2024年3月31日发(作者：睢浩气)

流体的粘滞切应力：

【例1-1】 一平板距另一固定平板δ=0.5mm，二板水平放置，其间充满流体，上板在单位

面积上为τ=2N/m2的力作用下，以μ=0.25m/s的速度移动，求该流体的动力黏度。

【解】由牛顿内摩擦定律 由于两平板间隙很小，速度分布可认为是线性分布，

可用增量来表示微分 (pa.s)

【例1-2】 长度L=1m，直径D=200mm水平放置的圆柱体，置于内径D1=206mm的圆

管中以u=1m/s的速度移动，已知间隙中油液的相对密度为d=0.92，运动黏度 =5.6×

10-4m2/s，求所需拉力F为多少？

解】 间隙中油的密度为

（kg/m3）

动力黏度为

由牛顿内摩擦定律 由于间隙很小，速度可认为是线性分布

（Pa·s）

如图所示，转轴直径=0.36m，轴承长度=1m，轴与轴承之间的缝隙＝0.2mm，其中充满动

力粘度＝0.72 Pa.s的油，如果轴的转速200rpm，求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

面上的线速度：

解：油层与轴承接触面上的速度为零，与轴接触面上的速度等于轴

设油层在缝隙内的速度分布为直线分布，即 则轴表面上总的切向力为：

克服摩擦所消耗的功率为：

三、解题步骤

1.判断形心位置；

2.计算左边的总压力和作用点；

3.计算右边的总压力和作用点；

4.计算总压力F=F1-F2；

5.由力矩平衡，计算总压力的作用点。

静水奇象 应用：对容器底部进行严密性检查

一块平板矩形闸门可绕铰轴A转动，如图示。已知θ=60°，H=6 m，h1=1.5 m，h=2m，不

计闸门自重以及摩擦力，求开启单位宽度b=1 m（垂直于纸面）的闸门所需的提升力F？

四、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序

(1)将总压力分解为水平分力Fx和垂直分力Fz (2)水平分力的计算

(3)确定压力体的体积(4)垂直分力的计算，

(5)总压力的计算，

方向由虚、实压力体确

(6)总压力方向的确定，

[例2-７]下图表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为h1=2m，h2=4m，

试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。

【解】 淹没在自由液面下h1深的矩形水闸的形心yc=hc=h1/2

每米宽水闸左边的总压力为

由作用点F1位置

其中通过形心轴的惯性矩IC=bh31/12，所以

即F1的作用点位置在离底1/3h=2/3m处。淹没在自由液面下h2深的矩形水闸的形心

yc=hc=h2/2。每米宽水闸右边的总压力为

同理，F2作用点的位置在离底1/3h2=2/3m处。

每米宽水闸上所承受的净总压力为 F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ）

假设净总压力的作用点离底的距离为h，可按力矩方程求得其值。围绕水闸底O处的力矩应

a

该平衡，即

b

c

[例2-８]试绘制图中abc曲面上的压力体。

[例２-９]图示压力容器系由两个半球用N个高强螺栓连接而成。已知容器内盛密度为ρ的

液体，试求每个螺栓所受的拉力FT。

z

F

NF

[解]取上半球为隔离体进行受力分析，据∑Fz=0得 FT=PZ/N

pz

abc

T



V

p





R

2

(HR)

2R



R

3





R

2

(H)

33

其中Pz为作用在上半球面上的铅垂分力，可用压力体概念求解。故FT=PZ/N =ρgVP/N

【例2-１０】 求图所示流体施加到水平放置的单位长度圆柱体上的水平分力和垂直分力：

（a）如果圆柱体左侧的流体是一种计示压强为35kPa被密封的箱内的气体；（b）如果圆柱

体左侧的流体是水，水面与圆柱体最高部分平齐，水箱开口通大气。

【解】 （a）圆柱体表面所研究部分的净垂直投影为Az=[4-2(1-cos300)] ×1

则35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为

Fx=pAz=35×[4-2(1-cos300)] ×1=353.75=130.5(kN)

圆柱体表面所研究部分的净水平投影为Ax=2sin300×1

则气体作用在单位长度圆柱体上的垂直分力为Fz=pAx=35×2sin300×1=35(kN)

（b） Fx=ρghcAx=9.81×(1/2×3.73) ×(3.73×1)×1000=68.1（kN）

Fz=ρgVp=9.81×1000×(2100/3600×22+1/2×1×1.732+1×2) ×1=100.5(KN)

