2024年4月25日发(作者：韩雨琴)

2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟试题

（一模）

一、选一选（每小题3分，共24分）

1.下列各式结果是负数的是（

A.﹣（﹣3）

）

C.3

﹣

2

B.﹣|﹣3|D.（﹣3）

2

2.

下列函数中，自变量的取值范围是

x

＞

3

的是（

A.y=x

﹣

3B.

y



）

C.

y

1

x



3

x3

D.

y



1

x



3

3

，下列结论没有正确的是（

x

）

3.已知反比例函数

y

＝﹣

A.

图象必点（﹣1，3）

C.图象在第二、四象限内

B.

若

x

＞1，则﹣3＜

y

＜0

D.

y

随

x

的增大而增大

4.下列说法中，正确的是（）

A.对载人航天器“神舟十号”的零部件的检查适合采用抽样的方式

B.某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的地区降雨

C.掷一枚硬币，正面朝上的概率为

2

D.若

S

甲

=

0.1，

S

乙

=

0.01，则甲组数据比乙组数据稳定

5.

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

22

1

A.B.C.D.

，点

B

的

6.

如图，在平面直角坐标系中，菱形

OACB

的

顶点

O

在原点，点

C

的坐标为（

4

，

0

）

纵坐标是

−1

，则顶点

A

坐标是

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A.

（

2

，

1

）

B.

（

1

，

−2

）

C.

（

1

，

2

）

D.

（

2

，

-1

）

7.

如图，

RtΔOAB

的顶点

O

与坐标原点重合，

AOB

=

90

°,

AO2BO

,当点

A

在反比例函

数

y



2

(

x

>

0

)的图像上移动时，点

BB

的坐标满足的函数解析式为(

x

)

A.

y



1

(x



0)

x

B.

y



1

(x



0)

2x

C.

y



1

(x



0)

4x

D.

y



1

(x



0)

8x

8.

如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内

的

两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，

则EF的长为（）

A.

3

2

B.

2

2

3

C.

7

5

D.

2

二、填空题（每小题3分，共30分）

9.16的平方根是．

10.

南海资源丰富，其面积约为

3500000

km

2，相当于我国渤海、黄海和东海总面积的

3

倍．该

面积可用科学记数法表示为

____________

km

2

．

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

x



y



4

11.如果有理数x，y满足方程组



那么x

2

－y

2

＝________．



2

x



2

y



1

12.某药品原价每盒

25

元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，连续两次降价，现在售价

每盒

16

元，则该药品平均每次降价的百分率是______．

13.

口袋内装有一些除颜色外完全相同

的

红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率

是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是_____．

14.若正多边形

的

一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______．

15.

如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是直径，且∠CAD=56°，则∠B的度数为

______°

．

16.如图，在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=__________．

17.

如图，在

▱ABCD

中，

AD=2

，

AB=4

，∠

A=30°

，以点

A

为圆心，

AD

的长为半径画弧交

AB

于点

E

，连接

CE

，则阴影部分的面积是

▲

（结果保留

π

）．

（

a

＞0），线段BC的两个端点

18.

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx（k

≠

0）点（a，

3

a

）

分别在x轴与直线y=kx上（点B、C均与原点O没有重合）滑动，且BC=2，分别作BP⊥x轴，

CP⊥直线y=kx，交点为P．经探究，在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值______．

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三、解答题（本大题共有10小题，共86分）

19.（1）计算：

27



()

（2）化简：

(

1

2



2



1



3

；

3

x



2



x



1)



2

．

x



1

x



2

x



1

2

20.（1）解方程：x

-x-3=0；

（2）解没有等式组：





5

x

23



x

1



，



13

x



8



x

．



2



2

21.某中学初三（1）班共有40名同学，在30秒跳绳测试中他们的成绩统计如下表：

跳绳数/个

人数

81

1

85

2

9093

8

95

11

98100

5

将这些数据按组距5（个）分组，绘制成如图

的

频数分布直方图（没有完整）．

（1）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图；

（

2

）这个班同学这次跳绳成绩的众数是个，中位数是个；

（

3

）若跳满

90

个可得满分，学校初三年级共有

720

人，试估计该中学初三年级还有多少人跳

绳没有能得满分．

22.

甲、乙、丙、丁四位同学进行羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打场比赛．请用树状

图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

23.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD

交于点G．

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（

1

）求证：

BE=DF

；

（

2

）当

DFAD



时，求证：四边形

BEFG

是平行四边形．

FCDF

24.为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市

场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获

得如下信息：

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用

10

天；

信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．

25.某班数学兴趣小组利用数学课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水

平面的夹角为

30°

，山高

857.5

尺，组员从山脚

D

处沿山坡向着雕像方向前进

1620

尺到达

E

点，

在点

E

处测得雕像顶端

A

的仰角为

60°

，求雕像

AB

的高度．

26.甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA

表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车

离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：

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（

1

）求线段

CD

对应的函数表达式；

（

2

）求

E

点的坐标，并解释

E

点的实际意义；

（3）若已知轿车比货车晚出发2分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当x=

车和轿车相距30千米．

27.

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为

a



a2



的正方形ABCD各边上分别截取

AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．

小时，货

小明发现：分别延长QE、

MF

、

NG

、PH交FA、

GB

、

HC

、ED的延长线于点R、

S

、

T

、W可得

△RQF、△

G

、△

TNH

、△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，没有重叠），则这个新的正

方形的边长为__________；

（2）求正方形MNPQ的面积.

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D、E、F作BC、AC、AB的垂线，

得到等边△RPQ，若

S



RPQ



3

，则AD的长为__________.

3

2

、B（4，0）两点，且与y轴交

28.

在平面直角坐标系中，抛物线

yaxbx4

A（－3，0）

于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单

位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

（

3

）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；

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若没有存在，请说明理由.

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2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟试题

（一模）

一、选一选（每小题3分，共24分）

1.下列各式结果是负数的是（

A.﹣（﹣3）

【正确答案】

B

）

C.3

﹣

2

B.﹣|﹣3|D.（﹣3）

2

【分析】根据相反数、值、乘方,进行化简,即可解答.

【详解】

A

、

(3)3

,

故错误

.

B

、

33

,

正确

.

C、

3



2



2

1

,故错误.

9

D、



3



9

,故错误.

所以

B

选项是正确的

.

本题考查了相反数、值、乘方

,

解决本题的关键是熟记相反数、值、乘方的法则

.

2.下列函数中，自变量的取值范围是x＞3的是（

Ay=x﹣3

）

C.

y

.

B.

y



1

x



3

x3

D.

y



1

x



3

【正确答案】D

【详解】试题分析：

A

、

x

为全体实数，故本选项错误；

B

、

x-3≠0

，解得

x≠3

，故本选项错误；

C、x-3≥0，解得x≥3，故本选项错误；

D、x-3＞0，解得x＞3，故本选项正确．

故选D.

考点：函数自变量的取值范围．

3.已知反比例函数

y

＝﹣

3

，下列结论没有正确的是（

x

）

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A.

图象必点（﹣1，3）

C.

图象在第二、四象限内

【正确答案】D

B.

若

x

＞1，则﹣3＜

y

＜0

D.

y

随

x

的增大而增大

【详解】

A.

∵

(−1)×3=−3,

∴图象必点

(−1,3)

，故正确；

B.∵

k

=−3<0

，∴函数图象的两个分支分布在第二、四象限，故正确；

C.

∵

x

=1

时，

y

=−3

且

y

随

x

的增大而而增大，∴

x

>1

时，

−3<

y

<0

，故正确；

D.函数图象的两个分支分布在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故错误．

故选

D.

