2024年4月28日发(作者：逄初晴)

专题

8.1

空间几何体及其三视图和直观图（真题测试）

一、单选题

1

．（全国

·

高考真题（文））如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这

个几何体是（

）

A

．三棱锥

B

．三棱柱

C

．四棱锥

D

．四棱柱

2

．（湖南

·

高考真题（文））一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则

能得到的最大球的半径等于（

）

A

．

1 B

．

2 C

．

3 D

．

4

3

．（

2022·

福建省泉州市培元中学高一期中）某圆柱的高为

2

，底面周长为

16

，其三视图如图，圆柱表面上

的点

M

在正（主）视图上的对应点为

A

，圆柱表面上的点

N

在侧（左）视图上的对应点为

B

，则在此圆柱

侧面上，从

M

到

N

的路径中，最短路径的长度为（

）

A

．

27

B

．

25

C

．

3

D

．

2

4.

（

2022·

安徽蚌埠

·

高一期末）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个斜边长为

2

的等腰直角三角

形，且斜边成横向，那么原平面图形中最长边的长度是（

）

A

．

26

B

．

6

C

．

23

D

．

43

5

．（

2021·

全国

·

高考真题（文））在一个正方体中，过顶点

A

的三条棱的中点分别为

E

，

F

，

G

．该正方体截

去三棱锥

AEFG

后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（

）

A

．

B

．

C

．

D

．

6. (2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正

四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，

则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )

A.

51515151

B. C. D.

4242

7

．（

2021·

江苏

·

高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（

）

A

．

2:1

B

．

2:1

C

．

1:2

D

．

1:2

8

．（北京

·

高考真题（理））某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（

）

A

．

8

二、多选题

B

．

62

C

．

10 D

．

82

9

．（

2022·

广东中山

·

高一期末）从正方体的

8

个顶点中任选

4

个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空

间几何体．这个空间几何体可能是（

）

A

．每个面都是直角三角形的四面体；

B

．每个面都是等边三角形的四面体；

C

．每个面都是全等的直角三角形的四面体；

D

．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．

10

．（

2022·

江西上饶

·

高一期末）下列命题正确的是（

）

A

．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

B

．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体

C

．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台

D

．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转

180°

所形成的曲面

11

．（

2021·

福建省南安市侨光中学高一阶段练习）如图所示，

E

，

F

分别为正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的面

ADD

1

A

1

、面

BCC

1

B

1

的中心，则四边形

BFD

1

E

在该正方体的面上的正投影可能是（

）

A

．

B

．

C

．

D

．

12

．（

2023·

全国

·

高三专题练习）三棱锥

PABC

的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正

视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为

1

的正方形，则（

）

A

．该棱锥各面都是直角三角形

B

．直线

AB

与

PC

所成角为

60

C

．点

P

到底面

ABC

的距离为

1

三、填空题

D

．该棱锥的外接球的表面积为

3



13

．（上海

·

高考真题（理））若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为

2



，则其母线与轴的夹角的大小为

________

．

14

．（

2019·

全国

·

高考真题（文））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长

方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是

“

半正多面体

”

（图

1

）

.

半正多面体是由两

种或两种以上的正多边形围成的多面体

.

半正多面体体现了数学的对称美．图

2

是一个棱数为

48

的半正多面

体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为

1

．则该半正多面体共有

________

个面，

其棱长为

_________

．

=1

，

ABAD3

，

AB

⊥

AC

，（

2020·

全国

·

高考真题（理））如图，在三棱锥

P–ABC

的平面展开图中，

AB

⊥

AD

，∠

CAE=30°

，则

cos

∠

FCB=______________.

16

．（

2020·

海南

·

高考真题）已知直四棱柱

ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长均为

2

，∠

BAD=60°

．以

D

1

为球心，

5

为半径的球面与侧面

BCC

1

B

1

的交线长为

________

．

四、解答题

17

．（

2021·

全国

·

高一课时练习）画出如图所示的三棱柱的三视图．

18

．（

2022·

全国

·

高二课时练习）如图，一圆柱体的底面周长为

24cm

，高

AB

为

16cm

，

BC

是上底面的直径

.

一只昆虫从点

A

出发，沿着圆柱的侧面爬行到点

C

，求昆虫爬行的最短路程

.

19

．（

2020·

全国

·

高三专题练习（文））如图

1

，在四棱锥

P­ABCD

中，底面为正方形，

PC

与底面

ABCD

垂

直，如图

2

为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为

6cm

的全等的等腰直角三角形

.

