2024年4月12日发(作者：班伟诚)

2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案

考试时间2019年3月17日9∶00－11∶00满分150分

一、选择题（共

5

小题，每小题

7

分，共

35

分）。每道小题均给出了代号为

A

，

B

，

C

，

D

的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，

不填、多填或错填都得

0

分）

1．若一次函数

yx2

与反比例函数

y



x

1

x

2

y

1

y

2

的值为（

4

y

1

)

，

B(x

2

，y

2

)

两点，则

的图像交于

A(x

1

，

x

）

C

．

6

D

．

8

A

．

8

【答案】

B

．

6

D



y



x



2



2

【解答】由



4

，得

x2x40

……………①。

y





x



依题意，

x

1

，

x

2

是方程①的两根，于是

x

1

x

2

2

，

x

1

x

2

4

。

∴

x

1

x

2



y

1

y

2



x

1

x

2



441616



x

1

x

2



4



8

。

x

1

x

2

x

1

x

2



4

2．如图，

△ABC

为圆

O

的内接三角形，

D

为

BC

中点，

E

为

OA

中点，

ABC40

，

BCA80

，则

OED

的大小为

（）

A

．

15

【答案】

C

（第2题图）

B

．

18

C

．

20

D

．

22

【解答】如图，连结

OC

。

由

ABC40

，

BCA80

，得

BAC60

。

∵

∴

D

为

BC

中点，

1

ODBC

，

DOCBOCBAC

60



。

2

1

OCD30

，

ODOC

。

2

∴

又

E

为

OA

中点，

∴

1

OEOAOD

。

2

（第

2

题答题图）

结合

ABC40

，知

EODAOCCOD24060140

，

1

OED

11

(180

EOD

)



(180



140



)



20



。

22

3．已知二次函数

f(x)2x

2

axb

，若

f(a)f(b1)

，其中

ab1

，则

f(1)f(2)

的

值为（

A

．

8

）

B

．

10

C

．

12

D

．

14

ab

1

a



。于是，

3a2b2

。

24

【答案】

A

【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知

所以，

f(1)f(2)(2ab)(82ab)3a2b102108

。

4．如图，在四边形

ABCD

中，

ABBC

，

BCD120

，

CDDA

，且

BC6

，

CD3

，

则四边形

ABCD

外接圆的面积为（

A

．

7



【答案】

B

B

．

21



）

D

．

84



C

．

63



【解答】如图，设

BC

、

AD

的延长线交于点

P

。

∵

∴

BCD120

，

CDDA

，

CD3

，

CPD30

，

CP2CD6

。

（第

4

题图）

又

ABBC

，

BC6

，

∴

∴

∴

ABBPtan3043

。

AC

2

AB

2

BC

2

(43)

2

6

2

84

。

AC221

。

结合

ABBC

，

CDDA

，知

A

、

B

、

C

、

D

四点

共圆，

AC

为四边形

ABCD

外接圆的直径。

∴四边形

ABCD

外接圆面积为



(21)

2

21



。

（第

4

题答题图）

5．2018年12月18日，党中央、国务院授予陈景润同志改革先锋称号，颁授改革先锋

奖章，并获评激励青年勇攀科学高峰的典范。

哥德巴赫1742年在给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数

之和（简称“

11

”）。”，并请欧拉帮助证明。两位数学大师费尽了脑筋，也没能给出证

明。200多年来，“哥德巴赫猜想”吸引了众多数学家的关注，都试图去证明它，但至今还

未能彻底解决。

陈景润在福州英华中学读书期间，有幸聆听了来自清华大学的沈元老师对“哥德巴赫猜

想”的介绍。从此，“哥德巴赫猜想”像磁石一般吸引着陈景润，开启了陈景润摘取数学皇

冠上的明珠的艰辛历程。经过10多年坚忍不拔的辛勤研究，1966年6月陈景润在《科学通

报》上发表了《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“

12

”）

的研究论文，成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑，受到国际数学界的高度重视和称赞，并称

2

这一结果为“陈氏定理”。陈景润勇攀科学高峰的精神和对“哥德巴赫猜想”研究的贡献，

激励了无数青年学子。

请你完成下列问题：

将

2019

分解为两个正立方数的和的分解方式有（

解的组数）

A

．

0

种

【答案】

A

【解答】对任意正整数

m

，考察

m

3

关于模9的余数。

由于对任意正整数

m

，

m0，，12，，34，，56，7，8(mod9)

。

以及

0

3

0(mod9)

，

1

3

1(mod9)

，

2

3

8(mod9)

，

3

3

0(mod9)

，

4

3

1(mod9)

，

5

3

8(mod9)

，

6

3

0(mod9)

