2024年1月7日发(作者：宝星儿)
2022-2023学年陕西省西安市高新逸翠园中学、三中、五中八年级（下）期末数学试卷一.选择题（共10小题）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）如果a＞b，下列各式中正确的是（A．ac＞bcB．a﹣3＞b﹣3））C．﹣2a＞﹣2bD．3．（3分）平行四边形的对角线（A．长度相等B．互相平分C．互相垂直）D．以上都对4．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．x﹣1＝x（1﹣））5．（3分）在如图右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（A．AB．BC．CD．D6．（3分）如图，直线y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（）A．x≤3B．x≥3C．x≤﹣1D．x≥﹣17．（3分）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4第1页（共6页）
米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）A．＝B．＝C．＝）D．＝8．（3分）若关于x的方程＝A．0B．4或6无解，则m的值为（C．6D．0或49．（3分）如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（）A．（2023，C．（2024，+1）+1）B．（2023，﹣D．（2024，﹣﹣1）﹣1）10．（3分）如图，等边△ABC边长为a，点O是△ABC的内心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①△ODE形状不变；②△ODE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一；③四边形ODBE的面积始终不变；④△BDE周长的最小值为1.5a．上述结论中正确的个数是（A．4C．2B．3D．1）第2页（共6页）
二、填空题（共6小题）11．（3分）分式的值为0．则x的值为．12．（3分）已知一个正多边形的一个内角是其相邻外角的5倍，则该该边形的边数是．13．（3分）如图，在△ABC中，E是AC边的中点，过点A作∠ABC平分线BD的垂线，垂足为D，连接DE，若DE＝2，BC＝8，则AB＝．14．（3分）若关于x的不等式有且只有四个整数解，且一次函数y＝（k+4）x+k+6．的图象不经过第三象限，则符合题意的整数k的值为15．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．16．（3分）如图．等边△ABC中，BC＝8，M为BC的中点，P为△ABC内一动点，PM＝2，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，连接MQ，则线段MQ最小值为．三，解答题（共9小题）17．（1）分解因式；（x2+1）2﹣4x2．（2）解不等式组：．第3页（共6页）
18．（1）解方程，（2），从0、1、2、3几个数中选取一个作为x的值代入．19．如图，已知平行四边形ABCD，将这个四边形折叠，使得点A和点C重合，请你用尺规作出折痕所在的直线．（保留作图痕迹，不写作法）20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（﹣2，4），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．（1）在图中画出将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；（2）以点O为对称中心，在图中画出与△ABC成中心对称的△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，并写出点A2的坐标．21．某单位计划从商店购买同一种品牌的钢笔和笔记本，已知购买一支钢笔比购买一个笔记本多用20元，若用1500元购买钢笔和用600元购买笔记本，则购买钢笔的数量是购买笔记本数量的一半．（1）求购买一支钢笔、一个笔记本各需要多少元？第4页（共6页）
（2）经商谈，商店给予优惠，优惠方式是每购买一支钢笔赠送一个笔记本；如果此单位需要笔记本的数量是钢笔数量的3倍还少6个，且购买钢笔和笔记本的总费用不超过1020元，那么最多可购买多少支钢笔？22．如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，连接DF，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，求AB的长．23．阅读理解：已知x≠y，p＝x2﹣y2，q＝2xy﹣2y2．试比较p与q的大小．想法：求p﹣q．当p﹣q＞0，则p＞q；当p﹣q＜0，则p＜q；当p﹣q＝0，则p＝q．解：∵p﹣q＝（x2﹣y2）﹣（2xy﹣2y2）＝x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＞0，∴p＞q．用你学到的方法解决下列问题：（1）已知﹣1＜x＜1且x≠0，m＝，n＝．试比较m与n的大小．（2）甲、乙两地相距s（km），小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是a（km/h）、b（km/h），a≠b；小宇去时和返回时的速度都是问二者一个来回中，谁用时更短？（km/h）．请24．如图1，点C、D是线段AB同侧两点，且AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，连接BC，AD交于点E．（1）求证：AE＝BE；（2）如图2，△ABF与△ABD关于直线AB对称，连接EF．①判断四边形ACBF的形状，并说明理由；②若∠DAB＝30°，AE＝5，DE＝3，求线段EF的长．第5页（共6页）
25．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：当点A位于b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，第6页（共6页）