【例2-１１】 如图所示为一水箱，左端为一半球形端盖，右端为一平板端盖。水箱上部有

一加水管。已知h=600mm，R=150mm，试求两端盖所受的总压力及方向。

【解】 （1）右端盖是一圆平面，面积为A右=πR2

其上作用的总压力有F右=ρg(h+R)A右=ρg(h+R) πR2=1000×9.806×(0.6+0.15)×3.14

×0.152=520 （N）方向垂直于端盖水平向右

（2）左端盖是一半球面，分解为水平方向分力Fx左和垂直方向分力Fz左。 Fx左=ρg(h+R)Ax=

ρg(h+R) πR2 =1000×9.806×(0.6+0.15)×3.14×0.152=520 （N）方向水平向左

垂直方向分力由压力体来求，将半球面分成AB、BE两部分，AB部分压力体为ABCDEOA，

即图中左斜线部分，记为VABCDEOA，它为实压力体，方向向下；BE部分压力体为BCDEB，

即图中右斜线部分，记为VBCDEB ，它为虚压力体，方向向上。因此总压力体为它们的代数

和。Vp= VABCDEOA -VBCDEB=VABEOA。 Vp正好为半球的体积，所以Vp=1/2× 4/3× π

R3。Fz左=ρg Vp= ρg2/3πR3= 103×9.806×2/3×3.14×0.153=69.3(N)方向垂直向下

总作用力为（N）

合力通过球心与水平方向夹角为

伯努利方程：

方程的物理意义：理想不可压缩的重力流体作一维定常流动时，在同一流线的不同点上或者

同一微元流束的不同截面上，单位重量流体的动能、位置势能和压强势能之和等于常数。

方程的几何意义：理想不可压缩的重力流体作一维定常流动时，沿任意流线或者微元流束，

单位重量流体的速度水头、位置水头、压强水头之和为常数，即总水头线为平行于基准面的

水平线。

总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长，相互转换，

但总量不会增减。

设 为单位重量流体沿线的机械能损失，亦称水头损失，则据能量恒定律，可得实际流

体定常元流的伯努利方程

将实际流体定常元流的伯努利方程推广到总流：

动能修正系数。近似地取 α =1.0 .

