2024年3月17日发(作者：遇玲珑)

2023届山东省青岛市高三年级（一模）第一次适应性检测

数学试题及参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合

UR

，

Ax3x7

，集合

Bxx24

，则下图中阴影部分表示的

结合为（）





A

.



x2x3



C

.



1,0,1,2



B

.



x2x3



D

.



1,0,1,2,3



）2.已知复数

z

满足



1i



z2

，则复数

z

则虚部为（

A

.

1B

.

i

C

.

1D

.

i

3.在平面直角坐标系中，若角



的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点

2



2





,cos



sin



，则

sin





（

33



A

.

3

2

B

.



1

2

）

C

.



3

2

D

.

1

2

4.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可

以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm.现往盆内倒

入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）

A

.

24



B

.

12



C

.

48



D

.

32



x

5.定义域为

R

的函数

f



x



满足：当

x



0,1



时，

f



x



31

，且

对任意实数

x

，均有

f



x



f



x1



1

，则

f



log

3

4





（）

A

.

3

B

.

2

C

.

4

3

D

.

2

3

x

2

y

2

6.已知双曲线

C

：

2



2

1



a0，b0



的左、右焦点分别为

F

1

，F

2

，直线

y3x

ab

与

C

的左右两支分别交于

A,B

两点，若四边形

AF

1

BF

2

为矩形，则

C

的离心率为（）

A

.

31

2

B

.

3C

.

31

D

.

51

1

7.某次考试共有4种单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路.有思路的

题目每道做对的概率为0.8.没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25.

若从这4道题中任选2题，则这个学生2道题全做对的概率为（）

A

.

0.34

8.已知函数

f



x



x

3

B

.

0.37C

.

0.42

D

.

0.43

1







sin



sin



，

sinx

，若







0

，



，

af



cos





，bf



sin





12

2







1



c



f







，则

a,b,c

的大小关系为（



2



A

.

abc

B

.

bac

）

C

.

acb

D

.

cab

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

1



9.在



2

x





的展开式中，下列说法正确的是（

x



A

.常数项系数是1120

C

.各项的二项式系数之和为256

10.下列说法正确的是（）

8

）

B

.第四项和第六项的系数相等

D

.各项的系数之和为256

A

.若直线

a

不平行于平面



，

a



，则



内不存在与

a

平行的直线

B

.若一个平面



内两条不平行的直线都平行于另一个平面



，则



∥



C

.设

l,m,n

为直线，

m,n

在平面



内，则“

l



”是“

lm

且

ln

”的充要条件

平面



⊥平面



1

，则平面



与平面



所成的二面角和平面



1

与

D

.若平面



⊥平面



1

，

平面



1

所成的二面角相等或互补

11.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5只猴子分一堆桃子，怎

么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃

掉1个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，

吃掉1个桃子后，也将桃子分成5等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先

后照此办理.问最初至少有对少个桃子：最后至少剩下多少个桃子？”.下列说法正确的是

（）

A

.若第

n

只猴子分得

b

n

个桃子（不含吃的），则

5b

n



4b

n



1



1



n



1,2,3,4,5



2

B

.若第

n

只猴子连吃带分共得到

a

n

个桃子，则



a

n



n1,2,3,4,5



为等比数列

C

.若最初有3121个桃子，则第5只猴子分得256个桃子（不含吃的）

D

.若最初有

k

个桃子，则

k4

必为

5

5

的倍数

12.已知

A,B

是平面直角坐标系

xOy

中的两点.若

OA



OB





R



，

OAOBr

2



r0



，则称

B

是

A

关于圆

x

2

y

2

r

2

的对称点.下面说法正确的是

（）

2



A

.点



1,1



关于圆

x

2

y

2



4

的对称点是



2，

B

.圆

x

2

y

2



4

上的任意一点

A

关于圆

x

2

y

2

4

的对称点就是

A

自身

C

.圆

x

2





yb



b

2



b

0



上不同于原点

O

的点

Mx

2

y

2

1

的对称点

N

的轨

2

迹方程是

y



1

2

b

D

.若定点

E

不在圆

C

：

x

2

y

2



4

上，关于圆

C

的对称点为

D

，

A

为圆

C

上任意一

点，则

AD

AE

为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知

O



0，0



，A



1，2



，B



3，1



，若向量

m∥OA

，且

m

与

OB

的夹角为钝角，写出一

个满足条件的

m

的坐标为

2







.