2022-2023学年陕西省西安市高新逸翠园中学、三中、五中八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1．【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、a＞b不等式两边都乘以c，c的正负情况不确定，所以ac＞bc不一定成立，故本选项错误；B、a＞b不等式的两边都减去3可得a﹣3＞b﹣3，故本选项正确；C、a＞b不等式的两边都乘以﹣2可得﹣2a＜﹣2b，故本选项错误；D、a＞b不等式两边都除以2可得＞，故本选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．【分析】根据平行四边形的对角线互相平分作出选择．【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．4．【分析】判断因式分解有两点：①分解的对象是多项式；②分解的结果是n个整式的积第1页（共15页）
的形式，对于A，等式的右边不是乘积的形式，据此即可判断正误．【解答】解：选项A、B中等式右边不是乘积的形式，故A、B不是因式分解；选项D中等式右边不是整式，故D不是因式分解；有选项C中的等式的右边是最简整式的积的形式．故选：C．【点评】本题考查因式分解概念，正确记忆因式分解的概念是解题关键．5．【分析】根据平移和旋转的性质解答即可．【解答】解：A、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到；B、可由△ABC翻折得到；C、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到；D、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到．故选：B．【点评】本题考查了旋转变换，注意掌握旋转变换的定义并熟练应用是关键．6．【分析】根据函数图象，写出直线y＝﹣x+2的图象在直线y＝ax+b的上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为x≤3．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．7．【分析】根据题意可知，装裱后的长为2.4+2x，宽为1.4+2x，再根据整幅图画宽与长的比是8：13，即可得到相应的方程．【解答】解：由题意可得，，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．8．【分析】解分式方程可得（4﹣m）x＝﹣2，根据题意可知，4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，求出m的值即可．第2页（共15页）
【解答】解：＝2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程无解，，∴4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，即4﹣m＝0或x＝﹣＝﹣∴m＝4或m＝0，故选：D．【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键．9．【分析】先由等边三角形的性质推出点C的坐标，再将前几次变换的坐标求出来，观察规律为横坐标变换后加一，纵坐标变换后符号改变，即可求解．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，A（1，1），B（3，1），∴C（2，+1），，∵沿x轴翻折，再向右平移1个单位为一次变换，∴第一次变换后：C（3，﹣第二次变换后：C（4，第三次变换后：C（5，﹣……，由此变换规律为：横坐标：每次变换后加一，纵坐标：奇数次变换为﹣∴2022次变换后，纵坐标为∴C（2024，故选：C．【点评】本题考查折叠变换、点的坐标﹣规律型，坐标与图形变化，解题的关键是推出每次变换后横纵坐标的变换规律．10．【分析】①连接OB、OC，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，第3页（共15页）﹣1），+1），﹣1），﹣1，偶数次变换后为+1，+1，横坐标为2+2022＝2024，+1），
再证明∠BOD＝∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行判断；③利用S△BOD＝S△COE得到四边形ODBE的面积＝S△ABC＝a2，则可对③进行判断；a，计算②作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝出S△ODE＝a2，四边形ODBE的面积为：a2，可对②进行判断；④由于△BDE的周长＝BC+DE＝a+DE＝a+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．【解答】解：连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O是等边△ABC的内心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，∠BOD＝∠COE，BO＝CO，∠OBD＝∠OCE，∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝×作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝∴DE＝OE，第4页（共15页）a2＝a2，所以③正确；OH＝OE，
∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2，即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∵BD＝CE，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝a+DE＝a+当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝∴△BDE周长的最小值＝a+a＝1.5a，所以④正确；∴△ODE的面积最小为：（a）2＝a2，a2，a，OE，而四边形ODBE的面积为：∴△ODE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一，所以②正确综上所述：上述结论中正确的是①②③④．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．二、填空题（共6小题）11．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由题意可得|x|﹣5＝0且x+5≠0，解得x＝5．故答案是：5．【点评】考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．12．【分析】设这个正多边形的外角是x°，得到x+5x＝180，求出x＝30，得到这个正多边形的每个外角是30°，即可求出该正多边形的边数是360°÷30°＝12．【解答】解：设这个正多边形的一个外角是x°，第5页（共15页）