。α 称为

式中：H为单位重量流体流过水泵、风机所获得的能量

（取“+”）或流进水轮机失去的能量（取“-”）

水力坡度表示单位重量流体在单位长度流程上损失的平均水头。

应用条件：（1）流动必须是恒定流，并且流体是不可压缩的。（2）作用于流体上的质量力只

有重力。（3）所取的上下游两个断面应在渐变流段中，以符合断面上测压管水头等于常数这

一条件。但在两个断面之间流动可以不是渐变流。断面应选在已知条件较多的位置。在渐变

流断面上取任何一点的测压管水头值都可作为整个断面的平均值，为简便通常取管道中心点

或渠道水面点。（4）两断面之间没有分流和汇流，流量保持不变。

毕托管测速： φ =0.97。

原理：测量时将静压孔（顺流孔）和总压孔（迎流孔）感受到的压强分别和差压计的两个入

口相连，在差压计上可以读出总压和静压之差，从而求得被测点的流速

如图所示，在D=150mm的水管中，装一附有水银压差计的毕托管，用以测量管轴心处的流

速。如果1、2两点相距很近且毕托管加工良好，水流经过时没有干扰；管中水流平均速度

为管轴处流速的0.84倍。问此时水管中的流量为多少？

解：要求流量，先求流速。假设在过水断面上1-1及2-2上压强按

静压规律分布，即：

文丘里(Venturi)流量计 若ρ液， ρ ，A2，A1已知，只要测量出h液，就可以确定流体的

速度。流量为：

动量方程：

（二）恒定总流动量方程的应用条件和注意事项

a）水流是恒定流，并且控制体的进出口断面都是渐变流，但两个断面之间可以是急变流。

b）动量方程是矢量方程，方程中的流速和作用力都具有方向的。因此，应用动量方程解题

必须建立坐标系。还必须注意，当流速或者作用力的投影分量与坐标方向一致时，则为正值，

否则应为负值。c）动量方程式的右端应该是流出液体的动量减去流入液体的动量。 d）∑F

包括作用在控制体上的全部外力，不能遗漏，也不能多选外力。通常包括重力（质量力）、

压力和周围固体边界对水体的反作用力。求水流与固体边界之间的作用力是应用动量方程解

题的主要任务，当所求的力的方向不能事先确定时，可以先假设其方向进行求解。如果求出

该力为正值，表示假设方向正确；否则表示该力的实际作用方向与假设方向相反。e）动量

方程只能求解一个未知数，如果方程中的未知数多于1个，必须与连续方程、能量方程联合

求解。f）对于有分岔的管道，动量方程的矢量形式为

[例3-6] 如图所示管流，已知H、d、hW，试求通过流量Q，并绘制总水头线和测压管水头

线。[解]据1→2建立总流的伯努利方程，有

【例3-7】 有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个

大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管

直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。

【解】当阀门全开时列1-1、2-2截面的伯努利方程

根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出Ｈ值

当阀门关闭时，

，则

代入，

[例3-8] 如图所示矩形断面平坡渠道中水流越过一平顶障碍物。已知

m，渠宽 m，渠道通过能力

m

，试求水流对障碍物通水间的冲击力F。

取图示控制体，并进行受力分析。建立xoz坐标系。在x方向建立动量方程（取

P

1







，

式

代入动量方程，得

）。

h

1

bh

1

29.5kN

2

h

P

2







2

bh

2

1.8kN

2

【例3-9】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面

1-1上压力表读数p1=17.6×104Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，d2=200㎜，

转角Θ=600，如图所示。求水对弯管作用力F的大小

【解】水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管壁对水的反作用力R平衡。

管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。

取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。

1.根据连续性方程可求得：，

2.列管道进、出口的伯努利方程

则

3.所取控制体受力分析进、出口控制面上得总压力：

，

壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图所示。

4.写出动量方程

选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，

为负值。沿x轴方向

沿y轴方向，

管壁对水的反作用力。水流对弯管的作用

力F与R大小相等，方向相反。

离心式水泵的水力计算

二、主要参数

流量Q 扬程H（泵供给单位重量液体的能量）功率输入功率（轴功率）NX

输出功率（有效功率） 效率 转速n 允许真空度

据工作点Q、H→计算 →据 → Nx。

例2]已知，求水泵安装高度。

从 1→2 建立伯努利方程，有

水泵的允许安装高度

水泵扬程：

2024年3月31日发(作者：睢浩气)

流体的粘滞切应力：

【例1-1】 一平板距另一固定平板δ=0.5mm，二板水平放置，其间充满流体，上板在单位

面积上为τ=2N/m2的力作用下，以μ=0.25m/s的速度移动，求该流体的动力黏度。

【解】由牛顿内摩擦定律 由于两平板间隙很小，速度分布可认为是线性分布，

可用增量来表示微分 (pa.s)

【例1-2】 长度L=1m，直径D=200mm水平放置的圆柱体，置于内径D1=206mm的圆

管中以u=1m/s的速度移动，已知间隙中油液的相对密度为d=0.92，运动黏度 =5.6×

10-4m2/s，求所需拉力F为多少？

解】 间隙中油的密度为

（kg/m3）

动力黏度为

由牛顿内摩擦定律 由于间隙很小，速度可认为是线性分布

（Pa·s）

如图所示，转轴直径=0.36m，轴承长度=1m，轴与轴承之间的缝隙＝0.2mm，其中充满动

力粘度＝0.72 Pa.s的油，如果轴的转速200rpm，求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