（

1

）根据图中所给的正视图､侧视图，画出相应的俯视图，

并求出该俯视图的面积；

（

2

）求

PA.

20

．（

2022·

全国

·

高二课时练习）设圆锥的底面半径为

1

，母线与底面所成角为

30°

，过圆锥的任意两条母线

作截面，求截面面积的最大值

.

21

．（

2021·

全国

·

高一课时练习）如图所示是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求

出

x

，

y

的值．

22．（2022·全国·高二课时练习）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿

尔贝罗贝洛（Alberobello），这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录（图

1）．现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为12m，母线SA长为18m（图2），C，D是母线SA

的两个三等分点（点D靠近点A），E是母线SB的中点．如从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求

灯光带的最小长度．

专题

8.1

空间几何体及其三视图和直观图（真题测试）

一、单选题

1

．（全国

·

高考真题（文））如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这

个几何体是（

）

A

．三棱锥

B

．三棱柱

C

．四棱锥

D

．四棱柱

【答案】

B

【解析】

【详解】

试题分析：由三视图中的正视图可知，由一个面为直角三角形，左视图和俯视图可知其它的面为长方形．综

合可判断为三棱柱．

2

．（湖南

·

高考真题（文））一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则

能得到的最大球的半径等于（

）

A

．

1 B

．

2 C

．

3 D

．

4

【答案】

B

【解析】【详解】

试题分析：由三视图可知，这是一个三棱柱，内切球在正视图的投影是正视图的内切圆，设其半径为

r

，根

据三角形面积公式有

11



6810



r68,r2

.

22

3

．（

2022·

福建省泉州市培元中学高一期中）某圆柱的高为

2

，底面周长为

16

，其三视图如图，圆柱表面上

的点

M

在正（主）视图上的对应点为

A

，圆柱表面上的点

N

在侧（左）视图上的对应点为

B

，则在此圆柱

侧面上，从

M

到

N

的路径中，最短路径的长度为（

）

A

．

27

B

．

25

C

．

3

D

．

2

【答案】

B

【解析】

【分析】

判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．

【详解】

由题意可知几何体是圆柱，底面周长

16

，高为：

2

．侧面展开图如下图：

圆柱表面上的点

N

在左视图上的对应点为

B

，

则在此圆柱侧面上，从

M

到

N

的路径中，

最短路径的长度：

2

2

4

2

25

．

故选：

B

．

4.

（

2022·

安徽蚌埠

·

高一期末）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个斜边长为

2

的等

腰直角三角形，且斜边成横向，那么原平面图形中最长边的长度是（

）

A

．

26

【答案】

C

【解析】

【分析】

B

．

6

C

．

23

D

．

43

根据斜二测画法可得原图，从而可计算原平面图形中最长边的长度

.

【详解】

斜二测直观图如图（

1

）所示，原图如图（

2

）所示，其中：

OA2,OB22

，

故原平面图形

中最长边为

AB4823

.

故选：

C

．

5

．（

2021·

全国

·

高考真题（文））在一个正方体中，过顶点

A

的三条棱的中点分别为

E

，

F

，

G

．该正方体截

去三棱锥

AEFG

后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（

）

A

．

B

．

C

．

D

．

【答案】

D

【解析】

【分析】

根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断

.

【详解】

由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

所以其侧视图为

故选：

D

6. (2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正

四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，

则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )

A.

51515151

B. C. D.

4242

【答案】C

【解析】设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m.

依题意得h

2

＝

1

×2a×m，即h

2

＝am，①

2

5115

a（

m

a舍去），

22

易知h

2

＋a

2

＝m

2

，②由①②得

m

所以

m



2a

51

a

51

2

＝

.故选C.

4

2a

7

．（

2021·

江苏

·

高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（

）

A

．

2:1

【答案】

C

【解析】

【分析】

根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解

.

【详解】

根据题意作图，

B

．

2:1

C

．

1:2

D

．

1:2

设圆锥的底面圆半径为

r

，高为

h

，母线长为

l

.

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有

2rcos45l

，

l2r

.



r

2



r

2

该圆锥的底面积与侧面积比值为



rl





r2r



1

2

.

故选：

C.

