2024年7月15日发(作者：夔寰)
泰勒展开证明题
泰勒展开证明题1、设函数)(xf在区间]1,0[上二阶可导，且
Axf
对)1,0(
)(，)1()0(ff，证明：2)(Axf，]1,0[x证明：
x，分别取1,00x，由泰勒公式得
22)1)((""21)1)(("21)0)((""21)0)((")()0(xfxxfxff
)()1(xfxxfxff两式相减得，
2221)1)(("")(""21)("xfxfxf
1222)1((""(""21)("22221
为当)1,0(x时，
2)(Axf.22、)(xf
11222
，两边取绝对值
xxAxfxfxf
xx，于是当]1,0[x时，
因
在]1,0[上连续,,
,,求证::421Af..似且)1()0(,)(ffAxf
（类似1）3、设)(xf在在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件
bxfaxf)(,)(,,其中ba,都是非负数,,c是(0,1)内任意一
在（在C处展开，将a，b带入，余下类似
x时设1)(,1)(xfxf，证明：
点,,证明22)(bacf
1）4、设)(xf当设]2,0[
2)(
0)1()0(
16)(min10
2)(max10
xf（类似33）55、设函数)(xf具有一、二阶导数，
ff，且2)(max10xfx，证明：
ff，xfx证明：由于0)1()0(
xfx，所以存在)1,0(0x，使得2)(0xf
将1,0x分别在0x点泰勒展开，并注意到0)("0xf，
2010)0(2)("")()0(xfxff，
1
2020)1(2)("")()1(xfxff两式相加得
，
xx，于是
x
2022010)1)(("")(""21)(20xfxfxf
记)(""min10xfmx注意到21)1(2020
2020)1(2xxmm8)(4)1)(("")(""0202201
fxfxf，所以16m，16)(min10xfx.66、f(x)在
ff,,证
f证明：一方面
[0,1]上二阶导数存在，且f(0)=0,f(1)=1,0)1()0(
明：在(a,b)内至少存在一点，使得4)(
2111()1()1()(0)(0),0,2282fffxffxxf
，另一方面
2222()1()1()(1)(1)(1)(1)1+,,12282fffxffxxf
，从而有
12()+()=8ff
12()max{(),()}fff
1212()()()()()422fffff
。
7、设函数)(xf在]1,0[上二阶可导，0)1()0(
1)(min10
8)(""
ff，且
，设
，所以
xfx，试证：在)1,0(内至少存在一点，使得
f证：由题设知，存在)1,0(0x，使得
xfxfx，且0)("0xf将)1(),0(ff分别在1)(min)(100
0xx处展
开),0(2)("")()0(012010xxfxff
20xxfxff
)1,()1(2)("")()1(0220
两式变形为
2
202201)1(2)("",2)(""
（1）当
82122)("")(""2201
1,210x时，取2
8212)1(2)("")(""2202
xfxf
21,00x时，取1
，有
xff；（2）当
，有
xff8、
设)(xf在]1,1[上具有三阶连续导数，且
0)0(",1)1(,0)1(
3)("
fff，试证：存在)1,1(
f和)1(f在0x处展
fffff)1
fffff两式相减，
Cxf，
，使得
f证明：分别将)1(
开)0,1(6/)("2/)0("")0(")0()1(011
,0(6/)("""2/)0("")0(")0()1(122
得32/)(""")("""21ff由于]1,1[)("""
则)("""xf在区间],[21
Mffm2)(""")("""21
上有最大值M和最小值m可以看出
，由介值定理得，存
有
fff9、（2005年市赛）设函
使得
在)1,1(],[21
32/)(""")(""")("""21
数)(xf在],[ba上具有连续的二阶导数，证明：存在),(ba
)(22)()(4)(""2bfbafafabf
提示：将)(),(bfaf分别在20bax
在],[ba上二阶可导，且0)(")("
一点，使得2)()()(4)(""abafbff
2baf分别在bax,0处展开
处泰勒展开10、设)(xf
bfaf，则在),(ba内至少存在
证明：将
2,22)(""2)(")(2121baaabafabaafafbaf
3
bbabbafbbaafbfbaf
2212,22)(""2)(")(2
4)(2ab，并取绝对值，考虑到
0)(")("
22
bfaf)("",)(""max2(""(""2)("")("")()()(421211
11、（2001年市赛）
两式相减，移项，同除以
ffffffafbfab
设)(xf在区间),[
2)(""0Mxf
0h，使
a上具有二阶导数，且0)(Mxf，，
,ax及，证明：202)("MMxf证明：对
,ahx，于是有
，从
，于是
22)("")(")()(hfhxfxfhxf
而)(""2)()()("
0,22)("20
fhhxfhxfxf
hhMhMxf若对0h，上式都要成立，则只要
12、设)(xf在),(ba20200222min)("MMhMhMxfh
内二阶可导，且0)(""xf，证明：对任意n个不同的
点),,2,1)(,(nibaxi
nxfxfxfnxxxfnn)()()(2121
nxxxxn210，将nixfi,2,1)(
有
证明：取
分别在0x处展开
))((")(2""))((")()(0002000xxxfxfxxfxxxfxfxfiiiii
将上式从1加到n，考虑到任意n个不同的点，得
到
00210021")()()(xnfnxxxxxfxnfxfxfxfnn
，得证。
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2024年7月15日发(作者：夔寰)
泰勒展开证明题