4.

下列说法中，正确的是（）

A.对载人航天器“神舟十号”的零部件的检查适合采用抽样的方式

B.某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的地区降雨

C.掷一枚硬币，正面朝上的概率为

2

D.若

S

甲

=

0.1，

S

乙

=

0.01，则甲组数据比乙组数据稳定

【正确答案】C

22

1

【详解】分析：根据普查和抽样的意义可判断出A的正误；根据概率的意义可判断出B、C的

正误；根据方差的意义，方差大则数据没有稳定可判断出D的正误．

详解：

A

．对载人航天器

“

神舟十号

”

的零部件的检查，因为意义重大，适合采用全面的方

式，故此选项错误；

B．某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的可能降水，

故此选项错误；

C

．一枚硬币，正面朝上的概率为

2

1

，故此选项正确；

2

2

D

．若甲组数据的方差

S

甲

=0.1

，乙组数据的方差

S

乙

=0.01

，则乙组数据比甲组数据

稳定，故此选项错误．

故选

C

．

点睛：本题主要考查了方差、概率、全面和抽样，关键是掌握概率是频率（多个）的波

动稳定值，是对发生可能性大小的量的表现；方差是反映一组数据的波动大小的一个

量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离

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散程度越小，稳定性越好．

5.

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

A.B.C.D.

【正确答案】C

【分析】根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为三棱柱．

【详解】解：A的俯视图是圆，故没有符合题意；

B的俯视图是正方形，没有符合题意；

C

的主视图是两个矩形，俯视图是三角形，左视图是矩形，故符合题意；

D

的左视图是三角形，故没有符合题意；

故选C．

6.如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的

纵坐标是−1，则顶点A坐标是

A.（2，1）

【正确答案】A

B.（1，

−

2）C.（1，2）D.（2，-1）

【详解】∵点C的坐标为（4，0），

∴OC=4，

∴点B的纵坐标是-1，

∴

A

（

2

，

1

）．

故选

A

．

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7.如图，

RtΔOAB

的顶点

O

与坐标原点重合，

AOB

=90°,

AO2BO

,当点

A

在反比例函

数

y



2

(

x

>0)的图像上移动时，点

BB

的坐标满足的函数解析式为(

x

)

A.

y



1

(x



0)

x

B.

y



1

(x



0)

2x

C.

y



1

(x



0)

4x

D.

y



1

(x



0)

8x

【正确答案】

B

【详解】分析：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，设B点坐标满足的函

数解析式是y=

k

，易得△AOC∽△OBD，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得

x

S

△

AOC

：S

△

BOD

=4，继而求得答案．

详解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，设B点坐标满足

的函数解析式是y=

k

，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°．

x

AO

2

）．

BO

2

x

112

OC•AC=

•x•=1，

22

x

∵∠

AOB=90°

，∴∠

AOC

+∠

BOD=90°

，∴∠

BOD=

∠

OAC

，∴△

AOC

∽△

OBD

，

∴S

△

AOC

：S

△

BOD

=（

∵

AO=2BO

，∴

S

△

AOC

：

S

△

BOD

=4

．

∵当A点在反比例函数y=（x＞0）的图象上移动，∴S

△

AOC

=

∴S

△

BOD

=

11

k

111

DO•BD=

（﹣x•）=﹣

k，∴1=4×（﹣k），解得：k=﹣

22

x

222

1

（x＜0）．

2x

∴B点坐标满足的函数解析式y=﹣

故选

B

．

第11页/总56页

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注

意掌握辅助线的作法，注意掌握数形思想的应用是解题的关键．

8.如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，

则EF的长为（）

A.

3

2

B.

2

2

3

C.

7

5

D.

2

【正确答案】

D

【分析】延长

AE

交

DF

于

G

，再根据全等三角形的判定得出△

AGD

与△

ABE

全等，得出

AG=BE=4

，

由

AE=3

，得出

EG=1

，同理得出

GF=1

，再根据勾股定理得出

EF

的长．

【详解】解：延长AE交DF于G．如图，

∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AD=DC=5,∠

BAD=

∠

ADC=90°

，

∵

AE=3

，

BE=4

，

∴△ABE是直角三角形，

∴同理可得△DFC是直角三角形，

∵AE=FC，BE=DF，AB=DC，

第12页/总56页

∴△

ABE

≌△

CDF

，

∴∠

BAE=

∠

DCF

，

∵∠FCD+∠CDF=90°，

∴∠BAE+∠CDF=90°，

∴∠

DAG+

∠

ADG=90°

，

∴△

AGD

是直角三角形，

∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，

∴∠GAD=∠EBA，

同理可得：∠

ADG=

∠

BAE

．

在

△AGD

和△

BAE

中，





EAB



GDA



AD



AB

∵



，





ABE



DAG



∴△AGD≌△BAE（ASA），

∴AG=BE=4，DG=AE=3，

∴

EG=4

﹣

3=1

，同理可得：

GF=1

，

∴EF=

1

2

1

2



故选D．

本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出EG=FG=1，再利用勾股定

理计算．

2

．

二、填空题（每小题3分，共30分）

9.16

的平方根是

【正确答案】

±4

【详解】由（

±4

）

2

=16

，可得

16

的平方根是

±4

，

故±4．

10.南海资源丰富，其面积约为3500000

km

2，相当于我国渤海、黄海和东海总面积的3倍．该

面积可用科学记数法表示为____________

km

2

．

【正确答案】

3.510

6

．

第13页/总56页

【详解】分析：科学记数法的表示形式为

a

×

10

n

的形式，其中

1

≤|

a

|＜

10

，

n

为整数．确定

n

的值时，要看把原数变成

a

时，小数点移动了多少位，

n

的值与小数点移动的位数相同．当原

数值≥1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．

详解：3500000用科学记数法表示为3.5×10

6

．

故答案为

3.5

×

10

6

．

点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为

a

×

10

n

的形式，其

中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．



x



y



4

11.如果有理数x，y满足方程组



那么x

2

－y

2

＝________．



2

x



2

y



1

【正确答案】2

【分析】把个方程乘以

2

，然后利用加减消元法求解得到

x

、

y

的值，然后代入代数式进行计算

即可得解．

【详解】





x



y



4

①



2

x



2

y



1

②

，

①

×2

得，

2x+2y=8

③，

②+③得，4x=9，

解得

x=

9

，

4

把x=

99

代入①得，

+y=4，

44

7

，

4

x



解得y=

9

4

∴方程组的解是

{

，

7

y



4

∴x

2

-y

2

=（

9

2

7

2

32



2

．）

-（

）

=

16

4

4

考点：解二元方程组．

12.某药品原价每盒

25

元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，连续两次降价，现在售价

每盒

16

元，则该药品平均每次降价的百分率是______．

第14页/总56页

【正确答案】

20%

【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可

.

【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，

根据题意得25×（1-x）（1-x）=16，

整理得

25



1x



16

，

解得x=0.2或1.8（没有合题意，舍去）；

即该药品平均每次降价的百分率是20%，

故

20%

．

本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键.

13.口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率

是

0.2

，摸出白球的概率是

0.5

，那么摸出黑球的概率是

_____

．

【正确答案】

0.3.

