1∶m2

C．飞马座51b与恒星运动轨道的半径之比为m2∶m1

D．飞马座51b与恒星运动周期之比为m1∶m2

5. (多选)在宇宙中，当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X－1就是这样一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞

的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )

A．它们间的万有引力大小变大

B．它们间的万有引力大小不变

C．恒星做圆周运动的线速度变大

D．恒星做圆周运动的角速度变大

16. (多选)卫星绕某行星做匀速圆周运动的加速度为a，卫星的轨道半径为r，a－r2的关系图像如图所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，该行星的自转周期为T0，引力常量为G，下列说法正确的是( )

kA．行星的质量为G

kB．行星的半径为b

C．行星的第一宇宙速度为kb

3kT20D．该行星同步卫星的轨道半径为

2

4π7. (多选)如图所示，月球探测器在一个环绕月球的椭圆轨道上运行，周期为T1，飞行一段时间后实施近月制动，进入距月球表面高度为h的环月圆轨道，运行周期为T2，月球的半径为R.下列说法正确的是( )

A．根据题中数据，无法求出月球探测器的质量

B．探测器在椭圆轨道远月点的速度大于近月点的速度

C．椭圆轨道的半长轴为(R＋h)3T12T22

2πR＋hD．探测器在椭圆轨道上运行的最大速度为T

28. 我国已掌握“高速半弹道跳跃式再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地

返回任务奠定基础．如图所示，假设与地球同球心的虚线球面为地球大气层边界，虚线球面外侧没有空气，返回舱从a点无动力滑入大气层，然后经b点从c点“跳出”，再经d点从e点“跃入”实现多次减速，可避免损坏返回舱．d点为轨迹最高点，离地面高h，已知地球质量为M，半径为R，引力常量为G.则返回舱( )

A．在d点加速度小于B．在d点速度等于GM

R＋h2GM

R＋hC．虚线球面上的c、e两点离地面高度相等，所以vc和ve大小相等

D．虚线球面上的a、c两点离地面高度相等，所以va和vc大小相等

9. 宇宙空间有一种由三颗星A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA

A．线速度大小关系是vA>vB>vC

B．加速度大小关系是aA>aB>aC

C．质量大小关系是mA>mB>mC

D．所受万有引力合力的大小关系是FA＝FB＝FC

10. (多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M，并且

两种系统的运动周期相同，则( )

A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同

B．直线三星系统的运动周期T＝4πRR5GM

3C．三角形三星系统中星体间的距离L＝1D．三角形三星系统的线速度大小为212R

55GMR