2024年4月26日发(作者：谷欢欣)

北京市海淀区2022届高三一模数学试卷

数 学

2022．03

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束

后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合

Ax1x2

，

Bxx0

则

AB

（ ）

（A）

xx2







（B）

xx1



（C）

xx1



（D）

xx0



（2）在复平面内，复数

z

对应的点为（1，-1），则

z



1i





（ ）

（A）2 （B）2i （C）-2i （D）-2

x

2

y

2

1

的离心率为（ ） （3）双曲线

3

（A）

3

3

（B）

6

3

（C）

23

3

（D）

3

4

（4）在

(xx)

的展开式中，

x

2

的系数为（ ）

（A）-1 （B）1 （C）-4 （D）4

（5）下列命题中正确的是（ ）

（A）平行于同一个平面的两条直线平行

（C）垂直于同一个平面的两个平面平行

22

（B）平行于同一条直线的两个平面平行

（D）垂直于同一条直线的两个平面平行

（6）已知直线

l:axby1

是圆

xy2x2y0

的一条对称轴，则

ab

的最大值为（ ）

（A）

1

4

（B）

1

2

2

3

（C）1 （D）

2

（7）已知角



的终边绕原点

O

逆时针旋转号



后与角



的终边重合，且

cos(







)1

，则



的取值可以为

（ ）

（A）



6

（B）



3

（C）

1 / 12

2



3

（D）

5



6

（8）已知二次函数

f



x



的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数

g



x



的图象，则不等式

g(x)log

2

x

的解集是（ ）

（A）

(,2)

（C）（0,2）

（B）

(2,)

（D）（0,1）

（9）在

△ABC

中，

A

（A）充分而不必要条件

（C）充分必要条件



4

，则

sinB

2

是“

△ABC

是钝角三角形”的（ ）

2

（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

（10）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布

如下表：

年龄（岁）

确诊组人数

排除组人数



0,20



0

7



20,40



3

41



40,60



7

15



60,80



4

19



80,



0

2

总计

14

84

为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式。第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人

中随机抽取7人，用

X,Y

分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比。给出下列四个结

论：

①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；

②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0：

③

X,Y

的取值范围都是



0,,



；

④

E



X



E



Y



．

其中，正确结论的个数为

（A）1 （B）2 （C）3

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知抛物线

y2px

的准线方程为

x1

，则

p

____________．

2



12





65



（D）4

2 / 12

（12）已知



a

n



是等比数列，

S

n

为其前

n

项和。若

a

2

是

a

1

，

S

2

的等差中项，

S

4

15

，则

q

____________

a

1



____________．

（13）若函数

f(x)2

x

a1

的值域为



1,



，则实数

a

的一个取值可以为____________．

（14）已知

e

1

,e

2

，是单位向量，且

e

1

e

2

0

，设向量

a



e

1





e

2

，当







1

时，

a,e

1



_________．当







2

时，

ae

1

，的最小值为_________．

（15）已知函数

f(x)

①

f(x)

是偶函数；

③

f(x)

的最小值为



cos



x

，给出下列四个结论：

x

2

1

②

f(x)

有无数个零点；

④

f(x)

的最大值为1

1

；

2

其中，所有正确结论的序号为_________．

三、解答题共6小题。共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）

设函数

f(x)2sinxcosxAcos2x(AR)

。已知存在

A

使得

f(x)

同时满足下列三个条件中的两个：

条件①：

f(x)0

；

条伴②：

f(x)

的最大值为

2

；

条件：

x



8

是

f(x)

图象的一条对称轴。

（Ⅰ）请写出

f(x)

满足的两个条件，并说明理由：

（Ⅱ）若

f(x)

在区间

(0,m)

上有且只有一个零点，求

m

的取值范围。

（17）（本小题14分）

如图，在四棱柱

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，底面

ABCD

是正方形。平面

A

1

ADD

1



平面

ABCD

，

AD2

，

AA

1

A

1

D

．

（Ⅰ）求证：

A

1

DAB

；

（Ⅱ）若直线

AB

与平面

A

1

DC

1

，所成角的正弦值为

3 / 12

21

，求

AA

1

，的长度。

7

（18）（本小题14分）

《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点），相关数据

表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低。根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指

