2024年1月5日发(作者：靖文心)
2020年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷
一、选择题
1．﹣2020的绝对值是（ ）
A．﹣2020
B．2020
C．﹣
D．
2．华为Mate 30 5G系列是近期相当火爆的5G国产手机，它采用的麒麟990 5G芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.03×109
B．10.3×109
C．1.03×1010
D．1.03×1011
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6
B．a3+a2＝a5
C．（a3）2＝a6
D．a6÷a3＝a2
4．下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
7．在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）
B．（3，3）
C．（1，1）
D．（5，1）
8．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60°
B．65°
C．72°
D．75°
9．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
投中次数
人数
3
1
5
3
6
2
7
2
9
2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6.2
B．2，6，6
C．5，5，6
D．5，6，5
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
11．如图，菱形ABCD边长为2，∠C＝60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（ ）
A．
B．
C．2
D．1+
12．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分
记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜
B．﹣3＜m＜﹣
C．﹣3＜m＜﹣2
D．﹣3＜m＜﹣
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）
13．因式分解：x3﹣4x＝
．
14．下表是我市某一天在不同时段测得的气温情况
0：00
11℃
4：00
14℃
8：00
16℃
12：00
23℃
16：00
20℃
20：00
17℃
则这一天气温的极差是
℃．
15．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧圆心角∠BOD的大小为
度．
所对的
16．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
．
17．某人预计步行从家去火车站，从家步行走到6分钟时，以同样的速度回家取忘带的物品，然后从家乘出租赶往火车站，结果到火车站的时间比预计步行的时间提前了3分钟，该人离家的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，那么从家到火车站的路程是
．
18．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为
．
三．解答题（本大题共9小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：﹣2﹣2+20．解不等式组cos45°﹣|1﹣|+（3.14﹣π）0．
，并求出它的所有整数解的和．
21．在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH．
22．某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的羽绒服，B品牌羽绒服每件进价比A品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进A种羽绒服的数量是用7000元购进B种羽绒服数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？
（2）若A品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进A、B两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利润不低于30000元，则最少购进B品牌羽绒服多少件？
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：BC＝BH；
（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．
24．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据：
成绩x（分）
甲小区
乙小区
分析数据：
统计量
甲小区
乙小区
应用数据：
（1）填空：a＝
，b＝
，c＝
，d＝
；
（2）若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；
（3）社区管理员看完统计数据，准备从成绩在60到70分之间的两个小区中随机抽取2人进行再测试，请求出抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率．
25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的正半轴上，直线y＝x﹣1．交边AB、OA于点D、M，反比例平均数
85.75
83.5
中位数
87.5
d
众数
c
80
60≤x≤70
2
3
70＜x≤80
5
7
80＜x≤90
a
5
90＜x≤100
b
5
函数y＝（x＞0）的图象经过点D，与BC的交点为N．
（1）求BN的长．
（2）点P是直线DM上的动点（点P不与点D、点M重合），连接PB、PC、MN，当△BCP的面积等于四边形ABNM的面积时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接CP，以CP为边作矩形CPEF，使矩形的对角线的交点G落在直线DM上，请直接写出点G的坐标．
26．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
，AE⊥BD，垂足是E．点F是
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF
＝BF时，求sin∠EBA的值．
（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共48分.在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．﹣2020的绝对值是（ ）
A．﹣2020
B．2020
C．﹣
D．
【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．
解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，
故选：B．
2．华为Mate 30 5G系列是近期相当火爆的5G国产手机，它采用的麒麟990 5G芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.03×109
B．10.3×109
C．1.03×1010
D．1.03×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：103亿＝103 0000 0000＝1.03×1010，
故选：C．
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6
B．a3+a2＝a5
C．（a3）2＝a6
D．a6÷a3＝a2
【分析】直接利用整式的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．
解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；
B、a3+a2，无法计算，故此选项错误；
C、（a3）2＝a6，正确；
D、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
故选：C．
4．下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可．解：A、有4条对称轴，故本选项不符合题意；
B、有6条对称轴，故本选项不符合题意；
C、有4条对称轴，故本选项不符合题意；
D、有2条对称轴，故本选项符合题意．
故选：D．
5．如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．
解：该几何体的俯视图是：由两个长方形组成的矩形，且矩形的之间有纵向的线段隔开．故选：B．
6．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【分析】根据一次函数的性质，可得答案．
