2024年4月12日发(作者：常秀慧)

北斗联盟2022学年第二学期期中联考

高一年级数学学科试题

考生须知：

1.

本卷共

4

页，满分

150

分，考试时间

120

分钟；

2.

答题前在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4.

考试结束后，只需上交答题纸

.

选择题部分

一、选择题：本题共

8

小题，每小题

5

分，共

40

分

.

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的

.

1.设集合

Ax1x3

，

Bx0x4

，则

AB

（）

A.



1,3



B.



,4



C.



0,3



D.



1,4





2.已知复数

zabi



a,bR



是复数

A.

4

B.

2

2

的共轭复数，则

3ab

（）

1i

C.4D.2

3.已知

aR

，则



a1



a2



0

是

0a1

成立的（）

A.充分不必要条件

C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件











4.在

△ABC

中，

AD3DC

，记

BAa

，

BDb

，则

BC

（）

1



4



A.

ab

33

x

4



1



B.

ab

33



x

1



4



C.

ab

33

4



1



D.

ab

33

5.已知函数

f



x





e



e

，

g



x



sinx

，则图象为如图的函数可能是（）

A.

y



g



x



f



x



B.

yf



x



g



x





1

4

C.

y



f



x



g



x



D.

yf



x



g



x





1

4

6.由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的

四棱锥），其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为

积与该四棱锥的侧面积之比为（）

5



1

，则以该四棱锥的高为边长的正方形面

4

A.2B.

1

4

C.

1

2

D.4

7.记函数

f



x





sin





x







2









T





，且

yf



x



的图象关于点的最小正周期为，若

T



b





0





3

4





3







,2



中心对称，则



2



A.







f





（）



5



B.1C.

3



2

2

2



2

2

D.3

8.扇形中，

OA2

，

AOB90

，

M

是

OB

的中点，

P

是弧

AB

上的动点，

N

是线段

OA

上的动点，则



PMPN

的最小值为（）

A.

425

B.

254

C.

25

D.

25

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得

5

分，部分选对的得

2

分，有选错的得

0

分

.

9.下列四个命题中，假命题为（）

A.若复数

z

满足

zR

，则

zR

C.若复数

z

满足

zR

，则

zR

10.下列关于平面向量的说法中正确的是（）

2

B.若复数

z

满足

1



R

，则

zR

z

D.若复数

z

1

，

z

2

满足

z

1

z

2

R

，则

z

1

z

2

















A.设

a

，

b

为非零向量，则“

ab

”是“

abab

”的充要条件

B.在

△ABC

中，

sinAsinBsinC2sinBsinCcosA

222









C.设向量

a



1,2



，

b



2,





，若

a

与

b

的夹角为钝角，则实数



1



D.点

M

是

△ABC

所在平面中的一点，若

AMBMCM

，则点

M

是

△ABC

的重心

11.已知正实数

a

，

b

满足

ababab1

，则下列选项不正确的是（）

A.

ab

的最大值为4

C.

ab

的最大值为3

22

22

B.

ab

的最小值为

22

1



5

2

D.

ab

的最小值为2

12.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，

自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式

S



1



22



c

2



a

2



b

2





ca





4



2





2





（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示。在

△ABC

中，a、b、c





分别为角A、B、C所对的边，若

b2

，且

A.

△ABC

面积的最大值是

3

C.

b

1



3cos

B

1

，则下列命题正确的是（）



tan

C

3sin

B

B.

c3a

3c

D.

△ABC

面积的最大值是

23

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.



0.25





0



______.





14.已知向量

m



2,3



，

n



1,2



，则向量

m

在向量

n

上的投影向量是______（坐标表示）.

13.计算：

3

log

3

2



1

2

15.若圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的母线长是______.

16.对于函数

f



x



和

g



x



，设



xf



x



0

，



xg



x



0

，若存在



，



，使得







7

，则

称函数

f



x



和

g



x



互为“零点相伴函数”，若函数

f



x



ln



x8



x9

与



g



x







log

2

x







a1



log

2

x3

互为“零点相伴函数”，则实数

a

的取值范围为______.

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.



2









17.（本题10分）已知向量

a1,3

，

b1

，且

a

与

b

夹角为，

3







（1）求

a2b

；





（2）若

akbba

，求实数

k

的值.



18.（本题12分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知

A



B



4

，

B



C



1

，

A



D





5

，且

AD



∥B



C



.

2

（1）求原平面图形

ABCD

的面积；

（2）将原平面图形

ABCD

绕

BC

旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

19.（本题12分）已知函数

f



x



cosxsinxsinx23cosx1

，



xR



.