2

【详解】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-0.2-0.5=0.3．

考点：概率公式．

14.若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______．

【正确答案】9

【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，

再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．

【详解】∵正多边形的一个内角是140°，

∴它的一个外角是：180°-140°=40°，

∵多边形

的

外角和为360°，

∴这个正多边形的边数是：

360°÷40°=9

．

故9．

15.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是直径，且∠CAD=56°，则∠B的度数为______°．

第15页/总56页

【正确答案】34

【详解】连接

CD

，



AD为直径



∠ACD=90°，



∠

CAD=56°



∠

ADC=34°

，

根据同弧所对的圆周角相等可得：∠B=∠ADC=34°．

故34

考点：圆的基本性质

16.如图，在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=__________．

【正确答案】32°

【详解】试题解析：设∠BAC=x，则∠BDC=42°+x．

∵

CD=CB

，

∴∠

B=

∠

BDC=42°+x

．

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠B=42°+x，

∴∠

BCD=

∠

ACB-

∠

ACD=x

，

∴∠

ADC=

∠

B+

∠

BCD=42°+x+x=42°+2x

．

∵∠ADC+∠BDC=180°，

∴42°+2x+42°+x=180°，

第16页/总56页

解得

x=32°

，

所以∠

BAC=32°

．

考点：等腰三角形的性质．

17.如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交

AB

于点

E

，连接

CE

，则阴影部分的面积是

▲

（结果保留

π

）．

【正确答案】

3





1

3

【详解】过D点作DF⊥AB于点F．

∵

AD=2

，

AB=4

，∠

A=30°

，

∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2．

∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积

30







2

2

11

=

4



1



2



1



3





.

36023

故答案为.

3





（

a

＞0），线段BC的两个端点

18.

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx（k

≠

0）点（a，

3

a

）

分别在x轴与直线y=kx上（点B、C均与原点O没有重合）滑动，且BC=2，分别作BP⊥x轴，

CP⊥直线y=kx，交点为P．经探究，在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值______．

1

3

第17页/总56页

【正确答案】

43

3

【详解】试题分析：根据题意可得：k=

3

，则∠COB=60°，当△OCB为等边三角形时求出OP

的长度．

考点：勾股定理．

三、解答题（本大题共有10小题，共86分）

19.（1）计算：

27



()

（2）化简：

(

1

2



2



1



3

；

3

x



2



x



1)



2

．

x



1

x



2

x



1

【正确答案】(1)

235

；(2)

x

2

x2

【详解】分析：（

1

）先化简二次根式、计算负整数指数幂、去掉值符号，然后进行加减运算即

可；

（2）首先计算括号内的式子，通分相加，把除法转化为乘法，然后进行约分即可．

详解：（1）原式=

334(31)

=

33431

=

235

；

2

3

（

x



1

）（

x



1

）

（

x



1

）

（2）原式=[﹣]•

x1

x



1

x



2

2

4



x

2

（

x



1

）

=•

x



1

x



2

2

（

x



2

）（

x



2

）

（

x



1

）

=



•

x



1

x



2

（

x

﹣

1

）

=

﹣（

x

+

2

）

=﹣x

2

﹣x+2．

点睛：主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．

20.

（1）解方程：x

-x-3=0；

2

第18页/总56页

（2）解没有等式组：





5

x

23



x

1



，



13

x



8



x

．



2



2

5

1



131



13

x

4

，

x

2



；

(2)

2

22

【正确答案】

(1)

x

1



【详解】分析：（

1

）利用公式法解方程即可；

（2）分别解两个没有等式得到x＞2.5和x≤4，然后根据大小小大中间找确定没有

等式组的解集．

详解：（

1

）

a=1

，

b=

－

1

，

c=

－

3

，△

=b

2

-4ac=

(1)

2

41(3)

=13

＞

0

，∴

x=

1



13

，

2

∴

x

1



1



131



13

，

x

2



；

22

（2）解①得x＞2.5，

解②得x≤4，

所以没有等式组的解集为2.5＜x≤4．

点睛：本题考查了解一元二次方程﹣公式法：将一元二次方程化成一般形式，再利用求

根公式求解．也考查了解一元没有等式组．

21.某中学初三（1）班共有40名同学，在30秒跳绳测试中他们的成绩统计如下表：

跳绳数

/

个

人数

81

1

85

2

9093

8

95

11

98100

5

将这些数据按组距5（个）分组，绘制成如图的频数分布直方图（没有完整）．

（

1

）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图；

（

2

）这个班同学这次跳绳成绩的众数是个，中位数是个；

（3）若跳满90个可得满分，学校初三年级共有720人，试估计该中学初三年级还有多少人跳

绳没有能得满分．

第19页/总56页

【正确答案】（1）见解析；（2）95；95；（3）54人.

【分析】（

1

）首先根据直方图得到

95.5

﹣

100.5

小组共有

13

人，由统计表知道跳

100

个的有

5

人，从而求得跳

98

个的人数；

（2）根据众数和中位数的定义填空即可；

（3）用样本估计总体即可．

【详解】解：（1）根据直方图得到95.5﹣100.5小组共有13人，由统计表知道跳100个的有5

人，

∴跳

98

个的有

13

﹣

5=8

（人），

跳90个的有40﹣1﹣2﹣8﹣11﹣8﹣5=5（人），

故统计表为：

跳绳数/个

人数

直方图为：

81

1

85

2

90

5

93

8

95

11

98

8

100

5

（

2

）观察统计表知：众数为

95

个，中位数为

95

个；

（3）估计该中学初三年级没有能得满分的有720×

1



2

=54（人）．

40

本题考查了频数分布表以及频率分布直方图的知识，解题的关键是读懂题目意思并读懂两个统

计图，难度中等.

第20页/总56页

22.

甲、乙、丙、丁四位同学进行羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打场比赛．请用树状

图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

【正确答案】

1

6

【详解】画树状图：

∴共有12个等可能的结果，其中恰好是甲乙的占2个，

∴P

(

甲乙

)

=

21



126

本题考查了树状图求概率，解决此题的关键是认真审题，找到总的情况和分类的情况．

23.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD

交于点G．

（1）求证：BE=DF；

（2）当

DFAD



时，求证：四边形BEFG是平行四边形．

FCDF

【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）由菱形的性质和∠BAF=∠DAE，证得△ABF与△AFD全等后即可证得结论.（2）

由AD∥BC证得△ADG∽△EBG，从而

ADDGDFAD



；由和BE=DF即可得证得

BEBGFCDF

DFADDG



.

从而根据平行线分线段成比例定理证得

FG

∥

BC

，进而得到

FCBEBG

第21页/总56页

∠

DGF=

∠

DBC=

∠

BDC

，根据等腰三角形等角对等边的判定和

BE=DF

，证得

BE=GF.

利用一组

对边平行且相等即可判定平行四边形

.

【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，

∵∠

BAF=

∠

DAE

，

∴∠

BAF

﹣∠

EAF=

∠

DAE

﹣∠

EAF

，即：∠

BAE=

∠

DAF.

∴△BAE≌△DAF（ASA）.

∴BE=DF.

（

2

）∵四边形

ABCD

是菱形，

∴

AD

∥

BC.

∴△ADG∽△EBG.

∴

ADDG



.

BEBG

DFAD



，

FCDF

又∵BE=DF，

∴

DFADDG



.

FCBEBG

∴GF∥BC.

∴∠DGF=∠DBC=∠BDC.

∴

DF=GF.

又∵

BE=DF

，

∴BE=GF.

∴四边形BEFG是平行四边形.