面上的线速度：

解：油层与轴承接触面上的速度为零，与轴接触面上的速度等于轴

设油层在缝隙内的速度分布为直线分布，即 则轴表面上总的切向力为：

克服摩擦所消耗的功率为：

三、解题步骤

1.判断形心位置；

2.计算左边的总压力和作用点；

3.计算右边的总压力和作用点；

4.计算总压力F=F1-F2；

5.由力矩平衡，计算总压力的作用点。

静水奇象 应用：对容器底部进行严密性检查

一块平板矩形闸门可绕铰轴A转动，如图示。已知θ=60°，H=6 m，h1=1.5 m，h=2m，不

计闸门自重以及摩擦力，求开启单位宽度b=1 m（垂直于纸面）的闸门所需的提升力F？

四、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序

(1)将总压力分解为水平分力Fx和垂直分力Fz (2)水平分力的计算

(3)确定压力体的体积(4)垂直分力的计算，

(5)总压力的计算，

方向由虚、实压力体确

(6)总压力方向的确定，

[例2-７]下图表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为h1=2m，h2=4m，

试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。

【解】 淹没在自由液面下h1深的矩形水闸的形心yc=hc=h1/2

每米宽水闸左边的总压力为

由作用点F1位置

其中通过形心轴的惯性矩IC=bh31/12，所以

即F1的作用点位置在离底1/3h=2/3m处。淹没在自由液面下h2深的矩形水闸的形心

yc=hc=h2/2。每米宽水闸右边的总压力为

同理，F2作用点的位置在离底1/3h2=2/3m处。

每米宽水闸上所承受的净总压力为 F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ）

假设净总压力的作用点离底的距离为h，可按力矩方程求得其值。围绕水闸底O处的力矩应

a

该平衡，即

b

c

[例2-８]试绘制图中abc曲面上的压力体。

[例２-９]图示压力容器系由两个半球用N个高强螺栓连接而成。已知容器内盛密度为ρ的

液体，试求每个螺栓所受的拉力FT。

z

F

NF

[解]取上半球为隔离体进行受力分析，据∑Fz=0得 FT=PZ/N

pz

abc

T



V

p





R

2

(HR)

2R



R

3





R

2

(H)

33

其中Pz为作用在上半球面上的铅垂分力，可用压力体概念求解。故FT=PZ/N =ρgVP/N

【例2-１０】 求图所示流体施加到水平放置的单位长度圆柱体上的水平分力和垂直分力：

（a）如果圆柱体左侧的流体是一种计示压强为35kPa被密封的箱内的气体；（b）如果圆柱

体左侧的流体是水，水面与圆柱体最高部分平齐，水箱开口通大气。

【解】 （a）圆柱体表面所研究部分的净垂直投影为Az=[4-2(1-cos300)] ×1

则35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为

Fx=pAz=35×[4-2(1-cos300)] ×1=353.75=130.5(kN)

圆柱体表面所研究部分的净水平投影为Ax=2sin300×1

则气体作用在单位长度圆柱体上的垂直分力为Fz=pAx=35×2sin300×1=35(kN)

（b） Fx=ρghcAx=9.81×(1/2×3.73) ×(3.73×1)×1000=68.1（kN）

Fz=ρgVp=9.81×1000×(2100/3600×22+1/2×1×1.732+1×2) ×1=100.5(KN)

【例2-１１】 如图所示为一水箱，左端为一半球形端盖，右端为一平板端盖。水箱上部有

一加水管。已知h=600mm，R=150mm，试求两端盖所受的总压力及方向。

【解】 （1）右端盖是一圆平面，面积为A右=πR2

其上作用的总压力有F右=ρg(h+R)A右=ρg(h+R) πR2=1000×9.806×(0.6+0.15)×3.14

×0.152=520 （N）方向垂直于端盖水平向右

（2）左端盖是一半球面，分解为水平方向分力Fx左和垂直方向分力Fz左。 Fx左=ρg(h+R)Ax=

ρg(h+R) πR2 =1000×9.806×(0.6+0.15)×3.14×0.152=520 （N）方向水平向左

垂直方向分力由压力体来求，将半球面分成AB、BE两部分，AB部分压力体为ABCDEOA，

即图中左斜线部分，记为VABCDEOA，它为实压力体，方向向下；BE部分压力体为BCDEB，

即图中右斜线部分，记为VBCDEB ，它为虚压力体，方向向上。因此总压力体为它们的代数

和。Vp= VABCDEOA -VBCDEB=VABEOA。 Vp正好为半球的体积，所以Vp=1/2× 4/3× π

R3。Fz左=ρg Vp= ρg2/3πR3= 103×9.806×2/3×3.14×0.153=69.3(N)方向垂直向下

总作用力为（N）

合力通过球心与水平方向夹角为

伯努利方程：

方程的物理意义：理想不可压缩的重力流体作一维定常流动时，在同一流线的不同点上或者

同一微元流束的不同截面上，单位重量流体的动能、位置势能和压强势能之和等于常数。

方程的几何意义：理想不可压缩的重力流体作一维定常流动时，沿任意流线或者微元流束，

单位重量流体的速度水头、位置水头、压强水头之和为常数，即总水头线为平行于基准面的

水平线。

总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长，相互转换，

但总量不会增减。

设 为单位重量流体沿线的机械能损失，亦称水头损失，则据能量恒定律，可得实际流

体定常元流的伯努利方程

将实际流体定常元流的伯努利方程推广到总流：

动能修正系数。近似地取 α =1.0 .