，

7

3

1(mod9)

，

8

3

8(mod9)

。

）（即方程

2019x

3

y

3

的正整数

B

．

1

种

C

．

2

种

D

．

3

种

因此，对任意正整数

m

，有

m

3

0，，18(mod9)

。

∴对任意正整数

x

，

y

，

x

3

y

3

0，，

即对任意正整数

x

，

y

，

x

3

y

3

12，7，8(mod9)

。

被

9

除的余数只有

0

，

1

，

2

，

7

，

8

这5种情形。

而

20193(mod9)

，即

2019

被

9

除的余数为3。

故，方程

2019x

3

y

3

无正整数解，将

2019

分解为两个正立方数的和的分解方式有

0

种。

或用尝试的方法求解。

二、填空题（共

5

小题，每小题

7

分，共

35

分）

6．已知二次函数

yax

2

(a1)x52a

（

a0

）的

图像过点

A(1，4)

，且交

x

轴于

B

、

C

两点，若

ABAC

，

则线段

BC

的长度为

【答案】

113

。

0)

，

【解答】如图，作

ADx轴

于点

D

，设

B(x

1

，

C(x

2

，0)

（

x

1

x

2

）。

（第6题图）

∵

∴

∵

A(1，4)

，

ABAC

，

由射影定理得，

DBDCDA

2

16

，即

B

、

C

为函数

yax

2

(a1)x52a

的图像与

x

轴

x

1

，

x

2

是方程

ax

2

(a1)x52a0

的两根，

a



15



2a

，

x

1

x

2



。

aa

(1x

1

)(x

2

1)16

。

的交点，

∴

x

1



x

2



（第6题答题图）

又

(1x

1

)(x

2

1)16

，

(x

1

1)(x

2

1)16

，

x

1

x

2

(x

1

x

2

)116

，

3

∴

5



2

aa



11



(



)



1



16

，解得

a

。

aa

4

于是，

x

1

x

2

5

，

x

1

x

2

22

，

x

1

x

2

(x

1

x

2

)

2

4x

1

x

2

(5)

2

4(22)113

。

∴线段

BC

的长为

113

。

211

yx



，则

()

3



()

3

的值为

x



yxyxy

7．已知

x

，

y

为实数，且

【答案】

【解答】由

14

。

211

x



yx



yyx

，于是

2

。



，知

2



x



yxyxyxy



yxyxyx



yyxx



yx



所以，

()

3



()

3



(



)





()

2



()

2





2





(



)

2



3







2(2

2



3)



14

。

xyxy



xxyy



xy



xy

8．若多项式

x

12

x

6

axb

（

a

，

b

为常数）能被多项式

x

2

1

整除，则

ab

的值

为

【答案】

【解答】∵

∴

∵

∴

。

2

x

6

1(x

2

1)(x

4

x

2

1)

能被

x

2

1

整除，

x

12

x

6

axbx

6

(x

6

1)2(x

6

1)2axb

被

x

2

1

除的余式是

axb2

。

多项式

x

12

x

6

axb

（

a

，

b

为常数）能被多项式

x

2

1

整除，

a0

，

b20

，

ab2

。

9．在

△ABC

中，

ABAC6

，

BC10

，

ACB

为钝角，且

△ABC

的面积为

203

，则

△ABC

内切圆半径

r

的值为。

【答案】

43

3

【解答】如图，作

AHBC

于

H

，由

ACB

为钝角知，点

H

在线段

BC

的延长线上，设

ACx

，则

ABx6

。

∵

∴

∵

∴

BC10

，

△ABC

的面积为

203

，

11

BCAH

10

AH

203

，

AH43

。

22

BHCH10

，

(x6)

2

(43)

2

x

2

(43)

2

10

。

两边平方，得

两边平方，并化简，得

x

2

6x910

。

4

（第9题答题图）

x

2

12x3648x

2

4820x

2

48100

，即

3x165x

2

48

。

∴

x7

。于是，

AB13

,

AC7

。

11

(

ABBCCA

)

r

(13



10



7)

r

203

。

22

又

S

△

ABC



∴

r

43

。

3

10．已知

x0

，

y0

，

z0

，且

xyxy

，

xyzxyz

，则

z

的最大值为

【答案】

4

3

x

。结合

x0

，

y0

，得

x1

。

x



1

。

【解答】由

xyxy

，得

y



又

xyzxyz

，

x

2

x



yx

11

x



1



所以，

z



。

2

x

11113

xy



1

x



1

x



x



1

1



2

(



)

2



x



1

xxx

24

x



由

x1

，知

0



所以，

1



1

x

114



，即

x2

时，

z

取最大值

。（此时

y2

）

x23

5

2024年4月12日发(作者：班伟诚)

