2024年4月21日发(作者：嵇向卉)

高等数学（下）

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);

D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？

答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0;

在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？

答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0;

z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离：

（1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）；

（3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）.

解：（1）

s2

2

3

2

4

2

29

(2)

s2

2

(3)

2

(4)

2

29

222

(3)

s(12)(03)(34)67

(4)

s(24)(12)(33)35

.

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.

故

s

0



222

4

2

(3)

2

5

2

52

s

x

(44)

2

(30)

2

(50)

2

34

s

y

4

2

(33)

2

5

2

41

s

z

4

2

(3)

2

(55)

2

5

.

6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.

解：设此点为M（0，0，z），则

(4)

2

1

2

(7z)

2

3

2

5

2

(2z)

2

173

解得

z

14

9

14

）.

9

即所求点为M（0，0，

7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角

三角形.

证明：因为|AB|=|AC|=7.且有

|AC|

2

+|AB|

2

=49+49=98=|BC|

2

.

故△ABC为等腰直角三角形.

8. 验证：

(ab)ca(bc)

.

证明：利用三角形法则得证.见图7-1

图7-1

9. 设

uab2c, va3bc.

试用a, b, c表示

2u3v.

解：

2u3v2(ab2c)3(a3bc)

2a2b4c3a9b3c

5a11b7c

10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D

1

，D

2

，D

3

，D

4

，再把各分点与A连接，

试以

ABc

，

BCa

表示向量

D

1

A

,

D

2

A

,

D

3

A

和

D

4

A

.

解：

D

1

ABABD

1

c

1

a

5

2

D

2

ABABD

2

ca

5

3

D

3

ABABD

3

ca

5

4

D

4

ABABD

4

ca.

5

11. 设向量

OM

的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.

解：设M的投影为

M



，则

1

Prj

u

OMOMcos6042.

2

12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量

的起点A的坐标.

解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则

174

2024年4月21日发(作者：嵇向卉)

高等数学（下）

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);

D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？

答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0;

在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？

答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0;

z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离：

（1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）；

（3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）.

解：（1）

s2

2

3

2

4

2

29

(2)

s2

2

(3)

2

(4)

2

29

222

(3)

s(12)(03)(34)67

(4)

s(24)(12)(33)35

.

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.

故

s

0



222

4

2

(3)

2

5

2

52

s

x

(44)

2

(30)

2

(50)

2

34

s

y

4

2

(33)

2

5

2

41

s

z

4

2

(3)

2

(55)

2

5

.

6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.

解：设此点为M（0，0，z），则

(4)

2

1

2

(7z)

2

3

2

5

2

(2z)

2

173

解得

z

14

9

14

）.

9

即所求点为M（0，0，

7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角

三角形.

证明：因为|AB|=|AC|=7.且有

|AC|

2

+|AB|

2

=49+49=98=|BC|

2

.

故△ABC为等腰直角三角形.

8. 验证：

(ab)ca(bc)

.

证明：利用三角形法则得证.见图7-1

图7-1

9. 设

uab2c, va3bc.

试用a, b, c表示

2u3v.

解：

2u3v2(ab2c)3(a3bc)

2a2b4c3a9b3c

5a11b7c

10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D

1

，D

2

，D

3

，D

4

，再把各分点与A连接，

试以

ABc

，

BCa

表示向量

D

1

A

,

D

2

A

,

D

3

A

和

D

4

A

.

解：

D

1

ABABD

1

c

1

a

5

2

D

2

ABABD

2

ca

5

3

D

3

ABABD

3

ca

5

4

D

4

ABABD

4

ca.

5

11. 设向量

OM

的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.

解：设M的投影为

M



，则

1

Prj

u

OMOMcos6042.

2

12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量

的起点A的坐标.

解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则

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