数的统计如下表。

组别

1

2

3

4

5

睡眠指数 早睡人群占比

0．1%

11．1%

34．6%

48．6%

5．6%

晚睡人群占比

9．2%

47．4%

31．6%

11．8%

0．0%



0,51





51,66





66,76





76,90





90,100



注：早睡人群为23:00前入睡的人群，晚睡人群为01:00后入睡的人群。

（Ⅰ）根据表中数据。估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？



76,90



内的人群中，早睡人群约占80%，从睡眠指数得分在区同



76,90



内

的人群中随机抽取3人，以

X

表示这3人中属于早睡人群的人数，求

X

的分布列与数学期望

E



X



；

（Ⅱ）据统计。睡眠指数得分在区间

（Ⅲ）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间

这种说法是否正确，并说明理由．

（19）（本小题14分）

已知函数

f(x)e

x

ax

2

x1

。

（I）求曲线

yf(x)

在点

(0,f(0))

处的切线的方程；

（Ⅱ）若函数

f(x)

在

x0

处取得极大值，求

a

的取值范围；

（Ⅲ）若函数

f(x)

存在最小值，直接写出

a

的取值范围。

（20）（本小题15分）



76,90



内．试判断的分布列



4 / 12

x

2

y

2

1

已知椭圆

C:

2



2

1(ab0)

的下顶点

A

和右顶点

B

都在直线

l

1

:y(x2)

上．

ab

2

（1）求椭圆方程及其离心率；

（Ⅱ）不经过点

B

的直线

l

2

:ykxm

交椭圆

C

于两点

P,Q

，过点

P

作

x

轴的垂线交

l

1

于点

D

，点

P

关于点

D

的对称点为

E

．若

E,B,Q

三点共线，求证：直线

l

2

经过定点，

（21）（本小题14分）

设

m

为正整数，若无穷数列



a

n



满足

a

iki

a

ik

i(i1,2,,m;k1,2,)

，则称



a

n



为

P

m

数列。

（Ⅰ）数列



n



是否为

P

1

数列？说明理由；

（Ⅱ）已知

a

n







s,n为奇数,

其中

s,t

为常数．若数列



a

n



为

P

2

数列，求

s,t

；



t,n为偶数,

)

，求

a

n

． （Ⅲ）已知

P

3

数列



a

n



满足

a

1

0,a

8

2,a

6k

a

6k6

(k1,2,

5 / 12

北京市海淀区2022届高三一模数学试卷

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

题号

答案

（1）

B

（2）

A

（3）

C

（4）

B

（5）

D

（6）

A

（7）

C

（8）

C

（9）

A

（10）

B

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

题号

答案

（11）

2

（12）

2；1

（13）

（只需a＞0即可）1

（14） （15）

①②④



2

；

2

4

说明：12题、14题两空前3后2；15题全选对5分，漏选1个3分，漏选2个2分，不选0分。

三、解答题共6小题，共85分。

（16）（本小题共14分）

解：（I）

f(x)

满足条件②和条件③.

由

f(x)2sinxcosxAcos2x

，

得

f(x)sin2xAcos2x1A

2

sin(2x



)

，

(



2









2

,tan



A)

2

所以

f(x)

的最大值为

1A

.

由条件②：

f(x)

的最大值为

2

，

2

得

1A2

，得

A1

.

当

A1

时，

f(x)

当

A1

时，

f(x)

2sin(2x)

，

f()2

满足条件③，

48

2sin(2x)

，

f()0

不满足条件③，

48

2sin(2x)

.