解：由题意，得k﹣2＞0，
解得k＞2，
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
7．在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）
B．（3，3）
C．（1，1）
D．（5，1）
【分析】根据向下平移，横坐标不变、纵坐标相减列式计算即可得解．
解：将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（3，1﹣2），即（3，﹣1），
故选：A．
8．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60°
B．65°
C．72°
D．75°
【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，构建方程即可解决问题．
解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．
9．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
投中次数
人数
3
1
5
3
6
2
7
2
9
2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6.2
B．2，6，6
C．5，5，6
D．5，6，5
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要
把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5次；
处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）÷2＝6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是6次．
平均数是：（3+15+12+14+18）÷10＝6.2（次），
所以答案为：5、6、6.2，
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设C（x，2）．则D（x，2），由勾股定理得出AB2+BC2＝AC2，列出方程22+12+（x﹣1）2+22＝x2，求出x，得到D点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．
解：∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，
∴A（0，2），
∴C、A两点纵坐标相同，都为2，
∴可设C（x，2）．
∵D为AC中点．
∴D（x，2）．
∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴12+22+（x﹣1）2+22＝x2，
解得x＝5，
∴D（，2）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k＝×2＝5．
故选：B．
11．如图，菱形ABCD边长为2，∠C＝60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（ ）
A．
B．
C．2
D．1+
【分析】取AD的中点E，连接BD、EB、EO．证△ABD是等边三角形，得出BE⊥AD，AE＝AD＝1，BE＝AE＝，在Rt△AOD中，求出OE＝AD＝1，当O、E、B共线时OB最大，即可得出答案．
解：取AD的中点E，连接BD、EB、EO．如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝2，∠BAD＝∠C＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵E是AD的中点，
∴BE⊥AD，AE＝AD＝1，
∴BE＝AE＝，
在Rt△AOD中，OE为斜边AD上的中线，
∴OE＝AD＝1，可知OE为定值，
当O、E、B共线时OB最大，其值为OE+BE＝故选：D．
+1；
12．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜
B．﹣3＜m＜﹣
C．﹣3＜m＜﹣2
D．﹣3＜m＜﹣
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
△＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1＝﹣，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m＜﹣故选：D．
时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）
13．因式分解：x3﹣4x＝
x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
解：x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
14．下表是我市某一天在不同时段测得的气温情况
0：00
11℃
4：00
14℃
8：00
16℃
12：00
23℃
16：00
20℃
20：00
17℃
则这一天气温的极差是
12 ℃．
【分析】直接利用极差的定义得出答案．
解：这一天气温的极差是：23﹣11＝12（℃）．
故答案为：12．
15．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧圆心角∠BOD的大小为
144 度．
所对的
【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故答案为：144．
16．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
k＜1且k≠0 ．
【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，所以k≠0且△＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0，且△＝b2﹣4ac＝36﹣36k＞0，
解得k＜1且k≠0．
故答案为k＜1且k≠0．
17．某人预计步行从家去火车站，从家步行走到6分钟时，以同样的速度回家取忘带的物品，然后从家乘出租赶往火车站，结果到火车站的时间比预计步行的时间提前了3分钟，该人离家的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，那么从家到火车站的路程是
1600m ．
＝108°．
【分析】设步行到达的时间为t，根据早到3分钟列出方程求出t，然后求解即可．
解：步行的速度为：480÷6＝80米/分钟，
∵t＝16时，s＝80×16＝1280，
∴相遇时的点的坐标为（16，1280），
设s＝kt+b，则解得，
，
所以s＝320t﹣3840；
设步行到达的时间为t，则实际到达是时间为t﹣3，
由题意得，80t＝320（t﹣3）﹣3840，
解得t＝20．
所以家到火车站的距离为80×20＝1600m．
故答案为：1600m．
18．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为
2或2或﹣ ．
【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝∠DAB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝∴OA＝OB＝OC＝OD＝3，
＝＝6，
有6种情况：①点P在AD上时，
∵AD＝6，PD＝2AP，
∴AP＝2；
②点P在AC上时，
设AP＝x，则DP＝2x，
在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2＝DO2+OP2，
（2x）2＝（3解得：x＝即AP＝）2+（3﹣﹣﹣x）2，
（负数舍去），
；
③点P在AB上时，
设AP＝y，则DP＝2y，
在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2＝DP2，
y2+62＝（2y）2，
解得：y＝2即AP＝2（负数舍去），
；
④当P在BC上，设BP＝x，
∵DP＝2AP，
∴2＝，
即x2+4x+24＝0，
△＝42﹣4×1×24＜0，此方程无解，
即当点P在BC上时，不能使DP＝2AP；
⑤P在DC上，
∵∠ADC＝90°，
∴AP＞DP，不能DP＝2AP，
即当P在DC上时，不能具备DP＝2AP；
⑥P在BD上时，
过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ANP＝∠AMP＝90°，
∴四边形ANPM是矩形，
∴AM＝PN，AN＝PM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∵∠PMB＝90°，
∴∠MBP＝∠MPB＝45°，
∴BM＝PM＝AN，
同理DN＝PN＝AM，
设PM＝BM＝AN＝x，则PN＝DN＝AM＝6﹣x，
都不能DP＝2AP，
∵DP＝2AP，
∴由勾股定理得：2即x2﹣4x+12＝0，
△＝（﹣4）2﹣4×1×12＜0，此方程无解，
