2024年3月10日发(作者：声音景)

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第２７卷第３期　

２００７年６月　

黄冈师范学院学报　

Ｖｏ１．２７　Ｎｏ．３　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕａｎｇｇａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｊｕｎ．２００７　

刚体定点转动的动量矩与角速度方向之间的关系　

张勇和，尹建武，任铁未　

（黄冈师范学院物理科学与技术学院，湖北黄州４３８０００）　

摘　要　讨论了刚体定点转动时，动量矩的方向与角速度的方向之间的关系，得出了两者之间　

夹角的解析表达式．　

关键词　刚体；动量矩；角速度　

中图分类号０３１３．３　文献标识码Ａ　文章编号　１００３—８０７８（２００７）０３—００３２—０４　

Ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｎｇｕｌａｒ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ　ａｎｄ　

ｔｈｅ　ｍｏｍｅｎｔ　ｏｆ　ｍｏｍｅｎｔｕｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｉｇｉｄ　ｂｏｄｙ　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ａｂｏｕｔ　ａ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　

ＺＨＡＮＧ　Ｙｏｎｇ—ｈｅ，ＹＩＮ　Ｊｉａｎ—ＷＵ，ＲＥＮ　Ｔｉｅ—ｗｅｉ　

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｕａｎｇｇａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｎｇｚｈｏｕ　４３８０００，Ｈｕｂｅｉ，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｎｇｕｌａｒ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍｏｍｅｎｔ　ｏｆ　ｍｏｍｅｎ～　

ｔａｍ　ｏｆ　ａ　ｒｉｇｉｄ　ｂｏｄｙ　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ａｂｏｕｔ　ａ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｉｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｎｇｌｅ　

ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　ｒｉｇｉｄ　ｂｏｄｙ；ｍｏｍｅｎｔ　ｏｆ　ｍｏｍｅｎｔｕｍ；ａｎｇｕｌａｒ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ　

当刚体作定点转动时，动量矩．，的方向与角速度∞的方向在一般情况下是不相同的，它们共线的　

条件在有些教科书中已经讨论得比较清楚了，两者之间的夹角也可以通过作图的方法得到［１矗］．本文通　

过张量的表示方法，讨论了刚体定点转动时，动量矩．，的方向与角速度∞的方向之间的关系，得出了两　

者之间夹角的解析表达式，并通过实例进行了讨论．　

１惯量张量和惯量椭球　

设刚体在某一时刻以角速度∞作定点转动，选取固连在刚体上，以定点为坐标原点的直角坐标系，　

则刚体对定点的动量矩可表示为［３　

Ｊ　一Ｉ　ｍ　一Ｉ　ｙ—ＩｘＪｏｚ，　

Ｊ　一一Ｉｖｘ（＇￣ｘ＋　、．一　，　

，　

（１）　

Ｊ：＝一Ｉｚｘ）　一Ｉｚｙａ）　＋　

其中Ｉｘｘ，Ｉ　：　分别为刚体对ｚ轴、Ｙ轴和２．轴的转动惯量，　、　等称为惯性积．上式给出了由∞　

到．，的确定的线性变换，根据张量识别定理，变换系数构成一个二阶张量Ｊ．用１、２、３表示上式下脚标　

－，、ｙ、２，则（１）式写为张量方程为　

收稿日期：２００７—０２—２８．　

作者简介：张勇和，男，湖南常德人，教授，主要从事理论物理教学与研究　

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第３期　张勇和，等：刚体定点转动的动量矩与角速度方向之间的关系　

Ｊ一』・６０．　（２）　

其中，　

ｆ　Ｉ１１　一Ｉ１２一Ｉｌ３］　

Ｉ—Ｉ—　２ｌ　２２　一　２３　ｌ　

３３　Ｊ　

：和　。．若将此三个互　

（３）　

【＿一　３１　一　３２　

称为刚体相对于定点的惯量张量．根据转动惯量和惯性积的定义　。　容易看出它是一个二阶对称张量．根　

据张量理论Ｉ４］，这样的对称张量恒有三个互相垂直的主方向，其主值分别设为　

相垂直的主方向构成的直角坐标系称为主轴系，则在主轴系中，惯量张量可表示为　

ｆＩ１　０　０］　

Ｉ—１　０　Ｉ２　０　ｌ，　

【０　０　Ｉ３　Ｊ　

其中　、　和　。分别表示在主轴系中刚体对　轴、　轴和　。轴的转动惯量．　

根据刚体对定点的转动动能公式　

１　１　

（４）　

Ｔ一÷∞・Ｊ一＠１ｗ　，　

以及式（１）和　

—ａ　，　一　，　。＝ｙ　，　

（５）　

（６）　

可得　

Ｉ—Ｉｎａ　＋Ｉｚｚｌｆ　＋１３３７　一２１２３　ｙ一２１３１　一２　１２ａ　，　（７）　

式中ａ、　、ｙ为任一通过定点的转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦，　是刚体对瞬轴的转动惯量．在转动　