8

．（北京

·

高考真题（理））某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（

A

．

8 B

．

62

C

．

10 D

．

82

【答案】

C

【解析】

【详解】

在正方体中画出该三棱锥，如图所示：

易知：各个面均是直角三角形，且

AB4

，

AA

1

4

，

BC3

，

∴

S

ABC

6

，

S

A

1

AB

8

，

S

A

1

AC

10

，

S

A

1

BC

62

，

）

2024年4月28日发(作者：逄初晴)

专题

8.1

空间几何体及其三视图和直观图（真题测试）

一、单选题

1

．（全国

·

高考真题（文））如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这

个几何体是（

）

A

．三棱锥

B

．三棱柱

C

．四棱锥

D

．四棱柱

2

．（湖南

·

高考真题（文））一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则

能得到的最大球的半径等于（

）

A

．

1 B

．

2 C

．

3 D

．

4

3

．（

2022·

福建省泉州市培元中学高一期中）某圆柱的高为

2

，底面周长为

16

，其三视图如图，圆柱表面上

的点

M

在正（主）视图上的对应点为

A

，圆柱表面上的点

N

在侧（左）视图上的对应点为

B

，则在此圆柱

侧面上，从

M

到

N

的路径中，最短路径的长度为（

）

A

．

27

B

．

25

C

．

3

D

．

2

4.

（

2022·

安徽蚌埠

·

高一期末）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个斜边长为

2

的等腰直角三角

形，且斜边成横向，那么原平面图形中最长边的长度是（

）

A

．

26

B

．

6

C

．

23

D

．

43

5

．（

2021·

全国

·

高考真题（文））在一个正方体中，过顶点

A

的三条棱的中点分别为

E

，

F

，

G

．该正方体截

去三棱锥

AEFG

后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（

）

A

．

B

．

C

．

D

．

6. (2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正

四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，

则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )

A.

51515151

B. C. D.

4242

7

．（

2021·

江苏

·

高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（

）

A

．

2:1

B

．

2:1

C

．

1:2

D

．

1:2

8

．（北京

·

高考真题（理））某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（

）

A

．

8

二、多选题

B

．

62

C

．

10 D

．

82

9

．（

2022·

广东中山

·

高一期末）从正方体的

8

个顶点中任选

4

个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空

间几何体．这个空间几何体可能是（

）

A

．每个面都是直角三角形的四面体；

B

．每个面都是等边三角形的四面体；

C

．每个面都是全等的直角三角形的四面体；

D

．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．

10

．（

2022·

江西上饶

·

高一期末）下列命题正确的是（

）

A

．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

B

．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体

C

．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台

D

．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转

180°

所形成的曲面

11

．（

2021·

福建省南安市侨光中学高一阶段练习）如图所示，

E

，

F

分别为正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的面

ADD

1

A

1

、面

BCC

1

B

1

的中心，则四边形

BFD

1

E

在该正方体的面上的正投影可能是（

）

A

．

B

．

C

．

D

．

12

．（

2023·

全国

·

高三专题练习）三棱锥

PABC

的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正

视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为

1

的正方形，则（

）

A

．该棱锥各面都是直角三角形

B

．直线

AB

与

PC

所成角为

60

C

．点

P

到底面

ABC

的距离为

1

三、填空题

D

．该棱锥的外接球的表面积为

3



13

．（上海

·

高考真题（理））若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为

2



，则其母线与轴的夹角的大小为

________

．

14

．（

2019·

全国

·

高考真题（文））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长

方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是

“

半正多面体

”

（图

1

）

.

半正多面体是由两

种或两种以上的正多边形围成的多面体

.

半正多面体体现了数学的对称美．图

2

是一个棱数为

48

的半正多面

体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为

1

．则该半正多面体共有

________

个面，

其棱长为

_________

．

=1

，

ABAD3

，

AB

⊥

AC

，（

2020·

全国

·

高考真题（理））如图，在三棱锥

P–ABC

的平面展开图中，

AB

⊥

AD

，∠

CAE=30°

，则

cos

∠

FCB=______________.

16

．（

2020·

海南

·

高考真题）已知直四棱柱

ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长均为

2

，∠

BAD=60°

．以

D

1

为球心，

5

为半径的球面与侧面

BCC

1

B

1

的交线长为

________

．

四、解答题

17

．（

2021·

全国

·

高一课时练习）画出如图所示的三棱柱的三视图．

18

．（

2022·

全国

·

高二课时练习）如图，一圆柱体的底面周长为

24cm

，高

AB

为

16cm

，

BC

是上底面的直径

.

一只昆虫从点

A

出发，沿着圆柱的侧面爬行到点

C

，求昆虫爬行的最短路程

.

19

．（

2020·

全国

·

高三专题练习（文））如图

1

，在四棱锥

P­ABCD

中，底面为正方形，

PC

与底面

ABCD

垂

直，如图

2

为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为

6cm

的全等的等腰直角三角形

.