＝，
即当P在BD上时，不能DP＝2AP，
故答案为：2或2或﹣．
三．解答题（本大题共9小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：﹣2﹣2+cos45°﹣|1﹣|+（3.14﹣π）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
解：原式＝﹣+2＝﹣+2﹣＝﹣．
+2
×﹣（﹣1）+1
20．解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解然后求和．
解：解①得：x≥﹣2，
解②得：x＜4，
则不等式组的解集是：﹣2≤x＜4，
则整数解是：﹣2，﹣1，0，1，2，3．
它们的和为3．
21．在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH．
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件易证△EBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质：三线合一即可证明CH＝EH．
【解答】证明：∵在▱ABCD中，BE∥CD，
∴∠E＝∠2，
∵CE平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠E，
∴BE＝BC，
又∵BH⊥BC，
∴CH＝EH（三线合一）．
22．某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的羽绒服，B品牌羽绒服每件进价比A品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进A种羽绒服的数量是用7000元购进B种羽绒服数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？
（2）若A品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进A、B两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利润不低于30000元，则最少购进B品牌羽绒服多少件？
【分析】（1）求A、B两种品牌的羽绒服每件进价分别为多少元，可设A种品牌的羽绒服每件进价为x元，根据题意列出方程解方程．
（2）先设B种品牌得羽绒服购进m件，根据全部出售后所获利润不低于30000元列出不等式求解即可．
解：（1）设A种羽绒服每件的进价为x元，根据题意的
解得x＝500
经检验x＝500是原方程的解x+200＝700（元）
答：A种羽绒服每件的进价为500元，B种羽绒服每件的进价为700元．
（2）设购进B品牌的羽绒服m件，根据题意的
（800﹣500）（80﹣m）+（1200﹣700）m≥30000
解得m≥30
∵m为整数
∴m的最小值为30．
答：最少购进B品牌的羽绒服30件．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：BC＝BH；
（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．
【分析】（1）连接OE，如图，根据切线的性质得到OE⊥AC，则可证明∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠2，然后证明Rt△BEH≌Rt△BEC得到结论；
（2）利用勾股定理计算出BC＝3，设OE＝r，则OA＝5﹣r，证明△AOE∽△ABC，利用相似比计算出r＝长．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵AC为切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∵EH＝EC，
在Rt△BEH和Rt△BEC中
∴Rt△BEH≌Rt△BEC（HL），
∴BC＝BH；
，则AO＝，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到CE的
（2）在Rt△ABC中，BC＝设OE＝r，则OA＝5﹣r，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即，
＝，解得r＝＝3，
，
∴AO＝5﹣r＝在Rt△AOE中，AE＝∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．
＝，
24．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据：
成绩x（分）
甲小区
乙小区
分析数据：
60≤x≤70
2
3
70＜x≤80
5
7
80＜x≤90
a
5
90＜x≤100
b
5
统计量
甲小区
乙小区
应用数据：
平均数
85.75
83.5
中位数
87.5
d
众数
c
80
（1）填空：a＝
8 ，b＝
5 ，c＝
90 ，d＝
82.5 ；
（2）若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；
（3）社区管理员看完统计数据，准备从成绩在60到70分之间的两个小区中随机抽取2人进行再测试，请求出抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率．
【分析】（1）根据样本数据可得a、b的值，利用众数和中位数的概念可得c、d的值；（2）用总人数乘以样本中甲小区成绩大于90分的人数所占比例即可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．解：（1）由样本数据知80＜x≤90的数据有8个，即a＝8，90＜x≤100的数据有5个，即b＝5，
甲小区的数据中90出现次数最多，因此众数是90，即c＝90；
将乙小区数据重新排列为：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100．
则中位数d＝＝82.5，
故答案为：8、5、90、82.5；
（2）估计甲小区成绩大于90分的人数为800×
（3）列表如下：
甲1
甲1
甲2
乙1
乙2
乙3
＝200（人）；
（甲2，甲1）
（乙1，甲1）
（乙2，甲1）
（乙3，甲1）
（乙1，甲2）
（乙2，甲2）
（乙3，甲2）
（乙2，乙1）
（乙3，乙1）
（乙3，乙2）
甲2
（甲1，甲2）
乙1
（甲1，乙1）
（甲2，乙1）
乙2
（甲1，乙2）
（甲2，乙2）
（乙1，乙2）
乙3
（甲1，乙3）
（甲2，乙3）
（乙1，乙3）
（乙2，乙3）
由表格可知，共有20种等可能结果，其中抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的有12种情况，
∴抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率为＝．
25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的正半轴上，直线y＝x﹣1．交边AB、OA于点D、M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，与BC的交点为N．
（1）求BN的长．
（2）点P是直线DM上的动点（点P不与点D、点M重合），连接PB、PC、MN，当△BCP的面积等于四边形ABNM的面积时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接CP，以CP为边作矩形CPEF，使矩形的对角线的交点G落在直线DM上，请直接写出点G的坐标．
【分析】（1）由正方形的性质可得出点A，B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标，由点D的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数解析式，再利
用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，结合点B的坐标可求出BN的长；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点M的坐标，利用梯形的面积公式可求出S梯形ABNM的值，设点P的坐标为（x，x﹣1）（x≠1，x≠3），利用三角形的面积公式结合△BCP的面积等于梯形ABNM的面积，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）过点C作CF⊥CP，交DM于点F，设点F的坐标为（n，n﹣1），结合点C，P的坐标，利用两点间的距离公式可求出PF2，PC2，CF2的值，利用勾股定理可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出点F的坐标，再结合点G为线段PF的中点，即可求出点G的坐标．
解：（1）依题意，得：点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（3，3）．
当x＝3时，y＝x﹣1＝2，
∴点D的坐标为（3，2）．
将D（3，2）代入y＝，得：2＝，
解得：m＝6，
∴反比例函数解析式为y＝．
当y＝3时，＝3，
