2024年6月13日发(作者：柯良吉)

精品文档

第5章 杆件的强度与刚度计算

5-1 如图所示的钢杆，已知：杆的横截面面积等于100mm

2

，钢的弹性模量E=2×10

5

MPa，

F=10kN，Q=4kN。要求：

（1）计算钢杆各段的应力、绝对变形和应变；

（2）计算钢杆的纵向总伸长量。

解：（1）计算钢杆各段内的轴力、应力、绝

对变形和应变

从左到右取3段，分别为1-1、2-2、3-3截面，则

题5-1图

1

1

2

2

3

3

根据轴力的平衡，得

各段内的轴力：（左）N

1

=F=10kN

（中）N

2

=F-Q=10-4=6kN

（右）N

3

=F =10=10kN

各段内的应力：

N

1

1010

3

6

10010Pa100MPa

（左）



1



S

10010

6

N

2

610

3

6

6010Pa60MPa

（中）



2



S

10010

6

N

3

1010

3

6

10010Pa100MPa

（右）



3



6

S

10010

各段内的绝对变形：

N

1

L

1

(1010

3

)0.2

3

（左）



l

1

0.110m0.1mm

56

ES

(210)(10010)

N

2

L

2

(610

3

)0.2

3

（中）



l

2

0.0610m0.06mm

56

ES

(210)(10010)

N

3

L

3

(1010

3

)0.2

3

（右）



l

3

0.110m0.1mm

56

ES

(210)(10010)

各段内的应变：

（左）



1



l

1

0.1

510

4

L

1

200

精品文档

精品文档

（中）



2



l

2

0.06

310

4

L

2

200

l

3

0.1

510

4

L

3

200

（右）



3



（2）计算钢杆的总变形

ll

1

l

2

l

3

0.10.060.10.26

mm

（3）画出钢杆的轴力图

钢杆的轴力图见下图。

N

10kN

6kN



x

5-2 试求图示阶梯钢杆各段内横截面上的应力以及杆的纵向总伸长量。已知钢的弹性

模量E=2×10

5

MPa，F=10kN，Q=2kN。

解：（1）计算钢杆各段内的应力

从左到右取2段，分别为1-1、2-2截面，则各段内

的轴力：

N

1

=F=10kN

N

2

=F+Q=10+2=12kN

各段内的应力：

题5-2图

1

2

1

2

N

1

1010

3



1

127.410

6

Pa127.4MPa

32

S

1



(1010)

4

N

2

1210

3

6



2

38.210Pa38.2MPa

32

S

2



(2010)

4

（2）计算钢杆的总变形

精品文档

精品文档

各段的变形：

NL



l

1



11



ES

1

1010

3

1000

3

0.63710m0.637mm

32



(1010)

210

5



4

1210

3

500

0.09610

3

m0.096mm

32



(2010)

210

5



4

NL



l

2



11



ES

1

故钢杆的总变形：

ll

1

l

2

0.6370.0960.733

mm

5-3 如图所示的三角形支架，杆AB和杆BC均为圆截面，杆AB的直径d

1

=20mm，

杆BC的直径d

2

=40mm，两杆材料的许用应力均为

[σ]=160MPa 。设重物的重量G=20kN，试问此支架

是？

解：（1）取B点作为研究对象，画出如图所示的

受力图。

（2）根据平衡方程求未知力

题5-3图



F



F

于是

N

BC

x

0

，

N

AB

N

BC

cos30



0

y

0

，

GN

BC

sin30



0

B

G2010

3

40kN

sin30



sin30





N

AB

N

BC

cos3040cos3034.64kN

（3）计算各杆应力



AB

N

AB

34.6410

3

6

110.310Pa110.3MPa[



]

32

S

AB



(2010)

4

N

BC

4010

3

31.810

6

Pa31.8MPa[



]

32

S

BC



(4010)

4



BC

精品文档

精品文档

故杆AB和BC的强度是足够的，支架是安全的。

5-4 如图所示的结构，梁AB的变形及重量可忽略不计。杆1为钢制圆杆，直径

d

1

=20mm，弹性模量E

1

=2×10

5

MPa；杆2为铜制圆杆，直径d

2

=25mm，弹性模量E

2

=1×10

5

MPa。

试问：（1）载荷P加在何处，才能使梁AB受力后仍保持水平？（2）若此时P=30kN，求两

杆内横截面上的正应力。

解：（1）只有杆1和杆2伸长相同时，AB杆才能

保持水平，即：

L

1

L

2

N

1

L

1

N

2

L

2



E

1

S

1

E

2

S

2

题5-4图

N

1

1.5N

2

1



3232



(2010)



(2510)

210

5

110

5

44

N

1

0.8533N

2

（1）

（2）取杆AB为研究对象，列平衡方程



F

y

0

，

N

1

N

2

P0

（2）

A



M0

，

PxN

2

20

（3）

将式（1）代入式（2）得：

P3010

3

N

2

16187N

1.85331.8533

N

1

0.8533N0.85331618713812N

将

N

2

代入式（2）得：

x

2N

2

216187

1.08m

3

P

3010

（3）两杆内横截面上的正应力为：



1



N

1

13812

4410

6

Pa44MPa

32

S

1



(2010)

4

精品文档

精品文档



2



N

2

16187

3310

6

Pa33MPa

32

S

2



(2510)

4

5-5 蒸汽机的汽缸如图5-32所示，汽缸的内直径D

i

=400mm，工作压力p=1.2MPa。汽

缸盖和汽缸用根径为15.294mm的螺栓连接。若活塞杆材

料的许用应力为50MPa，螺栓材料的许用应力为40MPa，

试求活塞杆的直径及螺栓的个数。

解：（1）求活塞杆的直径

活塞杆工作时受到的轴力（拉力）

题5-5图

Np



4

D

i

2

（忽略活塞杆面积）

N

[



]

，可得

S

p

根据活塞杆的强度条件：



max



S



d

2

4



p

N

[



]



D

i

2



4

[



]

dD

i

[



]

400

1.2

61.97mm

50

考虑到活塞杆的磨损、腐蚀等因素，可取活塞杆直径d=63mm.

（2）计算螺栓的个数

沿汽缸盖和汽缸的接触面将所有的连接螺栓截开，取汽缸盖为研究对

象，其受力图如下图所示。由于螺栓沿圆周均匀分布，可认为每个螺栓横

截面上的轴力都是相同的，设为N

i

，如图所示。

设螺栓的根径为d

1

，所需螺栓的个数为n，则汽缸盖的平衡条件为：

nN

i





4

D

i

2

p

（1）

螺栓的强度条件为：

N

i

[



]

栓

（2）

d

1

由式（1）和式（2）两式联立解得

D

i

2

p

400

2

1.2

n

2

20.52

2

d

1

[



]

栓

15.29440

取螺栓个数n=22（偶数）或24（最好为4的倍数）。

精品文档

精品文档

5-6 一根直径为d=16mm、长为L=3m的圆截面杆，承受轴向拉力P=30kN，其伸长为

ΔL=2.2mm。试求：（1）杆横截面上的应力和应变；（2）杆材料的弹性模量E；（3）杆直径

的改变量和横截面面积的相对变化率。已知杆的变形是完全弹性的，材料的泊松比=0.3。

解：（1）求杆横截面上的应力和应变

承受轴向拉力P=30kN，则杆内的轴力也为N=30kN，于是杆横截面上的应力：

N3010

3



149.3MPa

S



16

2

/4

应变：







L

L



2.2

0.733310

3

3000

（2）求材料的弹性模量E

由于变形是完全弹性的，故满足虎克定律，则

E



149.3

5

2.0410MPa

3



0.733310

3

（3）杆的横向应变：



'



0.30.733310

所以直径的改变量：



d



'd0.2210

3.52m。

面积的相对变化率：

3

0.2210

3

.

163.5210

3

mm

，即直径减小了



S(d



d)

2

d

2

2



d

33

2



'2(0.2210)0.4410

2

Sd

d

说明横截面积减小了0.044%。

5-7 一根直径为d=10mm的圆截面杆，在轴向拉力P作用下，直径减小0.0025mm。

已知材料的弹性模量E=2×10

5

MPa，泊松比μ=0.3，变形为完全弹性的，试求轴向拉力P的

大小。

解：（1）求出纵向应变













d0.0025

0.00025

d10





0.00025

8.3310

4



0.3

（2）求应力





E



2108.3310

（3）求轴力N

精品文档

54

166.7MPa

精品文档

NS







(1010

3

)

2

4

(166.710

6

)13092N13.1kN

（4）轴向拉力P=N=13.1kN

5-8 图5-38为销钉连接，已知P=18kN，两板的厚度t

1

=8mm、t

2

=5mm，销钉与两板的

材料相同，许用切应力[τ]=60MPa，许用挤压应力[σ

bs

]=200 MPa。试设计销钉的直径d。

解：（1）按剪切强度设计

销钉具有两个剪切面，各剪切面上的剪力均为

QP/2

，则剪切应力为

QP/22P



2



2

S



d/4



d

2P

根据剪切强度条件式有：

[



]

2



d





题5-8图

故

2P

d



[



]

21810

3

13.82mm



60

（2）按挤压强度设计

若按销钉中段考虑挤压强度，其挤压力

P

bs

P

，挤压计算面积按销钉圆柱面正投影

面积计算，

S

bs

dt

1

；若按照销钉侧段考虑挤压强度，其挤压力

P

bs

P/2

，挤压面积

S

bs

dt

2

。因

t

1

2t

2

，所以销钉中段受到的挤压应力更大，需对此段进行强度核算。据挤

压强度条件式有：



bs



P

bs

P

[



bs

]

S

bs

dt

1

P1810

3

故

d11.25mm

[



bs

]t

1

2008

综合考虑销钉的剪切强度和挤压强度，按销钉直径d≥13.82mm，取d=14mm。

5-9 如图（a）所示，齿轮与轴用平键连接，已知轴直径d=70mm，键的尺寸

b×h×l=20×12×100mm，传递的力偶矩T=2kN·m；键材料的许用切应力[τ]=80MPa，许用挤压

应力[σ

bs

]=200 MPa。试校核键的强度。

精品文档

精品文档

(a) (b)

