2024年4月21日发(作者：门罡)
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解
第3讲 导数的几何意义及函数的单调性
[考情分析] 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形
式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，
以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．
考点一 导数的几何意义与计算
核心提炼
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′
u
·u′
x
.
例1 (1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2e
x
－x)·cos x的图象在x＝0处的切线方程为( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
答案 B
解析 由题意，函数f(x)＝(2e
x
－x)·cos x，
可得f′(x)＝(2e
x
－1)·cos x－(2e
x
－x)·sin x，
所以f′(0)＝(2e
0
－1)·cos 0－(2e
0
－0)·sin 0＝1，
f(0)＝(2e
0
－0)·cos 0＝2，
所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝x－0，即x－y＋2＝0.
1 / 18
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e
x
有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 因为y＝(x＋a)e
x
，所以y′＝(x＋a＋1)e
x
.设切点为A(x
0
，(x
0
＋a)
e
0
)，O为坐标原点，依题意
x
x
0
ae
x
0
得，切线斜率k
OA
＝
y'|
x=x
0
＝(x
0
＋a＋1)
e
＝，化简，得x
2
0
＋ax
0
－a＝0.因为曲线y＝(x
x
0
x
0
2
＋a)e
x
有两条过坐标原点的切线，所以关于x
0
的方程x
0
＋ax
0
－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a
2
＋
4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切
线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
跟踪演练1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，
____________.
11
答案 y＝xy＝－x
ee
解析 先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x
0
，y
0
)，
11
则由y′＝，得切线斜率为，
xx
0
y
0
1y
0
又切线的斜率为，所以＝，
x
0
x
0
x
0
解得y
0
＝1，代入y＝ln x，得x
0
＝e，
11
所以切线斜率为，切线方程为y＝x.
ee
1
同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.
e
11
综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x.
ee
(2)(2022·保定联考)已知函数f(x)＝aln x，g(x)＝be
x
，若直线y＝kx(k>0)与函数f(x)，g(x)的图象都相切，
1
则a＋的最小值为( )
b
A．2 B．2e
C．e
2
D.e
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2024年4月21日发(作者：门罡)
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解
第3讲 导数的几何意义及函数的单调性
[考情分析] 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形
式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，
以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．
考点一 导数的几何意义与计算
核心提炼
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′
u
·u′
x
.
例1 (1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2e
x
－x)·cos x的图象在x＝0处的切线方程为( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
答案 B
解析 由题意，函数f(x)＝(2e
x
－x)·cos x，
可得f′(x)＝(2e
x
－1)·cos x－(2e
x
－x)·sin x，
所以f′(0)＝(2e
0
－1)·cos 0－(2e
0
－0)·sin 0＝1，
f(0)＝(2e
0
－0)·cos 0＝2，
所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝x－0，即x－y＋2＝0.
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(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e
x
有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 因为y＝(x＋a)e
x
，所以y′＝(x＋a＋1)e
x
.设切点为A(x
0
，(x
0
＋a)
e
0
)，O为坐标原点，依题意
x
x
0
ae
x
0
得，切线斜率k
OA
＝
y'|
x=x
0
＝(x
0
＋a＋1)
e
＝，化简，得x
2
0
＋ax
0
－a＝0.因为曲线y＝(x
x
0
x
0
2
＋a)e
x
有两条过坐标原点的切线，所以关于x
0
的方程x
0
＋ax
0
－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a
2
＋
4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切
线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
跟踪演练1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，
____________.
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答案 y＝xy＝－x
ee
解析 先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x
0
，y
0
)，
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则由y′＝，得切线斜率为，
xx
0
y
0
1y
0
又切线的斜率为，所以＝，
x
0
x
0
x
0
解得y
0
＝1，代入y＝ln x，得x
0
＝e，
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所以切线斜率为，切线方程为y＝x.
ee
1
同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.
e
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综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x.
ee
(2)(2022·保定联考)已知函数f(x)＝aln x，g(x)＝be
x
，若直线y＝kx(k>0)与函数f(x)，g(x)的图象都相切，
1
则a＋的最小值为( )
b
A．2 B．2e
C．e
2
D.e
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