24.为了提高产品

的

附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市

场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获

得如下信息：

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用

10

天；

信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．

【正确答案】甲、乙两个工厂每天分别能加工

40

件、

60

件新产品

【分析】设甲工厂每天能加工

x

件产品，表示

8

出乙工厂每天加工

1.5x

件产品，然后根据甲加

第22页/总56页

工产品的时间比乙加工产品的时间多

10

天列出方程求解即可．

【详解】解：设甲工厂每天能加工

x

件产品，则乙工厂每天加工

1.5x

件产品，

根据题意得，

解得x=40．

经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意．

1.5x=1.5×40=60．

答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品．

本题考查的是分式方程的应用题，读懂题意列出方程时解决此题的关键．

25.

某班数学兴趣小组利用数学课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水

平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，

在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．

12001200



10

，

x1.5x

【正确答案】雕像AB的高度为95尺．

【详解】试题分析：过点

E

作

EF

⊥

AC

，

EG

⊥

CD

，在

Rt

△

DEG

中，求得

EG

的长，即可得

BF

的长；在Rt△BEF中，可得EF=

3

BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，根据锐角三

角函数求得x即可.

试题解析：如图，

过点E作EF⊥AC于F，EG⊥CD于G，

∵AC⊥CD，

∴四边形EFCG是矩形，

第23页/总56页

∴

CF=EG

，

在

Rt

△

DEG

中，∵

DE=1620

，∠

D=30°

，

∴EG=DEsin∠D=1620×

2

=810，

∵BC=857.5，CF=EG，

∴

BF=BC

﹣

CF=47.5

，

∵

EF

∥

DC

，

∴∠BEF=30°，

在Rt△BEF中，tan∠BEF=

∴EF=

3

BF，

在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，

∵

tan

∠

AEF=

1

BF

，

EF

AF

，

EF

∴AF=EF×tan∠AEF=3BF，

∴

x+47.5=3×47.5

，

∴

x=95

，

答：雕像AB的高度为95尺．

考点：解直角三角形的应用．

26.甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA

表示货车离甲地的路程

y

（千米）与所用时间

x

（小时）之间的函数关系，折线

BCD

表示轿车

离甲地的路程

y

（千米）与

x

（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：

（1）求线段CD对应的函数表达式；

（

2

）求

E

点的坐标，并解释

E

点的实际意义；

（

3

）若已知轿车比货车晚出发

2

分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当

x=

车和轿车相距30千米．

小时，货

第24页/总56页

【正确答案】（

1

）

y=120x-140

（

2≤x≤4

．

5

）；（

2

）

E

点的坐标为（

3

．

5

，

280

），即表示当货车出

发3．5小时时货车和轿车相遇；（3）

2

、

1

11

17

37

、、．

4

8

4

【详解】试题分析：（1）设线段CD对应的函数解析式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；

（

2

）根据两图象相交的交点指的是两车相遇解答即可．

（

3

）先由货车和轿车相距

30

千米列出方程解答即可．

试题解析：（1）设线段CD对应的函数解析式为y=kx+b，

100



2

k



b

可得：

{

，

400



4.5

k



b

解得：

{

k



120

．

b



140

所以线段CD对应的函数表达式为：y=120x-140（2≤x≤4．5）；

（2）由图象可得：直线OA的解析式为：y=80x，

根据两图象相交的交点指的是两车相遇，

可得：

80x=120x-140

，

解得：x=3．5，

把x=3．5代入y=80x，得：y=280；

所以E点的坐标为（3．5，280），即表示当货车出发3．5小时时货车和轿车相遇；

（3）设货车出发xh后，

可得：

120x-140-30=80x

，

解得：

x=4

．

25

．

故答案为4．25．

（

3

）由题意知，

B

（

1

，

0

），

3

1

，

≤x≤2

）

3

∴

BC

段解析式为

y=60x-20

（

货车与轿车相距

30km

有四种情况：

1

）当

1

1

≤x≤2

时，

80x-

（

60x-20

）

=30

，解得

x=

2

；

3

7

11

时，80x-（120x-140）=30，解得x=；

4

2

2）当2＜x≤

第25页/总56页

3）当

4

）当

1

7

9

17

＜x≤时，120x-140-80x=30，解得x=；

2

2

4

37

9

＜

x≤5

时，

400-80x=30

，解得

x=

；

8

2

11

17

37

、、．

8

4

4

∴

x=

2

、

考点：函数的应用．

27.阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为

a



a2



的正方形ABCD各边上分别截取

AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．

小明发现：分别延长QE、

MF

、

NG

、PH交FA、

GB

、

HC

、ED的延长线于点R、

S

、

T

、W可得

△RQF、△G、△TNH、△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，没有重叠），则这个新的正

方形的边长为__________；

（2）求正方形MNPQ的面积.

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D、E、F作BC、AC、AB的垂线，

得到等边△RPQ，若

S



RPQ



【正确答案】(1)a(2)2(3)

2

3

3

，则AD的长为__________.

3

【详解】试题分析：（

1

）四个等腰直角三角形的斜边长为

a,

其拼成的正方形面积为

a

2

,

边长为

a

；

第26页/总56页

（

2

）如题图

2

所示

,

正方形

MNPQ

的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和

,

据此求出

正方形

MNPQ

的面积；

（3）参照小明的解题思路,对问题做同样的等积变换．如答图1所示,三个等腰三角形

△RSF,△QET,△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积,故阴影三角形△PQR的面积等于

三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出

AD

的长度．

试题解析：（

1

）四个等腰直角三角形的斜边长为

a,

则斜边上的高为

2

a,

每个等腰直角三角形的面积为：

2

a•

2

a=

则拼成的新正方形面积为：

4×

∴这个新正方形的边长为

a

；

（

2

）∵四个等腰直角三角形的面积和为

a

2

,

正方形

ABCD

的面积为

a

2

,

∴

S

正方形

MNPQ

=S

△ARE

+S

△DWH

+S

△GCT

+S

△F

=4S

△ARE

=4×

2

×1

2

=2

；

1

11

1

1

2

a,

4

1

22

a=a,

即与原正方形

ABCD

面积相等

,

4

（

3

）如答图

1

所示

,

分别延长

RD,QF,PE,

交

FA,EC,DB

的延长线于点

S,T,W

．

由题意易得：△RSF,△QET,△PDW均为底角是30°的等腰三角形,其底边长均等于△ABC的边

长．

没有妨设等边三角形边长为

a,

则

SF=AC=a

．

如答图

2

所示

,

过点

R

作

RM

⊥

SF

于点

M,

则

MF=

2

SF=

2

a,

11

第27页/总56页

在Rt△RMF中,RM=MF•tan30°=

2

a×

∴S

△

RSF

=

2

a•

1

1

33

=a,

66

3

3

2

a=a

．

6

4

1

过点

A

作

AN

⊥

SD

于点

N,

设

AD=AS=x,

则

AN=AD•sin30°=

2

x,SD=2ND=2ADcos30°=

3

x,

∴S

△

ADS

=

2

SD•AN=

2

•

3

x•

2

x=

111

3

2

x

．

4

3

2

3

2

a=a,

44

∵三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和=3S

△

RSF

=3×

∴

S

△

RPQ

=S

△

ADS

+S

△

CFT

+S

△

BEW

=3S

△

ADS

,

∴

2

3

3

2

=3×x,

得

x

2

=,

6

3

4

2

或

x=

3

解得

x=

（没有合题意

,

舍去）

∴

x=

22

,

即

AD

的

长为

．

33

考点：四边形综合题．

28.在平面直角坐标系中，抛物线

yax

2

bx4

A（－3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交

于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单

位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；

第28页/总56页

2024年4月25日发(作者：韩雨琴)

2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟试题

（一模）

一、选一选（每小题3分，共24分）

1.下列各式结果是负数的是（

A.﹣（﹣3）

）

C.3

﹣

2

B.﹣|﹣3|D.（﹣3）

2

2.

