2024年2月29日发(作者：雷妙双)
旋转一道题
一.解答题（共4小题）
1.
如图，点0是等边ZXABC内一点，ZAOB=110°, ZBOC=a.将ABOC绕点C
按顺时针方向旋转60。得AADC,则厶ADC^ABOC,连接0D.
（1）
（2）
求证：ACOD是等边三角形；
当a=120°时，试判断AD与0C的位置关系，并说明理山；
（3）
探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
2.
如图，点
0
是等边ZXABC
内一点，ZAOB=110°, ZBOC=a.将ZXBOC
绕点
C
按顺时针方向旋转60°WAADC,连接0D.
（1）
求证：ACOD是等边三角形；
（2）
当2150。时，试判断AAOD的形状，并说明理由；
（3）
探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
3.
如图，点0是等边AABC内一点，ZAOB=110°, ZBOC=a.将△BOC绕点C
按顺时针方向旋转60。得AADC,连接0D.
（1）
试说明：ACOD是等边三角形；
（2）
当a=150°时，试判断AAOD的形状，并说明理由；
（3）
探究：当a为多少度时，AAOD是以OD为底边的等腰三角形？
（4）
探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
4.
如图，点
0
是等边ZABC
内一点，ZAOB=110 ZBOC=a,
按顺时针方向旋转60°WAADC,连接OD・
(1)
ACOD是什么三角形？说明理由；
(2) 若
A0=卍+2, AD=n2 - 1, OD=2n (n
为大于
1
的整数),
(3) 当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
将△BOC绕点a的度数;
j
旋转一道题
参考答案与试题解析
一.解答题（共4小题）
1
•如图，点
0
是等边AABC
内一点，ZAOB=110°, ZBOC=a.
按顺时将ZiBOC绕点C
针方向旋转60。得AADC,则厶ADC今△BOC,连接OD.
（1）
求证：ACOD是等边三角形；
（2）
当a=120°时，试判断AD与0C的位置关系，并说明理山;
（3）
探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
•••CO
二
CD,
•・•将ABOC绕点C按顺时针方向旋转60°WAADC,
/•ZDCO=60
•••△COD是等边三角形.
(2)解：AD//OC,
理由是：•「△DOC是等边三角形,
/•ZCDO=ZDOC=60°,
VZa=120°, ACOB^ACDA,
/•ZADC=ZCOB=120°,
/•ZADO=120° - 60°=60°,
/•ZADO=ZDOC=60°,
•••AD〃OC・
(3)
解：ZAOD=360° - ZAOB
・ Za
・ ZCOD=360° - 110° - Za
・ 60°=190° - Za,
ZADO=ZADC - ZCDO=Za
・ 60°,
ZOAD=180° - ZAOD - ZADO=180° - (Za - 60°) - (190° - Za) =50°,
若ZADO二ZAOD,艮卩Za
- 60°=190° - Za,
解得：Za=125°；
若
ZADO= ZOAD,则
Za - 60°=50°,
解得：Za=110°；
若ZOAD二ZAOD,即
50°=190° - Za,
解得：Za=140°；
即当a为125°或110°或140°时,AAOD是等腰三角形・
2•如图，点O是等边ZiABC内一点，ZAOB=110 ZBOC=a.将/XBOC绕点C
按顺时针方向旋转60。得AADC,连接0D.
（1）
求证：ACOD是等边三角形；
（2）
（3）
当a=150°时，试判断AAOD的形状，并说明理由；
探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
【解答】（1）证明：•••将ABOC绕点C按顺时针方向旋转60。得AADC,
•••CO二CD, ZOCD=60°,
•••△COD是等边三角形.
（2）解：当a=150°时，AAOD是直角三角形.
理山是：•・•将ABOC绕点C按顺时针方向旋转60°WAADC,
/.
ABOC^AADC,
AZADC=ZBOC=150°,
乂
VACOD是等边三角形，
=60°,
/• ZADO=ZADC - ZODC=90
VZa=150°ZAOB=110°, ZCOD=60°,
/• ZAOD=360° - Za - ZAOB - ZCOD=360° - 150° - 110° - 60°二40°,
•••△AOD不是等腰直角三角形，即AAOD是直角三角形.