2



（1）求函数

f



x



的最小正周期及单调递增区间；

（2）函数

f



x



的图象沿

x

轴向左平移

最值.

20.（本题12分）在①







7





个单位长度得到函数

g



x



的图象，求

g



x



在区间

,



上的



6



1212



sin

B



sin

Ac



；②

2bsinAatanB

；③



ac



sinAcsin



AB



bsinB

；

sin

C



sin

Aa



b

这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知

△ABC

的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______

（1）若

b2

，求

△ABC

的外接圆面积；



3



（2）若

b1

，且

△ABC

的面积

S





0,



，求

△ABC

的周长

l

的取值范围.

12



21.（本题12分）如图，为了迎接亚运会，某公园修建了三条围成一个直角三角形的观光大道AB，BC，AC，

其中直角边

BC200m

，斜边

AB400m

，现有一个旅游团队到此旅游，甲、乙、丙三位游客分别在AB，

BC，AC这三条观光大道上行走游览。

（1）若甲以每分钟

40m

的速度、乙以每分钟

120m

的速度都从点

B

出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分

钟出发，当乙出发1分钟后到达

E

，甲到达

D

，求此时甲、乙两人之间的距离；

（2）甲、乙、丙所在位置分别记为点D，E，F。设

CEF



，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2

倍，且



DEF





，请将甲、乙之间的距离

y

表示为



的函数，并求甲、乙之间的最小距离.

3

x

22.（本题12分）已知函数

f



x





e



x

R



，其中

e

为自然对数的底数，记

g



x



f



x



f



x



.

（1）解不等式

f



2x



2f



x



8

；

（2）若存在

x

0



0,ln2



，使得

g



2x

0



kg





2



x

0



1

成立，求实数

k

的取值范围.

北斗联盟2022学年第二学期期中联考

高一年级数学学科参考答案

一、选择题：本题共

8

小题，每小题

5

分，共

40

分

.

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

题号

选项

1

D

2

C

3

B

4

C

5

A

6

B

7

C

8

A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

题号

选项

9

CD

10

ABD

11

ABC

12

AB

三、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分

.

13.514.







48



,



55



15.2016.

23



1,







15



4





三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.





17.（本题10分）解：（1）因为

a1,3

，∴

a2

……1分



2024年4月12日发(作者：常秀慧)

北斗联盟2022学年第二学期期中联考

高一年级数学学科试题

考生须知：

1.

本卷共

4

页，满分

150

分，考试时间

120

分钟；

2.

答题前在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4.

考试结束后，只需上交答题纸

.

选择题部分

一、选择题：本题共

8

小题，每小题

5

分，共

40

分

.

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的

.

1.设集合

Ax1x3

，

Bx0x4

，则

AB

（）

A.



1,3



B.



,4



C.



0,3



D.



1,4





2.已知复数

zabi



a,bR



是复数

A.

4

B.

2

2

的共轭复数，则

3ab

（）

1i

C.4D.2

3.已知

aR

，则



a1



a2



0

是

0a1

成立的（）

A.充分不必要条件

C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件











4.在

△ABC

中，

AD3DC

，记

BAa

，

BDb

，则

BC

（）

1



4



A.

ab

33

x

4



1



B.

ab

33



x

1



4



C.

ab

33

4



1



D.

ab

33

5.已知函数

f



x





e



e

，

g



x



sinx

，则图象为如图的函数可能是（）

A.

y



g



x



f



x



B.

yf



x



g



x





1

4

C.

y



f



x



g



x



D.

yf



x



g



x





1

4

6.由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的

四棱锥），其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为

积与该四棱锥的侧面积之比为（）

5



1

，则以该四棱锥的高为边长的正方形面

4

A.2B.

1

4

C.

1

2

D.4

7.记函数

f



x





sin





x







2









T





，且

yf



x



的图象关于点的最小正周期为，若

T



b





0





3

4





3







,2



中心对称，则



2



A.







f





（）



5



B.1C.

3



2

2

2



2

2

D.3

8.扇形中，

OA2

，

AOB90

，

M

是

OB

的中点，

P

是弧

AB

上的动点，

N

是线段

OA

上的动点，则



PMPN

的最小值为（）

A.

425

B.

254

C.

25

D.

25

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得

5

分，部分选对的得

2

分，有选错的得

0

分

.