由题意得：x+5x＝180，∴x＝30，∴这个正多边形的每个外角是30°，∴该正多边形的边数是360°÷30°＝12．故答案为：12．【点评】本题考查正多边形的内角和外角，多边形的外角和定理，关键是掌握正多边形的性质：正多边形的各角相等；多边形的外角和是360°．13．【分析】延长AD交BC于点F，证明△ABD≌△FBD（ASA），得出AD＝DF，AB＝BF，再根据中位线的判定与性质定理得出CF＝2DE＝4，即可求解．【解答】解：如图，延长AD交BC于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠FBD，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠FDB＝90°，在△ABD与△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（ASA），∴AD＝DF，AB＝BF，∴点D是AF的中点，∵E是AC的中点，∴DE是△AFC的中位线，∴CF＝2DE＝4，∴AB＝BF＝BC﹣CF＝8﹣4＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线点的定义，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．【分析】根据关于x不等式组有且只有四个整数解得出k的取值范围，再由一次函数y＝（k+4）x+k+6的图象不经过第三象限得出k取值范围，再找出其公共解集，第6页（共15页）
取符合条件的整数即可．【解答】解：解不等式组∵关于x的不等式得：＜x≤2，有且只有四个整数解，∴其整数解为：2，1，0，﹣1，∴﹣2≤＜﹣1，即﹣6≤k＜﹣3①，∵一次函数y＝（k+4）x+k+6的图象不经过第三象限，∴，解得﹣6≤k＜﹣4②，由①②可得﹣6≤k＜﹣4，∴符合题意的整数k的值为﹣6，﹣5，故答案为：﹣6，﹣5．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．【分析】由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和B之间，（2）当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD＝QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．【解答】解：由已知梯形，当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：2t﹣＝3﹣t，解得：t＝，当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：﹣2t＝3﹣t，解得：t＝1，故当运动时间t为1或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．故答案为：1或．【点评】此题主要考查了梯形及平行四边形的性质，关键是由已知明确有两种情况，不能漏解．16．【分析】由旋转的性质可得AP＝PQ，∠APQ＝60°，由“SAS”可证△APH≌△QPM，第7页（共15页）
可得QM＝AH，即可求解．【解答】解：如图，连接AM，以PM为边作等边三角形PMH，连接AH，∵△ABC是等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝CM＝4，∴AM＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，∴AP＝PQ，∠APQ＝60°，∵△PMH是等边三角形，∴PH＝PM＝2＝MH，∠MPH＝∠APQ＝60°，∴∠APH＝∠QPM，在△APH和△QPM中，，∴△APH≌△QPM（SAS），∴QM＝AH，∵当点H在线段AM上时，AH有最小值为AM﹣MH＝4∴MQ的最小值为4故答案为：4﹣2．﹣2，﹣2，【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．三，解答题（共9小题）17．【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式进行分解；（2）按照解一元一次不等式组的方法求解集．【解答】解：（x2+1）2﹣4x2＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．（2），解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x＜3，第8页（共15页）
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜3．【点评】本题主要考查了因式分解的知识、一元一次不等式组的知识，难度不大，认真计算即可．18．【分析】（1）直接利用分式方程的解法，去分母解方程，注意要检验；（2）首先将分式的分子与分母通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）方程两边同乘以（x2﹣4）得：x（x+2）﹣（x2﹣4）＝8，则x2+2x﹣x2+4＝8，解得：x＝2，检验：当x＝2时，x2﹣4＝0，故此方程无解；（2）原式＝＝＝+1，+•当x＝0，1，2时，分式无意义，∴当x＝3时，原式＝＝3．【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及分式方程的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．19．【分析】根据轴对称的性质作出线段AC的垂直平分线即可得．【解答】解：如图所示，直线EF即为所求．第9页（共15页）