14.已知

O

为坐标原点，在抛物线

y2px



p0



上存在两点

E,F

，使得

OEF

是边长

为4的正三角形，则

p

.

15.湿地公园时国家湿地保护体系的重要组成部分.某市计划在如图所示的四边形

ABCD

区

域建一处湿地公园.已知

DAB90

，

DBA45

，

BAC30

，

DBC60

，

AB22

千米，

则

CD

千米.

16.设函数

f



x



时定义在整数集

Z

上的函数，且满足

f



0



1

，

f



1



0

，对任意的

x,yZ

都有

f



xy



f



xy



2f



x



f



y



，则

f



3





f

1

2



2

2







2023

2



；

222

f

1



f

2







f

2023









.

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知函数

f



x



2cos



xsin2



x





0



.

x

1

,x

2

是

f



x



的两个相邻极值点，

2

且满足

x

1



x

2





.

（1）求函数

f



x



图象的对称轴方程；

（2）若

f









1

，求

sin2



.

3

18.（12分）已知等差数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，公差

d0

，

S

2

，S

4

，S

5



4

成等差数

列，

a

2

,a

4

,a

8

成等比数列.

（1）求

S

n

；

（2）记数列



b

n



的前

n

项和为

T

n

，

2

b

n



T

n



并求



b

n



的通项公式.



n



2

1



.证明数列



b

n





为等比数列，

S

n

S

n



19.（12分）如图，在

RtPAB

中，

PAAB

，且

PA4

，

AB2

，将

PAB

绕直角边

PA

旋转

2



到

PAC

处，得到圆锥的一部分，点

D

时地面圆弧

BC

（不含端点）上的

3

一个动点.

（1）是否存在点

D

，使得

BCPD

？若存在，求出

CAD

的大小；若不存在，请说

明理由；

（2）当四棱锥

PABCD

体积最大时，求平面

PCD

与平面

PBD

夹角的余弦值.

4

20.（12分）今天，中国航天任然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成

就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分

100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[60,70),[70,80)[80,90),[90,100]分

组，得到如下所示的样本频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；

（2）用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用

P



Xk



表示这10名学生中恰有

k

名学生的成绩在[90,100]上的概率，求

P



Xk



取最大值对应

的

k

的值；

（3）从测试成绩在[90,100]的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随

机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔，

在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.记甲、

乙两人中进入复赛的人数为



，求



的分布列及期望.

5

x

2

y

2

21.（12分）已知

O

为坐标原点，椭圆

C

：

2



2

1



ab0



的左、右焦点分别为

ab

F

1

,F

2

，

A

为椭圆

C

的上顶点，

AF

1

F

2

为等腰直角三角形，其面积为1.

（1）求椭圆

C

的标准方程；

WQ

（2）直线

l

交椭圆

C

于

P,Q

两点，点

W

在过原点且与

l

平行的直线上，记直线

WP

，

的斜率分别为

k

1

,k

2

,

WPQ

的面积为

S

.从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明

另一个条件成立.

①

S

2

1

；②

k

1

k

2



；③

W

为原点

O

.

22

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22.（12分）已知函数

f



x



lnx

，圆

C

：

x



yb



2

.

2

2

（1）若

b1

，写出曲线

yf



x



与圆

C

的一条公切线的方程（无需证明）；

（2）若曲线

yf



x



与圆

C

恰有三条公切线.

（ⅰ）求

b

的取值范围；

y

2

（ⅱ）证明：曲线

D

：

（m0,n0)

，对任意

x0

，

x

2

1

上存在点

T



m,n



2

f



mx



f



x



n1b

.

6

参考答案

一、单项选择题

1

A

2

C

3

B

4

B

5

D

6

C

7

C

8

A

二、多项选择题

9

AC

10

AB

11

ABD

12

BCD

三、填空题

13.



1，2



答案不唯一；

四、解答题

17.解：由题意得

f



x



2cos



xsin2



x1cos2



xsin2



x

2

14.

3

；

3

15.

23

；16.

0

，

1

.

1011







2sin



2



x



1

4



∵

T2



，∴

2





令

x





2







1

，∴

f



x





2sin



x







1

.

4



T





k





得

xk







kZ



.

424

∴函数

f



x



图象的对称轴方程为

xk





（2）由

f













kZ



.

4

12





2



得

sin











，∴

sin



cos





，

33

4



3



2

∴



sin





cos







445

，即

1sin2





.∴

sin2





999

18.解：（1）∵

S

2

，S

4

，S

5

4

成等差数列，

a

2

,a

4

,a

8

成等比数列.