解得：x＝2，
∴点N的坐标为（2，3），
∴BN＝3﹣2＝1．
（2）当y＝0时，x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴点M的坐标为（1，0），
∴AM＝2，
∴S梯形ABNM＝（BD+AM）•AB＝．
设点P的坐标为（x，x﹣1）（x≠1，x≠3），
∴S△BCP＝BC•|3﹣yP|＝|4﹣x|＝，
解得：x1＝1（舍去），x2＝7，
∴点P的坐标为（7，6）．
（3）过点C作CF⊥CP，交DM于点F，如图2所示．
设点F的坐标为（n，n﹣1）．
∵点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（7，6），
∴PC2＝（0﹣7）2+（3﹣6）2＝58，CF2＝（n﹣0）2+（n﹣1﹣3）2＝2n2﹣8n+16，PF2＝（n﹣7）2+（n﹣1﹣6）2＝2n2﹣28n+98．
∵∠PCF＝90°，
∴PF2＝PC2+CF2，即2n2﹣28n+98＝58+2n2﹣8n+16，
解得：n＝，
∴点F的坐标为（，）．
又∵点G为线段PF的中点，
∴点G的坐标为（，）．
26．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
，AE⊥BD，垂足是E．点F是
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别
求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．
解：（1）在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝，
由勾股定理得：BD＝＝＝．
∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，
∴AE＝＝＝4．
在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4，由勾股定理得：BE＝3．
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：
由对称点性质可知，∠1＝∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．
①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3＝∠4，
∴∠3＝∠2，
∴BB′＝B′F′＝3，即m＝3；
②当点F′落在AD上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠6＝∠2，
∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，
∴∠5＝∠6，
又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D＝B′F′＝3，
∴BB′＝BD﹣B′D＝
（3）存在．
理由如下：假设存在，
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，易知∠2＝2∠Q，
﹣3＝，即m＝．
∵∠1＝∠3+∠Q，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠Q，
∴A′Q＝A′B＝5，
∴F′Q＝F′A′+A′Q＝4+5＝9．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝∴DQ＝BQ﹣BD＝﹣；
＝＝．
②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ＝DQ，
∴∠2＝∠P，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠P，
∴BA′∥PD，
∵PD∥BC，
∴此时点A′落在BC边上．
∵∠3＝∠2，
∴∠3＝∠1，
∴BQ＝A′Q，
∴F′Q＝F′A′﹣A′Q＝4﹣BQ．
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2＝BQ2，
即：32+（4﹣BQ）2＝BQ2，
解得：BQ＝，
﹣＝；
∴DQ＝BD﹣BQ＝③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD＝DQ，易知∠3＝∠4．
∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，
∴∠4＝90°﹣∠2．
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝90°﹣∠1．
∴∠A′QB＝∠4＝90°﹣∠1，
∴∠A′BQ＝180°﹣∠A′QB﹣∠1＝90°﹣∠1，
∴∠A′QB＝∠A′BQ，
∴A′Q＝A′B＝5，
∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝5﹣4＝1．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣；
＝＝，
④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ＝PD，易知∠2＝∠3．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
∴BQ＝BA′＝5，
∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣5＝．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；
DQ的长度分别为﹣、、﹣或．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF＝BF时，求sin∠EBA的值．
（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先由直线解析式求出点A、C坐标，再将所求坐标代入二次函数解析式，求解可得；
（2）先求出B（1，0），设E（t，﹣2t2﹣4t+6），作EH⊥x轴、FG⊥x轴，知EH∥FG，由EF＝BF知据此知F（+t，＝＝＝，结合BH＝1﹣t可得BG＝BH＝﹣t，+t），解之得t1＝+t），从而得出方程﹣2t2﹣4t+6＝（﹣2，t2＝﹣1，据此得出点E坐标，再进一步求解可得；
（3）分EB为平行四边形的边和EB为平行四边形的对角线两种情况，其中EB为平行四边形的边时再分点M在对称轴右侧和左侧两种情况分别求解可得．
解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，
∴C（0，6）、A（﹣3，0），
∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c的图象经过A、C两点，
∴解得，
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6；
（2）令﹣2x2﹣4x+6＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0），
∵点E的横坐标为t，
∴E（t，﹣2t2﹣4t+6），
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥x轴于点G，则EH∥FG，
∵EF＝BF，
∴＝＝＝，
∵BH＝1﹣t，
∴BG＝BH＝﹣t，
∴点F的横坐标为+t，
∴F（+t，+t），
+t），
∴﹣2t2﹣4t+6＝（∴t2+3t+2＝0，
解得t1＝﹣2，t2＝﹣1，
当t＝﹣2时，﹣2t2﹣4t+6＝6，
当t＝﹣1时，﹣2t2﹣4t+6＝8，
∴E1（﹣2，6），E2（﹣1，8），
当点E的坐标为（﹣2，6）时，在Rt△EBH中，EH＝6，BH＝3，
∴BE＝∴sin∠EBA＝＝＝＝＝3；
＝，
，
同理，当点E的坐标为（﹣1，8）时，sin∠EBA＝∴sin∠EBA的值为
（3）∵点N在对称轴上，
或；
∴xN＝＝﹣1，
①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：
（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，
∵E（﹣2，6），xN＝﹣1，﹣1﹣（﹣2）＝1，B（1，0），
∴xM＝1+1＝2，
当x＝2时，y＝﹣2×22﹣4×2+6＝﹣10，
∴M（2，﹣10）；
（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，
∵xN＝﹣1，B（1，0），1﹣（﹣1）＝2，E（﹣2，6），
∴xM＝﹣2﹣2＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣2×（﹣4）2﹣4×（﹣4）+6＝﹣10，
∴M（﹣4，﹣10）；
②当EB为平行四边形的对角线时，
∵B（1，0），E（﹣2，6），xN＝﹣1，
∴1+（﹣2）＝﹣1+xM，
∴xM＝0，
当x＝0时，y＝6，
∴M（0，6）；
综上所述，M的坐标为（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．