泰勒展开证明题1、设函数)(xf在区间]1,0[上二阶可导，且
Axf
对)1,0(
)(，)1()0(ff，证明：2)(Axf，]1,0[x证明：
x，分别取1,00x，由泰勒公式得
22)1)((""21)1)(("21)0)((""21)0)((")()0(xfxxfxff
)()1(xfxxfxff两式相减得，
2221)1)(("")(""21)("xfxfxf
1222)1((""(""21)("22221
为当)1,0(x时，
2)(Axf.22、)(xf
11222
，两边取绝对值
xxAxfxfxf
xx，于是当]1,0[x时，
因
在]1,0[上连续,,
,,求证::421Af..似且)1()0(,)(ffAxf
（类似1）3、设)(xf在在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件
bxfaxf)(,)(,,其中ba,都是非负数,,c是(0,1)内任意一
在（在C处展开，将a，b带入，余下类似
x时设1)(,1)(xfxf，证明：
点,,证明22)(bacf
1）4、设)(xf当设]2,0[
2)(
0)1()0(
16)(min10
2)(max10
xf（类似33）55、设函数)(xf具有一、二阶导数，
ff，且2)(max10xfx，证明：
ff，xfx证明：由于0)1()0(
xfx，所以存在)1,0(0x，使得2)(0xf
将1,0x分别在0x点泰勒展开，并注意到0)("0xf，
2010)0(2)("")()0(xfxff，
1
2020)1(2)("")()1(xfxff两式相加得
，
xx，于是
x
2022010)1)(("")(""21)(20xfxfxf
记)(""min10xfmx注意到21)1(2020
2020)1(2xxmm8)(4)1)(("")(""0202201
fxfxf，所以16m，16)(min10xfx.66、f(x)在
ff,,证
f证明：一方面
[0,1]上二阶导数存在，且f(0)=0,f(1)=1,0)1()0(
明：在(a,b)内至少存在一点，使得4)(
2111()1()1()(0)(0),0,2282fffxffxxf
，另一方面
2222()1()1()(1)(1)(1)(1)1+,,12282fffxffxxf
，从而有
12()+()=8ff
12()max{(),()}fff
1212()()()()()422fffff
。
7、设函数)(xf在]1,0[上二阶可导，0)1()0(
1)(min10
8)(""
ff，且
，设
，所以
xfx，试证：在)1,0(内至少存在一点，使得
f证：由题设知，存在)1,0(0x，使得
xfxfx，且0)("0xf将)1(),0(ff分别在1)(min)(100
0xx处展
开),0(2)("")()0(012010xxfxff
20xxfxff
)1,()1(2)("")()1(0220
两式变形为
2
202201)1(2)("",2)(""
（1）当
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1,210x时，取2
8212)1(2)("")(""2202
xfxf
21,00x时，取1
，有
xff；（2）当
，有
xff8、
设)(xf在]1,1[上具有三阶连续导数，且
0)0(",1)1(,0)1(
3)("
fff，试证：存在)1,1(
f和)1(f在0x处展
fffff)1
fffff两式相减，
Cxf，
，使得
f证明：分别将)1(
开)0,1(6/)("2/)0("")0(")0()1(011
,0(6/)("""2/)0("")0(")0()1(122
得32/)(""")("""21ff由于]1,1[)("""
则)("""xf在区间],[21
Mffm2)(""")("""21
上有最大值M和最小值m可以看出
，由介值定理得，存
有
fff9、（2005年市赛）设函
使得
在)1,1(],[21
32/)(""")(""")("""21
数)(xf在],[ba上具有连续的二阶导数，证明：存在),(ba
)(22)()(4)(""2bfbafafabf
提示：将)(),(bfaf分别在20bax
在],[ba上二阶可导，且0)(")("
一点，使得2)()()(4)(""abafbff
2baf分别在bax,0处展开
处泰勒展开10、设)(xf
bfaf，则在),(ba内至少存在
证明：将
2,22)(""2)(")(2121baaabafabaafafbaf
3
bbabbafbbaafbfbaf
2212,22)(""2)(")(2
4)(2ab，并取绝对值，考虑到
0)(")("
22
bfaf)("",)(""max2(""(""2)("")("")()()(421211
11、（2001年市赛）
两式相减，移项，同除以
ffffffafbfab
设)(xf在区间),[
2)(""0Mxf
0h，使
a上具有二阶导数，且0)(Mxf，，
,ax及，证明：202)("MMxf证明：对
,ahx，于是有
，从
，于是
22)("")(")()(hfhxfxfhxf
而)(""2)()()("
0,22)("20
fhhxfhxfxf
hhMhMxf若对0h，上式都要成立，则只要
12、设)(xf在),(ba20200222min)("MMhMhMxfh
内二阶可导，且0)(""xf，证明：对任意n个不同的
点),,2,1)(,(nibaxi
nxfxfxfnxxxfnn)()()(2121
nxxxxn210，将nixfi,2,1)(
有
证明：取
分别在0x处展开
))((")(2""))((")()(0002000xxxfxfxxfxxxfxfxfiiiii
将上式从1加到n，考虑到任意n个不同的点，得
到
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，得证。
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