轴上，截取一线段　，并且使　

１　

ＯＱ一圭

０　ｌ　

一Ｘ，　（８）　

则Ｑ点的坐标可写为　

—

Ｘａ，Ｙ—ｘｐ，　一Ｘ７．　

一２１ｌ２ｘｙ一１．　

（９）　

（１０）　

因为通过定点有很多转轴，故由此选取Ｑ的点形成的轨迹方程由（７）、（８）、（９）式可得　

Ｉｌ１　＋Ｉ２２Ｙ　＋Ｉ３３ｚ　一２Ｉ２３ｙｚ一２Ｉ３ｌ　

上式代表一个中心在定点０的椭球，称为惯量椭球．若按式（１０）画出椭球后，就可根据（８）式的关系，由　

某轴上矢径　（　，Ｙ，　）的长，方便地求出刚体对该轴的转动惯量　．　

以　、　：、　。取代　、Ｙ、　，则式（１０）可写成张量方程　

・

，・Ｘ—　Ｉｉ　

ｉ　

．

一１．　（１１）

显然，上式表示的惯量椭球只取决于刚体相对定点的质量分布，即取决于惯量张量，．其椭球形状　

只与固定点的选择有关，与坐标系的选择无关．对不同的坐标系，惯量张量的各元素不一样，但惯量张量　

不变，也就是说，当坐标架旋转时，椭球面在空间的形状和位置不变．　

在主轴系中，式（１１）成为　

・

，・Ｘ—Ｉｌｘ｝＋Ｉ２ｘ；＋Ｉ３ｘ；一１．　（１２）　

２动量矩．，的方向　

设在某一时刻，刚体以角速度６０绕某瞬时转轴转动，容易看出：　

Ｘ一　∞．　

其中　取正常数，由上式可得　

，・Ｘ—Ｊ・（ＺＧｏ）一“（，・ｃｏ）．　（１４）　

比较式（２）和式（１４）得到　

Ｊ・Ｘ—ｚＪ．　（１５）　

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黄冈师范学院学报　第２７卷　

即　的方向与矢量，・Ｘ的方向相同．　

根据数学知识，曲面上某点梯度的方向沿曲面上该点的法线方向，式（１１）表示的是椭球曲面的方　

程，设该面上某点的法线方向矢量为　，则　

一　

（　・Ｉ・　）．　（１６）　

上式在ｚ　轴上的分量为　

一　一

２（，　ｚ　＋　ｚ　＋，　。ｚ。）．　（１７）　

又因为　

（Ｊ・　）１一Ｉｌｉｘ　一／１１Ｘ１＋ＩＩ　２Ｘ２＋Ｉ１　３ｘ３，　（１８）　

比较另外两个分量后得到　

，ｌ—　（　・Ｉ・　）一２（Ｊ・　）．（１９）　

由式（１５）和式（１９）可以看出，刚体作定点转动时，动量矩．，的方向与瞬时转轴与椭球面交点Ｑ的　

法线方向　一致．　

３　ｔＪｒ与ｃ‘，方向之间的夹角　

由式（２）可得，动量矩．，的方向与角速度∞的方向在一般情况下是不相同的，只有转轴是惯量主轴　

时，．，与∞才共线　．　

设．，与∞方向之间的夹角为　，根据式（５），由于动能不可能取负值，故　

∞・Ｊ≥０，　（２Ｏ）　

则　

≤　．（２１）　

利用式（１１），由式（１９）得　

・，ｌ一２（　・Ｊ・　）一２．（２２）　

在主轴系中　

Ｊｌ—　（　・Ｉ・　）一２Ｉ１　１ｉ＋２Ｉ２　Ｊ＋２Ｉ３　ｋ．　（２３）　

因为矢量　与∞同向，注意到式（１５）和式（１９），由式（２２）可得　

ｃ。ｓ　一　一［（ｚ　２－　２＋ｚｚ２－ｚ２＋ｚｓ２－ｓ２八　２＋ｚ；＋ｘ１）－］一专・　（２４）　

这样，只要知道了在主轴系中刚体的转动惯量，　、，　和，。，椭球面上某点Ｑ的位矢Ｘ（ｘ　，ｚｚ，ｚｓ），则　

刚体绕通过Ｑ点的瞬轴转动时，角速度∞与动量矩．，的方向之间的夹角　就可以由上式求出来．　

由式（４），式（７）可知，在主轴系中　