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质和线段中垂线的尺规作图．20．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标（2，﹣4）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．21．【分析】（1）设购买一个笔记本需要x元，则购买一支钢笔需要（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用1500元购买钢笔的数量是用600元购买笔记本数量的一半，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m支钢笔，则购买（3m﹣6）个笔记本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1020元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设购买一个笔记本需要x元，则购买一支钢笔需要（x+20）元，依题意，得：2×解得：x＝5，经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意，∴x+20＝25．答：购买一支钢笔需要25元，购买一个笔记本需要5元．（2）设购买m支钢笔，则购买（3m﹣6）个笔记本，第10页（共15页）＝，
依题意，得：25m+5（3m﹣6﹣m）≤1020，解得：m≤30．答：最多可购买30支钢笔．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22．【分析】（1）根据平行线的性质得∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED，由中点定义得AF＝CF，然后由全等三角形的判定与性质可得DF＝EF，最后根据平行四边形的判定可得结论；（2）过点C作CG⊥AB于点G，则∠AGC＝∠BGC＝90°，由勾股定理可得CG＝AG＝1，BG＝，再由线段的和关差关系可得答案．【解答】（1）证明：∵CE∥AB，∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED，∵F是AC的中点，∴AF＝CF，在△AFD和△CEF中，∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠ACE，AF＝CF，∴△AFD≌△CFE（AAS），∴DF＝EF，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，则∠AGC＝∠BGC＝90°，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝45°，AC＝∴由勾股定理得CG＝AG＝1，在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∠B＝30°，CG＝1，∴BC＝2，∴BG＝∴AB＝AG+BG＝＝+1．第11页（共15页）．，
【点评】此题考查的是平行四边形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．23．【分析】（1）用差值法比较，计算m﹣n的差，由差的正负，确定m、n的大小；（2）根据题意计算出甲乙二人的时间，再根据差值法比较时间的大小便可．【解答】解：（1）∵∵﹣1＜x＜1且x≠0，∴1+x＞0，1﹣x＞0，﹣2x2＜0，∴∴m﹣n＜0．∴m＜n；（2）甲的用时为∵∴t1＞t2，答；乙用时更短．【点评】本题主要考查了用差值法比较两个数的大小，读懂阅读材料是解题的关键．24．【分析】（1）利用SAS证△ABC≌△BAD可得．（2）①根据题意知：AC＝BD＝BF，并由内错角相等可得AC∥BF，所以由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得结论；②如图2，作辅助线，证明△ADF是等边三角形，得AD＝AF＝3+5＝8，根据等腰三角形三线合一得AM＝DM＝4，最后利用勾股定理可得FM和EF的长．【解答】（1）证明：在△ABC和△BAD中，∵，，乙的用时为，，，＝，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴∠CBA＝∠DAB，∴AE＝BE；（2）解：①四边形ACBF为平行四边形；理由是：由对称得：△DAB≌△FAB，第12页（共15页）
∴∠ABD＝∠ABF＝∠CAB，BD＝BF，∴AC∥BF，∵AC＝BD＝BF，∴四边形ACBF为平行四边形；②如图2，过F作FM⊥AD于M，连接DF，∵△DAB≌△FAB，∴∠FAB＝∠DAB＝30°，AD＝AF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF＝3+5＝8，∵FM⊥AD，∴AM＝DM＝4，∵DE＝3，∴ME＝1，Rt△AFM中，由勾股定理得：FM＝∴EF＝＝7．＝＝4，【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定的性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，本题中最后一问，有难度，恰当地作辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，故答案为：CB的延长线上，a+b；第13页（共15页）+3；如图2，过P作
（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB，∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝4；（3）∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，＝2﹣，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣∴P（2﹣，）．第14页（共15页）
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键。第15页（共15页）