题5-9图

解：（1）沿剪切面将键截开，把轴取出来作为研究对象，其受力图如图（b）所示。考

虑到轴两端有轴承，故可简化为位于中心的固定铰支座。在键的剪切面上作用有剪力Q。

由图（b），易得

TQ

所以

Q

d

2

2T22000

57142.9N

3

d

7010

QQ57142.9

28.6MPa

Sbl20100

（2）校核键的剪切强度，剪切面积

Sbl

，则切应力





由于



[



]80MPa

，剪切强度足够。

（3）校核键的挤压强度

因为键与轴，键与齿轮接触的面积相等，故任取一挤压面校核即可。易知挤压力

P

bs

Q

，挤压计算面积

S

bs



h

l

，则挤压应力

2



bs



P

bs

Q2Q257142.9

95.2MPa

S

bs

h

hl12100

l

2

由于



bs

[



bs

]200MPa

，挤压强度也足够。

所以，键的强度足够。

精品文档

精品文档

5-10 销钉式安全联轴器如图所示，销钉材料的材料极限切应力



b

320

MPa，许用切

应力[τ]=80MPa，轴的直径

D=30mm。要求正常工况

下传递力偶矩T=60N·m，

且当T≥300N··m时销钉

就必须被剪断，试问销钉

直径d应为多少？

解：（1）沿销钉的上

题5-10图

下两个剪切面截开，将轴或轴套分开，考虑轴的平衡,受力图如右

图所示。由于轴与销钉都具有对称性，只需对一个剪切面进行核

算。设每个剪切面受到的剪力为Q，则平衡条件为：

TQD

可得

Q

T60

2000N

D0.030

按剪切强度条件有：





QQ

[



]



S

d

2

4

d

4Q





[



]

42000

5.64mm



80

（2）当

T300Nm

时，剪力

Q

T300

10000N

D0.030

因此，当剪力Q=10000N时，销钉就应被剪断。此时，销钉被剪断的条件为：

Q



4

所以





b

，

d

2

d

4Q



b



410000

6.31mm



320

综合考虑以上两个因素，可知

5.64mmd6.31mm

，按销钉直径规格取

d6mm

。

精品文档

精品文档

5-11 A、B两根轴用法兰盘连接起来，要求传递的力偶矩T=70kN··m。试由螺栓的剪

切强度条件设计螺栓的直径d。螺栓的许用切应力[τ]=40MPa，螺栓数量为12个。

题5-11图

解：两法兰盘通过螺栓连接起来传递外力偶矩，每个螺栓所承受的为剪切变形，其剪切

面沿两法兰盘的接触面。由于结构的对称性，每个螺栓所承受的载荷是相同的。设每个螺栓

所受剪力为

Q

，沿两法兰盘的接触面将螺栓剪断，取其任一法兰盘研究，受力图如下图所

示，其平衡条件为：

TnQ

所以

D

2

2T

2(7010

3

)

Q

25.9310

3

N

3

nD

12(45010)

每个螺栓的切应力





Q



4

，按剪切强度条件

d

2

4Q

[



]

2



d

4Q



所以

d



[



]

4(25.9310

3

)

28.7310

3

m28.73mm

6



(4010)

按照螺栓规格，可取螺栓直径为30mm。

5-12 一根钢轴，直径为20mm，许用切应力[τ]=100MPa，试求此轴能承受的扭矩。如

转速为100r/min，此轴能传递多少kW的功率？

解：钢轴需满足一定的剪切强度，其强度条件为：





T

n

T

n

[



]



3

W



d

16

精品文档

精品文档

因此，其最大能承受的扭矩

T

nmax

[



]



d

3

16

(10010)

6



(2010

3

)

3

16

157Nm

作为传动轴，该最大扭矩与相应的外力矩相平衡，所加外力矩T的值与此最大扭矩相等。

根据计算公式

T9.55

P

，得该轴所能传递的功率为

n

Tn157100

P1644W1.644kW

9.559.55

5-13 一带有框式搅拌桨叶的搅拌轴，其受力情况如图所示。搅拌轴由电动机经过减速

箱及圆锥齿轮带动。已知电动机的功率为3kW，机械传动效率为85%，搅拌轴的转速为

5r/min，直径为d=75mm，材料为45钢，许用切剪应力[τ]=60MPa。试校核搅拌轴的强度，

并作出搅拌轴的扭矩图（假设T

B

=T

C

=2T

D

）。

解：传递到搅拌轴上的实际功率

PP

电机





385%2.55kW

故作用于搅拌轴上的外力矩为

T

A

9.55

P2.55

9.554.870kNm

n5

4.870kNm

2.922kNm

0.974kNm

(a) (b) (c)

题5-13图

轴做匀速转动时，主动外力矩与阻力矩

T

B

、T

C

、T

D

相平衡，且

T

B

T

C

2T

D

，于是

精品文档

精品文档

T

A

T

B

T

C

T

D

2T

D

2T

D

T

D

5T

D

故B、C、D形成的阻力偶矩分别为

T

D



11

T

A

4.8700.974kNm

55

T

C

T

B

2T

D

20.9741.948kNm

利用截面法，可求得AB、BC、CD段截面上的扭矩分别为（受力图略）

T

n1

T

A

0，T

n1

T

A

4.870kNm

T

n2

T

A

T

B

0，T

n2

T

A

T

B

2.922kNm

T

n3

T

D

0

，

T

n3

T

D

0.974kNm

画出扭矩图如图(c)所示。

可见，最大扭矩在AB段内，其值为

T

max

T

n1

4.870kNm

实心轴直径 d=75mm，其抗扭截面模量为

W







16

d

3

得到最大切应力



max

T

max

T

max

4.87010

3

58.810

6

Pa58.8MPa[



]



3



W



d(7510

3

)

3

1616

故此轴强度校核合格。

5-14 阶梯形圆轴如图所示，d

1

=40mm，

d

2

=70mm。已知由轮3输入的功率P

3

=30 kW，

轮1输出的功率P

1

=13kW，轴作匀速转动，转

速 n=200r/min，材料的许用切应力

[τ]=60MPa，剪切弹性模量G=8.0×10

4

MPa，单

位长度的许用扭转角[φ′]=2°/m。试校核轴的强

度和刚度。

解：（1）校核轴的强度

轮3传递的主动力矩为

题5-14图

精品文档

精品文档

T

3

9.55

P

3

30

9.551.433kNm

n200

轮1产生的阻力偶矩为

T

1

9.55

P

1

13

9.550.621kNm

n200

由于轴做匀速传动，力矩

T

1

、T

2

、T

3

应平衡，

所以

T

2

T

3

T

1

1.4330.6210.812kNm

用截面法可求出各段轴截面上的扭矩分别为（各截面的扭矩均按正值假设）：

1、2轮之间：

T

n1

T

1

0

，

T

n1

T

1

0.621kNm

2、3轮之间：

T

n2

T

3

0

T

n2

T

3

1.433kNm

可见最大的扭矩出现在2、3轮之间，但1、2轮之间前半段轴直径较小，故需分别对

两段截面的切应力进行校核

1、2轮前段：



max1



T

n1



16



0.62110

3

d

1

3

T

n2



16



49.410

6

Pa49.4MPa

(4010

3

)

3

1.43310

3

2、3轮之间：

T

max2





16

3

d

2



16

21.310

6

Pa21.3MPa

(7010

3

)

3

比较知，最大切应力出现在1、2轮之间的前段，且



max

49.4MPa[



]60MPa

，强度足够。

（2）校核轴的刚度

因轴的抗扭刚度

GI



与轴的直径有关，故仍需对上述两段可能的最危险截面进行刚度

校核。

1、2轮前段产生的最大扭转角：

T



'

max1



n1



GI



T

n1

G



d

1

4

32

0.62110

3

0.0309rad/m1.77

o

/m

34



(4010)

(810

10

)

32

2、3轮之间产生的扭转角：

精品文档

精品文档



'

max2



T

n2



GI



T

n2

G



d

2

32

4

1.43310

3

o

0.00759rad/m0.435/m

34



(7010)

(810

10

)

32

最大扭转角依然出现在1、2轮间前段，且

oo



'

max

1.77/m[



']2/m

，刚度足够。

5-15 支承管道的悬臂梁AB由两根槽钢组成，两管道重量相同，G=5.5kN，载荷的作

用位置如图5-39所示。

（1）试画出梁AB的弯矩图；

（2）根据强度条件选择组成AB梁的槽钢型号，已知槽钢的许用应力[σ]=140MPa。

解：求支座A的约束反力，由静力平衡方程得：

R

A

GG2G11kN

M

A

G0.3G(0.30.51)G1.115.51.116.105kNm

以A为原点，AB方向为x轴正方向建

立坐标系，取距原点为

x

的任意截面，求得

弯矩方程如下：

AC段：

MR

A

xM

A

11x6.105

CD段：

MR

A

xM

A

G(x0.3)

M(kNm)

11x6.1055.5(x0.3)

5.5x4.455

2.805kNm

6.105kNm

x

DB段：

M0

作出梁的弯矩图如图所示。可见，最大

弯矩出现在支座A处

M

max

图P4-2

题5-15图

6.105kNm

精品文档

精品文档

对单根槽钢，其最大弯矩为：

6.105

3.052kNm

2

由于梁为等截面梁，各段的抗弯模量相同，故



max



M

max

[



]

W

z

M

max

3.05210

3

6333

21.810m21.810mm

W

z



6

[



]