2



4

a

1



6

d







2

a

1



d







5

a

1



10

d





4



2

S

4



S

2



S

5



4

∴



2

，∴



。

2

a



a



a



28



4



a

1



3

d



a

1



da

1



7

d

整理得





a

1



d



4



a

1

d



d

2

，∵

d0

，解得：

a

1

d2

.

7

∴

S

n



2

n



n



n



1





2



n

2



n

.

2

n



2

n



3

，

2

b

n



1



T

n



1



，



n

1



n

2



n



n

1



n



2

n



3

.



n



n



1



n

1



n

2



（2）由（1）得

2

b

n



T

n



∴两式相减得：

2

b

n



2

b

n



1



T

n



1



T

n



整理得：

2

b

n



b

n



1



21

，



n



n



1



n

1



n

2



∴

2



b

n









1



1

11







b



，即

b



2

b



n



1

n



1



n

S





.



n



n



1





n

1

n

2

S



n



1

n



∵

b

1



31

，b

1

10

，

21



2

1





是以1为首项，2为公比的等比数列.

S

n



∴



b

n







∴

b

n



11



2

n



1

，∴

b

n



2

n



1

.

n



n



1



n



n



1



19.解：（1）当

D

为圆弧

BC

的中点，即

CAD



时，

BCPD

.

3



证明如下：∵

D

为圆弧

BC

的中点，∴

CADBAD

，

3

即

AD

为

CAB

的平分线.

∵

ACAB

，∴

AD

为等腰

CAB

的高线，即

ADBC

.

∵

PAAB

，

PAAC

，

ABACA

,

AB,AC

平面

ABDC

.

∴

PA

平面

ABDC

，∴

PABC

.

∵

PAADA

，∴

BC

平面

PAD

，∴

BCPD

.

（2）由（1）得，

PA

为四棱锥

PABDC

的高，

∵

PA4

，∴当底面积

S

ABDC

取最大值时，四棱锥

PABDC

体积最大.

设

CAD



，则

BAD

2





2









，







0

，



.

3



3



S

ABDC



S



CAD



S



BAD



11



2







2



2



sin





2



2



sin









22



3



8

2024年3月17日发(作者：遇玲珑)

2023届山东省青岛市高三年级（一模）第一次适应性检测

数学试题及参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合

UR

，

Ax3x7

，集合

Bxx24

，则下图中阴影部分表示的

结合为（）





A

.



x2x3



C

.



1,0,1,2



B

.



x2x3



D

.



1,0,1,2,3



）2.已知复数

z

满足



1i



z2

，则复数

z

则虚部为（

A

.

1B

.

i

C

.

1D

.

i

3.在平面直角坐标系中，若角



的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点

2



2





,cos



sin



，则

sin





（

33



A

.

3

2

B

.



1

2

）

C

.



3

2

D

.

1

2

4.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可

以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm.现往盆内倒

入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）

A

.

24



B

.

12



C

.

48



D

.

32



x

5.定义域为

R

的函数

f



x



满足：当

x



0,1



时，

f



x



31

，且

对任意实数

x

，均有

f



x



f



x1



1

，则

f



log

3

4





（）

A

.

3

B

.

2

C

.

4

3

D

.

2

3

x

2

y

2

6.已知双曲线

C

：

2



2

1



a0，b0



的左、右焦点分别为

F

1

，F

2

，直线

y3x

ab

与

C

的左右两支分别交于

A,B

两点，若四边形

AF

1

BF

2

为矩形，则

C

的离心率为（）

A

.

31

2

B

.

3C

.

31

D

.

51

1

7.某次考试共有4种单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路.有思路的

题目每道做对的概率为0.8.没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25.

若从这4道题中任选2题，则这个学生2道题全做对的概率为（）

A

.

0.34

8.已知函数

f



x



x

3

B

.

0.37C

.

0.42

D

.