（3）解：①要使
AO二AD,需ZAOD二ZADO,
•/ ZAOD=360° - 110° - 60° - a=190°
・ a, ZADO=a - 60°,
/. 190° - a=a
・ 60°,
/.a=125°；
② 要使OA=OD,需ZOAD二ZADO・
•/ ZOAD=180° - （ ZAOD+ZADO） =180° - （190°
・ a+a - 60°） =50°,
A a - 60°=50°,
/.a=110°；
③ 要使
OD二AD,需ZOAD二ZAOD.
T ZAOD=360° - 110°
・ 60° - a=190°
・ a,
ZOAD」妙 一〔_©）血0。・乂，
2 2
/. 190°
・ a=120° ,
2
解得
a=140°.
综上所述：当a的度数为125。或:110。或140。时，AAOD是等腰三角形.
3.如图，点
O
是等边ZXABC
内一点，ZAOB=110°, ZBOC=a.将ZXBOC
绕点
C
按顺时针方向旋转60°WAADC,连接OD.
（1）
试说明：ACOD是等边三角形；
（2）
当a=150°时，试判断AAOD的形状，并说明理由；
（3）
探究：当a为多少度时，AAOD是以OD为底边的等腰三角形？
（4）
探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
【解答】解:(1)
•••将ABOC绕点C按顺时针方向旋转60°WAADC,
^ABOC, ZOCD=6O
AOC=OD,
•••△COD是等边三角形；
(2) AAOD为直角三角形；
VACOD是等边三角形；
/•ZODC=60°,
T ZADC=ZBOC=a=150°,
/• ZADO=ZADC - ZCDO=150° - 60°=90°,
•••△AOD是直角三角形；
(3) a=125°.
理由：•「△AOD是以OD为底边的等腰三角形，
/• ZAOD=ZADO=ZADC - 60°=a - 60°；
V110°+a+ (60°+ZAOD) =360°,
/•110°+a+ (60°+a
・ 60°) =360°,
解得
a=125°；
(4)
①要使
AO二AD,需ZAOD二ZADO,
•/ ZAOD=360°
・ ZAOB - ZCOD - a=360° - 110° - 60° - a=190° - a, ZADO=a -
60°,
•••190°
・ a=a - 60°
/•a=125°；
②要使
OA=OD,需ZOAD二ZADO；
•/ ZAOD=190° - a, ZADO=a
・ 60°,
AZOAD=180° - (ZAOD+ZADO) =50°,
A a - 60°=50°,
/.a=110°；
③要使
OD二AD,需ZOAD二ZAOD,
T190° - a=50°
Aa=140°
・
综上所述：当a的度数为125°,或110°,或140。时，AAOD是等腰三角形.
4•如图，点O是等边ZiABC内一点，ZAOB=110°, ZBOC=a,将△BOC绕点C
按顺时针方向旋转60°WAADC,连接0D.
（1） ACOD是什么三角形？说明理由；
（2）
若AO=n2+l, AD=n2- 1, OD=2n （n为大于1的整数），求ct的度数；
（3）
当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
j
【解答】解：（1） ACOD是等边三角形.
理由如下：•「△BOC绕点C按顺时针方向旋转60。得AADC,
•••CO二CD, ZOCD=60°,
•••△COD是等边三角形；
(2) VAD2+OD2= (n2 - 1)
2+ (2n)
2
=n4 - 2n2+l+4n2
=n4+2n2+l
=(n2+l)
2
=AO2,
是直角三角形，且ZADO=90°,
VACOD是等边三角形，
AZCDO=60°,
/• ZADC=ZADO+ZCDO=90°4-60°=150°,
根据旋转的性质，a=ZADC=150：
(3) Va=ZADC, ZCDO=60
AZADO=a - 60°,
乂
T ZAOD=360° - 110° - a
・ 60°=190° - a,
AZDAO=180°
・(190°
・ a) - (a - 60°) =180°
・ 190°+a
・ a十60°=50°,
v
AAOD是等腰三角形，
/-®ZAOD=ZADO W，190a=a - 60
解得
a=125°,
②
ZAOD二ZDAO
时，190a=50°,
解得
a=140°,
③
ZADO二
Z DAO
时，a - 60°=50°,
解得
a=110°,
综上所述，a为125。或140。或lio。时，AAOD是等腰三角形・
2024年2月29日发(作者：雷妙双)
旋转一道题
一.解答题（共4小题）
1.