2024年1月5日发(作者：靖文心)
2020年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷
一、选择题
1．﹣2020的绝对值是（ ）
A．﹣2020
B．2020
C．﹣
D．
2．华为Mate 30 5G系列是近期相当火爆的5G国产手机，它采用的麒麟990 5G芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.03×109
B．10.3×109
C．1.03×1010
D．1.03×1011
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6
B．a3+a2＝a5
C．（a3）2＝a6
D．a6÷a3＝a2
4．下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
7．在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）
B．（3，3）
C．（1，1）
D．（5，1）
8．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60°
B．65°
C．72°
D．75°
9．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
投中次数
人数
3
1
5
3
6
2
7
2
9
2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6.2
B．2，6，6
C．5，5，6
D．5，6，5
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
11．如图，菱形ABCD边长为2，∠C＝60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（ ）
A．
B．
C．2
D．1+
12．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分
记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜
B．﹣3＜m＜﹣
C．﹣3＜m＜﹣2
D．﹣3＜m＜﹣
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）
13．因式分解：x3﹣4x＝
．
14．下表是我市某一天在不同时段测得的气温情况
0：00
11℃
4：00
14℃
8：00
16℃
12：00
23℃
16：00
20℃
20：00
17℃
则这一天气温的极差是
℃．
15．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧圆心角∠BOD的大小为
度．
所对的
16．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
．
17．某人预计步行从家去火车站，从家步行走到6分钟时，以同样的速度回家取忘带的物品，然后从家乘出租赶往火车站，结果到火车站的时间比预计步行的时间提前了3分钟，该人离家的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，那么从家到火车站的路程是
．
18．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为
．
三．解答题（本大题共9小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：﹣2﹣2+20．解不等式组cos45°﹣|1﹣|+（3.14﹣π）0．
，并求出它的所有整数解的和．
21．在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH．
22．某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的羽绒服，B品牌羽绒服每件进价比A品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进A种羽绒服的数量是用7000元购进B种羽绒服数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？
（2）若A品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进A、B两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利润不低于30000元，则最少购进B品牌羽绒服多少件？
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：BC＝BH；
（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．
24．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据：
成绩x（分）
甲小区
乙小区
分析数据：
统计量
甲小区
乙小区
应用数据：
（1）填空：a＝
，b＝
，c＝
，d＝
；
（2）若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；
（3）社区管理员看完统计数据，准备从成绩在60到70分之间的两个小区中随机抽取2人进行再测试，请求出抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率．
25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的正半轴上，直线y＝x﹣1．交边AB、OA于点D、M，反比例平均数
85.75
83.5
中位数
87.5
d
众数
c
80
60≤x≤70
2
3
70＜x≤80
5
7
80＜x≤90
a
5
90＜x≤100
b
5
函数y＝（x＞0）的图象经过点D，与BC的交点为N．
（1）求BN的长．
（2）点P是直线DM上的动点（点P不与点D、点M重合），连接PB、PC、MN，当△BCP的面积等于四边形ABNM的面积时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接CP，以CP为边作矩形CPEF，使矩形的对角线的交点G落在直线DM上，请直接写出点G的坐标．
26．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
，AE⊥BD，垂足是E．点F是
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF
＝BF时，求sin∠EBA的值．
（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共48分.在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．﹣2020的绝对值是（ ）
A．﹣2020
B．2020
C．﹣
D．
【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．
解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，
故选：B．
2．华为Mate 30 5G系列是近期相当火爆的5G国产手机，它采用的麒麟990 5G芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.03×109
B．10.3×109
C．1.03×1010
D．1.03×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：103亿＝103 0000 0000＝1.03×1010，
故选：C．
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6
B．a3+a2＝a5
C．（a3）2＝a6
D．a6÷a3＝a2
【分析】直接利用整式的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．
解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；
B、a3+a2，无法计算，故此选项错误；
C、（a3）2＝a6，正确；
D、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
故选：C．
4．下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可．解：A、有4条对称轴，故本选项不符合题意；
B、有6条对称轴，故本选项不符合题意；
C、有4条对称轴，故本选项不符合题意；
D、有2条对称轴，故本选项符合题意．
故选：D．
5．如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．
解：该几何体的俯视图是：由两个长方形组成的矩形，且矩形的之间有纵向的线段隔开．故选：B．
6．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【分析】根据一次函数的性质，可得答案．