Ｉ—Ｉ１ａ　＋Ｉ２　＋１３７　，（２５）　

联立式（８），式（９）和式（２４），式（２５）可以算出　

Ｉ１ｄ　＋Ｉｚ　＋Ｉ３ｙ　

——二＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝，　

（２６）　

√，；ａ　＋，；　＋Ｉｉ７　

其中，口　＋　＋ｙ　一１．　（２７）　

由式（２６）可以得出转轴的方向余弦分别为ａ，　，７时，角速度∞与动量矩．，方向之间的夹角　．　

式（２６）表明，一般情况下　≠Ｏ．当Ｉ　－－Ｉ　一，。时，即刚体的惯量椭球为圆球时，通过定点的每一根转　

轴都是惯量主轴，由该式可以看出，无论转轴沿哪个方向，都有　＝０的结果，也就是．，的方向和∞的方　

向相同．当ａ—ｃ。ｓ０，８－－ｃ。ｓ号，ｙ—ｃ。ｓ号，或　—ｃ。ｓＯ，ａ—ｃ。ｓ号，ｙ—ｃ。ｓ号，或），一ｃ。ｓＯ，ａ—ｃ。ｓ号，　

—ｃ。ｓ

詈时，转轴沿主轴方向，由式（２６）也可得到　一。的结果．　

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第３期　张勇和，等：刚体定点转动的动量矩与角速度方向之间的关系　・３５・　

４应用举例　

例均匀圆柱体半径为Ｒ，高为ｈ，质量为，　，建立主轴系如图１所示．圆柱体绕通过坐标原点的瞬　

轴转动，当转轴的方向余弦满足关系ａ＝ｆｌ＝７（均取正值）时，求动量矩．，与角速度∞之间的夹角０．　

解根据转动惯量的定义，容易求出圆柱体对坐标轴　，　。，　。的转动惯量分别为　

１　

Ｉ２　壶　，　

（２８）　

１　

３　

÷ｍＲ。．　

厶　

因为ａ－－ｆｌ－ｙ，根据式（２７）可得　

，　

ａ一　＝ｙ＝　．　（２９）　

将式（２８）和式（２９）代人式（２６）得　

ｏ　：

竺　竺．　（３ｏ）　

￣／６ｈ　＋１Ｏ８Ｒ　

１）若＾》Ｒ，圆柱体可视为长细棒，由式（３Ｏ）得：ｃｏｓ０￣０．８１６，　

０－￣３５’１６　；　

图１　应用题示意图　

２）若ｈ＝厂　Ｒ，圆柱体的三个主转动惯量相同即Ｉ　＝Ｉ。＝　

３．

由式（３Ｏ）得：ｃｏｓ０＝１，　一０‘；　

３）若ｈ＝Ｒ，由式（３Ｏ）得：ｃｏｓ０－￣０．７４９，０－￣４１‘２８　；　

４）若＾《Ｒ，圆柱体可视为薄圆盘．由式（３Ｏ）得：ｃｏｓ０－￣０．５７７，　≈５－４‘４４　．　

求出０后，我们还可以得到动量矩．，的大小．将式（２９）代人式（２５）得　

Ｉ＝÷（　１＋　２＋Ｉ３）．　

（３１）　

由式（５）得　

，　

叫　

√一　‘　

（３２）　

其中，∞是瞬时角速度．考虑ｈ＝Ｒ的情况，注意式（２８），将式（３１）的　和相应的０代人上式得　

Ｊ一　Ｊｌ１４　

７　Ｒ。叫．　

（３３）　

参考文献：　

［１３吴德明．理论力学基础［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９９５．１８９～１９９．　

［２］卢圣治，胡静，管靖．理论力学［Ｍ］．北京：电子工业出版社，１９９１．１９２～１９８．　

［３３周衍柏．理论力学教程（第２版）［Ｍ］．北京ｔ高等教育出版社，１９８６．１７２～１８２．　

［－４３孙志铭．物理中的张量［Ｍ３．北京：北京师范大学出版社，１９８５．３４～３９．　

2024年3月10日发(作者：声音景)