14010

33

根据附录1槽钢标准（GB/T 707），选择8号槽钢，其

W

x

25.310mm

，能够满足

该梁的强度要求。

5-16 矩形截面简支梁AB和所受载荷如图所示。已知：F=4kN，q=2kN/m，截面尺寸

为120×200mm。在横放和竖放两种情况下，

试求：

（1）最大弯曲正应力σ

max

；

（2）在D、E两点的弯曲正应力。

解：首先，由平衡条件，求得两支座处

的约束力如下（求解过程略）：

R

A

7kN,R

B

5kN

作出剪力图和弯矩图如右图所示（作图

过程略）。最大弯矩

题5-16图

M

max

M|

x1.5

6.25kNm

最大弯矩位于距A支座1.5m处，亦即D点所在截面。最大弯矩所在截面位置，可由剪

力图所示的三角形相似条件求得，也可以把梁截开，考虑左段或右段的平衡，由Q=0来确

定。

于是，D、E两点所在截面的弯矩为：

M

D

6.25kNm

1

M

E

R

B

q1

2

2

1

521

2

4kNm

2

精品文档

精品文档

梁横放时，有

200120

2

W

z

4810

4

mm

3

6

200120

3

I

z

28810

5

mm

4

12

梁竖放时，有

120200

2

W

z

810

5

mm

3

6

120200

4

I

z

810

7

mm

4

12

（1）最大弯曲正应力

梁横放时，有



max



M

max

W

Z

6.2510

6

13.02MPa

4

4810

梁竖放时，有



max



M

max

W

Z

6.2510

6

7.81MPa

5

810

（2）D、E两点的弯曲正应力

梁横放时，有

M

D

y

D

6.2510

6

(6030)



D

6.51MPa

（拉）

I

Z

28810

5

M

E

y

E

410

6

50



E

6.94MPa

（压）

5

I

Z

28810

梁竖放时，有

M

D

y

D

6.2510

6

(10030)



D

5.47MPa

（拉）

I

Z

810

7

M

E

y

E

410

6

50



E

2.5MPa

（压）

7

I

Z

810

精品文档

精品文档

5-17 小型板框压滤机，如图所示。

板、框、物料总重3.2kN，均匀分布于长

600mm的长度内，由前后两根同直径、

同长度且对称布置的横梁AB承受。梁的

直径d=60mm，梁的两端用螺栓连接，计

算时可视为铰接。试作出梁AB的剪力图

和弯矩图，并求出最大弯矩以及最大弯

曲正应力。

题5-17图

解：前后两根梁，受载及约束情况

相同，具有同样的强度，故可只研究其中一根横梁，所受载荷为总载荷的一半，在长为600mm

长度内为均布载荷，其线集度

q

3.2/28

kN/m

0.63

在其余400mm长度内无载荷，两端可简化为铰支座，如图所示。

由静力平衡方程可得支座A、B处的约束反力：

1

q(0.6)

2

R

B

10

2

18

R

B

(0.6)

2

0.48kN

23

R

A

G/2R

B

1.60.481.12kN

以A点为原点，AB方向为x轴正方向建立坐标系，

可求得剪力方程和弯矩方程：

8

QR

A

qx1.12x

（0≤x≤0.6）

3

14

MR

A

xqx

2

1.12xx

2

（0≤x≤0.6）

23

QR

B

0.48

（0.6≤x≤1.0）

MR

B

(1x)0.48(1x)

（0.6≤x≤1.0）

作出剪力图和弯矩图，如图所示。

当

dM(x)

0

时，

M

取得最大值，即

dx

dM(x)

2.242.672x0

，

x0.42m

，

dx

精品文档

精品文档

所以

M

max

4

1.120.420.42

2

0.235kNm

3

最大弯曲正应力：



max



M

max

W

Z



M

max



32



0.23510

6

d

3



32

11.09MPa

60

3

5-18 一根直径d=1mm的直钢丝绕在直径D=800mm的圆轴上，钢的弹性模量

E=2.1×10

5

MPa。假设钢丝绳绕在圆轴上产生的弯曲变形可视为纯弯曲，试求钢丝绳由于（弹

性）弯曲而产生的最大弯曲正应力。又若材料的屈服强度R

eL

=350MPa，求不使钢丝产生残

余变形的轴径应为多大？

解：（1）钢丝绳绕在圆轴上，纯弯曲时的最大弯曲正应力：



max

E



max

E

y

max



此处

y

max

为距中性轴的最大距离，显然，

y

max



d

，中性层的曲率半径：

2





Dd1

(8001)400.5mm

222

中性层外部受拉，内部受压，与钢丝绳上与圆轴表面接触处的点的压应力达到最大值。

所以



max

E

y

max



E

d/2

1

(Dd)

2

E

d

Dd

2.110

5

1

262.17MPa

8001

最大弯曲正应力为

262.17MPa

。

（2）当最大弯曲正应力达到材料的屈服强度，更大的弯曲会使钢丝产生残余变形，故

不使钢丝绳产生残余变形的条件为：



max

E

d

R

eL

Dd

Ed2.110

5

1

即

Dd1599mm

R

eL

350

亦即不使钢丝产生残余变形的轴径不应小于599mm。

5-19 一承受均布载荷q=10kN/m的简支梁，跨长为4m，材料的许用应力[σ]=160MPa。

若梁的截面取：（1）实心圆；（2）a:b=1:2的矩形；（3）工字梁。试确定截面尺寸，并说明

哪种截面最省材料。

精品文档

精品文档

解：由静力平衡方程知，简支梁两端的约束反力均为：

11

ql10420kN

22

以梁左端为原点，梁中心线为x轴建立坐标系，可求得承受均布载荷的简支梁的弯矩方

程为：

11

Mqx

2

R

A

x20x10x

2

20x5x

2

22

l

最大弯矩产生于

x2m

处

2

M|

x2

20252

2

20kNm

（1）梁的截面为实心圆时，设截面圆直径为d，因为梁为等截面梁，由强度条件得：



max



M

max

W

Z



M

max



32

[



]

d

3

32M

max

3

322010

3

d

3

0.108m

6



[



]



16010

截面面积

S



4

d

2





4

0.108

2

9.2310

3

m

2

92.3cm

2

（2）同理，若梁为

b:h1:2

的矩形时，有



max



M

max

M

max

M

max

3M

max

[



]

3

bb

W

Z

2b

h

2

(2b)

2

66

3M

max

3

32010

3

b

3

0.057m

6

2[



]

216010

截面面积

Sbh2b20.0576.5510m65.5cm

（3）梁为工字梁时，有

22322

M

max

2010

3



max

[



]16010

6

W

Z

W

Z

2010

3

W

Z

1.2510

4

m

3

1.2510

5

mm

3

6

16010

查工字钢标准，选择16号工字钢，

W

Z

1.4110

积为26.131cm

2

。

由此可见，为满足强度要求，采用工字梁时的截面积最小，即最省材料。

精品文档

4

m

3

1.4110

5

mm

3

，其截面面

精品文档

5-20 试求下图所示的各等截面梁转角方程和挠度方程，并计算梁自由端的挠度和铰支

座处的转角。

解：（a）如下图所示建立坐标系。弯矩方程：

M（x）=M

o

（0≤x

≤

a）

M（x）=0 （a ≤x≤L）

在长度为a的这一段梁内，其挠曲

线微分方程为：

d

2

y

M

o



(0xa)

2

EI

dx

等截面梁抗弯刚度EI为常量。积分一次，得转角方程：



(x)

dy

M

o

x

C

(0xa)

dxEI

再积分一次，得挠度方程：

M

o

x

2

y(x)CxD

(0xa)

2EI

边界条件为在固定端处的挠度和转角均为零，即



(0)0

，

y(0)0

，由此容易得到

C=D=0。于是，在在长度为a的这一段梁内，转角方程和挠度方程为：



(x)

M

o

x

(0xa)

EI

精品文档

精品文档

M

o

x

2

y(x)

(0xa)

2EI

在在集中力偶M

o

作用处到梁自由端这一段内，由于其弯矩为零，实质上这一段没有变

形，仅是由于力的作用处发生了垂直位移和转角，这一段也随该处的变形而产生刚性转动，

即这一段的轴线在整个梁变形后依然保持为一条直线，且为集中力偶M

o

作用处的切线，如

图所示。

梁自由端的挠度，由图示几何关系可直接得到，即：

M

o

a

2

M

o

a

y(L)(La)

2EIEI

（b）如图建立坐标系，求出支座反力，写出弯矩

方程，由挠曲线微分方程，再考虑边界条件，最后得

转角方程和挠度方程如下（具体过程略）：



(x)

q

6Lx

2

4x

3

L

3

(0xL)

24EI

qx

y(x)2Lx

2

x

3

L

3

(0xL)

24EI





在两铰支座处的转角如下：

qL

3



A





B

(L)

24EI

（d）如图建立坐标系，求出支座反力，得弯矩方程：

M(x)R

B

(Lx)

挠曲线微分方程为：

M

o

(xL)

(0xL)

L

d

2

y

M

o

(xL)

(0xL)

2

EIL

dx

等截面梁抗弯刚度EI为常量。积分一次，得转角方程：

dy

M

o

(xL)

2



(x)C

(0xL)

dx2EIL

再积分一次，得挠度方程：

M

o

(xL)

3

y(x)CxD

(0xL)

6EIL

精品文档

精品文档

边界条件为在两支座处挠度均为零，即

y(0)0

，

y(L)0

，由此得：

M

o

L

2

ML

D

，

C

o

6EI

6EI

于是，转角方程和挠度方程为：

M

o

(xL)

2

M

o

L



(x)

(0xL)

2EIL6EI

M

o

(xL)

3

M

o

LM

o

L

2

y(x)x

(0xL)

6EIL6EI6EI

在两铰支座处的转角如下：



A





(0)

M

o

LML

，



B





(L)

o

3EI6EI

（c）如下图所示建立坐标系，并画出整体的受力图，求出约束力：

R

A



F3F

，

R

B



22

F

x

(0x2a)

2

弯矩方程：

M(x)R

A

x

M(x)F(3ax)

(2ax3a)

挠曲线微分方程为：

d

2

yFx



(0x2a)

2

2EI

dx

d

2

yF(3ax)



(2ax3a)

EI

dx

2

积分一次，得转角方程：

dyFx

2



(x)C

1

(0x2a)

dx4EI

精品文档

精品文档

F(x3a)

2



(x)C

2

(2ax3a)

2EI

再积分一次，得挠度方程：

Fx

3

y(x)C

1

xD

1

(0x2a)

12EI

F(x3a)

3

y(x)C

2

xD

2

(2ax3a)

6EI

边界条件为在两支座处挠度均为零，即

y(0)0

，

y(2a)0

，由此得：

Fa

2

Fa

3

2aC

2

D

1

0

，

C

1



，

D

2



3EI6EI

在支座B处，按上述两转角方程计算出的转角应是相同的，否变形将在支座B处不连

续。于是，有：

F(2a)