解：由题意，得k﹣2＞0，
解得k＞2，
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
7．在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）
B．（3，3）
C．（1，1）
D．（5，1）
【分析】根据向下平移，横坐标不变、纵坐标相减列式计算即可得解．
解：将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（3，1﹣2），即（3，﹣1），
故选：A．
8．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60°
B．65°
C．72°
D．75°
【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，构建方程即可解决问题．
解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．
9．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
投中次数
人数
3
1
5
3
6
2
7
2
9
2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6.2
B．2，6，6
C．5，5，6
D．5，6，5
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要
把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5次；
处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）÷2＝6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是6次．
平均数是：（3+15+12+14+18）÷10＝6.2（次），
所以答案为：5、6、6.2，
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设C（x，2）．则D（x，2），由勾股定理得出AB2+BC2＝AC2，列出方程22+12+（x﹣1）2+22＝x2，求出x，得到D点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．
解：∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，
∴A（0，2），
∴C、A两点纵坐标相同，都为2，
∴可设C（x，2）．
∵D为AC中点．
∴D（x，2）．
∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴12+22+（x﹣1）2+22＝x2，
解得x＝5，
∴D（，2）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k＝×2＝5．
故选：B．
11．如图，菱形ABCD边长为2，∠C＝60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（ ）
A．
B．
C．2
D．1+
【分析】取AD的中点E，连接BD、EB、EO．证△ABD是等边三角形，得出BE⊥AD，AE＝AD＝1，BE＝AE＝，在Rt△AOD中，求出OE＝AD＝1，当O、E、B共线时OB最大，即可得出答案．
解：取AD的中点E，连接BD、EB、EO．如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝2，∠BAD＝∠C＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵E是AD的中点，
∴BE⊥AD，AE＝AD＝1，
∴BE＝AE＝，
在Rt△AOD中，OE为斜边AD上的中线，
∴OE＝AD＝1，可知OE为定值，
当O、E、B共线时OB最大，其值为OE+BE＝故选：D．
+1；
12．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜
B．﹣3＜m＜﹣
C．﹣3＜m＜﹣2
D．﹣3＜m＜﹣
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
△＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1＝﹣，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m＜﹣故选：D．
时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）
13．因式分解：x3﹣4x＝
x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
解：x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
14．下表是我市某一天在不同时段测得的气温情况
0：00
11℃
4：00
14℃
8：00
16℃
12：00
23℃
16：00
20℃
20：00
17℃
则这一天气温的极差是
12 ℃．
【分析】直接利用极差的定义得出答案．
解：这一天气温的极差是：23﹣11＝12（℃）．
故答案为：12．
15．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧圆心角∠BOD的大小为
144 度．
所对的
【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故答案为：144．
16．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
k＜1且k≠0 ．
【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，所以k≠0且△＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0，且△＝b2﹣4ac＝36﹣36k＞0，
解得k＜1且k≠0．
故答案为k＜1且k≠0．
17．某人预计步行从家去火车站，从家步行走到6分钟时，以同样的速度回家取忘带的物品，然后从家乘出租赶往火车站，结果到火车站的时间比预计步行的时间提前了3分钟，该人离家的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，那么从家到火车站的路程是
1600m ．
＝108°．
【分析】设步行到达的时间为t，根据早到3分钟列出方程求出t，然后求解即可．
解：步行的速度为：480÷6＝80米/分钟，
∵t＝16时，s＝80×16＝1280，
∴相遇时的点的坐标为（16，1280），
设s＝kt+b，则解得，
，
所以s＝320t﹣3840；
设步行到达的时间为t，则实际到达是时间为t﹣3，
由题意得，80t＝320（t﹣3）﹣3840，
解得t＝20．
所以家到火车站的距离为80×20＝1600m．
故答案为：1600m．
18．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为
2或2或﹣ ．
【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝∠DAB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝∴OA＝OB＝OC＝OD＝3，
＝＝6，
有6种情况：①点P在AD上时，
∵AD＝6，PD＝2AP，
∴AP＝2；
②点P在AC上时，
设AP＝x，则DP＝2x，
在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2＝DO2+OP2，
（2x）2＝（3解得：x＝即AP＝）2+（3﹣﹣﹣x）2，
（负数舍去），
；
③点P在AB上时，
设AP＝y，则DP＝2y，
在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2＝DP2，
y2+62＝（2y）2，
解得：y＝2即AP＝2（负数舍去），
；
④当P在BC上，设BP＝x，
∵DP＝2AP，
∴2＝，
即x2+4x+24＝0，
△＝42﹣4×1×24＜0，此方程无解，
即当点P在BC上时，不能使DP＝2AP；
⑤P在DC上，
∵∠ADC＝90°，
∴AP＞DP，不能DP＝2AP，
即当P在DC上时，不能具备DP＝2AP；
⑥P在BD上时，
过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ANP＝∠AMP＝90°，
∴四边形ANPM是矩形，
∴AM＝PN，AN＝PM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∵∠PMB＝90°，
∴∠MBP＝∠MPB＝45°，
∴BM＝PM＝AN，
同理DN＝PN＝AM，
设PM＝BM＝AN＝x，则PN＝DN＝AM＝6﹣x，
都不能DP＝2AP，
∵DP＝2AP，
∴由勾股定理得：2即x2﹣4x+12＝0，
△＝（﹣4）2﹣4×1×12＜0，此方程无解，