2024年1月7日发(作者：宝星儿)
2022-2023学年陕西省西安市高新逸翠园中学、三中、五中八年级（下）期末数学试卷一.选择题（共10小题）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）如果a＞b，下列各式中正确的是（A．ac＞bcB．a﹣3＞b﹣3））C．﹣2a＞﹣2bD．3．（3分）平行四边形的对角线（A．长度相等B．互相平分C．互相垂直）D．以上都对4．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．x﹣1＝x（1﹣））5．（3分）在如图右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（A．AB．BC．CD．D6．（3分）如图，直线y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（）A．x≤3B．x≥3C．x≤﹣1D．x≥﹣17．（3分）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4第1页（共6页）
米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）A．＝B．＝C．＝）D．＝8．（3分）若关于x的方程＝A．0B．4或6无解，则m的值为（C．6D．0或49．（3分）如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（）A．（2023，C．（2024，+1）+1）B．（2023，﹣D．（2024，﹣﹣1）﹣1）10．（3分）如图，等边△ABC边长为a，点O是△ABC的内心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①△ODE形状不变；②△ODE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一；③四边形ODBE的面积始终不变；④△BDE周长的最小值为1.5a．上述结论中正确的个数是（A．4C．2B．3D．1）第2页（共6页）
二、填空题（共6小题）11．（3分）分式的值为0．则x的值为．12．（3分）已知一个正多边形的一个内角是其相邻外角的5倍，则该该边形的边数是．13．（3分）如图，在△ABC中，E是AC边的中点，过点A作∠ABC平分线BD的垂线，垂足为D，连接DE，若DE＝2，BC＝8，则AB＝．14．（3分）若关于x的不等式有且只有四个整数解，且一次函数y＝（k+4）x+k+6．的图象不经过第三象限，则符合题意的整数k的值为15．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．16．（3分）如图．等边△ABC中，BC＝8，M为BC的中点，P为△ABC内一动点，PM＝2，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，连接MQ，则线段MQ最小值为．三，解答题（共9小题）17．（1）分解因式；（x2+1）2﹣4x2．（2）解不等式组：．第3页（共6页）
18．（1）解方程，（2），从0、1、2、3几个数中选取一个作为x的值代入．19．如图，已知平行四边形ABCD，将这个四边形折叠，使得点A和点C重合，请你用尺规作出折痕所在的直线．（保留作图痕迹，不写作法）20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（﹣2，4），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．（1）在图中画出将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；（2）以点O为对称中心，在图中画出与△ABC成中心对称的△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，并写出点A2的坐标．21．某单位计划从商店购买同一种品牌的钢笔和笔记本，已知购买一支钢笔比购买一个笔记本多用20元，若用1500元购买钢笔和用600元购买笔记本，则购买钢笔的数量是购买笔记本数量的一半．（1）求购买一支钢笔、一个笔记本各需要多少元？第4页（共6页）
（2）经商谈，商店给予优惠，优惠方式是每购买一支钢笔赠送一个笔记本；如果此单位需要笔记本的数量是钢笔数量的3倍还少6个，且购买钢笔和笔记本的总费用不超过1020元，那么最多可购买多少支钢笔？22．如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，连接DF，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，求AB的长．23．阅读理解：已知x≠y，p＝x2﹣y2，q＝2xy﹣2y2．试比较p与q的大小．想法：求p﹣q．当p﹣q＞0，则p＞q；当p﹣q＜0，则p＜q；当p﹣q＝0，则p＝q．解：∵p﹣q＝（x2﹣y2）﹣（2xy﹣2y2）＝x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＞0，∴p＞q．用你学到的方法解决下列问题：（1）已知﹣1＜x＜1且x≠0，m＝，n＝．试比较m与n的大小．（2）甲、乙两地相距s（km），小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是a（km/h）、b（km/h），a≠b；小宇去时和返回时的速度都是问二者一个来回中，谁用时更短？（km/h）．请24．如图1，点C、D是线段AB同侧两点，且AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，连接BC，AD交于点E．（1）求证：AE＝BE；（2）如图2，△ABF与△ABD关于直线AB对称，连接EF．①判断四边形ACBF的形状，并说明理由；②若∠DAB＝30°，AE＝5，DE＝3，求线段EF的长．第5页（共6页）
25．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：当点A位于b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，第6页（共6页）