2

F(2a3a)

2

C

1

C

2

，

4EI2EI



7Fa

2

3Fa

2

7Fa

2

Fa

3



∴

C

2

C

1



，

D

2

2a







2EI6EI

6EI



6EI

于是，两支座之间及外伸部分的梁的转角及挠度方程如下：



15Fa

3







6EI





(x)

F

3x

2

4a

2

(0x2a)

12EI

Fx

2

y(x)x4a

2

(0x2a)

12EI





F(x3a)

2

7Fa

2



(x)

(2ax3a)

2EI6EI

F(x3a)

3

7Fa

2

15Fa

3

y(x)x

(2ax3a)

6EI6EI6EI

在两铰支座处的转角如下：

Fa

2

2Fa

2



A





(0)

，



B





(2a)

3EI3EI

最大挠度在力F作用处，即

y

max

精品文档

Fa

2

y(3a)

EI

精品文档

5-21 旋转式起重机的立柱为一外径D=133mm及内径d=125mm的管子，试对该立柱

进行强度校核。已知起重机自重G

1

=15kN，起重物重量G

2

=20kN，[σ]=120 MPa。

解：（1）取整个起重机作为对象，画出其受力简

图，如图（a）。

由静力平衡方程，可得



F



F

x

0

，

R

AX

R

BX

0

（1）

y

0

，

R

AY

G

1

G

2

0

（2）

A



M

0

，

R

BX

2G

1

0.8G

2

30

（3）

由（3）解得

G

1

0.8G

2

3

2

150.8203

36kN

2

R

BX



代入（1）得：

R

AX

R

BX

36kN

由（2）解得：

R

AY

G

1

G

2

152035kN

（2）由于C、D为铰接，则取ACDB立柱作为对象，在C、D处分别作用有N

CX

、N

CY

和N

DX

、N

DY

，画出其受力简图，如图（b）所示。

R

BX

BE

R

BX

B

D

G

2

3m

0.8m

D

R

DY

R

DX

C

R

AY

G

1

R

CX

R

AY

C

R

CY

A

R

AX

A

R

AX

（a） （b）

精品文档

精品文档

由静力平衡方程，可得



F



F

x

0

R

AX

R

CX

R

DX

R

BX

0

（4）

0

R

AY

R

CY

R

DY

0

（5）

C

y



M

0

R

BX

(20.25)R

AX

0.25R

DX

1.50

（6）

由（6）解得

R

DX



R

BX

1.75R

AX

0.25

361.75360.25

48kN

21.5

代入（4）得

R

CX

R

DX

48kN

（3）分析ACDB立柱各段的受力及弯矩情况

以A点为原点，向上方向为y轴，则各段的受力和弯矩情况分别为：

AC段：弯矩

M(y)R

AX

y

（0≤y≤0.25m）

轴力 N

1

= - R

AY

最大弯矩

M

1

max

360.259kNm

，位于C处截面。

CD段：弯矩

M(y)R

AX

yR

CX

(y0.25)

（0.25m≤y≤1.75m）

轴力 N

2

= - R

AY

+R

CY

最大弯矩

M

2

max

9kNm

，位于C处及D处截面。

DB段：弯矩

M(y)R

BX

(2y)

（1.75m≤y≤2m）

轴力 N

2

= 0

最大弯矩

M

2

max

9kNm

，位于D处截面。

综合比较，由于AC段受到的轴力大于CD段受到的轴力，AC段属于压缩与弯曲的组

合变形，因此，危险截面位于C处下部无限靠近C处受压一侧。于是



max

N

1

M

max

3510

3

910

6



4

3



SW

Z

22



125





（133125）



133











1



4

32





133









21.59177.32198.91MPa[



]120MPa

故强度不够。

精品文档

精品文档

5-22 若在正方形截面短柱的中间处开一切槽，

其面积为原面积的一半，问最大压应力增大几倍？

解：未切槽时的压应力



1



FF



2

。

S

4a

切槽后，沿开槽处截开，受力图如下图所示。

显然，危险截面变为开槽截面，其面积仅为

S

，

2

a

，轴力N=F。

2

且该截面既有轴力又有弯矩作用，属于压缩与弯曲的组合变形。弯矩

MF

所以，切槽后的最大压应力：

1

Fa

NM2F

2



2



2



12a

W

Z

4a

Sa

2

26

F3F8F

8



1

222

2a2a4a

故切槽后最大压应力增大为原来的8倍。

5-23 如图所示的开口圆环，由直径

d=50mm的钢杆制成。已知：a=60mm，材料的

许用应力[σ]=120MPa。求最大许可拉力的数

值。

解：由于钢杆上部分开口，故其上半部分截面所

受内力为0。

分析钢杆下半部分截面内力。沿开口处将钢杆截

开，其受力图如图所示。

显然，钢杆下部直段部分属于拉伸与弯曲的组合变形。直线段最内侧弯曲产生的拉伸作

用最大，与拉力产生的拉伸叠加，危险点处于钢杆下半部直线段的内侧。

轴力N=P，弯矩M=P（a+d/2）。所以，最大拉应力：

精品文档

精品文档



max



强度条件：

NM4PP(ad/2)



3

SW

z



d

2



d/32



max



P

4PP(ad/2)

[



]

23



d



d/32





d

3

[



]

20d32a



50

3

120

20503260

16.1410

3

N16.14kN

故最大许可拉力为

16.14kN

。

5-24 如图所示的铁道路标信号板安装在外径

D=60mm的空心圆柱上，若信号板上所受的最大风载荷

p=2kPa，[σ]=60MPa，试确定空心柱的壁厚。

解：将均布在信号板上的力等效为作用于板心的集中

力F，即

F2



4

0.5

2

0.3925kN

力F对圆柱产生的弯矩在地面支点处达到最大值：

M

max

0.39250.80.314kNm

力F对竖直段圆柱产生的扭矩为

T

n

0.39250.60.236kNm

显然，空心圆柱承受弯曲与扭转的组合变形，在与地面接处的截面上弯矩和扭矩同时

达最大值。于是，最大弯曲正应力和扭转剪应力为：



max



M

max

T

，



max



n

W

Z

W



由弯曲与扭转组合变形的强度条件式：



2

4



2

[



]

，

并注意到

W







16

D

3

1



4

2W

z

，其中



为圆柱的内外径之比，则有

2



4T

n

M

2



22

W

z

(2W

z

)

M

2

T

n

W

z

2

[



]

精品文档

精品文档

2

所以

W

z



M

2

T

n

[



]

4

2

即

1





M

2

T

n

[



]



D

3



(0.31410

3

)

2

(0.23610

3

)

2

6010

6





0.06

32

3

0.309

32



10.3090.691

，



0.912

4

D2



D

0.912



(10.912)2.65mm

D2

因此，可选择空心柱的壁厚为3mm。

5-25 试求图（a）和（b）所示的超静定梁（等截面）的约束力，并作出剪力图和弯矩

图。

解：（1）解除多余约束，形成静定基，静定基上作用的载荷产生的变形如下列一组图所

示。

原超静定梁的位移约束条件，即变

形协调条件如下：

y

B

y

1max

y

2max

0

由题5-20（a）所得结果，得到：

y

1max

3M

o

a

2



2EI

直接利用悬臂梁在集中力作用下产

生的挠度公式，得：

y

1max

R

B

(2a)

3

8R

B

a

3



3EI3EI

由此，容易得到：

R

B



精品文档

9M

o

。

16a

精品文档

固定端A处的约束力容易由静力平衡方程求得（受力图略），结果如下：

R

A

R

B



9M

o

M

o

（方向向上），

M

A

2aR

B

M

o



（逆时针）

16a8

剪力图和弯矩图如下：

（2）解除多余约束，形成静定基，如下图所示。同上，变形协调条件如下：

y

B

y

1max

y

2max

0

式中

y

1max

为均布载荷q单独作用时在支座

B处产生的挠度，

y

2max

为约束力R

B

单独作用

时在支座B处产生的挠度（变形图略）。于是，有

y

1max

R

B

(2a)

3

8R

B

a

3

qa

4

qa

4

7qa

4



，

y

2max



8EI6EI24EI3EI3EI

其中

y

1max

计算式中的第二部分是考虑了长度为a的无载荷段变形后的直线特性而得到的结

果。于是，得全部的约束力结果如下（受力图略）：

qa

2

9

757

2aR

B

qa

2

（逆时针），

M

A



。

R

B

qa

，

R

A

qaR

B

qa

（向上）

232

6464

剪力图和弯矩图如下：

最大弯矩位于固定端处，其值为：



M



max



9

qa

2

。

32

精品文档

精品文档

5-26 如图所示的超静定梁采用工字钢，已

知：F=10kN，a=2m，许用弯曲应力[σ]=120MPa，

工字钢的弹性模量E=2×10

5

MPa。试确定工字钢

的型号。若将B处支座去掉，试问已确定的工

字钢型号能否满足此时的强度要求？

解：将支座B视为多余约束，同上题，解除此多余约束，形成静定基，求解支座B产

生的约束力，结果如下（求解过程略）：

题5-26图

R

B



5

F

16

最大弯矩位于固定端处，其值为：

M

M



max



[



]

， 强度条件：



max



W

z

max



33

Fa1027.5kNm

88

M



max

7.510

6



62.510

3

mm

3

∴

W

z



[



]120

33

查附录1工字钢（GB/T 706），选型号为12.6的工字钢，因为其

W

x

77.510mm

（竖

放）＞

62.510mm

，故能够满足此超静定梁的强度要求。

若将支座B支掉，则成为静定的悬臂梁，其最大弯矩

33

M

max

Fa10220kNm

若仍采用已确定的12.6号工字钢，则最大弯曲正应力

M



max

2010

6





max

258.06MPa

3

W

z

77.510

显然，此时的最大弯曲正应力大超过了许用弯曲应力，因此，按已确定的工字钢不能满

足去掉支座B后的强度要求。

5-27 如图（a）所示的两端固定等截面杆，由钢和铜两种材料制成，在两段连接处受

到力F=100kN的作用，杆的横截面面积S=1000mm

2

。试求杆各段内横截面上的应力。已知：

钢的弹性模量E

1

=2×10

5

MPa，铜的弹性模量E

2

=1×10

5

MPa。

精品文档

精品文档

（a） （b）

解：外力F的作用使钢段受压而使铜段受拉，显然整个杆不会产生弯曲变形。将两端的

固定端约束解除，画出受力图如图(b)所示。

静力平衡条件：



F

伸长应为：

x

0

R

1

R

2

F0

（1）

铜段内的轴力为拉力，即

N

2

R

2

，而钢段内的轴力为压力，是

N

1

R

1

，整个杆的总



L

N

2

L

2

N

1

L

1

R

2

L

2

R

1

L

1



E

2

AE

1

AE

2

AE

1

A

但因杆件两端实际上是固定的，轴向总伸长

L

应为零，即变形协调条件为：

R

2

L

2

R

1

L

1

0

（2）

E

2

AE

1

A

R

2

E

2

L

1

110

5

600

由（2）式得：

1.5

5

R

1

E

1

L

2

210200

代入（1）式，得：

R

1

40kN

，

R

2

60kN

。于是钢段内的应力：

N

1

4010

3



1

40MPa

，

S1000

铜段的应力：

N

2

6010

3



2

60MPa

A1000

铜段内各点受到的为拉应力60MPa，钢段内各点受到的为压应力40MPa.