下列函数中，自变量的取值范围是

x

＞

3

的是（

A.y=x

﹣

3B.

y



）

C.

y

1

x



3

x3

D.

y



1

x



3

3

，下列结论没有正确的是（

x

）

3.已知反比例函数

y

＝﹣

A.

图象必点（﹣1，3）

C.图象在第二、四象限内

B.

若

x

＞1，则﹣3＜

y

＜0

D.

y

随

x

的增大而增大

4.下列说法中，正确的是（）

A.对载人航天器“神舟十号”的零部件的检查适合采用抽样的方式

B.某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的地区降雨

C.掷一枚硬币，正面朝上的概率为

2

D.若

S

甲

=

0.1，

S

乙

=

0.01，则甲组数据比乙组数据稳定

5.

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

22

1

A.B.C.D.

，点

B

的

6.

如图，在平面直角坐标系中，菱形

OACB

的

顶点

O

在原点，点

C

的坐标为（

4

，

0

）

纵坐标是

−1

，则顶点

A

坐标是

第1页/总56页

A.

（

2

，

1

）

B.

（

1

，

−2

）

C.

（

1

，

2

）

D.

（

2

，

-1

）

7.

如图，

RtΔOAB

的顶点

O

与坐标原点重合，

AOB

=

90

°,

AO2BO

,当点

A

在反比例函

数

y



2

(

x

>

0

)的图像上移动时，点

BB

的坐标满足的函数解析式为(

x

)

A.

y



1

(x



0)

x

B.

y



1

(x



0)

2x

C.

y



1

(x



0)

4x

D.

y



1

(x



0)

8x

8.

如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内

的

两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，

则EF的长为（）

A.

3

2

B.

2

2

3

C.

7

5

D.

2

二、填空题（每小题3分，共30分）

9.16的平方根是．

10.

南海资源丰富，其面积约为

3500000

km

2，相当于我国渤海、黄海和东海总面积的

3

倍．该

面积可用科学记数法表示为

____________

km

2

．

第2页/总56页



x



y



4

11.如果有理数x，y满足方程组



那么x

2

－y

2

＝________．



2

x



2

y



1

12.某药品原价每盒

25

元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，连续两次降价，现在售价

每盒

16

元，则该药品平均每次降价的百分率是______．

13.

口袋内装有一些除颜色外完全相同

的

红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率

是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是_____．

14.若正多边形

的

一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______．

15.

如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是直径，且∠CAD=56°，则∠B的度数为

______°

．

16.如图，在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=__________．

17.

如图，在

▱ABCD

中，

AD=2

，

AB=4

，∠

A=30°

，以点

A

为圆心，

AD

的长为半径画弧交

AB

于点

E

，连接

CE

，则阴影部分的面积是

▲

（结果保留

π

）．

（

a

＞0），线段BC的两个端点

18.

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx（k

≠

0）点（a，

3

a

）

分别在x轴与直线y=kx上（点B、C均与原点O没有重合）滑动，且BC=2，分别作BP⊥x轴，

CP⊥直线y=kx，交点为P．经探究，在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值______．

第3页/总56页

三、解答题（本大题共有10小题，共86分）

19.（1）计算：

27



()

（2）化简：

(

1

2



2



1



3

；

3

x



2



x



1)



2

．

x



1

x



2

x



1

2

20.（1）解方程：x

-x-3=0；

（2）解没有等式组：





5

x

23



x

1



，



13

x



8



x

．



2



2

21.某中学初三（1）班共有40名同学，在30秒跳绳测试中他们的成绩统计如下表：

跳绳数/个

人数

81

1

85

2

9093

8

95

11

98100

5

将这些数据按组距5（个）分组，绘制成如图

的

频数分布直方图（没有完整）．

（1）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图；

（

2

）这个班同学这次跳绳成绩的众数是个，中位数是个；

（

3

）若跳满

90

个可得满分，学校初三年级共有

720

人，试估计该中学初三年级还有多少人跳

绳没有能得满分．

22.

甲、乙、丙、丁四位同学进行羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打场比赛．请用树状

图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

23.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD

交于点G．

第4页/总56页

（

1

）求证：

BE=DF

；

（

2

）当

DFAD



时，求证：四边形

BEFG

是平行四边形．

FCDF

24.为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市

场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获

得如下信息：

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用

10

天；

信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．

25.某班数学兴趣小组利用数学课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水

平面的夹角为

30°

，山高

857.5

尺，组员从山脚

D

处沿山坡向着雕像方向前进

1620

尺到达

E

点，

在点

E

处测得雕像顶端

A

的仰角为

60°

，求雕像

AB

的高度．

26.甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA

表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车

离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：

第5页/总56页

（

1

）求线段

CD

对应的函数表达式；

（

2

）求

E

点的坐标，并解释

E

点的实际意义；

（3）若已知轿车比货车晚出发2分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当x=

车和轿车相距30千米．

27.

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为

a



a2



的正方形ABCD各边上分别截取

AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．

小时，货

小明发现：分别延长QE、

MF

、

NG

、PH交FA、

GB

、

HC

、ED的延长线于点R、

S

、

T

、W可得

△RQF、△

G

、△

TNH

、△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，没有重叠），则这个新的正

方形的边长为__________；

（2）求正方形MNPQ的面积.

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D、E、F作BC、AC、AB的垂线，

得到等边△RPQ，若

S



RPQ



3

，则AD的长为__________.

3

2

、B（4，0）两点，且与y轴交

28.

在平面直角坐标系中，抛物线

yaxbx4

A（－3，0）

于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单

位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

（

3

）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；

第6页/总56页

若没有存在，请说明理由.

第7页/总56页

2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟试题

（一模）

一、选一选（每小题3分，共24分）

1.下列各式结果是负数的是（

A.﹣（﹣3）

【正确答案】

B

）

C.3

﹣

2

B.﹣|﹣3|D.（﹣3）

2

【分析】根据相反数、值、乘方,进行化简,即可解答.

【详解】

A

、

(3)3

,

故错误

.

B

、

33

,

正确

.

C、

3



2



2

1

,故错误.

9

D、



3



9

,故错误.

所以

B

选项是正确的

.

本题考查了相反数、值、乘方

,

解决本题的关键是熟记相反数、值、乘方的法则

.

2.下列函数中，自变量的取值范围是x＞3的是（

Ay=x﹣3

）

C.

y

.

B.

y



1

x



3

x3

D.

y



1

x



3

【正确答案】D

【详解】试题分析：

A

、

x

为全体实数，故本选项错误；

B

、

x-3≠0

，解得

x≠3

，故本选项错误；

C、x-3≥0，解得x≥3，故本选项错误；

D、x-3＞0，解得x＞3，故本选项正确．

故选D.

考点：函数自变量的取值范围．

3.已知反比例函数

y

＝﹣

3

，下列结论没有正确的是（

x

）

第8页/总56页

A.

图象必点（﹣1，3）

C.

图象在第二、四象限内

【正确答案】D

B.

若

x

＞1，则﹣3＜

y

＜0

D.

y

随

x

的增大而增大

【详解】

A.

∵

(−1)×3=−3,

∴图象必点

(−1,3)

，故正确；

B.∵

k

=−3<0

，∴函数图象的两个分支分布在第二、四象限，故正确；

C.