2022-2023学年陕西省西安市高新逸翠园中学、三中、五中八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1．【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、a＞b不等式两边都乘以c，c的正负情况不确定，所以ac＞bc不一定成立，故本选项错误；B、a＞b不等式的两边都减去3可得a﹣3＞b﹣3，故本选项正确；C、a＞b不等式的两边都乘以﹣2可得﹣2a＜﹣2b，故本选项错误；D、a＞b不等式两边都除以2可得＞，故本选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．【分析】根据平行四边形的对角线互相平分作出选择．【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．4．【分析】判断因式分解有两点：①分解的对象是多项式；②分解的结果是n个整式的积第1页（共15页）
的形式，对于A，等式的右边不是乘积的形式，据此即可判断正误．【解答】解：选项A、B中等式右边不是乘积的形式，故A、B不是因式分解；选项D中等式右边不是整式，故D不是因式分解；有选项C中的等式的右边是最简整式的积的形式．故选：C．【点评】本题考查因式分解概念，正确记忆因式分解的概念是解题关键．5．【分析】根据平移和旋转的性质解答即可．【解答】解：A、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到；B、可由△ABC翻折得到；C、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到；D、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到．故选：B．【点评】本题考查了旋转变换，注意掌握旋转变换的定义并熟练应用是关键．6．【分析】根据函数图象，写出直线y＝﹣x+2的图象在直线y＝ax+b的上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为x≤3．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．7．【分析】根据题意可知，装裱后的长为2.4+2x，宽为1.4+2x，再根据整幅图画宽与长的比是8：13，即可得到相应的方程．【解答】解：由题意可得，，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．8．【分析】解分式方程可得（4﹣m）x＝﹣2，根据题意可知，4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，求出m的值即可．第2页（共15页）
【解答】解：＝2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程无解，，∴4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，即4﹣m＝0或x＝﹣＝﹣∴m＝4或m＝0，故选：D．【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键．9．【分析】先由等边三角形的性质推出点C的坐标，再将前几次变换的坐标求出来，观察规律为横坐标变换后加一，纵坐标变换后符号改变，即可求解．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，A（1，1），B（3，1），∴C（2，+1），，∵沿x轴翻折，再向右平移1个单位为一次变换，∴第一次变换后：C（3，﹣第二次变换后：C（4，第三次变换后：C（5，﹣……，由此变换规律为：横坐标：每次变换后加一，纵坐标：奇数次变换为﹣∴2022次变换后，纵坐标为∴C（2024，故选：C．【点评】本题考查折叠变换、点的坐标﹣规律型，坐标与图形变化，解题的关键是推出每次变换后横纵坐标的变换规律．10．【分析】①连接OB、OC，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，第3页（共15页）﹣1），+1），﹣1），﹣1，偶数次变换后为+1，+1，横坐标为2+2022＝2024，+1），
再证明∠BOD＝∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行判断；③利用S△BOD＝S△COE得到四边形ODBE的面积＝S△ABC＝a2，则可对③进行判断；a，计算②作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝出S△ODE＝a2，四边形ODBE的面积为：a2，可对②进行判断；④由于△BDE的周长＝BC+DE＝a+DE＝a+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．【解答】解：连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O是等边△ABC的内心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，∠BOD＝∠COE，BO＝CO，∠OBD＝∠OCE，∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝×作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝∴DE＝OE，第4页（共15页）a2＝a2，所以③正确；OH＝OE，
∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2，即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∵BD＝CE，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝a+DE＝a+当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝∴△BDE周长的最小值＝a+a＝1.5a，所以④正确；∴△ODE的面积最小为：（a）2＝a2，a2，a，OE，而四边形ODBE的面积为：∴△ODE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一，所以②正确综上所述：上述结论中正确的是①②③④．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．二、填空题（共6小题）11．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由题意可得|x|﹣5＝0且x+5≠0，解得x＝5．故答案是：5．【点评】考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．12．【分析】设这个正多边形的外角是x°，得到x+5x＝180，求出x＝30，得到这个正多边形的每个外角是30°，即可求出该正多边形的边数是360°÷30°＝12．【解答】解：设这个正多边形的一个外角是x°，第5页（共15页）