5-28 如图所示的两端固定等截面直杆，由钢

和铜两种材料制成，当温度升高60°C，试求各段

精品文档

精品文档

内横截面上的应力。已知：钢的线膨胀系数α

1

=12.5×10

-6

°C

-1

，弹性模量E

1

=2×10

5

MPa；铜

的线膨胀系数α

2

=16.5×10

-6

°C

-1

，弹性模量E

2

=1×10

5

MPa。

解：杆件因温度变化而引起的变形受到两固定端的限制，势必产生约束反力

R

A

和

R

B

，

限制杆件的膨胀和收缩，这就引起杆件内的应力，这种应力称为热应力。

使用轴力的平衡方程只能得出：

R

A

R

B

设想解除右端的多余支座，允许杆件自由膨胀，当温度升高

t

时，杆件的伸长应为：

l

t

(



1

L

1





2

L

2

)t

而杆件因

R

B

而产生的压缩变形为：

L

R

B

L

1

R

B

L

2



E

1

AE

2

A

因两端固定，杆件的长度不能变化，所以

R

B

所产生的压缩变形

L

必等于

l

t

，即：

R

B

L

1

R

B

L

2

(



1

L

1





2

L

2

)t

E

1

AE

2

A

R

B



E

1

E

2

A

(



1

L

1





2

L

2

)t

L

1

E

2

L

2

E

1

210

5

110

5

A

66

(12.510216.5101)60

55

21101210

124.5A



1





2



R

B

124.5A

124.5MPa

AA

由于温度升高限制其自由膨胀产生的热应力为压应力。

5-29 将题2-12中高塔设备看作是厚度均匀的圆筒体，已知塔设备所用材料的许用应

力[σ]=120MPa，塔顶的许用挠度[y]=H/800。试按强度条件确定塔设备的厚度，再校核塔顶

的挠度。

解：首先，按照风载荷和重力载荷作用下的强度条件来确定塔壁的厚度。

精品文档

精品文档

由题2-12得到结果知，最大轴力和最大弯矩都位于塔底，其值为：

N

max

250kN

，

M

max

165kNm

塔底属于弯曲与压缩的组合变形，其最大正应力为压应力，其强度条件为：



max



N

max

S

M



max



[



]

（1）

W

z

对于薄壁圆筒，其横截面面积和抗弯截面模量可用下面的近似公式计算，即

S



D



，

W

z





4

D

2



（2）

该二式容易由圆环截面的相应计算公式导出（推导过程略）。将（2）式代入（1）式，

解之得：

1





N







D[



]





6





116510

3









25010

1500/4

max

D/4





1500120





M

max







1.22mm



考虑到到腐蚀等实际因素，可取塔壁

厚度为3mm.

其次，校核按上述强度条件确定的塔

壁厚度能否满足塔顶挠度的要求，即刚度

要求。此时，刚度条件为：

y

max

[y]

塔顶挠度即为最大挠度，是由风载荷

的作用使塔发生了弯曲变形而产生的，可

按悬臂梁来计算。为研究方便，将整个塔

受风载荷作用的力学模型按水平方向画

出，如图（a）所示。采用叠加原理，可将

塔的两段风载荷作用，看作是图（b）和图

（c）所示的两种载荷的叠加，这两种载荷单独作用产生的挠度可直接得到，即：

q

2

DH

4

y

1



（3）

8EI

精品文档

精品文档

7(q

2

q

1

)DH

4

y

2



（4）

384EI

∴

y

max

(41q

2

7q

1

)DH

4

y

1

y

2



（5）

384EI

以上各式分子中含有直径D，是因为变形计算式中的载荷为线集度，而题目中给出的为

风压的值，即q

1

=400Pa，q

2

=600Pa。式中其他量如下：E=2×10

5

MPa（常温下钢材弹性横量

的近似值）, H=20m，塔横截面的惯性矩可近似按下式计算：

I



8

D

3



（6）

考虑到介质与大气的腐蚀导致壁厚会有所减小，抵抗弯曲变形的厚度按2mm考虑。将

这个厚度值和壳体直径D=1500mm代入式（6），得

I



8

D

3







8

1500

3

22650.7210

6

mm

4

（7）

将以上各量代入式（5），得

y

max

(416007400)150020

4

10

12

32.303mm

116

3842102650.7210

塔顶的许用挠度[y]=H/800=20000/800=25mm，显然这个厚度不满足刚度要求。要满足

刚度要求，还必须增加厚度，抵抗弯曲变形的厚度若增加到3mm以上，则可满足此刚度要

求。

应当指出，实际设计时，不仅要考虑介质及大气的腐蚀，还要考虑钢板轧制过程中造成

的厚度减薄因素；载荷方面不仅要考虑风载荷及重力载荷，而更重要的是要考虑塔在各种工

况下的压力载荷；不仅要考虑强度问题，还要考虑塔底背风侧压应力引起的局部失稳问题。

最终的壳体厚度，在综合考虑上述诸多问题之后才能确定下来。

精品文档

2024年6月13日发(作者：柯良吉)

精品文档

第5章 杆件的强度与刚度计算

5-1 如图所示的钢杆，已知：杆的横截面面积等于100mm

2

，钢的弹性模量E=2×10

5

MPa，

F=10kN，Q=4kN。要求：

（1）计算钢杆各段的应力、绝对变形和应变；

（2）计算钢杆的纵向总伸长量。

解：（1）计算钢杆各段内的轴力、应力、绝

对变形和应变

从左到右取3段，分别为1-1、2-2、3-3截面，则

题5-1图

1

1

2

2

3

3

根据轴力的平衡，得

各段内的轴力：（左）N

1

=F=10kN

（中）N

2

=F-Q=10-4=6kN

（右）N

3

=F =10=10kN

各段内的应力：

N

1

1010

3

6

10010Pa100MPa

（左）



1



S

10010

6

N

2

610

3

6

6010Pa60MPa

（中）



2



S

10010

6

N

3

1010

3

6

10010Pa100MPa

（右）



3



6

S

10010

各段内的绝对变形：

N

1

L

1

(1010

3

)0.2

3

（左）



l

1

0.110m0.1mm

56

ES

(210)(10010)

N

2

L

2

(610

3

)0.2

3

（中）



l

2

0.0610m0.06mm

56

ES

(210)(10010)

N

3

L

3

(1010

3

)0.2

3

（右）



l

3

0.110m0.1mm

56

ES

(210)(10010)

各段内的应变：

（左）



1



l

1

0.1

510

4

L

1

200

精品文档

精品文档

（中）



2



l

2

0.06

310

4

L

2

200

l

3

0.1

510

4

L

3

200

（右）



3



（2）计算钢杆的总变形

ll

1

l

2

l

3

0.10.060.10.26

mm

（3）画出钢杆的轴力图

钢杆的轴力图见下图。

N

10kN

6kN



x

5-2 试求图示阶梯钢杆各段内横截面上的应力以及杆的纵向总伸长量。已知钢的弹性

模量E=2×10

5

MPa，F=10kN，Q=2kN。

解：（1）计算钢杆各段内的应力

从左到右取2段，分别为1-1、2-2截面，则各段内

的轴力：

N

1

=F=10kN

N

2

=F+Q=10+2=12kN

各段内的应力：

题5-2图

1

2

1

2

N

1

1010

3



1

127.410

6

Pa127.4MPa

32

S

1



(1010)

4

N

2

1210

3

6



2

38.210Pa38.2MPa

32

S

2



(2010)

4

（2）计算钢杆的总变形

精品文档

精品文档

各段的变形：

NL



l

1



11



ES

1

1010

3

1000

3

0.63710m0.637mm

32



(1010)

210

5



4

1210

3

500

0.09610

3

m0.096mm

32



(2010)

210

5



4

NL



l

2



11



ES

1

故钢杆的总变形：

ll

1

l

2

0.6370.0960.733

mm

5-3 如图所示的三角形支架，杆AB和杆BC均为圆截面，杆AB的直径d

1

=20mm，

杆BC的直径d

2

=40mm，两杆材料的许用应力均为

[σ]=160MPa 。设重物的重量G=20kN，试问此支架

是？

解：（1）取B点作为研究对象，画出如图所示的

受力图。

（2）根据平衡方程求未知力

题5-3图



F



F

于是

N

BC

x

0

，

N

AB

N

BC

cos30



0

y

0

，

GN

BC

sin30



0

B

G2010

3

40kN

sin30



sin30





N

AB

N

BC

cos3040cos3034.64kN

（3）计算各杆应力



AB

N

AB

34.6410

3

6

110.310Pa110.3MPa[



]

32

S

AB



(2010)

4

N

BC

4010

3

31.810

6

Pa31.8MPa[



]

32

S

BC



(4010)

