2024年4月8日发(作者：宰父醉巧)

第六章 微分方程

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。

2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解二阶的常系数齐次线性微

分方程。

5.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数

非齐次线性微分方程的特解和通解。

教学重点：

1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

2、二阶常系数齐次线性微分方程；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非

齐次线性微分方程；

教学难点：

1、 齐次微分方程；

2、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非

齐次线性微分方程的特解。

教学过程：

6.1 微分方程的基本概念

一、引 例

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事

物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义

在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况

有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程

微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程本章主要

介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法。

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点

M

(

x



y

)处的切线的斜率为2

x

 求

这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为

y



y

(

x

) 根据导数的几何意义 可知未知函数

y



y

(

x

)应

满足关系式(称为微分方程)

dy

2x

 (1)

dx

此外 未知函数

y



y

(

x

)还应满足下列条件

x

1时

y

2 简记为

y

|

x



1

2 (2)

把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

y



2xdx

 即

y



x

2



C

 (3)

其中

C

是任意常数

把条件“

x

1时

y

2”代入(3)式 得

21

2



C



由此定出

C

1 把

C

1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件

y

|

x



1

2

的解)

y



x

2

1

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获

得加速度04m/s

2

 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行

驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后

t

秒时行驶了

s

米 根据题意 反映制动阶段列车运动

规律的函数

s



s

(

t

)应满足关系式

d

2

s

0.4

2

 (4)

dt

此外 未知函数

s



s

(

t

)还应满足下列条件

t

0时

s

0

v

ds

20

 简记为

s

|

t



0

=0

s

|

t



0

=20 (5)

dt

把(4)式两端积分一次 得

v

ds

0.4tC

1

 (6)

dt

再积分一次 得

s

02

t

2



C

1

t



C

2

 (7)

这里

C

1



C

2

都是任意常数

把条件

v

|

t



0

20代入(6)得

20

C

1



把条件

s

|

t



0

0代入(7)得0

C

2



把

C

1



C

2

的值代入(6)及(7)式得

v

04

t

20 (8)

s

02

t

2

20

t

 (9)

2024年4月8日发(作者：宰父醉巧)

第六章 微分方程

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。

2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解二阶的常系数齐次线性微

分方程。

5.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数

非齐次线性微分方程的特解和通解。

教学重点：

1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

2、二阶常系数齐次线性微分方程；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非

齐次线性微分方程；

教学难点：

1、 齐次微分方程；

2、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非

齐次线性微分方程的特解。

教学过程：

6.1 微分方程的基本概念

一、引 例

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事

物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义

在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况

有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程

微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程本章主要

介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法。

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点

M

(

x



y

)处的切线的斜率为2

x

 求

这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为

y



y

(

x

) 根据导数的几何意义 可知未知函数

y



y

(

x

)应

满足关系式(称为微分方程)

dy

2x

 (1)

dx

此外 未知函数

y



y

(

x

)还应满足下列条件

x

1时

y

2 简记为

y

|

x



1

2 (2)

把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

y



2xdx

 即

y



x

2



C

 (3)

其中

C

是任意常数

把条件“

x

1时

y

2”代入(3)式 得

21

2



C



由此定出

C

1 把

C

1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件

y

|

x



1

2

的解)

y



x

2

1

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获

得加速度04m/s

2

 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行

驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后

t

秒时行驶了

s

米 根据题意 反映制动阶段列车运动

规律的函数

s



s

(

t

)应满足关系式

d

2

s

0.4

2

 (4)

dt

此外 未知函数

s



s

(

t

)还应满足下列条件

t

0时

s

0

v

ds

20

 简记为

s

|

t



0

=0

s

|

t



0

=20 (5)

dt

把(4)式两端积分一次 得

v

ds

0.4tC

1

 (6)

dt

再积分一次 得

s

02

t

2



C

1

t



C

2

 (7)

这里

C

1



C

2

都是任意常数

把条件

v

|

t



0

20代入(6)得

20

C

1



把条件

s

|

t



0

0代入(7)得0

C

2



把

C

1



C

2

的值代入(6)及(7)式得

v

04

t

20 (8)

s

02

t

2

20

t

 (9)