0.43

1







sin



sin



，

sinx

，若







0

，



，

af



cos





，bf



sin





12

2







1



c



f







，则

a,b,c

的大小关系为（



2



A

.

abc

B

.

bac

）

C

.

acb

D

.

cab

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

1



9.在



2

x





的展开式中，下列说法正确的是（

x



A

.常数项系数是1120

C

.各项的二项式系数之和为256

10.下列说法正确的是（）

8

）

B

.第四项和第六项的系数相等

D

.各项的系数之和为256

A

.若直线

a

不平行于平面



，

a



，则



内不存在与

a

平行的直线

B

.若一个平面



内两条不平行的直线都平行于另一个平面



，则



∥



C

.设

l,m,n

为直线，

m,n

在平面



内，则“

l



”是“

lm

且

ln

”的充要条件

平面



⊥平面



1

，则平面



与平面



所成的二面角和平面



1

与

D

.若平面



⊥平面



1

，

平面



1

所成的二面角相等或互补

11.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5只猴子分一堆桃子，怎

么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃

掉1个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，

吃掉1个桃子后，也将桃子分成5等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先

后照此办理.问最初至少有对少个桃子：最后至少剩下多少个桃子？”.下列说法正确的是

（）

A

.若第

n

只猴子分得

b

n

个桃子（不含吃的），则

5b

n



4b

n



1



1



n



1,2,3,4,5



2

B

.若第

n

只猴子连吃带分共得到

a

n

个桃子，则



a

n



n1,2,3,4,5



为等比数列

C

.若最初有3121个桃子，则第5只猴子分得256个桃子（不含吃的）

D

.若最初有

k

个桃子，则

k4

必为

5

5

的倍数

12.已知

A,B

是平面直角坐标系

xOy

中的两点.若

OA



OB





R



，

OAOBr

2



r0



，则称

B

是

A

关于圆

x

2

y

2

r

2

的对称点.下面说法正确的是

（）

2



A

.点



1,1



关于圆

x

2

y

2



4

的对称点是



2，

B

.圆

x

2

y

2



4

上的任意一点

A

关于圆

x

2

y

2

4

的对称点就是

A

自身

C

.圆

x

2





yb



b

2



b

0



上不同于原点

O

的点

Mx

2

y

2

1

的对称点

N

的轨

2

迹方程是

y



1

2

b

D

.若定点

E

不在圆

C

：

x

2

y

2



4

上，关于圆

C

的对称点为

D

，

A

为圆

C

上任意一

点，则

AD

AE

为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知

O



0，0



，A



1，2



，B



3，1



，若向量

m∥OA

，且

m

与

OB

的夹角为钝角，写出一

个满足条件的

m

的坐标为

2







.

14.已知

O

为坐标原点，在抛物线

y2px



p0



上存在两点

E,F

，使得

OEF

是边长

为4的正三角形，则

p

.

15.湿地公园时国家湿地保护体系的重要组成部分.某市计划在如图所示的四边形

ABCD

区

域建一处湿地公园.已知

DAB90

，

DBA45

，

BAC30

，

DBC60

，

AB22

千米，

则

CD

千米.

16.设函数

f



x



时定义在整数集

Z

上的函数，且满足

f



0



1

，

f



1



0

，对任意的

x,yZ

都有

f



xy



f



xy



2f



x



f



y



，则

f



3





f

1

2



2

2







2023

2



；

222

f

1



f

2







f

2023









.

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知函数

f



x



2cos



xsin2



x





0



.

x

1

,x

2

是

f



x



的两个相邻极值点，

2

且满足

x

1



x

2





.

（1）求函数

f



x



图象的对称轴方程；

（2）若

f









1

，求

sin2



.

3

18.（12分）已知等差数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，公差

d0

，

S

2

，S

4

，S

5



4

成等差数

列，

a

2

,a

4

,a

8

成等比数列.

（1）求

S

n

；

（2）记数列



b

n



的前

n

项和为

T

n

，

2

b

n



T

n



并求



b

n



的通项公式.



n



2

1



.证明数列



b

n





为等比数列，

S

n

S

n



19.（12分）如图，在

RtPAB

中，

PAAB

，且

PA4

，

AB2

，将

PAB

绕直角边

PA

旋转

2



到

PAC

处，得到圆锥的一部分，点

D

时地面圆弧

BC

（不含端点）上的

3

一个动点.

（1）是否存在点

D

，使得

BCPD

？若存在，求出

CAD

的大小；若不存在，请说

明理由；

（2）当四棱锥

PABCD

体积最大时，求平面

PCD

与平面

PBD

夹角的余弦值.

4

20.（12分）今天，中国航天任然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成

就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分

100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[60,70),[70,80)[80,90),[90,100]分

组，得到如下所示的样本频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；

（2）用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用

P



Xk



表示这10名学生中恰有

k

名学生的成绩在[90,100]上的概率，求

P



Xk



取最大值对应

的

k

的值；

（3）从测试成绩在[90,100]的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随

机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔，

在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.记甲、

乙两人中进入复赛的人数为



，求



的分布列及期望.