由题意得：x+5x＝180，∴x＝30，∴这个正多边形的每个外角是30°，∴该正多边形的边数是360°÷30°＝12．故答案为：12．【点评】本题考查正多边形的内角和外角，多边形的外角和定理，关键是掌握正多边形的性质：正多边形的各角相等；多边形的外角和是360°．13．【分析】延长AD交BC于点F，证明△ABD≌△FBD（ASA），得出AD＝DF，AB＝BF，再根据中位线的判定与性质定理得出CF＝2DE＝4，即可求解．【解答】解：如图，延长AD交BC于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠FBD，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠FDB＝90°，在△ABD与△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（ASA），∴AD＝DF，AB＝BF，∴点D是AF的中点，∵E是AC的中点，∴DE是△AFC的中位线，∴CF＝2DE＝4，∴AB＝BF＝BC﹣CF＝8﹣4＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线点的定义，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．【分析】根据关于x不等式组有且只有四个整数解得出k的取值范围，再由一次函数y＝（k+4）x+k+6的图象不经过第三象限得出k取值范围，再找出其公共解集，第6页（共15页）
取符合条件的整数即可．【解答】解：解不等式组∵关于x的不等式得：＜x≤2，有且只有四个整数解，∴其整数解为：2，1，0，﹣1，∴﹣2≤＜﹣1，即﹣6≤k＜﹣3①，∵一次函数y＝（k+4）x+k+6的图象不经过第三象限，∴，解得﹣6≤k＜﹣4②，由①②可得﹣6≤k＜﹣4，∴符合题意的整数k的值为﹣6，﹣5，故答案为：﹣6，﹣5．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．【分析】由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和B之间，（2）当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD＝QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．【解答】解：由已知梯形，当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：2t﹣＝3﹣t，解得：t＝，当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：﹣2t＝3﹣t，解得：t＝1，故当运动时间t为1或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．故答案为：1或．【点评】此题主要考查了梯形及平行四边形的性质，关键是由已知明确有两种情况，不能漏解．16．【分析】由旋转的性质可得AP＝PQ，∠APQ＝60°，由“SAS”可证△APH≌△QPM，第7页（共15页）
可得QM＝AH，即可求解．【解答】解：如图，连接AM，以PM为边作等边三角形PMH，连接AH，∵△ABC是等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝CM＝4，∴AM＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，∴AP＝PQ，∠APQ＝60°，∵△PMH是等边三角形，∴PH＝PM＝2＝MH，∠MPH＝∠APQ＝60°，∴∠APH＝∠QPM，在△APH和△QPM中，，∴△APH≌△QPM（SAS），∴QM＝AH，∵当点H在线段AM上时，AH有最小值为AM﹣MH＝4∴MQ的最小值为4故答案为：4﹣2．﹣2，﹣2，【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．三，解答题（共9小题）17．【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式进行分解；（2）按照解一元一次不等式组的方法求解集．【解答】解：（x2+1）2﹣4x2＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．（2），解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x＜3，第8页（共15页）
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜3．【点评】本题主要考查了因式分解的知识、一元一次不等式组的知识，难度不大，认真计算即可．18．【分析】（1）直接利用分式方程的解法，去分母解方程，注意要检验；（2）首先将分式的分子与分母通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）方程两边同乘以（x2﹣4）得：x（x+2）﹣（x2﹣4）＝8，则x2+2x﹣x2+4＝8，解得：x＝2，检验：当x＝2时，x2﹣4＝0，故此方程无解；（2）原式＝＝＝+1，+•当x＝0，1，2时，分式无意义，∴当x＝3时，原式＝＝3．【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及分式方程的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．19．【分析】根据轴对称的性质作出线段AC的垂直平分线即可得．【解答】解：如图所示，直线EF即为所求．第9页（共15页）