。α 称为

式中：H为单位重量流体流过水泵、风机所获得的能量

（取“+”）或流进水轮机失去的能量（取“-”）

水力坡度表示单位重量流体在单位长度流程上损失的平均水头。

应用条件：（1）流动必须是恒定流，并且流体是不可压缩的。（2）作用于流体上的质量力只

有重力。（3）所取的上下游两个断面应在渐变流段中，以符合断面上测压管水头等于常数这

一条件。但在两个断面之间流动可以不是渐变流。断面应选在已知条件较多的位置。在渐变

流断面上取任何一点的测压管水头值都可作为整个断面的平均值，为简便通常取管道中心点

或渠道水面点。（4）两断面之间没有分流和汇流，流量保持不变。

毕托管测速： φ =0.97。

原理：测量时将静压孔（顺流孔）和总压孔（迎流孔）感受到的压强分别和差压计的两个入

口相连，在差压计上可以读出总压和静压之差，从而求得被测点的流速

如图所示，在D=150mm的水管中，装一附有水银压差计的毕托管，用以测量管轴心处的流

速。如果1、2两点相距很近且毕托管加工良好，水流经过时没有干扰；管中水流平均速度

为管轴处流速的0.84倍。问此时水管中的流量为多少？

解：要求流量，先求流速。假设在过水断面上1-1及2-2上压强按

静压规律分布，即：

文丘里(Venturi)流量计 若ρ液， ρ ，A2，A1已知，只要测量出h液，就可以确定流体的

速度。流量为：

动量方程：

（二）恒定总流动量方程的应用条件和注意事项

a）水流是恒定流，并且控制体的进出口断面都是渐变流，但两个断面之间可以是急变流。

b）动量方程是矢量方程，方程中的流速和作用力都具有方向的。因此，应用动量方程解题

必须建立坐标系。还必须注意，当流速或者作用力的投影分量与坐标方向一致时，则为正值，

否则应为负值。c）动量方程式的右端应该是流出液体的动量减去流入液体的动量。 d）∑F

包括作用在控制体上的全部外力，不能遗漏，也不能多选外力。通常包括重力（质量力）、

压力和周围固体边界对水体的反作用力。求水流与固体边界之间的作用力是应用动量方程解

题的主要任务，当所求的力的方向不能事先确定时，可以先假设其方向进行求解。如果求出

该力为正值，表示假设方向正确；否则表示该力的实际作用方向与假设方向相反。e）动量

方程只能求解一个未知数，如果方程中的未知数多于1个，必须与连续方程、能量方程联合

求解。f）对于有分岔的管道，动量方程的矢量形式为

[例3-6] 如图所示管流，已知H、d、hW，试求通过流量Q，并绘制总水头线和测压管水头

线。[解]据1→2建立总流的伯努利方程，有

【例3-7】 有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个

大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管

直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。

【解】当阀门全开时列1-1、2-2截面的伯努利方程

根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出Ｈ值

当阀门关闭时，

，则

代入，

[例3-8] 如图所示矩形断面平坡渠道中水流越过一平顶障碍物。已知

m，渠宽 m，渠道通过能力

m

，试求水流对障碍物通水间的冲击力F。

取图示控制体，并进行受力分析。建立xoz坐标系。在x方向建立动量方程（取

P

1







，

式

代入动量方程，得

）。

h

1

bh

1

29.5kN

2

h

P

2







2

bh

2

1.8kN

2

【例3-9】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面

1-1上压力表读数p1=17.6×104Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，d2=200㎜，

转角Θ=600，如图所示。求水对弯管作用力F的大小

【解】水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管壁对水的反作用力R平衡。

管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。

取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。

1.根据连续性方程可求得：，

2.列管道进、出口的伯努利方程

则

3.所取控制体受力分析进、出口控制面上得总压力：

，

壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图所示。

4.写出动量方程

选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，

为负值。沿x轴方向

沿y轴方向，

管壁对水的反作用力。水流对弯管的作用

力F与R大小相等，方向相反。

离心式水泵的水力计算

二、主要参数

流量Q 扬程H（泵供给单位重量液体的能量）功率输入功率（轴功率）NX

输出功率（有效功率） 效率 转速n 允许真空度

据工作点Q、H→计算 →据 → Nx。

例2]已知，求水泵安装高度。

从 1→2 建立伯努利方程，有

水泵的允许安装高度

水泵扬程：