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第２７卷第３期　

２００７年６月　

黄冈师范学院学报　

Ｖｏ１．２７　Ｎｏ．３　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕａｎｇｇａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｊｕｎ．２００７　

刚体定点转动的动量矩与角速度方向之间的关系　

张勇和，尹建武，任铁未　

（黄冈师范学院物理科学与技术学院，湖北黄州４３８０００）　

摘　要　讨论了刚体定点转动时，动量矩的方向与角速度的方向之间的关系，得出了两者之间　

夹角的解析表达式．　

关键词　刚体；动量矩；角速度　

中图分类号０３１３．３　文献标识码Ａ　文章编号　１００３—８０７８（２００７）０３—００３２—０４　

Ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｎｇｕｌａｒ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ　ａｎｄ　

ｔｈｅ　ｍｏｍｅｎｔ　ｏｆ　ｍｏｍｅｎｔｕｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｉｇｉｄ　ｂｏｄｙ　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ａｂｏｕｔ　ａ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　

ＺＨＡＮＧ　Ｙｏｎｇ—ｈｅ，ＹＩＮ　Ｊｉａｎ—ＷＵ，ＲＥＮ　Ｔｉｅ—ｗｅｉ　

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｕａｎｇｇａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｎｇｚｈｏｕ　４３８０００，Ｈｕｂｅｉ，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｎｇｕｌａｒ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍｏｍｅｎｔ　ｏｆ　ｍｏｍｅｎ～　

ｔａｍ　ｏｆ　ａ　ｒｉｇｉｄ　ｂｏｄｙ　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ａｂｏｕｔ　ａ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｉｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｎｇｌｅ　

ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　ｒｉｇｉｄ　ｂｏｄｙ；ｍｏｍｅｎｔ　ｏｆ　ｍｏｍｅｎｔｕｍ；ａｎｇｕｌａｒ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ　

当刚体作定点转动时，动量矩．，的方向与角速度∞的方向在一般情况下是不相同的，它们共线的　

条件在有些教科书中已经讨论得比较清楚了，两者之间的夹角也可以通过作图的方法得到［１矗］．本文通　

过张量的表示方法，讨论了刚体定点转动时，动量矩．，的方向与角速度∞的方向之间的关系，得出了两　

者之间夹角的解析表达式，并通过实例进行了讨论．　

１惯量张量和惯量椭球　

设刚体在某一时刻以角速度∞作定点转动，选取固连在刚体上，以定点为坐标原点的直角坐标系，　

则刚体对定点的动量矩可表示为［３　

Ｊ　一Ｉ　ｍ　一Ｉ　ｙ—ＩｘＪｏｚ，　

Ｊ　一一Ｉｖｘ（＇￣ｘ＋　、．一　，　

，　

（１）　

Ｊ：＝一Ｉｚｘ）　一Ｉｚｙａ）　＋　

其中Ｉｘｘ，Ｉ　：　分别为刚体对ｚ轴、Ｙ轴和２．轴的转动惯量，　、　等称为惯性积．上式给出了由∞　

到．，的确定的线性变换，根据张量识别定理，变换系数构成一个二阶张量Ｊ．用１、２、３表示上式下脚标　

－，、ｙ、２，则（１）式写为张量方程为　

收稿日期：２００７—０２—２８．　

作者简介：张勇和，男，湖南常德人，教授，主要从事理论物理教学与研究　

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第３期　张勇和，等：刚体定点转动的动量矩与角速度方向之间的关系　

Ｊ一』・６０．　（２）　

其中，　

ｆ　Ｉ１１　一Ｉ１２一Ｉｌ３］　

Ｉ—Ｉ—　２ｌ　２２　一　２３　ｌ　

３３　Ｊ　

：和　。．若将此三个互　

（３）　

【＿一　３１　一　３２　

称为刚体相对于定点的惯量张量．根据转动惯量和惯性积的定义　。　容易看出它是一个二阶对称张量．根　

据张量理论Ｉ４］，这样的对称张量恒有三个互相垂直的主方向，其主值分别设为　

相垂直的主方向构成的直角坐标系称为主轴系，则在主轴系中，惯量张量可表示为　

ｆＩ１　０　０］　

Ｉ—１　０　Ｉ２　０　ｌ，　

【０　０　Ｉ３　Ｊ　

其中　、　和　。分别表示在主轴系中刚体对　轴、　轴和　。轴的转动惯量．　

根据刚体对定点的转动动能公式　

１　１　

（４）　

Ｔ一÷∞・Ｊ一＠１ｗ　，　

以及式（１）和　

—ａ　，　一　，　。＝ｙ　，　

（５）　

（６）　

可得　

Ｉ—Ｉｎａ　＋Ｉｚｚｌｆ　＋１３３７　一２１２３　ｙ一２１３１　一２　１２ａ　，　（７）　

式中ａ、　、ｙ为任一通过定点的转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦，　是刚体对瞬轴的转动惯量．在转动　

