2024年3月17日发(作者：慕容荷紫)
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第九章 梁的平面弯曲
与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。承受弯曲作用的
杆，称之为梁。本章研究梁的应力和变形。
工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。
q
F
B
(a) 简支梁
F
A
(c) 悬臂梁
B
图9.1 梁的分类
F
M
A
(b) 外伸梁
B
A
C
由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动
铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；
一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。分别如图9.1(
a
)、(b)、(c)所示
。
在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约
束力可以由静力平衡方程完全确定，均为静定梁。
工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(
a
)所示。此对
称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。如果梁上的载
荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。平面弯曲梁变形后，梁的轴线将
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在此纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。
矩形截面
梯形截面
圆形截面
(a)
工字形截面
槽形截面
纵向对称面
挠曲线
梁轴线
(b)
图9.2 平面弯曲梁
这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载
荷平面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。
平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。与前面研究拉压、
扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物
理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。
§9.1 用截面法作梁的内力图
如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再
用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面
上的内力按正向假设，由平衡方程求解。在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构
件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。下面将通过若干例题
，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。
例9.1 悬臂梁受力如图9.3(
a
)所示，求各截面内力并作内力图。
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第九章 梁的平面弯曲
与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。承受弯曲作用的
杆，称之为梁。本章研究梁的应力和变形。
工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。
q
F
B
(a) 简支梁
F
A
(c) 悬臂梁
B
图9.1 梁的分类
F
M
A
(b) 外伸梁
B
A
C
由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动
铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；
一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。分别如图9.1(
a
)、(b)、(c)所示
。
在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约
束力可以由静力平衡方程完全确定，均为静定梁。
工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(
a
)所示。此对
称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。如果梁上的载
荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。平面弯曲梁变形后，梁的轴线将
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在此纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。
矩形截面
梯形截面
圆形截面
(a)
工字形截面
槽形截面
纵向对称面
挠曲线
梁轴线
(b)
图9.2 平面弯曲梁
这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载
荷平面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。
平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。与前面研究拉压、
扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物
理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。
§9.1 用截面法作梁的内力图
如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再
用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面
上的内力按正向假设，由平衡方程求解。在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构
件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。下面将通过若干例题
，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。
例9.1 悬臂梁受力如图9.3(
a
)所示，求各截面内力并作内力图。
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