4









所以，

f(x)

满足条件②和③，且

f(x)

（Ⅱ）方法1：

当

0xm

时，





4

2x



4

2m



4

，

因为

f(x)

在区间(0,m)上有且只有一个零点，

所以



2m

得



4

2



，

3



7



，

m

88

6 / 12

2024年4月26日发(作者：谷欢欣)

北京市海淀区2022届高三一模数学试卷

数 学

2022．03

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束

后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合

Ax1x2

，

Bxx0

则

AB

（ ）

（A）

xx2







（B）

xx1



（C）

xx1



（D）

xx0



（2）在复平面内，复数

z

对应的点为（1，-1），则

z



1i





（ ）

（A）2 （B）2i （C）-2i （D）-2

x

2

y

2

1

的离心率为（ ） （3）双曲线

3

（A）

3

3

（B）

6

3

（C）

23

3

（D）

3

4

（4）在

(xx)

的展开式中，

x

2

的系数为（ ）

（A）-1 （B）1 （C）-4 （D）4

（5）下列命题中正确的是（ ）

（A）平行于同一个平面的两条直线平行

（C）垂直于同一个平面的两个平面平行

22

（B）平行于同一条直线的两个平面平行

（D）垂直于同一条直线的两个平面平行

（6）已知直线

l:axby1

是圆

xy2x2y0

的一条对称轴，则

ab

的最大值为（ ）

（A）

1

4

（B）

1

2

2

3

（C）1 （D）

2

（7）已知角



的终边绕原点

O

逆时针旋转号



后与角



的终边重合，且

cos(







)1

，则



的取值可以为

（ ）

（A）



6

（B）



3

（C）

1 / 12

2



3

（D）

5



6

（8）已知二次函数

f



x



的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数

g



x



的图象，则不等式

g(x)log

2

x

的解集是（ ）

（A）

(,2)

（C）（0,2）

（B）

(2,)

（D）（0,1）

（9）在

△ABC

中，

A

（A）充分而不必要条件

（C）充分必要条件



4

，则

sinB

2

是“

△ABC

是钝角三角形”的（ ）

2

（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

（10）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布

如下表：

年龄（岁）

确诊组人数

排除组人数



0,20



0

7



20,40



3

41



40,60



7

15



60,80



4

19



80,



0

2

总计

14

84

为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式。第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人

中随机抽取7人，用

X,Y

分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比。给出下列四个结

论：

①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；

②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0：

③

X,Y

的取值范围都是



0,,



；

④

E



X



E



Y



．

其中，正确结论的个数为

（A）1 （B）2 （C）3

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知抛物线

y2px

的准线方程为

x1

，则

p

____________．

2



12





65



（D）4

2 / 12

（12）已知



a

n



是等比数列，

S

n

为其前

n

项和。若

a

2

是

a

1

，

S

2

的等差中项，

S

4

15

，则

q

____________

a

1



____________．

（13）若函数

f(x)2

x

a1

的值域为



1,



，则实数

a

的一个取值可以为____________．

（14）已知

e

1

,e

2

，是单位向量，且

e

1

e

2

0

，设向量

a



e

1





e

2

，当







1

时，

a,e

1



_________．当







2

时，

ae

1

，的最小值为_________．

（15）已知函数

f(x)

①

f(x)

是偶函数；

③

f(x)

的最小值为



cos



x

，给出下列四个结论：

x

2

1

②

f(x)

有无数个零点；

④

f(x)

的最大值为1

1

；

2

其中，所有正确结论的序号为_________．

三、解答题共6小题。共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）

设函数

f(x)2sinxcosxAcos2x(AR)

。已知存在

A

使得

f(x)

同时满足下列三个条件中的两个：

条件①：

f(x)0

；

条伴②：

f(x)

的最大值为

2

；

条件：

x



8

是

f(x)

图象的一条对称轴。

（Ⅰ）请写出

f(x)

满足的两个条件，并说明理由：

（Ⅱ）若

f(x)

在区间

(0,m)

上有且只有一个零点，求

m

的取值范围。

（17）（本小题14分）

如图，在四棱柱

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，底面

ABCD

是正方形。平面

A

1

ADD

1



平面

ABCD

，

AD2

，

AA

1

A

1

D

．

（Ⅰ）求证：

A

1

DAB

；

（Ⅱ）若直线

AB

与平面

A

1

DC

1

，所成角的正弦值为

3 / 12

21

，求

AA

1

，的长度。

7

（18）（本小题14分）

《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点），相关数据

表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低。根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指

