2024年4月15日发(作者：巫马兴朝)
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习
专题16 函数的零点与方程的解
考点知识
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数
y
＝
f
(
x
)，我们把使
f
(
x
)＝0的实数
x
叫做函数
y
＝
f
(
x
)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程
f
(
x
)＝0有实数解⇔函数
y
＝
f
(
x
)有零点⇔函数
y
＝
f
(
x
)的图象与
x
轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数
y
＝
f
(
x
)在区间[
a
，
b
]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f
(
a
)
f
(
b
)<0，那
么，函数
y
＝
f
(
x
)在区间(
a
，
b
)内至少有一个零点，即存在
c
∈(
a
，
b
)，使得
f
(
c
)＝0，
这个
c
也就是方程
f
(
x
)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[
a
，
b
]上图象连续不断且
f
(
a
)
f
(
b
)<0的函数
y
＝
f
(
x
)，通过不断地把它的零
点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方
法叫做二分法．
1 / 23
常用结论
1．若连续不断的函数
f
(
x
)是定义域上的单调函数，则
f
(
x
)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与
x
轴的交点．(×)
(2)连续函数
y
＝
f
(
x
)在区间(
a
，
b
)内有零点，则
f
(
a
)·
f
(
b
)<0.(×)
(3)函数
y
＝
f
(
x
)为R上的单调函数，则
f
(
x
)有且仅有一个零点．(×)
(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(√)
教材改编题
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()
答案A
解析由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点
两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可
以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．
2 / 23
2024年4月15日发(作者：巫马兴朝)
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习
专题16 函数的零点与方程的解
考点知识
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数
y
＝
f
(
x
)，我们把使
f
(
x
)＝0的实数
x
叫做函数
y
＝
f
(
x
)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程
f
(
x
)＝0有实数解⇔函数
y
＝
f
(
x
)有零点⇔函数
y
＝
f
(
x
)的图象与
x
轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数
y
＝
f
(
x
)在区间[
a
，
b
]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f
(
a
)
f
(
b
)<0，那
么，函数
y
＝
f
(
x
)在区间(
a
，
b
)内至少有一个零点，即存在
c
∈(
a
，
b
)，使得
f
(
c
)＝0，
这个
c
也就是方程
f
(
x
)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[
a
，
b
]上图象连续不断且
f
(
a
)
f
(
b
)<0的函数
y
＝
f
(
x
)，通过不断地把它的零
点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方
法叫做二分法．
1 / 23
常用结论
1．若连续不断的函数
f
(
x
)是定义域上的单调函数，则
f
(
x
)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与
x
轴的交点．(×)
(2)连续函数
y
＝
f
(
x
)在区间(
a
，
b
)内有零点，则
f
(
a
)·
f
(
b
)<0.(×)
(3)函数
y
＝
f
(
x
)为R上的单调函数，则
f
(
x
)有且仅有一个零点．(×)
(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(√)
教材改编题
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()
答案A
解析由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点
两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可
以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．
2 / 23