＝，
即当P在BD上时，不能DP＝2AP，
故答案为：2或2或﹣．
三．解答题（本大题共9小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：﹣2﹣2+cos45°﹣|1﹣|+（3.14﹣π）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
解：原式＝﹣+2＝﹣+2﹣＝﹣．
+2
×﹣（﹣1）+1
20．解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解然后求和．
解：解①得：x≥﹣2，
解②得：x＜4，
则不等式组的解集是：﹣2≤x＜4，
则整数解是：﹣2，﹣1，0，1，2，3．
它们的和为3．
21．在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH．
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件易证△EBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质：三线合一即可证明CH＝EH．
【解答】证明：∵在▱ABCD中，BE∥CD，
∴∠E＝∠2，
∵CE平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠E，
∴BE＝BC，
又∵BH⊥BC，
∴CH＝EH（三线合一）．
22．某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的羽绒服，B品牌羽绒服每件进价比A品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进A种羽绒服的数量是用7000元购进B种羽绒服数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？
（2）若A品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进A、B两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利润不低于30000元，则最少购进B品牌羽绒服多少件？
【分析】（1）求A、B两种品牌的羽绒服每件进价分别为多少元，可设A种品牌的羽绒服每件进价为x元，根据题意列出方程解方程．
（2）先设B种品牌得羽绒服购进m件，根据全部出售后所获利润不低于30000元列出不等式求解即可．
解：（1）设A种羽绒服每件的进价为x元，根据题意的
解得x＝500
经检验x＝500是原方程的解x+200＝700（元）
答：A种羽绒服每件的进价为500元，B种羽绒服每件的进价为700元．
（2）设购进B品牌的羽绒服m件，根据题意的
（800﹣500）（80﹣m）+（1200﹣700）m≥30000
解得m≥30
∵m为整数
∴m的最小值为30．
答：最少购进B品牌的羽绒服30件．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：BC＝BH；
（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．
【分析】（1）连接OE，如图，根据切线的性质得到OE⊥AC，则可证明∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠2，然后证明Rt△BEH≌Rt△BEC得到结论；
（2）利用勾股定理计算出BC＝3，设OE＝r，则OA＝5﹣r，证明△AOE∽△ABC，利用相似比计算出r＝长．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵AC为切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∵EH＝EC，
在Rt△BEH和Rt△BEC中
∴Rt△BEH≌Rt△BEC（HL），
∴BC＝BH；
，则AO＝，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到CE的
（2）在Rt△ABC中，BC＝设OE＝r，则OA＝5﹣r，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即，
＝，解得r＝＝3，
，
∴AO＝5﹣r＝在Rt△AOE中，AE＝∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．
＝，
24．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据：
成绩x（分）
甲小区
乙小区
分析数据：
60≤x≤70
2
3
70＜x≤80
5
7
80＜x≤90
a
5
90＜x≤100
b
5
统计量
甲小区
乙小区
应用数据：
平均数
85.75
83.5
中位数
87.5
d
众数
c
80
（1）填空：a＝
8 ，b＝
5 ，c＝
90 ，d＝
82.5 ；
（2）若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；
（3）社区管理员看完统计数据，准备从成绩在60到70分之间的两个小区中随机抽取2人进行再测试，请求出抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率．
【分析】（1）根据样本数据可得a、b的值，利用众数和中位数的概念可得c、d的值；（2）用总人数乘以样本中甲小区成绩大于90分的人数所占比例即可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．解：（1）由样本数据知80＜x≤90的数据有8个，即a＝8，90＜x≤100的数据有5个，即b＝5，
甲小区的数据中90出现次数最多，因此众数是90，即c＝90；
将乙小区数据重新排列为：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100．
则中位数d＝＝82.5，
故答案为：8、5、90、82.5；
（2）估计甲小区成绩大于90分的人数为800×
（3）列表如下：
甲1
甲1
甲2
乙1
乙2
乙3
＝200（人）；
（甲2，甲1）
（乙1，甲1）
（乙2，甲1）
（乙3，甲1）
（乙1，甲2）
（乙2，甲2）
（乙3，甲2）
（乙2，乙1）
（乙3，乙1）
（乙3，乙2）
甲2
（甲1，甲2）
乙1
（甲1，乙1）
（甲2，乙1）
乙2
（甲1，乙2）
（甲2，乙2）
（乙1，乙2）
乙3
（甲1，乙3）
（甲2，乙3）
（乙1，乙3）
（乙2，乙3）
由表格可知，共有20种等可能结果，其中抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的有12种情况，
∴抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率为＝．
25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的正半轴上，直线y＝x﹣1．交边AB、OA于点D、M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，与BC的交点为N．
（1）求BN的长．
（2）点P是直线DM上的动点（点P不与点D、点M重合），连接PB、PC、MN，当△BCP的面积等于四边形ABNM的面积时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接CP，以CP为边作矩形CPEF，使矩形的对角线的交点G落在直线DM上，请直接写出点G的坐标．
【分析】（1）由正方形的性质可得出点A，B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标，由点D的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数解析式，再利
用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，结合点B的坐标可求出BN的长；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点M的坐标，利用梯形的面积公式可求出S梯形ABNM的值，设点P的坐标为（x，x﹣1）（x≠1，x≠3），利用三角形的面积公式结合△BCP的面积等于梯形ABNM的面积，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）过点C作CF⊥CP，交DM于点F，设点F的坐标为（n，n﹣1），结合点C，P的坐标，利用两点间的距离公式可求出PF2，PC2，CF2的值，利用勾股定理可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出点F的坐标，再结合点G为线段PF的中点，即可求出点G的坐标．
解：（1）依题意，得：点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（3，3）．
当x＝3时，y＝x﹣1＝2，
∴点D的坐标为（3，2）．
将D（3，2）代入y＝，得：2＝，
解得：m＝6，
∴反比例函数解析式为y＝．
当y＝3时，＝3，