∵

x

=1

时，

y

=−3

且

y

随

x

的增大而而增大，∴

x

>1

时，

−3<

y

<0

，故正确；

D.函数图象的两个分支分布在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故错误．

故选

D.

4.

下列说法中，正确的是（）

A.对载人航天器“神舟十号”的零部件的检查适合采用抽样的方式

B.某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的地区降雨

C.掷一枚硬币，正面朝上的概率为

2

D.若

S

甲

=

0.1，

S

乙

=

0.01，则甲组数据比乙组数据稳定

【正确答案】C

22

1

【详解】分析：根据普查和抽样的意义可判断出A的正误；根据概率的意义可判断出B、C的

正误；根据方差的意义，方差大则数据没有稳定可判断出D的正误．

详解：

A

．对载人航天器

“

神舟十号

”

的零部件的检查，因为意义重大，适合采用全面的方

式，故此选项错误；

B．某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的可能降水，

故此选项错误；

C

．一枚硬币，正面朝上的概率为

2

1

，故此选项正确；

2

2

D

．若甲组数据的方差

S

甲

=0.1

，乙组数据的方差

S

乙

=0.01

，则乙组数据比甲组数据

稳定，故此选项错误．

故选

C

．

点睛：本题主要考查了方差、概率、全面和抽样，关键是掌握概率是频率（多个）的波

动稳定值，是对发生可能性大小的量的表现；方差是反映一组数据的波动大小的一个

量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离

第9页/总56页

散程度越小，稳定性越好．

5.

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

A.B.C.D.

【正确答案】C

【分析】根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为三棱柱．

【详解】解：A的俯视图是圆，故没有符合题意；

B的俯视图是正方形，没有符合题意；

C

的主视图是两个矩形，俯视图是三角形，左视图是矩形，故符合题意；

D

的左视图是三角形，故没有符合题意；

故选C．

6.如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的

纵坐标是−1，则顶点A坐标是

A.（2，1）

【正确答案】A

B.（1，

−

2）C.（1，2）D.（2，-1）

【详解】∵点C的坐标为（4，0），

∴OC=4，

∴点B的纵坐标是-1，

∴

A

（

2

，

1

）．

故选

A

．

第10页/总56页

7.如图，

RtΔOAB

的顶点

O

与坐标原点重合，

AOB

=90°,

AO2BO

,当点

A

在反比例函

数

y



2

(

x

>0)的图像上移动时，点

BB

的坐标满足的函数解析式为(

x

)

A.

y



1

(x



0)

x

B.

y



1

(x



0)

2x

C.

y



1

(x



0)

4x

D.

y



1

(x



0)

8x

【正确答案】

B

【详解】分析：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，设B点坐标满足的函

数解析式是y=

k

，易得△AOC∽△OBD，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得

x

S

△

AOC

：S

△

BOD

=4，继而求得答案．

详解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，设B点坐标满足

的函数解析式是y=

k

，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°．

x

AO

2

）．

BO

2

x

112

OC•AC=

•x•=1，

22

x

∵∠

AOB=90°

，∴∠

AOC

+∠

BOD=90°

，∴∠

BOD=

∠

OAC

，∴△

AOC

∽△

OBD

，

∴S

△

AOC

：S

△

BOD

=（

∵

AO=2BO

，∴

S

△

AOC

：

S

△

BOD

=4

．

∵当A点在反比例函数y=（x＞0）的图象上移动，∴S

△

AOC

=

∴S

△

BOD

=

11

k

111

DO•BD=

（﹣x•）=﹣

k，∴1=4×（﹣k），解得：k=﹣

22

x

222

1

（x＜0）．

2x

∴B点坐标满足的函数解析式y=﹣

故选

B

．

第11页/总56页

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注

意掌握辅助线的作法，注意掌握数形思想的应用是解题的关键．

8.如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，

则EF的长为（）

A.

3

2

B.

2

2

3

C.

7

5

D.

2

【正确答案】

D

【分析】延长

AE

交

DF

于

G

，再根据全等三角形的判定得出△

AGD

与△

ABE

全等，得出

AG=BE=4

，

由

AE=3

，得出

EG=1

，同理得出

GF=1

，再根据勾股定理得出

EF

的长．

【详解】解：延长AE交DF于G．如图，

∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AD=DC=5,∠

BAD=

∠

ADC=90°

，

∵

AE=3

，

BE=4

，

∴△ABE是直角三角形，

∴同理可得△DFC是直角三角形，

∵AE=FC，BE=DF，AB=DC，

第12页/总56页

∴△

ABE

≌△

CDF

，

∴∠

BAE=

∠

DCF

，

∵∠FCD+∠CDF=90°，

∴∠BAE+∠CDF=90°，

∴∠

DAG+

∠

ADG=90°

，

∴△

AGD

是直角三角形，

∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，

∴∠GAD=∠EBA，

同理可得：∠

ADG=

∠

BAE

．

在

△AGD

和△

BAE

中，





EAB



GDA



AD



AB

∵



，





ABE



DAG



∴△AGD≌△BAE（ASA），

∴AG=BE=4，DG=AE=3，

∴

EG=4

﹣

3=1

，同理可得：

GF=1

，

∴EF=

1

2

1

2



故选D．

本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出EG=FG=1，再利用勾股定

理计算．

2

．

二、填空题（每小题3分，共30分）

9.16

的平方根是

【正确答案】

±4

【详解】由（

±4

）

2

=16

，可得

16

的平方根是

±4

，

故±4．

10.南海资源丰富，其面积约为3500000

km

2，相当于我国渤海、黄海和东海总面积的3倍．该

面积可用科学记数法表示为____________

km

2

．

【正确答案】

3.510

6

．

第13页/总56页

【详解】分析：科学记数法的表示形式为

a

×

10

n

的形式，其中

1

≤|

a

|＜

10

，

n

为整数．确定

n

的值时，要看把原数变成

a

时，小数点移动了多少位，

n

的值与小数点移动的位数相同．当原

数值≥1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．

详解：3500000用科学记数法表示为3.5×10

6

．

故答案为

3.5

×

10

6

．

点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为

a

×

10

n

的形式，其

中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．



x



y



4

11.如果有理数x，y满足方程组



那么x

2

－y

2

＝________．



2

x



2

y



1

【正确答案】2

【分析】把个方程乘以

2

，然后利用加减消元法求解得到

x

、

y

的值，然后代入代数式进行计算

即可得解．

【详解】





x



y



4

①



2

x



2

y



1

②

，

①

×2

得，

2x+2y=8

③，

②+③得，4x=9，

解得

x=

9

，

4

把x=

99

代入①得，

+y=4，

44

7

，

4

x



解得y=

9

4

∴方程组的解是

{

，

7

y



4

∴x

2

-y

2

=（

9

2

7

2

32



2

．）

-（

）

=

16

4

4

考点：解二元方程组．

12.某药品原价每盒

25

元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，连续两次降价，现在售价

每盒

16

元，则该药品平均每次降价的百分率是______．

第14页/总56页

【正确答案】

20%

【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可

.

【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，

根据题意得25×（1-x）（1-x）=16，

整理得

25



1x



16

，

解得x=0.2或1.8（没有合题意，舍去）；

即该药品平均每次降价的百分率是20%，

故

20%

．

本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键.

13.口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率

是

0.2

，摸出白球的概率是

0.5

，那么摸出黑球的概率是

_____

．

【正确答案】

0.3.