数的统计如下表。

组别

1

2

3

4

5

睡眠指数 早睡人群占比

0．1%

11．1%

34．6%

48．6%

5．6%

晚睡人群占比

9．2%

47．4%

31．6%

11．8%

0．0%



0,51





51,66





66,76





76,90





90,100



注：早睡人群为23:00前入睡的人群，晚睡人群为01:00后入睡的人群。

（Ⅰ）根据表中数据。估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？



76,90



内的人群中，早睡人群约占80%，从睡眠指数得分在区同



76,90



内

的人群中随机抽取3人，以

X

表示这3人中属于早睡人群的人数，求

X

的分布列与数学期望

E



X



；

（Ⅱ）据统计。睡眠指数得分在区间

（Ⅲ）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间

这种说法是否正确，并说明理由．

（19）（本小题14分）

已知函数

f(x)e

x

ax

2

x1

。

（I）求曲线

yf(x)

在点

(0,f(0))

处的切线的方程；

（Ⅱ）若函数

f(x)

在

x0

处取得极大值，求

a

的取值范围；

（Ⅲ）若函数

f(x)

存在最小值，直接写出

a

的取值范围。

（20）（本小题15分）



76,90



内．试判断的分布列



4 / 12

x

2

y

2

1

已知椭圆

C:

2



2

1(ab0)

的下顶点

A

和右顶点

B

都在直线

l

1

:y(x2)

上．

ab

2

（1）求椭圆方程及其离心率；

（Ⅱ）不经过点

B

的直线

l

2

:ykxm

交椭圆

C

于两点

P,Q

，过点

P

作

x

轴的垂线交

l

1

于点

D

，点

P

关于点

D

的对称点为

E

．若

E,B,Q

三点共线，求证：直线

l

2

经过定点，

（21）（本小题14分）

设

m

为正整数，若无穷数列



a

n



满足

a

iki

a

ik

i(i1,2,,m;k1,2,)

，则称



a

n



为

P

m

数列。

（Ⅰ）数列



n



是否为

P

1

数列？说明理由；

（Ⅱ）已知

a

n







s,n为奇数,

其中

s,t

为常数．若数列



a

n



为

P

2

数列，求

s,t

；



t,n为偶数,

)

，求

a

n

． （Ⅲ）已知

P

3

数列



a

n



满足

a

1

0,a

8

2,a

6k

a

6k6

(k1,2,

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北京市海淀区2022届高三一模数学试卷

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

题号

答案

（1）

B

（2）

A

（3）

C

（4）

B

（5）

D

（6）

A

（7）

C

（8）

C

（9）

A

（10）

B

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

题号

答案

（11）

2

（12）

2；1

（13）

（只需a＞0即可）1

（14） （15）

①②④



2

；

2

4

说明：12题、14题两空前3后2；15题全选对5分，漏选1个3分，漏选2个2分，不选0分。

三、解答题共6小题，共85分。

（16）（本小题共14分）

解：（I）

f(x)

满足条件②和条件③.

由

f(x)2sinxcosxAcos2x

，

得

f(x)sin2xAcos2x1A

2

sin(2x



)

，

(



2









2

,tan



A)

2

所以

f(x)

的最大值为

1A

.

由条件②：

f(x)

的最大值为

2

，

2

得

1A2

，得

A1

.

当

A1

时，

f(x)

当

A1

时，

f(x)

2sin(2x)

，

f()2

满足条件③，

48

2sin(2x)

，

f()0

不满足条件③，

48

2sin(2x)

.

4









所以，

f(x)

满足条件②和③，且

f(x)

（Ⅱ）方法1：

当

0xm

时，





4

2x



4

2m



4

，

因为

f(x)

在区间(0,m)上有且只有一个零点，

所以



2m

得



4

2



，

3



7



，

m

88

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