2024年3月17日发(作者：范冷玉)

安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜

第五届西部数学奥林匹克

四川 成都

第一天

（2005年11月5日 上午8：00---12：00）

一、已知

α

2005

+

β

2005

可以表示成以

α

+

β

，

αβ

为变元的二元多项式，求这个多项式的系数

之和．

解1： 在

α

k

+

β

k

的展开式中， 令

α

+

β

=1,

αβ

=1

，其所求系数之和为

S

k

．由

(

α

+

β

)(

α

k−1

+

β

k−1

)=(

α

k

+

β

k

)+

αβ

(

α

k−2

+

β

k−2

)

， 有：

S

k

=S

k−1

−S

k−2

从而

S

k

=(S

k−2

−S

k−3

)−S

k−2

=−S

k−3

， 同理

S

k−3

=−S

k−6

．

所以，

S

k

=S

k−6

．

于是，数列

{S

k

}

是周期为6的周期数列．

故

S

2005

=S

1

=1

．

，

解2：在

α

k

+

β

k

的展开式中， 令

α

+

β

=

1,

αβ

=

1

，其所求系数之和为

S

k

．

则

α

,

β

是方程

x

2

−

x

+

1

=

0

的根．

解得：

α

=cos

kk

π

3

+isin

π

3

，

β

=cos

π

3

−isin

π

3

，

k

从而

α

+

β

=(cos+isin)+(cos−isin)

333

k

π

k

π

k

π

k

π

=(cos+isin)+(cos−isin)

3333

k

π

=2cos.

3

3

ππ

k

ππ

P

C

A

E B

F

D

取

k=2005

，得

S

k

=1.

二、如图, 过圆外一点

P

作圆的两条切线

PA,PB

，

A,B

为切点， 再过点

P

作圆的一条割

线分别交圆于

C,D

两点，过切点

B

作

PA

的平行线分别交直线

AC,AD

于

E,F

．

求证：

BE=BF

．

安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜

证明: 连

BC,BA,BD

, 则

∠ABC=∠PAC=∠E

．所以,

ΔABC~ΔAEB

．从而

即

BE=

BEAB

,

=

BCAC

AB⋅BC

---------(1)

AC

又

∠ABF=∠PAB=∠ADB

, 所以

ΔABF~ΔADB

, 从而

BFABAB⋅BD

, 即

BF=

--------(2)

=

AD

BDAD

另一方面, 因为

ΔPBC~ΔPDB

,

ΔPCA~ΔPAD

．

所以

BCPCACPC

, ．

=

=

ADPA

BDPB

BCAC

而

BE=BF

, 所以-------（3）

=

BDAD

BCBD

于是

．故由（1）（2）（3）三式即知

BE=BF

．

=

ACAD

三、设

S={1,2,

2024年3月17日发(作者：范冷玉)

安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜

第五届西部数学奥林匹克

四川 成都

第一天

（2005年11月5日 上午8：00---12：00）

一、已知

α

2005

+

β

2005

可以表示成以

α

+

β

，

αβ

为变元的二元多项式，求这个多项式的系数

之和．

解1： 在

α

k

+

β

k

的展开式中， 令

α

+

β

=1,

αβ

=1

，其所求系数之和为

S

k

．由

(

α

+

β

)(

α

k−1

+

β

k−1

)=(

α

k

+

β

k

)+

αβ

(

α

k−2

+

β

k−2

)

， 有：

S

k

=S

k−1

−S

k−2

从而

S

k

=(S

k−2

−S

k−3

)−S

k−2

=−S

k−3

， 同理

S

k−3

=−S

k−6

．

所以，

S

k

=S

k−6

．

于是，数列

{S

k

}

是周期为6的周期数列．

故

S

2005

=S

1

=1

．

，

解2：在

α

k

+

β

k

的展开式中， 令

α

+

β

=

1,

αβ

=

1

，其所求系数之和为

S

k

．

则

α

,

β

是方程

x

2

−

x

+

1

=

0

的根．

解得：

α

=cos

kk

π

3

+isin

π

3

，

β

=cos

π

3

−isin

π

3

，

k

从而

α

+

β

=(cos+isin)+(cos−isin)

333

k

π

k

π

k

π

k

π

=(cos+isin)+(cos−isin)

3333

k

π

=2cos.

3

3

ππ

k

ππ

P

C

A

E B

F

D

取

k=2005

，得

S

k

=1.

二、如图, 过圆外一点

P

作圆的两条切线

PA,PB

，

A,B

为切点， 再过点

P

作圆的一条割

线分别交圆于

C,D

两点，过切点

B

作

PA

的平行线分别交直线

AC,AD

于

E,F

．

求证：

BE=BF

．

安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜

证明: 连

BC,BA,BD

, 则

∠ABC=∠PAC=∠E

．所以,

ΔABC~ΔAEB

．从而

即

BE=

BEAB

,

=

BCAC

AB⋅BC

---------(1)

AC

又

∠ABF=∠PAB=∠ADB

, 所以

ΔABF~ΔADB

, 从而

BFABAB⋅BD

, 即

BF=

--------(2)

=

AD

BDAD

另一方面, 因为

ΔPBC~ΔPDB

,

ΔPCA~ΔPAD

．

所以

BCPCACPC

, ．

=

=

ADPA

BDPB

BCAC

而

BE=BF

, 所以-------（3）

=

BDAD

BCBD

于是

．故由（1）（2）（3）三式即知

BE=BF

．

=

ACAD

三、设

S={1,2,