2024年3月22日发(作者：通宜然)
8.“五一”假期，某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公司按定额购买
初四数学专题
了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图，根据
统计图回答下列问题：
1.如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=
43
cm，P为直线l上一
（1）若去丁地的车票占全部车票的10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图（如图
动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是 所示）．
2. 如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 （2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张（所有车票
cm． 的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从
不透明袋子中摸出分别标有1、2、3、4的四个球中摸出一球（球除数字不同外完全相同），
并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李．”试用列表
法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？
第一题图 第二题图
3.如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
9. 义洁中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板
比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．
（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？
4.如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的（2）根据义洁中学实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购
延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点． 买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、
1
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
B种型号小黑板总数量的请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买A、B两种型号的
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM
2
=y，求y与x的函数关系式，并
3
求线段BM的最小值； 小黑板有哪几种方案？
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩10.保障房建设是民心工程，某市从2008年开始加快保障房建设进程，现统计了该市2008
形ABCD外部时，求a的取值范围． 年到2012年5月新建保障房情况，绘制成如图所示的折线统计图和不完整的条形统计图．
2
5.已知：关于x的二次函数y=-x+ax（a＞0），点A（n，y
1
）、B（n+1，y
2
）、C（n+2，y
3
）（1）小丽看了统计图后说：“该市2011年新建保障房的套数比2010年少了．”你认为小丽
都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数． 说法正确吗？请说明理由；
（1）y
1
=y
2
，请说明a必为奇数； （2）求补全条形统计图；
（2）设a=11，求使y
1
≤y
2
≤y
3
成立的所有n的值； （3）求这5年平均每年新建保障房的套数．
（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，
求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．
6.如图，在平面直角坐标系中直线y=x-2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的
图象相交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）将直线y=x-2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积
为18，求平移后的直线的函数关系式．
11.如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′
的坐标是
12. 将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第
第四题图 第六题图 2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形„，以此类推，根据
7.如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C 以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四
边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得
以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
第十一题图 第十二题图
第 1 页 共 11 页
13.如图，已知⊙O
1
的半径为1cm，⊙O
2
的半径为2cm，将⊙O
1
，⊙O
2
放置在直线l上，如果
⊙O
1
在直线l上任意滚动，那么圆心距O
1
O
2
的长是
14.如图是二次函数y=ax
2
+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0）．下列
5
说法：①abc＜0；②2a-b=0；③4a+2b+c＜0；④若（-5，y
1
），（，y
2
）是抛物线上两点，
2
则y
1
＞y
2
．其中说法正确的是
15.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将
∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．
16.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线
CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数
量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证
明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请
画出图形并给予证明．
１７．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax
2
+bx+c
2
的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（－，0），以0C为直径
3
作半圆，圆心为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不
重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，
求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出
最大值；若不存在，请说明理由．
１８．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交
CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
１９． 如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．
（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．
２０．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x
2
+（2k-1）x+k+1的图象与x轴相交于O、
A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P
的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
２１．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，
CD=2，则EC的长为
２２．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（-1，
0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；
（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
２３．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰
三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐
标．
1
２４．如图，点P
1
（x
1
，y
1
），点P
2
（x
2
，y
2
），„，点P
n
（x
n
，y
n
）在函数y=（x＞0）
x
的图象上，△P
1
OA
1
，△P
2
A
1
A
2
，△P
3
A
2
A
3
，„，△P
n
A
n-1
A
n
都是等腰直角三角形，斜边OA
1
、
A
1
A
2
、A
2
A
3
，„，A
n-1
A
n
都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P
3
的坐标是 点
P
n
的坐标是 （用含n的式子表示）．
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2024年3月22日发(作者：通宜然)
8.“五一”假期，某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公司按定额购买
初四数学专题
了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图，根据
统计图回答下列问题：
1.如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=
43
cm，P为直线l上一
（1）若去丁地的车票占全部车票的10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图（如图
动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是 所示）．
2. 如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 （2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张（所有车票
cm． 的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从
不透明袋子中摸出分别标有1、2、3、4的四个球中摸出一球（球除数字不同外完全相同），
并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李．”试用列表
法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？
第一题图 第二题图
3.如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
9. 义洁中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板
比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．
（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？
4.如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的（2）根据义洁中学实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购
延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点． 买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、
1
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
B种型号小黑板总数量的请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买A、B两种型号的
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM
2
=y，求y与x的函数关系式，并
3
求线段BM的最小值； 小黑板有哪几种方案？
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩10.保障房建设是民心工程，某市从2008年开始加快保障房建设进程，现统计了该市2008
形ABCD外部时，求a的取值范围． 年到2012年5月新建保障房情况，绘制成如图所示的折线统计图和不完整的条形统计图．
2
5.已知：关于x的二次函数y=-x+ax（a＞0），点A（n，y
1
）、B（n+1，y
2
）、C（n+2，y
3
）（1）小丽看了统计图后说：“该市2011年新建保障房的套数比2010年少了．”你认为小丽
都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数． 说法正确吗？请说明理由；
（1）y
1
=y
2
，请说明a必为奇数； （2）求补全条形统计图；
（2）设a=11，求使y
1
≤y
2
≤y
3
成立的所有n的值； （3）求这5年平均每年新建保障房的套数．
（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，
求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．
6.如图，在平面直角坐标系中直线y=x-2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的
图象相交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）将直线y=x-2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积
为18，求平移后的直线的函数关系式．
11.如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′
的坐标是
12. 将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第
第四题图 第六题图 2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形„，以此类推，根据
7.如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C 以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四
边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得
以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
第十一题图 第十二题图
第 1 页 共 11 页
13.如图，已知⊙O
1
的半径为1cm，⊙O
2
的半径为2cm，将⊙O
1
，⊙O
2
放置在直线l上，如果
⊙O
1
在直线l上任意滚动，那么圆心距O
1
O
2
的长是
14.如图是二次函数y=ax
2
+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0）．下列
5
说法：①abc＜0；②2a-b=0；③4a+2b+c＜0；④若（-5，y
1
），（，y
2
）是抛物线上两点，
2
则y
1
＞y
2
．其中说法正确的是
15.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将
∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．
16.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线
CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数
量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证
明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请
画出图形并给予证明．
１７．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax
2
+bx+c
2
的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（－，0），以0C为直径
3
作半圆，圆心为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不
重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，
求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出
最大值；若不存在，请说明理由．
１８．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交
CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
１９． 如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．
（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．
２０．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x
2
+（2k-1）x+k+1的图象与x轴相交于O、
A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P
的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
２１．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，
CD=2，则EC的长为
２２．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（-1，
0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；
（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
２３．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰
三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐
标．
1
２４．如图，点P
1
（x
1
，y
1
），点P
2
（x
2
，y
2
），„，点P
n
（x
n
，y
n
）在函数y=（x＞0）
x
的图象上，△P
1
OA
1
，△P
2
A
1
A
2
，△P
3
A
2
A
3
，„，△P
n
A
n-1
A
n
都是等腰直角三角形，斜边OA
1
、
A
1
A
2
、A
2
A
3
，„，A
n-1
A
n
都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P
3
的坐标是 点
P
n
的坐标是 （用含n的式子表示）．
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