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质和线段中垂线的尺规作图．20．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标（2，﹣4）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．21．【分析】（1）设购买一个笔记本需要x元，则购买一支钢笔需要（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用1500元购买钢笔的数量是用600元购买笔记本数量的一半，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m支钢笔，则购买（3m﹣6）个笔记本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1020元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设购买一个笔记本需要x元，则购买一支钢笔需要（x+20）元，依题意，得：2×解得：x＝5，经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意，∴x+20＝25．答：购买一支钢笔需要25元，购买一个笔记本需要5元．（2）设购买m支钢笔，则购买（3m﹣6）个笔记本，第10页（共15页）＝，
依题意，得：25m+5（3m﹣6﹣m）≤1020，解得：m≤30．答：最多可购买30支钢笔．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22．【分析】（1）根据平行线的性质得∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED，由中点定义得AF＝CF，然后由全等三角形的判定与性质可得DF＝EF，最后根据平行四边形的判定可得结论；（2）过点C作CG⊥AB于点G，则∠AGC＝∠BGC＝90°，由勾股定理可得CG＝AG＝1，BG＝，再由线段的和关差关系可得答案．【解答】（1）证明：∵CE∥AB，∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED，∵F是AC的中点，∴AF＝CF，在△AFD和△CEF中，∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠ACE，AF＝CF，∴△AFD≌△CFE（AAS），∴DF＝EF，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，则∠AGC＝∠BGC＝90°，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝45°，AC＝∴由勾股定理得CG＝AG＝1，在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∠B＝30°，CG＝1，∴BC＝2，∴BG＝∴AB＝AG+BG＝＝+1．第11页（共15页）．，
【点评】此题考查的是平行四边形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．23．【分析】（1）用差值法比较，计算m﹣n的差，由差的正负，确定m、n的大小；（2）根据题意计算出甲乙二人的时间，再根据差值法比较时间的大小便可．【解答】解：（1）∵∵﹣1＜x＜1且x≠0，∴1+x＞0，1﹣x＞0，﹣2x2＜0，∴∴m﹣n＜0．∴m＜n；（2）甲的用时为∵∴t1＞t2，答；乙用时更短．【点评】本题主要考查了用差值法比较两个数的大小，读懂阅读材料是解题的关键．24．【分析】（1）利用SAS证△ABC≌△BAD可得．（2）①根据题意知：AC＝BD＝BF，并由内错角相等可得AC∥BF，所以由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得结论；②如图2，作辅助线，证明△ADF是等边三角形，得AD＝AF＝3+5＝8，根据等腰三角形三线合一得AM＝DM＝4，最后利用勾股定理可得FM和EF的长．【解答】（1）证明：在△ABC和△BAD中，∵，，乙的用时为，，，＝，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴∠CBA＝∠DAB，∴AE＝BE；（2）解：①四边形ACBF为平行四边形；理由是：由对称得：△DAB≌△FAB，第12页（共15页）
∴∠ABD＝∠ABF＝∠CAB，BD＝BF，∴AC∥BF，∵AC＝BD＝BF，∴四边形ACBF为平行四边形；②如图2，过F作FM⊥AD于M，连接DF，∵△DAB≌△FAB，∴∠FAB＝∠DAB＝30°，AD＝AF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF＝3+5＝8，∵FM⊥AD，∴AM＝DM＝4，∵DE＝3，∴ME＝1，Rt△AFM中，由勾股定理得：FM＝∴EF＝＝7．＝＝4，【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定的性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，本题中最后一问，有难度，恰当地作辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，故答案为：CB的延长线上，a+b；第13页（共15页）+3；如图2，过P作
（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB，∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝4；（3）∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，＝2﹣，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣∴P（2﹣，）．第14页（共15页）
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键。第15页（共15页）