如图，点0是等边ZXABC内一点，ZAOB=110°, ZBOC=a.将ABOC绕点C
按顺时针方向旋转60。得AADC,则厶ADC^ABOC,连接0D.
（1）
（2）
求证：ACOD是等边三角形；
当a=120°时，试判断AD与0C的位置关系，并说明理山；
（3）
探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
2.
如图，点
0
是等边ZXABC
内一点，ZAOB=110°, ZBOC=a.将ZXBOC
绕点
C
按顺时针方向旋转60°WAADC,连接0D.
（1）
求证：ACOD是等边三角形；
（2）
当2150。时，试判断AAOD的形状，并说明理由；
（3）
探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
3.
如图，点0是等边AABC内一点，ZAOB=110°, ZBOC=a.将△BOC绕点C
按顺时针方向旋转60。得AADC,连接0D.
（1）
试说明：ACOD是等边三角形；
（2）
当a=150°时，试判断AAOD的形状，并说明理由；
（3）
探究：当a为多少度时，AAOD是以OD为底边的等腰三角形？
（4）
探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
4.
如图，点
0
是等边ZABC
内一点，ZAOB=110 ZBOC=a,
按顺时针方向旋转60°WAADC,连接OD・
(1)
ACOD是什么三角形？说明理由；
(2) 若
A0=卍+2, AD=n2 - 1, OD=2n (n
为大于
1
的整数),
(3) 当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
将△BOC绕点a的度数;
j
旋转一道题
参考答案与试题解析
一.解答题（共4小题）
1
•如图，点
0
是等边AABC
内一点，ZAOB=110°, ZBOC=a.
按顺时将ZiBOC绕点C
针方向旋转60。得AADC,则厶ADC今△BOC,连接OD.
（1）
求证：ACOD是等边三角形；
（2）
当a=120°时，试判断AD与0C的位置关系，并说明理山;
（3）
探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
•••CO
二
CD,
•・•将ABOC绕点C按顺时针方向旋转60°WAADC,
/•ZDCO=60
•••△COD是等边三角形.
(2)解：AD//OC,
理由是：•「△DOC是等边三角形,
/•ZCDO=ZDOC=60°,
VZa=120°, ACOB^ACDA,
/•ZADC=ZCOB=120°,
/•ZADO=120° - 60°=60°,
/•ZADO=ZDOC=60°,
•••AD〃OC・
(3)
解：ZAOD=360° - ZAOB
・ Za
・ ZCOD=360° - 110° - Za
・ 60°=190° - Za,
ZADO=ZADC - ZCDO=Za
・ 60°,
ZOAD=180° - ZAOD - ZADO=180° - (Za - 60°) - (190° - Za) =50°,
若ZADO二ZAOD,艮卩Za
- 60°=190° - Za,
解得：Za=125°；
若
ZADO= ZOAD,则
Za - 60°=50°,
解得：Za=110°；
若ZOAD二ZAOD,即
50°=190° - Za,
解得：Za=140°；
即当a为125°或110°或140°时,AAOD是等腰三角形・
2•如图，点O是等边ZiABC内一点，ZAOB=110 ZBOC=a.将/XBOC绕点C
按顺时针方向旋转60。得AADC,连接0D.
（1）
求证：ACOD是等边三角形；
（2）
（3）
当a=150°时，试判断AAOD的形状，并说明理由；
探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
【解答】（1）证明：•••将ABOC绕点C按顺时针方向旋转60。得AADC,
•••CO二CD, ZOCD=60°,
•••△COD是等边三角形.
（2）解：当a=150°时，AAOD是直角三角形.
理山是：•・•将ABOC绕点C按顺时针方向旋转60°WAADC,
/.
ABOC^AADC,
AZADC=ZBOC=150°,
乂
VACOD是等边三角形，
=60°,
/• ZADO=ZADC - ZODC=90
VZa=150°ZAOB=110°, ZCOD=60°,
/• ZAOD=360° - Za - ZAOB - ZCOD=360° - 150° - 110° - 60°二40°,
•••△AOD不是等腰直角三角形，即AAOD是直角三角形.