4



BC

精品文档

精品文档

故杆AB和BC的强度是足够的，支架是安全的。

5-4 如图所示的结构，梁AB的变形及重量可忽略不计。杆1为钢制圆杆，直径

d

1

=20mm，弹性模量E

1

=2×10

5

MPa；杆2为铜制圆杆，直径d

2

=25mm，弹性模量E

2

=1×10

5

MPa。

试问：（1）载荷P加在何处，才能使梁AB受力后仍保持水平？（2）若此时P=30kN，求两

杆内横截面上的正应力。

解：（1）只有杆1和杆2伸长相同时，AB杆才能

保持水平，即：

L

1

L

2

N

1

L

1

N

2

L

2



E

1

S

1

E

2

S

2

题5-4图

N

1

1.5N

2

1



3232



(2010)



(2510)

210

5

110

5

44

N

1

0.8533N

2

（1）

（2）取杆AB为研究对象，列平衡方程



F

y

0

，

N

1

N

2

P0

（2）

A



M0

，

PxN

2

20

（3）

将式（1）代入式（2）得：

P3010

3

N

2

16187N

1.85331.8533

N

1

0.8533N0.85331618713812N

将

N

2

代入式（2）得：

x

2N

2

216187

1.08m

3

P

3010

（3）两杆内横截面上的正应力为：



1



N

1

13812

4410

6

Pa44MPa

32

S

1



(2010)

4

精品文档

精品文档



2



N

2

16187

3310

6

Pa33MPa

32

S

2



(2510)

4

5-5 蒸汽机的汽缸如图5-32所示，汽缸的内直径D

i

=400mm，工作压力p=1.2MPa。汽

缸盖和汽缸用根径为15.294mm的螺栓连接。若活塞杆材

料的许用应力为50MPa，螺栓材料的许用应力为40MPa，

试求活塞杆的直径及螺栓的个数。

解：（1）求活塞杆的直径

活塞杆工作时受到的轴力（拉力）

题5-5图

Np



4

D

i

2

（忽略活塞杆面积）

N

[



]

，可得

S

p

根据活塞杆的强度条件：



max



S



d

2

4



p

N

[



]



D

i

2



4

[



]

dD

i

[



]

400

1.2

61.97mm

50

考虑到活塞杆的磨损、腐蚀等因素，可取活塞杆直径d=63mm.

（2）计算螺栓的个数

沿汽缸盖和汽缸的接触面将所有的连接螺栓截开，取汽缸盖为研究对

象，其受力图如下图所示。由于螺栓沿圆周均匀分布，可认为每个螺栓横

截面上的轴力都是相同的，设为N

i

，如图所示。

设螺栓的根径为d

1

，所需螺栓的个数为n，则汽缸盖的平衡条件为：

nN

i





4

D

i

2

p

（1）

螺栓的强度条件为：

N

i

[



]

栓

（2）

d

1

由式（1）和式（2）两式联立解得

D

i

2

p

400

2

1.2

n

2

20.52

2

d

1

[



]

栓

15.29440

取螺栓个数n=22（偶数）或24（最好为4的倍数）。

精品文档

精品文档

5-6 一根直径为d=16mm、长为L=3m的圆截面杆，承受轴向拉力P=30kN，其伸长为

ΔL=2.2mm。试求：（1）杆横截面上的应力和应变；（2）杆材料的弹性模量E；（3）杆直径

的改变量和横截面面积的相对变化率。已知杆的变形是完全弹性的，材料的泊松比=0.3。

解：（1）求杆横截面上的应力和应变

承受轴向拉力P=30kN，则杆内的轴力也为N=30kN，于是杆横截面上的应力：

N3010

3



149.3MPa

S



16

2

/4

应变：







L

L



2.2

0.733310

3

3000

（2）求材料的弹性模量E

由于变形是完全弹性的，故满足虎克定律，则

E



149.3

5

2.0410MPa

3



0.733310

3

（3）杆的横向应变：



'



0.30.733310

所以直径的改变量：



d



'd0.2210

3.52m。

面积的相对变化率：

3

0.2210

3

.

163.5210

3

mm

，即直径减小了



S(d



d)

2

d

2

2



d

33

2



'2(0.2210)0.4410

2

Sd

d

说明横截面积减小了0.044%。

5-7 一根直径为d=10mm的圆截面杆，在轴向拉力P作用下，直径减小0.0025mm。

已知材料的弹性模量E=2×10

5

MPa，泊松比μ=0.3，变形为完全弹性的，试求轴向拉力P的

大小。

解：（1）求出纵向应变













d0.0025

0.00025

d10





0.00025

8.3310

4



0.3

（2）求应力





E



2108.3310

（3）求轴力N

精品文档

54

166.7MPa

精品文档

NS







(1010

3

)

2

4

(166.710

6

)13092N13.1kN

（4）轴向拉力P=N=13.1kN

5-8 图5-38为销钉连接，已知P=18kN，两板的厚度t

1

=8mm、t

2

=5mm，销钉与两板的

材料相同，许用切应力[τ]=60MPa，许用挤压应力[σ

bs

]=200 MPa。试设计销钉的直径d。

解：（1）按剪切强度设计

销钉具有两个剪切面，各剪切面上的剪力均为

QP/2

，则剪切应力为

QP/22P



2



2

S



d/4



d

2P

根据剪切强度条件式有：

[



]

2



d





题5-8图

故

2P

d



[



]

21810

3

13.82mm



60

（2）按挤压强度设计

若按销钉中段考虑挤压强度，其挤压力

P

bs

P

，挤压计算面积按销钉圆柱面正投影

面积计算，

S

bs

dt

1

；若按照销钉侧段考虑挤压强度，其挤压力

P

bs

P/2

，挤压面积

S

bs

dt

2

。因

t

1

2t

2

，所以销钉中段受到的挤压应力更大，需对此段进行强度核算。据挤

压强度条件式有：



bs



P

bs

P

[



bs

]

S

bs

dt

1

P1810

3

故

d11.25mm

[



bs

]t

1

2008

综合考虑销钉的剪切强度和挤压强度，按销钉直径d≥13.82mm，取d=14mm。

5-9 如图（a）所示，齿轮与轴用平键连接，已知轴直径d=70mm，键的尺寸

b×h×l=20×12×100mm，传递的力偶矩T=2kN·m；键材料的许用切应力[τ]=80MPa，许用挤压

应力[σ

bs

]=200 MPa。试校核键的强度。

精品文档

精品文档

(a) (b)

题5-9图

解：（1）沿剪切面将键截开，把轴取出来作为研究对象，其受力图如图（b）所示。考

虑到轴两端有轴承，故可简化为位于中心的固定铰支座。在键的剪切面上作用有剪力Q。

由图（b），易得

TQ

所以

Q

d

2

2T22000

57142.9N

3

d

7010

QQ57142.9

28.6MPa

Sbl20100

（2）校核键的剪切强度，剪切面积

Sbl

，则切应力





由于



[



]80MPa

，剪切强度足够。

（3）校核键的挤压强度

因为键与轴，键与齿轮接触的面积相等，故任取一挤压面校核即可。易知挤压力

P

bs

Q

，挤压计算面积

S

bs



h

l

，则挤压应力

2



bs



P

bs

Q2Q257142.9

95.2MPa

S

bs

h

hl12100

l

2

由于



bs

[



bs

]200MPa

，挤压强度也足够。

所以，键的强度足够。

精品文档

精品文档

5-10 销钉式安全联轴器如图所示，销钉材料的材料极限切应力



b

320

MPa，许用切

应力[τ]=80MPa，轴的直径

D=30mm。要求正常工况

下传递力偶矩T=60N·m，

且当T≥300N··m时销钉

就必须被剪断，试问销钉

直径d应为多少？

解：（1）沿销钉的上

题5-10图

下两个剪切面截开，将轴或轴套分开，考虑轴的平衡,受力图如右

图所示。由于轴与销钉都具有对称性，只需对一个剪切面进行核

算。设每个剪切面受到的剪力为Q，则平衡条件为：

TQD

可得

Q

T60

2000N

D0.030

按剪切强度条件有：





QQ

[



]



S

d

2

4

d

4Q





[



]

42000

5.64mm



80

（2）当

T300Nm

时，剪力

Q

T300

10000N

D0.030

因此，当剪力Q=10000N时，销钉就应被剪断。此时，销钉被剪断的条件为：

Q



4

所以





b

，

d

2

d

4Q



b



410000

6.31mm



320

综合考虑以上两个因素，可知

5.64mmd6.31mm

，按销钉直径规格取

d6mm

。

精品文档

精品文档

5-11 A、B两根轴用法兰盘连接起来，要求传递的力偶矩T=70kN··m。试由螺栓的剪

切强度条件设计螺栓的直径d。螺栓的许用切应力[τ]=40MPa，螺栓数量为12个。

题5-11图

解：两法兰盘通过螺栓连接起来传递外力偶矩，每个螺栓所承受的为剪切变形，其剪切

面沿两法兰盘的接触面。由于结构的对称性，每个螺栓所承受的载荷是相同的。设每个螺栓

所受剪力为

Q

，沿两法兰盘的接触面将螺栓剪断，取其任一法兰盘研究，受力图如下图所

示，其平衡条件为：

TnQ

所以

D

2

2T

2(7010

3

)

Q

25.9310

3

N

3

nD

12(45010)

每个螺栓的切应力





Q



4

，按剪切强度条件

d

2

4Q

[



]

2



d

4Q



所以

d



[



]

4(25.9310

3

)

28.7310

3

m28.73mm

6



(4010)

按照螺栓规格，可取螺栓直径为30mm。

5-12 一根钢轴，直径为20mm，许用切应力[τ]=100MPa，试求此轴能承受的扭矩。如

转速为100r/min，此轴能传递多少kW的功率？

解：钢轴需满足一定的剪切强度，其强度条件为：





T

n

T

n

[



]



3

W



d

16

精品文档

精品文档

因此，其最大能承受的扭矩

T

nmax

[



]



d

3

16

(10010)

6



(2010

3

)