2

【详解】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-0.2-0.5=0.3．

考点：概率公式．

14.若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______．

【正确答案】9

【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，

再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．

【详解】∵正多边形的一个内角是140°，

∴它的一个外角是：180°-140°=40°，

∵多边形

的

外角和为360°，

∴这个正多边形的边数是：

360°÷40°=9

．

故9．

15.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是直径，且∠CAD=56°，则∠B的度数为______°．

第15页/总56页

【正确答案】34

【详解】连接

CD

，



AD为直径



∠ACD=90°，



∠

CAD=56°



∠

ADC=34°

，

根据同弧所对的圆周角相等可得：∠B=∠ADC=34°．

故34

考点：圆的基本性质

16.如图，在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=__________．

【正确答案】32°

【详解】试题解析：设∠BAC=x，则∠BDC=42°+x．

∵

CD=CB

，

∴∠

B=

∠

BDC=42°+x

．

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠B=42°+x，

∴∠

BCD=

∠

ACB-

∠

ACD=x

，

∴∠

ADC=

∠

B+

∠

BCD=42°+x+x=42°+2x

．

∵∠ADC+∠BDC=180°，

∴42°+2x+42°+x=180°，

第16页/总56页

解得

x=32°

，

所以∠

BAC=32°

．

考点：等腰三角形的性质．

17.如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交

AB

于点

E

，连接

CE

，则阴影部分的面积是

▲

（结果保留

π

）．

【正确答案】

3





1

3

【详解】过D点作DF⊥AB于点F．

∵

AD=2

，

AB=4

，∠

A=30°

，

∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2．

∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积

30







2

2

11

=

4



1



2



1



3





.

36023

故答案为.

3





（

a

＞0），线段BC的两个端点

18.

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx（k

≠

0）点（a，

3

a

）

分别在x轴与直线y=kx上（点B、C均与原点O没有重合）滑动，且BC=2，分别作BP⊥x轴，

CP⊥直线y=kx，交点为P．经探究，在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值______．

1

3

第17页/总56页

【正确答案】

43

3

【详解】试题分析：根据题意可得：k=

3

，则∠COB=60°，当△OCB为等边三角形时求出OP

的长度．

考点：勾股定理．

三、解答题（本大题共有10小题，共86分）

19.（1）计算：

27



()

（2）化简：

(

1

2



2



1



3

；

3

x



2



x



1)



2

．

x



1

x



2

x



1

【正确答案】(1)

235

；(2)

x

2

x2

【详解】分析：（

1

）先化简二次根式、计算负整数指数幂、去掉值符号，然后进行加减运算即

可；

（2）首先计算括号内的式子，通分相加，把除法转化为乘法，然后进行约分即可．

详解：（1）原式=

334(31)

=

33431

=

235

；

2

3

（

x



1

）（

x



1

）

（

x



1

）

（2）原式=[﹣]•

x1

x



1

x



2

2

4



x

2

（

x



1

）

=•

x



1

x



2

2

（

x



2

）（

x



2

）

（

x



1

）

=



•

x



1

x



2

（

x

﹣

1

）

=

﹣（

x

+

2

）

=﹣x

2

﹣x+2．

点睛：主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．

20.

（1）解方程：x

-x-3=0；

2

第18页/总56页

（2）解没有等式组：





5

x

23



x

1



，



13

x



8



x

．



2



2

5

1



131



13

x

4

，

x

2



；

(2)

2

22

【正确答案】

(1)

x

1



【详解】分析：（

1

）利用公式法解方程即可；

（2）分别解两个没有等式得到x＞2.5和x≤4，然后根据大小小大中间找确定没有

等式组的解集．

详解：（

1

）

a=1

，

b=

－

1

，

c=

－

3

，△

=b

2

-4ac=

(1)

2

41(3)

=13

＞

0

，∴

x=

1



13

，

2

∴

x

1



1



131



13

，

x

2



；

22

（2）解①得x＞2.5，

解②得x≤4，

所以没有等式组的解集为2.5＜x≤4．

点睛：本题考查了解一元二次方程﹣公式法：将一元二次方程化成一般形式，再利用求

根公式求解．也考查了解一元没有等式组．

21.某中学初三（1）班共有40名同学，在30秒跳绳测试中他们的成绩统计如下表：

跳绳数

/

个

人数

81

1

85

2

9093

8

95

11

98100

5

将这些数据按组距5（个）分组，绘制成如图的频数分布直方图（没有完整）．

（

1

）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图；

（

2

）这个班同学这次跳绳成绩的众数是个，中位数是个；

（3）若跳满90个可得满分，学校初三年级共有720人，试估计该中学初三年级还有多少人跳

绳没有能得满分．

第19页/总56页

【正确答案】（1）见解析；（2）95；95；（3）54人.

【分析】（

1

）首先根据直方图得到

95.5

﹣

100.5

小组共有

13

人，由统计表知道跳

100

个的有

5

人，从而求得跳

98

个的人数；

（2）根据众数和中位数的定义填空即可；

（3）用样本估计总体即可．

【详解】解：（1）根据直方图得到95.5﹣100.5小组共有13人，由统计表知道跳100个的有5

人，

∴跳

98

个的有

13

﹣

5=8

（人），

跳90个的有40﹣1﹣2﹣8﹣11﹣8﹣5=5（人），

故统计表为：

跳绳数/个

人数

直方图为：

81

1

85

2

90

5

93

8

95

11

98

8

100

5

（

2

）观察统计表知：众数为

95

个，中位数为

95

个；

（3）估计该中学初三年级没有能得满分的有720×

1



2

=54（人）．

40

本题考查了频数分布表以及频率分布直方图的知识，解题的关键是读懂题目意思并读懂两个统

计图，难度中等.

第20页/总56页

22.

甲、乙、丙、丁四位同学进行羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打场比赛．请用树状

图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

【正确答案】

1

6

【详解】画树状图：

∴共有12个等可能的结果，其中恰好是甲乙的占2个，

∴P

(

甲乙

)

=

21



126

本题考查了树状图求概率，解决此题的关键是认真审题，找到总的情况和分类的情况．

23.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD

交于点G．

（1）求证：BE=DF；

（2）当

DFAD



时，求证：四边形BEFG是平行四边形．

FCDF

【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）由菱形的性质和∠BAF=∠DAE，证得△ABF与△AFD全等后即可证得结论.（2）

由AD∥BC证得△ADG∽△EBG，从而

ADDGDFAD



；由和BE=DF即可得证得

BEBGFCDF

DFADDG



.

从而根据平行线分线段成比例定理证得

FG

∥

BC

，进而得到

FCBEBG

第21页/总56页

∠

DGF=

∠

DBC=

∠

BDC

，根据等腰三角形等角对等边的判定和

BE=DF

，证得

BE=GF.

利用一组

对边平行且相等即可判定平行四边形

.

【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，

∵∠

BAF=

∠

DAE

，

∴∠

BAF

﹣∠

EAF=

∠

DAE

﹣∠

EAF

，即：∠

BAE=

∠

DAF.

∴△BAE≌△DAF（ASA）.

∴BE=DF.

（

2

）∵四边形

ABCD

是菱形，

∴

AD

∥

BC.

∴△ADG∽△EBG.

∴

ADDG



.

BEBG

DFAD



，

FCDF

又∵BE=DF，

∴

DFADDG



.

FCBEBG

∴GF∥BC.

∴∠DGF=∠DBC=∠BDC.

∴

DF=GF.

又∵

BE=DF

，

∴BE=GF.

∴四边形BEFG是平行四边形.