（3）解：①要使
AO二AD,需ZAOD二ZADO,
•/ ZAOD=360° - 110° - 60° - a=190°
・ a, ZADO=a - 60°,
/. 190° - a=a
・ 60°,
/.a=125°；
② 要使OA=OD,需ZOAD二ZADO・
•/ ZOAD=180° - （ ZAOD+ZADO） =180° - （190°
・ a+a - 60°） =50°,
A a - 60°=50°,
/.a=110°；
③ 要使
OD二AD,需ZOAD二ZAOD.
T ZAOD=360° - 110°
・ 60° - a=190°
・ a,
ZOAD」妙 一〔_©）血0。・乂，
2 2
/. 190°
・ a=120° ,
2
解得
a=140°.
综上所述：当a的度数为125。或:110。或140。时，AAOD是等腰三角形.
3.如图，点
O
是等边ZXABC
内一点，ZAOB=110°, ZBOC=a.将ZXBOC
绕点
C
按顺时针方向旋转60°WAADC,连接OD.
（1）
试说明：ACOD是等边三角形；
（2）
当a=150°时，试判断AAOD的形状，并说明理由；
（3）
探究：当a为多少度时，AAOD是以OD为底边的等腰三角形？
（4）
探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
【解答】解:(1)
•••将ABOC绕点C按顺时针方向旋转60°WAADC,
^ABOC, ZOCD=6O
AOC=OD,
•••△COD是等边三角形；
(2) AAOD为直角三角形；
VACOD是等边三角形；
/•ZODC=60°,
T ZADC=ZBOC=a=150°,
/• ZADO=ZADC - ZCDO=150° - 60°=90°,
•••△AOD是直角三角形；
(3) a=125°.
理由：•「△AOD是以OD为底边的等腰三角形，
/• ZAOD=ZADO=ZADC - 60°=a - 60°；
V110°+a+ (60°+ZAOD) =360°,
/•110°+a+ (60°+a
・ 60°) =360°,
解得
a=125°；
(4)
①要使
AO二AD,需ZAOD二ZADO,
•/ ZAOD=360°
・ ZAOB - ZCOD - a=360° - 110° - 60° - a=190° - a, ZADO=a -
60°,
•••190°
・ a=a - 60°
/•a=125°；
②要使
OA=OD,需ZOAD二ZADO；
•/ ZAOD=190° - a, ZADO=a
・ 60°,
AZOAD=180° - (ZAOD+ZADO) =50°,
A a - 60°=50°,
/.a=110°；
③要使
OD二AD,需ZOAD二ZAOD,
T190° - a=50°
Aa=140°
・
综上所述：当a的度数为125°,或110°,或140。时，AAOD是等腰三角形.
4•如图，点O是等边ZiABC内一点，ZAOB=110°, ZBOC=a,将△BOC绕点C
按顺时针方向旋转60°WAADC,连接0D.
（1） ACOD是什么三角形？说明理由；
（2）
若AO=n2+l, AD=n2- 1, OD=2n （n为大于1的整数），求ct的度数；
（3）
当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？
j
【解答】解：（1） ACOD是等边三角形.
理由如下：•「△BOC绕点C按顺时针方向旋转60。得AADC,
•••CO二CD, ZOCD=60°,
•••△COD是等边三角形；
(2) VAD2+OD2= (n2 - 1)
2+ (2n)
2
=n4 - 2n2+l+4n2
=n4+2n2+l
=(n2+l)
2
=AO2,
是直角三角形，且ZADO=90°,
VACOD是等边三角形，
AZCDO=60°,
/• ZADC=ZADO+ZCDO=90°4-60°=150°,
根据旋转的性质，a=ZADC=150：
(3) Va=ZADC, ZCDO=60
AZADO=a - 60°,
乂
T ZAOD=360° - 110° - a
・ 60°=190° - a,
AZDAO=180°
・(190°
・ a) - (a - 60°) =180°
・ 190°+a
・ a十60°=50°,
v
AAOD是等腰三角形，
/-®ZAOD=ZADO W，190a=a - 60
解得
a=125°,
②
ZAOD二ZDAO
时，190a=50°,
解得
a=140°,
③
ZADO二
Z DAO
时，a - 60°=50°,
解得
a=110°,
综上所述，a为125。或140。或lio。时，AAOD是等腰三角形・