2024年3月26日发(作者：香春蕾)
第 4 章
名称
不
定
积
分
的
概
念
不定积分
主要内容
内容概要
设
f (x)
，
x I
，若存在函数
F (x)
，使得对任意
x I
均有
F
(x) f (x)
或
dF (x) f (x)dx
，则称
F (x)
为
f (x)
的一个原函数。
f (x)
的全部原函数称为
f (x)
在区间
I
上的不定积分，记为
f (x)dx F (x) C
注：（ 1） 若
f (x)
连续， 则必可积；（ 2） 若
F (x), G(x)
均为
f (x)
的原函数， 则
F (x) G(x) C
。故不定积分的表达式不唯一。
性
质
性质 1：
性质 2：
性质 3：
计
算
方
法
第一换元
积分法
（凑微分法）
第二类
换元积
分法
分部积分法
d
dx
f (x)dx f (x)
或
d
f (x)dx f (x)dx
；
不
定
F
(x)dx F (x) C
或
dF (x) F (x) C
；
[f (x) g(x)]dx
f (x)dx
g(x)dx
，
,
设
f (u)
的 原函数为
F (u)
，
u
为非零常数。
积
分
本章
(x)
可导，则有换元公式：
(x) F ((x)) C
f (
设
x
(x))
(x)dx
f ((x))d
(t)
单调、可导且导数不为零，
f [(t)]
(t)
有原函数
F (t)
，
(t))
(t)dt F (t) C F (
1
则
f (x)dx
f ((x)) C
u(x)v
(x)dx
u(x)dv(x) u(x)v(x)
v(x)du(x)
若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理
按情况确定。
有理函数积
分
在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；
后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求
解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到
的地
位与
作用
课后习题全解
了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好
坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！
习题 4-1
1.求下列不定积分
：
知识点：
直接积分法的练习——求不定积分的基本方法
。
思路分析：
利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分
！
1
★
(1)
dx
x
x
2
思路:
被积函数
1
x
2
x
5
2
x
5
2
，由积分表中的公式（2）可解。
解 ：
x
dx
2
3
2
2
x
dx
x C
3
x
★
(2)
(
x
3
1
dx x
思路:
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
1
3
4
x
3
2x
2
C
dx
3
3 2 3
解：
(
x
x
)dx
(x x )dx
xdx
x
4
1
1 1
1 1
2
★
(3)
（2
x
x
2
）dx
2
思路:
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
1
3
dx x dx x C
解：
（2 x ）dx
2
ln 2 3
x 2 x
2
x
★
(4)
x (x 3)dx
思路:
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
2
x
2
2x
2
C
2 2
x(x 3)dx
x dx 3
x dx
5
3 1
5 3
3x
4
3x
2
1
★★
(5)
x
2
1
dx
1
3x
4
3x
2
1
2
思路:
观察到
3x
后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
x
2
1 x
2
1
1
3x
4
3x
2
1
2 3
arctan x C
dx
3x dx
解：
2
dx x
2
x 1 1 x
x
★★
(6)
1 x
2
dx
2
x
x
2
11 1
，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
思路:
注意到
1
1 x
2
1 x
2
1 x
2
2
2
2024年3月26日发(作者：香春蕾)
第 4 章
名称
不
定
积
分
的
概
念
不定积分
主要内容
内容概要
设
f (x)
，
x I
，若存在函数
F (x)
，使得对任意
x I
均有
F
(x) f (x)
或
dF (x) f (x)dx
，则称
F (x)
为
f (x)
的一个原函数。
f (x)
的全部原函数称为
f (x)
在区间
I
上的不定积分，记为
f (x)dx F (x) C
注：（ 1） 若
f (x)
连续， 则必可积；（ 2） 若
F (x), G(x)
均为
f (x)
的原函数， 则
F (x) G(x) C
。故不定积分的表达式不唯一。
性
质
性质 1：
性质 2：
性质 3：
计
算
方
法
第一换元
积分法
（凑微分法）
第二类
换元积
分法
分部积分法
d
dx
f (x)dx f (x)
或
d
f (x)dx f (x)dx
；
不
定
F
(x)dx F (x) C
或
dF (x) F (x) C
；
[f (x) g(x)]dx
f (x)dx
g(x)dx
，
,
设
f (u)
的 原函数为
F (u)
，
u
为非零常数。
积
分
本章
(x)
可导，则有换元公式：
(x) F ((x)) C
f (
设
x
(x))
(x)dx
f ((x))d
(t)
单调、可导且导数不为零，
f [(t)]
(t)
有原函数
F (t)
，
(t))
(t)dt F (t) C F (
1
则
f (x)dx
f ((x)) C
u(x)v
(x)dx
u(x)dv(x) u(x)v(x)
v(x)du(x)
若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理
按情况确定。
有理函数积
分
在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；
后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求
解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到
的地
位与
作用
课后习题全解
了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好
坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！
习题 4-1
1.求下列不定积分
：
知识点：
直接积分法的练习——求不定积分的基本方法
。
思路分析：
利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分
！
1
★
(1)
dx
x
x
2
思路:
被积函数
1
x
2
x
5
2
x
5
2
，由积分表中的公式（2）可解。
解 ：
x
dx
2
3
2
2
x
dx
x C
3
x
★
(2)
(
x
3
1
dx x
思路:
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
1
3
4
x
3
2x
2
C
dx
3
3 2 3
解：
(
x
x
)dx
(x x )dx
xdx
x
4
1
1 1
1 1
2
★
(3)
（2
x
x
2
）dx
2
思路:
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
1
3
dx x dx x C
解：
（2 x ）dx
2
ln 2 3
x 2 x
2
x
★
(4)
x (x 3)dx
思路:
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
2
x
2
2x
2
C
2 2
x(x 3)dx
x dx 3
x dx
5
3 1
5 3
3x
4
3x
2
1
★★
(5)
x
2
1
dx
1
3x
4
3x
2
1
2
思路:
观察到
3x
后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
x
2
1 x
2
1
1
3x
4
3x
2
1
2 3
arctan x C
dx
3x dx
解：
2
dx x
2
x 1 1 x
x
★★
(6)
1 x
2
dx
2
x
x
2
11 1
，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
思路:
注意到
1
1 x
2
1 x
2
1 x
2
2
2