2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案

考试时间2019年3月17日9∶00－11∶00满分150分

一、选择题（共

5

小题，每小题

7

分，共

35

分）。每道小题均给出了代号为

A

，

B

，

C

，

D

的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，

不填、多填或错填都得

0

分）

1．若一次函数

yx2

与反比例函数

y



x

1

x

2

y

1

y

2

的值为（

4

y

1

)

，

B(x

2

，y

2

)

两点，则

的图像交于

A(x

1

，

x

）

C

．

6

D

．

8

A

．

8

【答案】

B

．

6

D



y



x



2



2

【解答】由



4

，得

x2x40

……………①。

y





x



依题意，

x

1

，

x

2

是方程①的两根，于是

x

1

x

2

2

，

x

1

x

2

4

。

∴

x

1

x

2



y

1

y

2



x

1

x

2



441616



x

1

x

2



4



8

。

x

1

x

2

x

1

x

2



4

2．如图，

△ABC

为圆

O

的内接三角形，

D

为

BC

中点，

E

为

OA

中点，

ABC40

，

BCA80

，则

OED

的大小为

（）

A

．

15

【答案】

C

（第2题图）

B

．

18

C

．

20

D

．

22

【解答】如图，连结

OC

。

由

ABC40

，

BCA80

，得

BAC60

。

∵

∴

D

为

BC

中点，

1

ODBC

，

DOCBOCBAC

60



。

2

1

OCD30

，

ODOC

。

2

∴

又

E

为

OA

中点，

∴

1

OEOAOD

。

2

（第

2

题答题图）

结合

ABC40

，知

EODAOCCOD24060140

，

1

OED

11

(180

EOD

)



(180



140



)



20



。

22

3．已知二次函数

f(x)2x

2

axb

，若

f(a)f(b1)

，其中

ab1

，则

f(1)f(2)

的

值为（

A

．

8

）

B

．

10

C

．

12

D

．

14

ab

1

a



。于是，

3a2b2

。

24

【答案】

A

【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知

所以，

f(1)f(2)(2ab)(82ab)3a2b102108

。

4．如图，在四边形

ABCD

中，

ABBC

，

BCD120

，

CDDA

，且

BC6

，

CD3

，

则四边形

ABCD

外接圆的面积为（

A

．

7



【答案】

B

B

．

21



）

D

．

84



C

．

63



【解答】如图，设

BC

、

AD

的延长线交于点

P

。

∵

∴

BCD120

，

CDDA

，

CD3

，

CPD30

，

CP2CD6

。

（第

4

题图）

又

ABBC

，

BC6

，

∴

∴

∴

ABBPtan3043

。

AC

2

AB

2

BC

2

(43)

2

6

2

84

。

AC221

。

结合

ABBC

，

CDDA

，知

A

、

B

、

C

、

D

四点

共圆，

AC

为四边形

ABCD

外接圆的直径。

∴四边形

ABCD

外接圆面积为



(21)

2

21



。

（第

4

题答题图）

5．2018年12月18日，党中央、国务院授予陈景润同志改革先锋称号，颁授改革先锋

奖章，并获评激励青年勇攀科学高峰的典范。

哥德巴赫1742年在给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数

之和（简称“

11

”）。”，并请欧拉帮助证明。两位数学大师费尽了脑筋，也没能给出证

明。200多年来，“哥德巴赫猜想”吸引了众多数学家的关注，都试图去证明它，但至今还

未能彻底解决。

陈景润在福州英华中学读书期间，有幸聆听了来自清华大学的沈元老师对“哥德巴赫猜

想”的介绍。从此，“哥德巴赫猜想”像磁石一般吸引着陈景润，开启了陈景润摘取数学皇

冠上的明珠的艰辛历程。经过10多年坚忍不拔的辛勤研究，1966年6月陈景润在《科学通

报》上发表了《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“

12

”）

的研究论文，成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑，受到国际数学界的高度重视和称赞，并称

2

这一结果为“陈氏定理”。陈景润勇攀科学高峰的精神和对“哥德巴赫猜想”研究的贡献，

激励了无数青年学子。

请你完成下列问题：

将

2019

分解为两个正立方数的和的分解方式有（

解的组数）

A

．

0

种

【答案】

A

【解答】对任意正整数

m

，考察

m

3

关于模9的余数。

由于对任意正整数

m

，

m0，，12，，34，，56，7，8(mod9)

。

以及

0

3

0(mod9)

，

1

3

1(mod9)

，

2

3

8(mod9)

，

3

3

0(mod9)

，

4

3

1(mod9)

，

5

3

8(mod9)

，

6

3

0(mod9)