5

x

2

y

2

21.（12分）已知

O

为坐标原点，椭圆

C

：

2



2

1



ab0



的左、右焦点分别为

ab

F

1

,F

2

，

A

为椭圆

C

的上顶点，

AF

1

F

2

为等腰直角三角形，其面积为1.

（1）求椭圆

C

的标准方程；

WQ

（2）直线

l

交椭圆

C

于

P,Q

两点，点

W

在过原点且与

l

平行的直线上，记直线

WP

，

的斜率分别为

k

1

,k

2

,

WPQ

的面积为

S

.从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明

另一个条件成立.

①

S

2

1

；②

k

1

k

2



；③

W

为原点

O

.

22

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22.（12分）已知函数

f



x



lnx

，圆

C

：

x



yb



2

.

2

2

（1）若

b1

，写出曲线

yf



x



与圆

C

的一条公切线的方程（无需证明）；

（2）若曲线

yf



x



与圆

C

恰有三条公切线.

（ⅰ）求

b

的取值范围；

y

2

（ⅱ）证明：曲线

D

：

（m0,n0)

，对任意

x0

，

x

2

1

上存在点

T



m,n



2

f



mx



f



x



n1b

.

6

参考答案

一、单项选择题

1

A

2

C

3

B

4

B

5

D

6

C

7

C

8

A

二、多项选择题

9

AC

10

AB

11

ABD

12

BCD

三、填空题

13.



1，2



答案不唯一；

四、解答题

17.解：由题意得

f



x



2cos



xsin2



x1cos2



xsin2



x

2

14.

3

；

3

15.

23

；16.

0

，

1

.

1011







2sin



2



x



1

4



∵

T2



，∴

2





令

x





2







1

，∴

f



x





2sin



x







1

.

4



T





k





得

xk







kZ



.

424

∴函数

f



x



图象的对称轴方程为

xk





（2）由

f













kZ



.

4

12





2



得

sin











，∴

sin



cos





，

33

4



3



2

∴



sin





cos







445

，即

1sin2





.∴

sin2





999

18.解：（1）∵

S

2

，S

4

，S

5

4

成等差数列，

a

2

,a

4

,a

8

成等比数列.



2



4

a

1



6

d







2

a

1



d







5

a

1



10

d





4



2

S

4



S

2



S

5



4

∴



2

，∴



。

2

a



a



a



28



4



a

1



3

d



a

1



da

1



7

d

整理得





a

1



d



4



a

1

d



d

2

，∵

d0

，解得：

a

1

d2

.

7

∴

S

n



2

n



n



n



1





2



n

2



n

.

2

n



2

n



3

，

2

b

n



1



T

n



1



，



n

1



n

2



n



n

1



n



2

n



3

.



n



n



1



n

1



n

2



（2）由（1）得

2

b

n



T

n



∴两式相减得：

2

b

n



2

b

n



1



T

n



1



T

n



整理得：

2

b

n



b

n



1



21

，



n



n



1



n

1



n

2



∴

2



b

n









1



1

11







b



，即

b



2

b



n



1

n



1



n

S





.



n



n



1





n

1

n

2

S



n



1

n



∵

b

1



31

，b

1

10

，

21



2

1





是以1为首项，2为公比的等比数列.

S

n



∴



b

n







∴

b

n



11



2

n



1

，∴

b

n



2

n



1

.

n



n



1



n



n



1



19.解：（1）当

D

为圆弧

BC

的中点，即

CAD



时，

BCPD

.

3



证明如下：∵

D

为圆弧

BC

的中点，∴

CADBAD

，

3

即

AD

为

CAB

的平分线.

∵

ACAB

，∴

AD

为等腰

CAB

的高线，即

ADBC

.

∵

PAAB

，

PAAC

，

ABACA

,

AB,AC

平面

ABDC

.

∴

PA

平面

ABDC

，∴

PABC

.

∵

PAADA

，∴

BC

平面

PAD

，∴

BCPD

.

（2）由（1）得，

PA

为四棱锥

PABDC

的高，

∵

PA4

，∴当底面积

S

ABDC

取最大值时，四棱锥

PABDC

体积最大.

设

CAD



，则

BAD

2





2









，







0

，



.

3



3



S

ABDC



S



CAD



S



BAD



11



2







2



2



sin





2



2



sin









22



3



8