轴上，截取一线段　，并且使　

１　

ＯＱ一圭

０　ｌ　

一Ｘ，　（８）　

则Ｑ点的坐标可写为　

—

Ｘａ，Ｙ—ｘｐ，　一Ｘ７．　

一２１ｌ２ｘｙ一１．　

（９）　

（１０）　

因为通过定点有很多转轴，故由此选取Ｑ的点形成的轨迹方程由（７）、（８）、（９）式可得　

Ｉｌ１　＋Ｉ２２Ｙ　＋Ｉ３３ｚ　一２Ｉ２３ｙｚ一２Ｉ３ｌ　

上式代表一个中心在定点０的椭球，称为惯量椭球．若按式（１０）画出椭球后，就可根据（８）式的关系，由　

某轴上矢径　（　，Ｙ，　）的长，方便地求出刚体对该轴的转动惯量　．　

以　、　：、　。取代　、Ｙ、　，则式（１０）可写成张量方程　

・

，・Ｘ—　Ｉｉ　

ｉ　

．

一１．　（１１）

显然，上式表示的惯量椭球只取决于刚体相对定点的质量分布，即取决于惯量张量，．其椭球形状　

只与固定点的选择有关，与坐标系的选择无关．对不同的坐标系，惯量张量的各元素不一样，但惯量张量　

不变，也就是说，当坐标架旋转时，椭球面在空间的形状和位置不变．　

在主轴系中，式（１１）成为　

・

，・Ｘ—Ｉｌｘ｝＋Ｉ２ｘ；＋Ｉ３ｘ；一１．　（１２）　

２动量矩．，的方向　

设在某一时刻，刚体以角速度６０绕某瞬时转轴转动，容易看出：　

Ｘ一　∞．　

其中　取正常数，由上式可得　

，・Ｘ—Ｊ・（ＺＧｏ）一“（，・ｃｏ）．　（１４）　

比较式（２）和式（１４）得到　

Ｊ・Ｘ—ｚＪ．　（１５）　

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黄冈师范学院学报　第２７卷　

即　的方向与矢量，・Ｘ的方向相同．　

根据数学知识，曲面上某点梯度的方向沿曲面上该点的法线方向，式（１１）表示的是椭球曲面的方　

程，设该面上某点的法线方向矢量为　，则　

一　

（　・Ｉ・　）．　（１６）　

上式在ｚ　轴上的分量为　

一　一

２（，　ｚ　＋　ｚ　＋，　。ｚ。）．　（１７）　

又因为　

（Ｊ・　）１一Ｉｌｉｘ　一／１１Ｘ１＋ＩＩ　２Ｘ２＋Ｉ１　３ｘ３，　（１８）　

比较另外两个分量后得到　

，ｌ—　（　・Ｉ・　）一２（Ｊ・　）．（１９）　

由式（１５）和式（１９）可以看出，刚体作定点转动时，动量矩．，的方向与瞬时转轴与椭球面交点Ｑ的　

法线方向　一致．　

３　ｔＪｒ与ｃ‘，方向之间的夹角　

由式（２）可得，动量矩．，的方向与角速度∞的方向在一般情况下是不相同的，只有转轴是惯量主轴　

时，．，与∞才共线　．　

设．，与∞方向之间的夹角为　，根据式（５），由于动能不可能取负值，故　

∞・Ｊ≥０，　（２Ｏ）　

则　

≤　．（２１）　

利用式（１１），由式（１９）得　

・，ｌ一２（　・Ｊ・　）一２．（２２）　

在主轴系中　

Ｊｌ—　（　・Ｉ・　）一２Ｉ１　１ｉ＋２Ｉ２　Ｊ＋２Ｉ３　ｋ．　（２３）　

因为矢量　与∞同向，注意到式（１５）和式（１９），由式（２２）可得　

ｃ。ｓ　一　一［（ｚ　２－　２＋ｚｚ２－ｚ２＋ｚｓ２－ｓ２八　２＋ｚ；＋ｘ１）－］一专・　（２４）　

这样，只要知道了在主轴系中刚体的转动惯量，　、，　和，。，椭球面上某点Ｑ的位矢Ｘ（ｘ　，ｚｚ，ｚｓ），则　

刚体绕通过Ｑ点的瞬轴转动时，角速度∞与动量矩．，的方向之间的夹角　就可以由上式求出来．　