3

16

157Nm

作为传动轴，该最大扭矩与相应的外力矩相平衡，所加外力矩T的值与此最大扭矩相等。

根据计算公式

T9.55

P

，得该轴所能传递的功率为

n

Tn157100

P1644W1.644kW

9.559.55

5-13 一带有框式搅拌桨叶的搅拌轴，其受力情况如图所示。搅拌轴由电动机经过减速

箱及圆锥齿轮带动。已知电动机的功率为3kW，机械传动效率为85%，搅拌轴的转速为

5r/min，直径为d=75mm，材料为45钢，许用切剪应力[τ]=60MPa。试校核搅拌轴的强度，

并作出搅拌轴的扭矩图（假设T

B

=T

C

=2T

D

）。

解：传递到搅拌轴上的实际功率

PP

电机





385%2.55kW

故作用于搅拌轴上的外力矩为

T

A

9.55

P2.55

9.554.870kNm

n5

4.870kNm

2.922kNm

0.974kNm

(a) (b) (c)

题5-13图

轴做匀速转动时，主动外力矩与阻力矩

T

B

、T

C

、T

D

相平衡，且

T

B

T

C

2T

D

，于是

精品文档

精品文档

T

A

T

B

T

C

T

D

2T

D

2T

D

T

D

5T

D

故B、C、D形成的阻力偶矩分别为

T

D



11

T

A

4.8700.974kNm

55

T

C

T

B

2T

D

20.9741.948kNm

利用截面法，可求得AB、BC、CD段截面上的扭矩分别为（受力图略）

T

n1

T

A

0，T

n1

T

A

4.870kNm

T

n2

T

A

T

B

0，T

n2

T

A

T

B

2.922kNm

T

n3

T

D

0

，

T

n3

T

D

0.974kNm

画出扭矩图如图(c)所示。

可见，最大扭矩在AB段内，其值为

T

max

T

n1

4.870kNm

实心轴直径 d=75mm，其抗扭截面模量为

W







16

d

3

得到最大切应力



max

T

max

T

max

4.87010

3

58.810

6

Pa58.8MPa[



]



3



W



d(7510

3

)

3

1616

故此轴强度校核合格。

5-14 阶梯形圆轴如图所示，d

1

=40mm，

d

2

=70mm。已知由轮3输入的功率P

3

=30 kW，

轮1输出的功率P

1

=13kW，轴作匀速转动，转

速 n=200r/min，材料的许用切应力

[τ]=60MPa，剪切弹性模量G=8.0×10

4

MPa，单

位长度的许用扭转角[φ′]=2°/m。试校核轴的强

度和刚度。

解：（1）校核轴的强度

轮3传递的主动力矩为

题5-14图

精品文档

精品文档

T

3

9.55

P

3

30

9.551.433kNm

n200

轮1产生的阻力偶矩为

T

1

9.55

P

1

13

9.550.621kNm

n200

由于轴做匀速传动，力矩

T

1

、T

2

、T

3

应平衡，

所以

T

2

T

3

T

1

1.4330.6210.812kNm

用截面法可求出各段轴截面上的扭矩分别为（各截面的扭矩均按正值假设）：

1、2轮之间：

T

n1

T

1

0

，

T

n1

T

1

0.621kNm

2、3轮之间：

T

n2

T

3

0

T

n2

T

3

1.433kNm

可见最大的扭矩出现在2、3轮之间，但1、2轮之间前半段轴直径较小，故需分别对

两段截面的切应力进行校核

1、2轮前段：



max1



T

n1



16



0.62110

3

d

1

3

T

n2



16



49.410

6

Pa49.4MPa

(4010

3

)

3

1.43310

3

2、3轮之间：

T

max2





16

3

d

2



16

21.310

6

Pa21.3MPa

(7010

3

)

3

比较知，最大切应力出现在1、2轮之间的前段，且



max

49.4MPa[



]60MPa

，强度足够。

（2）校核轴的刚度

因轴的抗扭刚度

GI



与轴的直径有关，故仍需对上述两段可能的最危险截面进行刚度

校核。

1、2轮前段产生的最大扭转角：

T



'

max1



n1



GI



T

n1

G



d

1

4

32

0.62110

3

0.0309rad/m1.77

o

/m

34



(4010)

(810

10

)

32

2、3轮之间产生的扭转角：

精品文档

精品文档



'

max2



T

n2



GI



T

n2

G



d

2

32

4

1.43310

3

o

0.00759rad/m0.435/m

34



(7010)

(810

10

)

32

最大扭转角依然出现在1、2轮间前段，且

oo



'

max

1.77/m[



']2/m

，刚度足够。

5-15 支承管道的悬臂梁AB由两根槽钢组成，两管道重量相同，G=5.5kN，载荷的作

用位置如图5-39所示。

（1）试画出梁AB的弯矩图；

（2）根据强度条件选择组成AB梁的槽钢型号，已知槽钢的许用应力[σ]=140MPa。

解：求支座A的约束反力，由静力平衡方程得：

R

A

GG2G11kN

M

A

G0.3G(0.30.51)G1.115.51.116.105kNm

以A为原点，AB方向为x轴正方向建

立坐标系，取距原点为

x

的任意截面，求得

弯矩方程如下：

AC段：

MR

A

xM

A

11x6.105

CD段：

MR

A

xM

A

G(x0.3)

M(kNm)

11x6.1055.5(x0.3)

5.5x4.455

2.805kNm

6.105kNm

x

DB段：

M0

作出梁的弯矩图如图所示。可见，最大

弯矩出现在支座A处

M

max

图P4-2

题5-15图

6.105kNm

精品文档

精品文档

对单根槽钢，其最大弯矩为：

6.105

3.052kNm

2

由于梁为等截面梁，各段的抗弯模量相同，故



max



M

max

[



]

W

z

M

max

3.05210

3

6333

21.810m21.810mm

W

z



6

[



]

14010

33

根据附录1槽钢标准（GB/T 707），选择8号槽钢，其

W

x

25.310mm

，能够满足

该梁的强度要求。

5-16 矩形截面简支梁AB和所受载荷如图所示。已知：F=4kN，q=2kN/m，截面尺寸

为120×200mm。在横放和竖放两种情况下，

试求：

（1）最大弯曲正应力σ

max

；

（2）在D、E两点的弯曲正应力。

解：首先，由平衡条件，求得两支座处

的约束力如下（求解过程略）：

R

A

7kN,R

B

5kN

作出剪力图和弯矩图如右图所示（作图

过程略）。最大弯矩

题5-16图

M

max

M|

x1.5

6.25kNm

最大弯矩位于距A支座1.5m处，亦即D点所在截面。最大弯矩所在截面位置，可由剪

力图所示的三角形相似条件求得，也可以把梁截开，考虑左段或右段的平衡，由Q=0来确

定。

于是，D、E两点所在截面的弯矩为：

M

D

6.25kNm

1

M

E

R

B

q1

2

2

1

521

2

4kNm

2

精品文档

精品文档

梁横放时，有

200120

2

W

z

4810

4

mm

3

6

200120

3

I

z

28810

5

mm

4

12

梁竖放时，有

120200

2

W

z

810

5

mm

3

6

120200

4

I

z

810

7

mm

4

12

（1）最大弯曲正应力

梁横放时，有



max



M

max

W

Z

6.2510

6

13.02MPa

4

4810

梁竖放时，有



max



M

max

W

Z

6.2510

6

7.81MPa

5

810

（2）D、E两点的弯曲正应力

梁横放时，有

M

D

y

D

6.2510

6

(6030)



D

6.51MPa

（拉）

I

Z

28810

5

M

E

y

E

410

6

50



E

6.94MPa

（压）

5

I

Z

28810

梁竖放时，有

M

D

y

D

6.2510

6

(10030)



D

5.47MPa

（拉）

I

Z

810

7

M

E

y

E

410

6

50



E

2.5MPa

（压）

7

I

Z

810

精品文档

精品文档

5-17 小型板框压滤机，如图所示。

板、框、物料总重3.2kN，均匀分布于长

600mm的长度内，由前后两根同直径、

同长度且对称布置的横梁AB承受。梁的

直径d=60mm，梁的两端用螺栓连接，计

算时可视为铰接。试作出梁AB的剪力图

和弯矩图，并求出最大弯矩以及最大弯

曲正应力。

题5-17图

解：前后两根梁，受载及约束情况

相同，具有同样的强度，故可只研究其中一根横梁，所受载荷为总载荷的一半，在长为600mm

长度内为均布载荷，其线集度

q

3.2/28

kN/m

0.63

在其余400mm长度内无载荷，两端可简化为铰支座，如图所示。

由静力平衡方程可得支座A、B处的约束反力：

1

q(0.6)

2

R

B

10

2

18

R

B

(0.6)

2

0.48kN

23

R

A

G/2R

B

1.60.481.12kN

以A点为原点，AB方向为x轴正方向建立坐标系，

可求得剪力方程和弯矩方程：

8

QR

A

qx1.12x

（0≤x≤0.6）

3

14

MR

A

xqx

2

1.12xx

2

（0≤x≤0.6）

23

QR

B

0.48

（0.6≤x≤1.0）

MR

B

(1x)0.48(1x)

（0.6≤x≤1.0）

作出剪力图和弯矩图，如图所示。

当

dM(x)

0

时，

M

取得最大值，即

dx

dM(x)

2.242.672x0

，

x0.42m

，

dx

精品文档

精品文档

所以

M

max

4

1.120.420.42

2

0.235kNm

3

最大弯曲正应力：



max



M

max

W

Z



M

max



32



0.23510

6

d

3



32

11.09MPa

60

3

5-18 一根直径d=1mm的直钢丝绕在直径D=800mm的圆轴上，钢的弹性模量

E=2.1×10

5

MPa。假设钢丝绳绕在圆轴上产生的弯曲变形可视为纯弯曲，试求钢丝绳由于（弹

性）弯曲而产生的最大弯曲正应力。又若材料的屈服强度R

eL

=350MPa，求不使钢丝产生残

余变形的轴径应为多大？

解：（1）钢丝绳绕在圆轴上，纯弯曲时的最大弯曲正应力：



max

E



max

E

y

max



此处

y

max

为距中性轴的最大距离，显然，

y

max



d

，中性层的曲率半径：

2





Dd1

(8001)400.5mm

222

中性层外部受拉，内部受压，与钢丝绳上与圆轴表面接触处的点的压应力达到最大值。

所以



max

E

y

max



E

d/2

1

(Dd)