（

1

）根据图中所给的正视图､侧视图，画出相应的俯视图，

并求出该俯视图的面积；

（

2

）求

PA.

20

．（

2022·

全国

·

高二课时练习）设圆锥的底面半径为

1

，母线与底面所成角为

30°

，过圆锥的任意两条母线

作截面，求截面面积的最大值

.

21

．（

2021·

全国

·

高一课时练习）如图所示是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求

出

x

，

y

的值．

22．（2022·全国·高二课时练习）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿

尔贝罗贝洛（Alberobello），这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录（图

1）．现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为12m，母线SA长为18m（图2），C，D是母线SA

的两个三等分点（点D靠近点A），E是母线SB的中点．如从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求

灯光带的最小长度．

专题

8.1

空间几何体及其三视图和直观图（真题测试）

一、单选题

1

．（全国

·

高考真题（文））如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这

个几何体是（

）

A

．三棱锥

B

．三棱柱

C

．四棱锥

D

．四棱柱

【答案】

B

【解析】

【详解】

试题分析：由三视图中的正视图可知，由一个面为直角三角形，左视图和俯视图可知其它的面为长方形．综

合可判断为三棱柱．

2

．（湖南

·

高考真题（文））一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则

能得到的最大球的半径等于（

）

A

．

1 B

．

2 C

．

3 D

．

4

【答案】

B

【解析】【详解】

试题分析：由三视图可知，这是一个三棱柱，内切球在正视图的投影是正视图的内切圆，设其半径为

r

，根

据三角形面积公式有

11



6810



r68,r2

.

22

3

．（

2022·

福建省泉州市培元中学高一期中）某圆柱的高为

2

，底面周长为

16

，其三视图如图，圆柱表面上

的点

M

在正（主）视图上的对应点为

A

，圆柱表面上的点

N

在侧（左）视图上的对应点为

B

，则在此圆柱

侧面上，从

M

到

N

的路径中，最短路径的长度为（

）

A

．

27

B

．

25

C

．

3

D

．

2

【答案】

B

【解析】

【分析】

判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．

【详解】

由题意可知几何体是圆柱，底面周长

16

，高为：

2

．侧面展开图如下图：

圆柱表面上的点

N

在左视图上的对应点为

B

，

则在此圆柱侧面上，从

M

到

N

的路径中，

最短路径的长度：

2

2

4

2

25

．

故选：

B

．

4.

（

2022·

安徽蚌埠

·

高一期末）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个斜边长为

2

的等

腰直角三角形，且斜边成横向，那么原平面图形中最长边的长度是（

）

A

．

26

【答案】

C

【解析】

【分析】

B

．

6

C

．

23

D

．

43

根据斜二测画法可得原图，从而可计算原平面图形中最长边的长度

.

【详解】

斜二测直观图如图（

1

）所示，原图如图（

2

）所示，其中：

OA2,OB22

，

故原平面图形

中最长边为

AB4823

.

故选：

C

．

5

．（

2021·

全国

·

高考真题（文））在一个正方体中，过顶点

A

的三条棱的中点分别为

E

，

F

，

G

．该正方体截

去三棱锥

AEFG

后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（

）

A

．

B

．

C

．

D

．

【答案】

D

【解析】

【分析】

根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断

.

【详解】

由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

所以其侧视图为

故选：

D

6. (2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正

四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，

则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )

A.

51515151

B. C. D.

4242

【答案】C

【解析】设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m.

依题意得h

2

＝

1

×2a×m，即h

2

＝am，①

2

5115

a（

m

a舍去），

22

易知h

2

＋a

2

＝m

2

，②由①②得

m

所以

m



2a

51

a

51

2

＝

.故选C.

4

2a

7

．（

2021·

江苏

·

高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（

）

A

．

2:1

【答案】

C

【解析】

【分析】

根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解

.

【详解】

根据题意作图，

B

．

2:1

C

．

1:2

D

．

1:2

设圆锥的底面圆半径为

r

，高为

h

，母线长为

l

.

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有

2rcos45l

，

l2r

.



r

2



r

2

该圆锥的底面积与侧面积比值为



rl





r2r



1

2

.

故选：

C.

8

．（北京

·

高考真题（理））某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（

A

．

8 B

．

62

C

．

10 D

．

82

【答案】

C

【解析】

【详解】

在正方体中画出该三棱锥，如图所示：

易知：各个面均是直角三角形，且

AB4

，

AA

1

4

，

BC3

，

∴

S

ABC

6

，

S

A

1

AB

8

，

S

A

1

AC

10

，

S

A

1

BC

62

，

）