9.下列四个命题中，假命题为（）

A.若复数

z

满足

zR

，则

zR

C.若复数

z

满足

zR

，则

zR

10.下列关于平面向量的说法中正确的是（）

2

B.若复数

z

满足

1



R

，则

zR

z

D.若复数

z

1

，

z

2

满足

z

1

z

2

R

，则

z

1

z

2

















A.设

a

，

b

为非零向量，则“

ab

”是“

abab

”的充要条件

B.在

△ABC

中，

sinAsinBsinC2sinBsinCcosA

222









C.设向量

a



1,2



，

b



2,





，若

a

与

b

的夹角为钝角，则实数



1



D.点

M

是

△ABC

所在平面中的一点，若

AMBMCM

，则点

M

是

△ABC

的重心

11.已知正实数

a

，

b

满足

ababab1

，则下列选项不正确的是（）

A.

ab

的最大值为4

C.

ab

的最大值为3

22

22

B.

ab

的最小值为

22

1



5

2

D.

ab

的最小值为2

12.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，

自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式

S



1



22



c

2



a

2



b

2





ca





4



2





2





（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示。在

△ABC

中，a、b、c





分别为角A、B、C所对的边，若

b2

，且

A.

△ABC

面积的最大值是

3

C.

b

1



3cos

B

1

，则下列命题正确的是（）



tan

C

3sin

B

B.

c3a

3c

D.

△ABC

面积的最大值是

23

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.



0.25





0



______.





14.已知向量

m



2,3



，

n



1,2



，则向量

m

在向量

n

上的投影向量是______（坐标表示）.

13.计算：

3

log

3

2



1

2

15.若圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的母线长是______.

16.对于函数

f



x



和

g



x



，设



xf



x



0

，



xg



x



0

，若存在



，



，使得







7

，则

称函数

f



x



和

g



x



互为“零点相伴函数”，若函数

f



x



ln



x8



x9

与



g



x







log

2

x







a1



log

2

x3

互为“零点相伴函数”，则实数

a

的取值范围为______.

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.



2









17.（本题10分）已知向量

a1,3

，

b1

，且

a

与

b

夹角为，

3







（1）求

a2b

；





（2）若

akbba

，求实数

k

的值.



18.（本题12分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知

A



B



4

，

B



C



1

，

A



D





5

，且

AD



∥B



C



.

2

（1）求原平面图形

ABCD

的面积；

（2）将原平面图形

ABCD

绕

BC

旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

19.（本题12分）已知函数

f



x



cosxsinxsinx23cosx1

，



xR



.

2



（1）求函数

f



x



的最小正周期及单调递增区间；

（2）函数

f



x



的图象沿

x

轴向左平移

最值.

20.（本题12分）在①







7





个单位长度得到函数

g



x



的图象，求

g



x



在区间

,



上的



6



1212



sin

B



sin

Ac



；②

2bsinAatanB

；③



ac



sinAcsin



AB



bsinB

；

sin

C



sin

Aa



b

这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知

△ABC

的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______

（1）若

b2

，求

△ABC

的外接圆面积；



3



（2）若

b1

，且

△ABC

的面积

S





0,



，求

△ABC

的周长

l

的取值范围.

12



21.（本题12分）如图，为了迎接亚运会，某公园修建了三条围成一个直角三角形的观光大道AB，BC，AC，

其中直角边

BC200m

，斜边

AB400m

，现有一个旅游团队到此旅游，甲、乙、丙三位游客分别在AB，

BC，AC这三条观光大道上行走游览。

（1）若甲以每分钟

40m

的速度、乙以每分钟

120m

的速度都从点

B

出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分

钟出发，当乙出发1分钟后到达

E

，甲到达

D

，求此时甲、乙两人之间的距离；

（2）甲、乙、丙所在位置分别记为点D，E，F。设

CEF



，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2

倍，且



DEF





，请将甲、乙之间的距离

y

表示为



的函数，并求甲、乙之间的最小距离.

3

x

22.（本题12分）已知函数

f



x





e



x

R



，其中

e

为自然对数的底数，记

g



x



f



x



f



x



.

（1）解不等式

f



2x



2f



x



8

；

（2）若存在

x

0



0,ln2



，使得

g



2x

0



kg





2



x

0



1

成立，求实数

k

的取值范围.

北斗联盟2022学年第二学期期中联考

高一年级数学学科参考答案

一、选择题：本题共

8

小题，每小题

5

分，共

40

分

.

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

题号

选项

1

D

2

C

3

B

4

C

5

A

6

B

7

C

8

A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

题号

选项

9

CD

10

ABD

11

ABC

12

AB

三、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分

.

13.514.







48



,



55



15.2016.

23



1,







15



4





三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.





17.（本题10分）解：（1）因为

a1,3

，∴

a2

……1分

