2024年3月29日发(作者：潘清宁)

题目：若

x

1

、

x

2

是关于一元二次方程

ax

2

＋

bx

＋

c

(

a

≠0)的两个根，则方程的两个根

x

1

、

x

2

和系数

a

、

b

、

c

有如下关系：

x

1

＋

x

2

＝－，

x

1

•

x

2

＝．把它称为一元二次方程根与系数

关系定理．如果设二次函数

y

＝

ax

2

＋

bx

＋

c

(

a

≠0)的图象与

x

轴的两个交点为

A

(

x

1

，0)，

B

(

x

2

，

0)．利用根与系数关系定理可以得到

A

、

B

连个交点间的距离为：

AB

＝|

x

1

－

x

2

|＝

＝＝＝；

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数

y

＝

ax

2

＋

bx

＋

c

(

a

＞0)的图象与

x

轴的两个交点

A

(

x

1

，0)，

B

(

x

2

，0)，抛物

线的顶点为

C

，显然△

ABC

为等腰三角形．

(1)当△

ABC

为直角三角形时，求

b

2

－4

ac

的值；

(2)当△

ABC

为等边三角形时，求

b

2

－4

ac

的值．

答案：

考点：

抛物线与

x

轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。

分析：

(1)当△

ABC

为直角三角形时，由于

AC

＝

BC

，所以△

ABC

为等腰直角三角形，过

C

作

CE

⊥

AB

于

E

，则

AB

＝2

CE

．根据本题定理和结论，得到

AB

＝

公式，得到

CE

＝||＝

，根据顶点坐标

，列出方程，解方程即可求出

b

2

－4

ac

的值；

(2)当△

ABC

为等边三角形时，解直角△

ACE

，得

CE

＝

解方程即可求出

b

2－4

ac

的值．

AE

＝，据此列出方程，

解答：

解：(1)当△

ABC

为直角三角形时，过

C

作

CE

⊥

AB

于

E

，则

AB

＝2

CE

．

∵抛物线与

x

轴有两个交点，△＝

b

2

－4

ac

＞0，则|

b

2

－4

ac

|＝

b

2

－4

ac

．

∵

a

＞0，∴

AB

＝，

又∵

CE

＝||＝，

∴，

∴，

∴，

∵

b

2

－4

ac

＞0，

∴

b

2

－4

ac

＝4；

(2)当△

ABC

为等边三角形时，

由(1)可知

CE

＝，

∴，

∵

b

2

－4

ac

＞0，

∴

b

2

－4

ac

＝12．

点评：

本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与

x

轴的交点及根与系数的

关系定理，综合性较强，难度中等．

2024年3月29日发(作者：潘清宁)

题目：若

x

1

、

x

2

是关于一元二次方程

ax

2

＋

bx

＋

c

(

a

≠0)的两个根，则方程的两个根

x

1

、

x

2

和系数

a

、

b

、

c

有如下关系：

x

1

＋

x

2

＝－，

x

1

•

x

2

＝．把它称为一元二次方程根与系数

关系定理．如果设二次函数

y

＝

ax

2

＋

bx

＋

c

(

a

≠0)的图象与

x

轴的两个交点为

A

(

x

1

，0)，

B

(

x

2

，

0)．利用根与系数关系定理可以得到

A

、

B

连个交点间的距离为：

AB

＝|

x

1

－

x

2

|＝

＝＝＝；

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数

y

＝

ax

2

＋

bx

＋

c

(

a

＞0)的图象与

x

轴的两个交点

A

(

x

1

，0)，

B

(

x

2

，0)，抛物

线的顶点为

C

，显然△

ABC

为等腰三角形．

(1)当△

ABC

为直角三角形时，求

b

2

－4

ac

的值；

(2)当△

ABC

为等边三角形时，求

b

2

－4

ac

的值．

答案：

考点：

抛物线与

x

轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。

分析：

(1)当△

ABC

为直角三角形时，由于

AC

＝

BC

，所以△

ABC

为等腰直角三角形，过

C

作

CE

⊥

AB

于

E

，则

AB

＝2

CE

．根据本题定理和结论，得到

AB

＝

公式，得到

CE

＝||＝

，根据顶点坐标

，列出方程，解方程即可求出

b

2

－4

ac

的值；

(2)当△

ABC

为等边三角形时，解直角△

ACE

，得

CE

＝

解方程即可求出

b

2－4

ac

的值．

AE

＝，据此列出方程，

解答：

解：(1)当△

ABC

为直角三角形时，过

C

作

CE

⊥

AB

于

E

，则

AB

＝2

CE

．

∵抛物线与

x

轴有两个交点，△＝

b

2

－4

ac

＞0，则|

b

2

－4

ac

|＝

b

2

－4

ac

．

∵

a

＞0，∴

AB

＝，

又∵

CE

＝||＝，

∴，

∴，

∴，

∵

b

2

－4

ac

＞0，

∴

b

2

－4

ac

＝4；

(2)当△

ABC

为等边三角形时，

由(1)可知

CE

＝，

∴，

∵

b

2

－4

ac

＞0，

∴

b

2

－4

ac

＝12．

点评：

本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与

x

轴的交点及根与系数的

关系定理，综合性较强，难度中等．