解得：x＝2，
∴点N的坐标为（2，3），
∴BN＝3﹣2＝1．
（2）当y＝0时，x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴点M的坐标为（1，0），
∴AM＝2，
∴S梯形ABNM＝（BD+AM）•AB＝．
设点P的坐标为（x，x﹣1）（x≠1，x≠3），
∴S△BCP＝BC•|3﹣yP|＝|4﹣x|＝，
解得：x1＝1（舍去），x2＝7，
∴点P的坐标为（7，6）．
（3）过点C作CF⊥CP，交DM于点F，如图2所示．
设点F的坐标为（n，n﹣1）．
∵点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（7，6），
∴PC2＝（0﹣7）2+（3﹣6）2＝58，CF2＝（n﹣0）2+（n﹣1﹣3）2＝2n2﹣8n+16，PF2＝（n﹣7）2+（n﹣1﹣6）2＝2n2﹣28n+98．
∵∠PCF＝90°，
∴PF2＝PC2+CF2，即2n2﹣28n+98＝58+2n2﹣8n+16，
解得：n＝，
∴点F的坐标为（，）．
又∵点G为线段PF的中点，
∴点G的坐标为（，）．
26．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
，AE⊥BD，垂足是E．点F是
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别
求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．
解：（1）在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝，
由勾股定理得：BD＝＝＝．
∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，
∴AE＝＝＝4．
在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4，由勾股定理得：BE＝3．
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：
由对称点性质可知，∠1＝∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．
①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3＝∠4，
∴∠3＝∠2，
∴BB′＝B′F′＝3，即m＝3；
②当点F′落在AD上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠6＝∠2，
∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，
∴∠5＝∠6，
又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D＝B′F′＝3，
∴BB′＝BD﹣B′D＝
（3）存在．
理由如下：假设存在，
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，易知∠2＝2∠Q，
﹣3＝，即m＝．
∵∠1＝∠3+∠Q，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠Q，
∴A′Q＝A′B＝5，
∴F′Q＝F′A′+A′Q＝4+5＝9．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝∴DQ＝BQ﹣BD＝﹣；
＝＝．
②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ＝DQ，
∴∠2＝∠P，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠P，
∴BA′∥PD，
∵PD∥BC，
∴此时点A′落在BC边上．
∵∠3＝∠2，
∴∠3＝∠1，
∴BQ＝A′Q，
∴F′Q＝F′A′﹣A′Q＝4﹣BQ．
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2＝BQ2，
即：32+（4﹣BQ）2＝BQ2，
解得：BQ＝，
﹣＝；
∴DQ＝BD﹣BQ＝③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD＝DQ，易知∠3＝∠4．
∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，
∴∠4＝90°﹣∠2．
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝90°﹣∠1．
∴∠A′QB＝∠4＝90°﹣∠1，
∴∠A′BQ＝180°﹣∠A′QB﹣∠1＝90°﹣∠1，
∴∠A′QB＝∠A′BQ，
∴A′Q＝A′B＝5，
∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝5﹣4＝1．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣；
＝＝，
④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ＝PD，易知∠2＝∠3．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
∴BQ＝BA′＝5，
∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣5＝．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；
DQ的长度分别为﹣、、﹣或．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF＝BF时，求sin∠EBA的值．
（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先由直线解析式求出点A、C坐标，再将所求坐标代入二次函数解析式，求解可得；
（2）先求出B（1，0），设E（t，﹣2t2﹣4t+6），作EH⊥x轴、FG⊥x轴，知EH∥FG，由EF＝BF知据此知F（+t，＝＝＝，结合BH＝1﹣t可得BG＝BH＝﹣t，+t），解之得t1＝+t），从而得出方程﹣2t2﹣4t+6＝（﹣2，t2＝﹣1，据此得出点E坐标，再进一步求解可得；
（3）分EB为平行四边形的边和EB为平行四边形的对角线两种情况，其中EB为平行四边形的边时再分点M在对称轴右侧和左侧两种情况分别求解可得．
解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，
∴C（0，6）、A（﹣3，0），
∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c的图象经过A、C两点，
∴解得，
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6；
（2）令﹣2x2﹣4x+6＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0），
∵点E的横坐标为t，
∴E（t，﹣2t2﹣4t+6），
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥x轴于点G，则EH∥FG，
∵EF＝BF，
∴＝＝＝，
∵BH＝1﹣t，
∴BG＝BH＝﹣t，
∴点F的横坐标为+t，
∴F（+t，+t），
+t），
∴﹣2t2﹣4t+6＝（∴t2+3t+2＝0，
解得t1＝﹣2，t2＝﹣1，
当t＝﹣2时，﹣2t2﹣4t+6＝6，
当t＝﹣1时，﹣2t2﹣4t+6＝8，
∴E1（﹣2，6），E2（﹣1，8），
当点E的坐标为（﹣2，6）时，在Rt△EBH中，EH＝6，BH＝3，
∴BE＝∴sin∠EBA＝＝＝＝＝3；
＝，
，
同理，当点E的坐标为（﹣1，8）时，sin∠EBA＝∴sin∠EBA的值为
（3）∵点N在对称轴上，
或；
∴xN＝＝﹣1，
①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：
（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，
∵E（﹣2，6），xN＝﹣1，﹣1﹣（﹣2）＝1，B（1，0），
∴xM＝1+1＝2，
当x＝2时，y＝﹣2×22﹣4×2+6＝﹣10，
∴M（2，﹣10）；
（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，
∵xN＝﹣1，B（1，0），1﹣（﹣1）＝2，E（﹣2，6），
∴xM＝﹣2﹣2＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣2×（﹣4）2﹣4×（﹣4）+6＝﹣10，
∴M（﹣4，﹣10）；
②当EB为平行四边形的对角线时，
∵B（1，0），E（﹣2，6），xN＝﹣1，
∴1+（﹣2）＝﹣1+xM，
∴xM＝0，
当x＝0时，y＝6，
∴M（0，6）；
综上所述，M的坐标为（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．