，

7

3

1(mod9)

，

8

3

8(mod9)

。

）（即方程

2019x

3

y

3

的正整数

B

．

1

种

C

．

2

种

D

．

3

种

因此，对任意正整数

m

，有

m

3

0，，18(mod9)

。

∴对任意正整数

x

，

y

，

x

3

y

3

0，，

即对任意正整数

x

，

y

，

x

3

y

3

12，7，8(mod9)

。

被

9

除的余数只有

0

，

1

，

2

，

7

，

8

这5种情形。

而

20193(mod9)

，即

2019

被

9

除的余数为3。

故，方程

2019x

3

y

3

无正整数解，将

2019

分解为两个正立方数的和的分解方式有

0

种。

或用尝试的方法求解。

二、填空题（共

5

小题，每小题

7

分，共

35

分）

6．已知二次函数

yax

2

(a1)x52a

（

a0

）的

图像过点

A(1，4)

，且交

x

轴于

B

、

C

两点，若

ABAC

，

则线段

BC

的长度为

【答案】

113

。

0)

，

【解答】如图，作

ADx轴

于点

D

，设

B(x

1

，

C(x

2

，0)

（

x

1

x

2

）。

（第6题图）

∵

∴

∵

A(1，4)

，

ABAC

，

由射影定理得，

DBDCDA

2

16

，即

B

、

C

为函数

yax

2

(a1)x52a

的图像与

x

轴

x

1

，

x

2

是方程

ax

2

(a1)x52a0

的两根，

a



15



2a

，

x

1

x

2



。

aa

(1x

1

)(x

2

1)16

。

的交点，

∴

x

1



x

2



（第6题答题图）

又

(1x

1

)(x

2

1)16

，

(x

1

1)(x

2

1)16

，

x

1

x

2

(x

1

x

2

)116

，

3

∴

5



2

aa



11



(



)



1



16

，解得

a

。

aa

4

于是，

x

1

x

2

5

，

x

1

x

2

22

，

x

1

x

2

(x

1

x

2

)

2

4x

1

x

2

(5)

2

4(22)113

。

∴线段

BC

的长为

113

。

211

yx



，则

()

3



()

3

的值为

x



yxyxy

7．已知

x

，

y

为实数，且

【答案】

【解答】由

14

。

211

x



yx



yyx

，于是

2

。



，知

2



x



yxyxyxy



yxyxyx



yyxx



yx



所以，

()

3



()

3



(



)





()

2



()

2





2





(



)

2



3







2(2

2



3)



14

。

xyxy



xxyy



xy



xy

8．若多项式

x

12

x

6

axb

（

a

，

b

为常数）能被多项式

x

2

1

整除，则

ab

的值

为

【答案】

【解答】∵

∴

∵

∴

。

2

x

6

1(x

2

1)(x

4

x

2

1)

能被

x

2

1

整除，

x

12

x

6

axbx

6

(x

6

1)2(x

6

1)2axb

被

x

2

1

除的余式是

axb2

。

多项式

x

12

x

6

axb

（

a

，

b

为常数）能被多项式

x

2

1

整除，

a0

，

b20

，

ab2

。

9．在

△ABC

中，

ABAC6

，

BC10

，

ACB

为钝角，且

△ABC

的面积为

203

，则

△ABC

内切圆半径

r

的值为。

【答案】

43

3

【解答】如图，作

AHBC

于

H

，由

ACB

为钝角知，点

H

在线段

BC

的延长线上，设

ACx

，则

ABx6

。

∵

∴

∵

∴

BC10

，

△ABC

的面积为

203

，

11

BCAH

10

AH

203

，

AH43

。

22

BHCH10

，

(x6)

2

(43)

2

x

2

(43)

2

10

。

两边平方，得

两边平方，并化简，得

x

2

6x910

。

4

（第9题答题图）

x

2

12x3648x

2

4820x

2

48100

，即

3x165x

2

48

。

∴

x7

。于是，

AB13

,

AC7

。

11

(

ABBCCA

)

r

(13



10



7)

r

203

。

22

又

S

△

ABC



∴

r

43

。

3

10．已知

x0

，

y0

，

z0

，且

xyxy

，

xyzxyz

，则

z

的最大值为

【答案】

4

3

x

。结合

x0

，

y0

，得

x1

。

x



1

。

【解答】由

xyxy

，得

y



又

xyzxyz

，

x

2

x



yx

11

x



1



所以，

z



。

2

x

11113

xy



1

x



1

x



x



1

1



2

(



)

2



x



1

xxx

24

x



由

x1

，知

0



所以，

1



1

x

114



，即

x2

时，

z

取最大值

。（此时

y2

）

x23

5