24.为了提高产品

的

附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市

场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获

得如下信息：

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用

10

天；

信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．

【正确答案】甲、乙两个工厂每天分别能加工

40

件、

60

件新产品

【分析】设甲工厂每天能加工

x

件产品，表示

8

出乙工厂每天加工

1.5x

件产品，然后根据甲加

第22页/总56页

工产品的时间比乙加工产品的时间多

10

天列出方程求解即可．

【详解】解：设甲工厂每天能加工

x

件产品，则乙工厂每天加工

1.5x

件产品，

根据题意得，

解得x=40．

经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意．

1.5x=1.5×40=60．

答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品．

本题考查的是分式方程的应用题，读懂题意列出方程时解决此题的关键．

25.

某班数学兴趣小组利用数学课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水

平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，

在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．

12001200



10

，

x1.5x

【正确答案】雕像AB的高度为95尺．

【详解】试题分析：过点

E

作

EF

⊥

AC

，

EG

⊥

CD

，在

Rt

△

DEG

中，求得

EG

的长，即可得

BF

的长；在Rt△BEF中，可得EF=

3

BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，根据锐角三

角函数求得x即可.

试题解析：如图，

过点E作EF⊥AC于F，EG⊥CD于G，

∵AC⊥CD，

∴四边形EFCG是矩形，

第23页/总56页

∴

CF=EG

，

在

Rt

△

DEG

中，∵

DE=1620

，∠

D=30°

，

∴EG=DEsin∠D=1620×

2

=810，

∵BC=857.5，CF=EG，

∴

BF=BC

﹣

CF=47.5

，

∵

EF

∥

DC

，

∴∠BEF=30°，

在Rt△BEF中，tan∠BEF=

∴EF=

3

BF，

在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，

∵

tan

∠

AEF=

1

BF

，

EF

AF

，

EF

∴AF=EF×tan∠AEF=3BF，

∴

x+47.5=3×47.5

，

∴

x=95

，

答：雕像AB的高度为95尺．

考点：解直角三角形的应用．

26.甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA

表示货车离甲地的路程

y

（千米）与所用时间

x

（小时）之间的函数关系，折线

BCD

表示轿车

离甲地的路程

y

（千米）与

x

（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：

（1）求线段CD对应的函数表达式；

（

2

）求

E

点的坐标，并解释

E

点的实际意义；

（

3

）若已知轿车比货车晚出发

2

分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当

x=

车和轿车相距30千米．

小时，货

第24页/总56页

【正确答案】（

1

）

y=120x-140

（

2≤x≤4

．

5

）；（

2

）

E

点的坐标为（

3

．

5

，

280

），即表示当货车出

发3．5小时时货车和轿车相遇；（3）

2

、

1

11

17

37

、、．

4

8

4

【详解】试题分析：（1）设线段CD对应的函数解析式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；

（

2

）根据两图象相交的交点指的是两车相遇解答即可．

（

3

）先由货车和轿车相距

30

千米列出方程解答即可．

试题解析：（1）设线段CD对应的函数解析式为y=kx+b，

100



2

k



b

可得：

{

，

400



4.5

k



b

解得：

{

k



120

．

b



140

所以线段CD对应的函数表达式为：y=120x-140（2≤x≤4．5）；

（2）由图象可得：直线OA的解析式为：y=80x，

根据两图象相交的交点指的是两车相遇，

可得：

80x=120x-140

，

解得：x=3．5，

把x=3．5代入y=80x，得：y=280；

所以E点的坐标为（3．5，280），即表示当货车出发3．5小时时货车和轿车相遇；

（3）设货车出发xh后，

可得：

120x-140-30=80x

，

解得：

x=4

．

25

．

故答案为4．25．

（

3

）由题意知，

B

（

1

，

0

），

3

1

，

≤x≤2

）

3

∴

BC

段解析式为

y=60x-20

（

货车与轿车相距

30km

有四种情况：

1

）当

1

1

≤x≤2

时，

80x-

（

60x-20

）

=30

，解得

x=

2

；

3

7

11

时，80x-（120x-140）=30，解得x=；

4

2

2）当2＜x≤

第25页/总56页

3）当

4

）当

1

7

9

17

＜x≤时，120x-140-80x=30，解得x=；

2

2

4

37

9

＜

x≤5

时，

400-80x=30

，解得

x=

；

8

2

11

17

37

、、．

8

4

4

∴

x=

2

、

考点：函数的应用．

27.阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为

a



a2



的正方形ABCD各边上分别截取

AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．

小明发现：分别延长QE、

MF

、

NG

、PH交FA、

GB

、

HC

、ED的延长线于点R、

S

、

T

、W可得

△RQF、△G、△TNH、△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，没有重叠），则这个新的正

方形的边长为__________；

（2）求正方形MNPQ的面积.

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D、E、F作BC、AC、AB的垂线，

得到等边△RPQ，若

S



RPQ



【正确答案】(1)a(2)2(3)

2

3

3

，则AD的长为__________.

3

【详解】试题分析：（

1

）四个等腰直角三角形的斜边长为

a,

其拼成的正方形面积为

a

2

,

边长为

a

；

第26页/总56页

（

2

）如题图

2

所示

,

正方形

MNPQ

的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和

,

据此求出

正方形

MNPQ

的面积；

（3）参照小明的解题思路,对问题做同样的等积变换．如答图1所示,三个等腰三角形

△RSF,△QET,△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积,故阴影三角形△PQR的面积等于

三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出

AD

的长度．

试题解析：（

1

）四个等腰直角三角形的斜边长为

a,

则斜边上的高为

2

a,

每个等腰直角三角形的面积为：

2

a•

2

a=

则拼成的新正方形面积为：

4×

∴这个新正方形的边长为

a

；

（

2

）∵四个等腰直角三角形的面积和为

a

2

,

正方形

ABCD

的面积为

a

2

,

∴

S

正方形

MNPQ

=S

△ARE

+S

△DWH

+S

△GCT

+S

△F

=4S

△ARE

=4×

2

×1

2

=2

；

1

11

1

1

2

a,

4

1

22

a=a,

即与原正方形

ABCD

面积相等

,

4

（

3

）如答图

1

所示

,

分别延长

RD,QF,PE,

交

FA,EC,DB

的延长线于点

S,T,W

．

由题意易得：△RSF,△QET,△PDW均为底角是30°的等腰三角形,其底边长均等于△ABC的边

长．

没有妨设等边三角形边长为

a,

则

SF=AC=a

．

如答图

2

所示

,

过点

R

作

RM

⊥

SF

于点

M,

则

MF=

2

SF=

2

a,

11

第27页/总56页

在Rt△RMF中,RM=MF•tan30°=

2

a×

∴S

△

RSF

=

2

a•

1

1

33

=a,

66

3

3

2

a=a

．

6

4

1

过点

A

作

AN

⊥

SD

于点

N,

设

AD=AS=x,

则

AN=AD•sin30°=

2

x,SD=2ND=2ADcos30°=

3

x,

∴S

△

ADS

=

2

SD•AN=

2

•

3

x•

2

x=

111

3

2

x

．

4

3

2

3

2

a=a,

44

∵三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和=3S

△

RSF

=3×

∴

S

△

RPQ

=S

△

ADS

+S

△

CFT

+S

△

BEW

=3S

△

ADS

,

∴

2

3

3

2

=3×x,

得

x

2

=,

6

3

4

2

或

x=

3

解得

x=

（没有合题意

,

舍去）

∴

x=

22

,

即

AD

的

长为

．

33

考点：四边形综合题．

28.在平面直角坐标系中，抛物线

yax

2

bx4

A（－3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交

于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单

位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；

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