由式（４），式（７）可知，在主轴系中　

Ｉ—Ｉ１ａ　＋Ｉ２　＋１３７　，（２５）　

联立式（８），式（９）和式（２４），式（２５）可以算出　

Ｉ１ｄ　＋Ｉｚ　＋Ｉ３ｙ　

——二＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝，　

（２６）　

√，；ａ　＋，；　＋Ｉｉ７　

其中，口　＋　＋ｙ　一１．　（２７）　

由式（２６）可以得出转轴的方向余弦分别为ａ，　，７时，角速度∞与动量矩．，方向之间的夹角　．　

式（２６）表明，一般情况下　≠Ｏ．当Ｉ　－－Ｉ　一，。时，即刚体的惯量椭球为圆球时，通过定点的每一根转　

轴都是惯量主轴，由该式可以看出，无论转轴沿哪个方向，都有　＝０的结果，也就是．，的方向和∞的方　

向相同．当ａ—ｃ。ｓ０，８－－ｃ。ｓ号，ｙ—ｃ。ｓ号，或　—ｃ。ｓＯ，ａ—ｃ。ｓ号，ｙ—ｃ。ｓ号，或），一ｃ。ｓＯ，ａ—ｃ。ｓ号，　

—ｃ。ｓ

詈时，转轴沿主轴方向，由式（２６）也可得到　一。的结果．　

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第３期　张勇和，等：刚体定点转动的动量矩与角速度方向之间的关系　・３５・　

４应用举例　

例均匀圆柱体半径为Ｒ，高为ｈ，质量为，　，建立主轴系如图１所示．圆柱体绕通过坐标原点的瞬　

轴转动，当转轴的方向余弦满足关系ａ＝ｆｌ＝７（均取正值）时，求动量矩．，与角速度∞之间的夹角０．　

解根据转动惯量的定义，容易求出圆柱体对坐标轴　，　。，　。的转动惯量分别为　

１　

Ｉ２　壶　，　

（２８）　

１　

３　

÷ｍＲ。．　

厶　

因为ａ－－ｆｌ－ｙ，根据式（２７）可得　

，　

ａ一　＝ｙ＝　．　（２９）　

将式（２８）和式（２９）代人式（２６）得　

ｏ　：

竺　竺．　（３ｏ）　

￣／６ｈ　＋１Ｏ８Ｒ　

１）若＾》Ｒ，圆柱体可视为长细棒，由式（３Ｏ）得：ｃｏｓ０￣０．８１６，　

０－￣３５’１６　；　

图１　应用题示意图　

２）若ｈ＝厂　Ｒ，圆柱体的三个主转动惯量相同即Ｉ　＝Ｉ。＝　

３．

由式（３Ｏ）得：ｃｏｓ０＝１，　一０‘；　

３）若ｈ＝Ｒ，由式（３Ｏ）得：ｃｏｓ０－￣０．７４９，０－￣４１‘２８　；　

４）若＾《Ｒ，圆柱体可视为薄圆盘．由式（３Ｏ）得：ｃｏｓ０－￣０．５７７，　≈５－４‘４４　．　

求出０后，我们还可以得到动量矩．，的大小．将式（２９）代人式（２５）得　

Ｉ＝÷（　１＋　２＋Ｉ３）．　

（３１）　

由式（５）得　

，　

叫　

√一　‘　

（３２）　

其中，∞是瞬时角速度．考虑ｈ＝Ｒ的情况，注意式（２８），将式（３１）的　和相应的０代人上式得　

Ｊ一　Ｊｌ１４　

７　Ｒ。叫．　

（３３）　

参考文献：　

［１３吴德明．理论力学基础［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９９５．１８９～１９９．　

［２］卢圣治，胡静，管靖．理论力学［Ｍ］．北京：电子工业出版社，１９９１．１９２～１９８．　

［３３周衍柏．理论力学教程（第２版）［Ｍ］．北京ｔ高等教育出版社，１９８６．１７２～１８２．　

［－４３孙志铭．物理中的张量［Ｍ３．北京：北京师范大学出版社，１９８５．３４～３９．