2

E

d

Dd

2.110

5

1

262.17MPa

8001

最大弯曲正应力为

262.17MPa

。

（2）当最大弯曲正应力达到材料的屈服强度，更大的弯曲会使钢丝产生残余变形，故

不使钢丝绳产生残余变形的条件为：



max

E

d

R

eL

Dd

Ed2.110

5

1

即

Dd1599mm

R

eL

350

亦即不使钢丝产生残余变形的轴径不应小于599mm。

5-19 一承受均布载荷q=10kN/m的简支梁，跨长为4m，材料的许用应力[σ]=160MPa。

若梁的截面取：（1）实心圆；（2）a:b=1:2的矩形；（3）工字梁。试确定截面尺寸，并说明

哪种截面最省材料。

精品文档

精品文档

解：由静力平衡方程知，简支梁两端的约束反力均为：

11

ql10420kN

22

以梁左端为原点，梁中心线为x轴建立坐标系，可求得承受均布载荷的简支梁的弯矩方

程为：

11

Mqx

2

R

A

x20x10x

2

20x5x

2

22

l

最大弯矩产生于

x2m

处

2

M|

x2

20252

2

20kNm

（1）梁的截面为实心圆时，设截面圆直径为d，因为梁为等截面梁，由强度条件得：



max



M

max

W

Z



M

max



32

[



]

d

3

32M

max

3

322010

3

d

3

0.108m

6



[



]



16010

截面面积

S



4

d

2





4

0.108

2

9.2310

3

m

2

92.3cm

2

（2）同理，若梁为

b:h1:2

的矩形时，有



max



M

max

M

max

M

max

3M

max

[



]

3

bb

W

Z

2b

h

2

(2b)

2

66

3M

max

3

32010

3

b

3

0.057m

6

2[



]

216010

截面面积

Sbh2b20.0576.5510m65.5cm

（3）梁为工字梁时，有

22322

M

max

2010

3



max

[



]16010

6

W

Z

W

Z

2010

3

W

Z

1.2510

4

m

3

1.2510

5

mm

3

6

16010

查工字钢标准，选择16号工字钢，

W

Z

1.4110

积为26.131cm

2

。

由此可见，为满足强度要求，采用工字梁时的截面积最小，即最省材料。

精品文档

4

m

3

1.4110

5

mm

3

，其截面面

精品文档

5-20 试求下图所示的各等截面梁转角方程和挠度方程，并计算梁自由端的挠度和铰支

座处的转角。

解：（a）如下图所示建立坐标系。弯矩方程：

M（x）=M

o

（0≤x

≤

a）

M（x）=0 （a ≤x≤L）

在长度为a的这一段梁内，其挠曲

线微分方程为：

d

2

y

M

o



(0xa)

2

EI

dx

等截面梁抗弯刚度EI为常量。积分一次，得转角方程：



(x)

dy

M

o

x

C

(0xa)

dxEI

再积分一次，得挠度方程：

M

o

x

2

y(x)CxD

(0xa)

2EI

边界条件为在固定端处的挠度和转角均为零，即



(0)0

，

y(0)0

，由此容易得到

C=D=0。于是，在在长度为a的这一段梁内，转角方程和挠度方程为：



(x)

M

o

x

(0xa)

EI

精品文档

精品文档

M

o

x

2

y(x)

(0xa)

2EI

在在集中力偶M

o

作用处到梁自由端这一段内，由于其弯矩为零，实质上这一段没有变

形，仅是由于力的作用处发生了垂直位移和转角，这一段也随该处的变形而产生刚性转动，

即这一段的轴线在整个梁变形后依然保持为一条直线，且为集中力偶M

o

作用处的切线，如

图所示。

梁自由端的挠度，由图示几何关系可直接得到，即：

M

o

a

2

M

o

a

y(L)(La)

2EIEI

（b）如图建立坐标系，求出支座反力，写出弯矩

方程，由挠曲线微分方程，再考虑边界条件，最后得

转角方程和挠度方程如下（具体过程略）：



(x)

q

6Lx

2

4x

3

L

3

(0xL)

24EI

qx

y(x)2Lx

2

x

3

L

3

(0xL)

24EI





在两铰支座处的转角如下：

qL

3



A





B

(L)

24EI

（d）如图建立坐标系，求出支座反力，得弯矩方程：

M(x)R

B

(Lx)

挠曲线微分方程为：

M

o

(xL)

(0xL)

L

d

2

y

M

o

(xL)

(0xL)

2

EIL

dx

等截面梁抗弯刚度EI为常量。积分一次，得转角方程：

dy

M

o

(xL)

2



(x)C

(0xL)

dx2EIL

再积分一次，得挠度方程：

M

o

(xL)

3

y(x)CxD

(0xL)

6EIL

精品文档

精品文档

边界条件为在两支座处挠度均为零，即

y(0)0

，

y(L)0

，由此得：

M

o

L

2

ML

D

，

C

o

6EI

6EI

于是，转角方程和挠度方程为：

M

o

(xL)

2

M

o

L



(x)

(0xL)

2EIL6EI

M

o

(xL)

3

M

o

LM

o

L

2

y(x)x

(0xL)

6EIL6EI6EI

在两铰支座处的转角如下：



A





(0)

M

o

LML

，



B





(L)

o

3EI6EI

（c）如下图所示建立坐标系，并画出整体的受力图，求出约束力：

R

A



F3F

，

R

B



22

F

x

(0x2a)

2

弯矩方程：

M(x)R

A

x

M(x)F(3ax)

(2ax3a)

挠曲线微分方程为：

d

2

yFx



(0x2a)

2

2EI

dx

d

2

yF(3ax)



(2ax3a)

EI

dx

2

积分一次，得转角方程：

dyFx

2



(x)C

1

(0x2a)

dx4EI

精品文档

精品文档

F(x3a)

2



(x)C

2

(2ax3a)

2EI

再积分一次，得挠度方程：

Fx

3

y(x)C

1

xD

1

(0x2a)

12EI

F(x3a)

3

y(x)C

2

xD

2

(2ax3a)

6EI

边界条件为在两支座处挠度均为零，即

y(0)0

，

y(2a)0

，由此得：

Fa

2

Fa

3

2aC

2

D

1

0

，

C

1



，

D

2



3EI6EI

在支座B处，按上述两转角方程计算出的转角应是相同的，否变形将在支座B处不连

续。于是，有：

F(2a)

2

F(2a3a)

2

C

1

C

2

，

4EI2EI



7Fa

2

3Fa

2

7Fa

2

Fa

3



∴

C

2

C

1



，

D

2

2a







2EI6EI

6EI



6EI

于是，两支座之间及外伸部分的梁的转角及挠度方程如下：



15Fa

3







6EI





(x)

F

3x

2

4a

2

(0x2a)

12EI

Fx

2

y(x)x4a

2

(0x2a)

12EI





F(x3a)

2

7Fa

2



(x)

(2ax3a)

2EI6EI

F(x3a)

3

7Fa

2

15Fa

3

y(x)x

(2ax3a)

6EI6EI6EI

在两铰支座处的转角如下：

Fa

2

2Fa

2



A





(0)

，



B





(2a)

3EI3EI

最大挠度在力F作用处，即

y

max

精品文档

Fa

2

y(3a)

EI

精品文档

5-21 旋转式起重机的立柱为一外径D=133mm及内径d=125mm的管子，试对该立柱

进行强度校核。已知起重机自重G

1

=15kN，起重物重量G

2

=20kN，[σ]=120 MPa。

解：（1）取整个起重机作为对象，画出其受力简

图，如图（a）。

由静力平衡方程，可得



F



F

x

0

，

R

AX

R

BX

0

（1）

y

0

，

R

AY

G

1

G

2

0

（2）

A



M

0

，

R

BX

2G

1

0.8G

2

30

（3）

由（3）解得

G

1

0.8G

2

3

2

150.8203

36kN

2

R

BX



代入（1）得：

R

AX

R

BX

36kN

由（2）解得：

R

AY

G

1

G

2

152035kN

（2）由于C、D为铰接，则取ACDB立柱作为对象，在C、D处分别作用有N

CX

、N

CY

和N

DX

、N

DY

，画出其受力简图，如图（b）所示。

R

BX

BE

R

BX

B

D

G

2

3m

0.8m

D

R

DY

R

DX

C

R

AY

G

1

R

CX

R

AY

C

R

CY

A

R

AX

A

R

AX

（a） （b）

精品文档

精品文档

由静力平衡方程，可得



F



F

x

0

R

AX

R

CX

R

DX

R

BX

0

（4）

0

R

AY

R

CY

R

DY

0

（5）

C

y



M

0

R

BX

(20.25)R

AX

0.25R

DX

1.50

（6）

由（6）解得

R

DX



R

BX

1.75R

AX

0.25

361.75360.25

48kN

21.5

代入（4）得

R

CX

R

DX

48kN

（3）分析ACDB立柱各段的受力及弯矩情况

以A点为原点，向上方向为y轴，则各段的受力和弯矩情况分别为：

AC段：弯矩

M(y)R

AX

y

（0≤y≤0.25m）

轴力 N

1

= - R

AY

最大弯矩

M

1

max

360.259kNm

，位于C处截面。

CD段：弯矩

M(y)R

AX

yR

CX

(y0.25)

（0.25m≤y≤1.75m）

轴力 N

2

= - R

AY

+R

CY

最大弯矩

M

2

max

9kNm

，位于C处及D处截面。

DB段：弯矩

M(y)R

BX

(2y)

（1.75m≤y≤2m）

轴力 N

2

= 0

最大弯矩

M

2

max

9kNm

，位于D处截面。

综合比较，由于AC段受到的轴力大于CD段受到的轴力，AC段属于压缩与弯曲的组

合变形，因此，危险截面位于C处下部无限靠近C处受压一侧。于是



max

N

1

M

max

3510

3

910

6



4

3



SW

Z

22



125





（133125）



133











1



4

32





133









21.59177.32198.91MPa[



]120MPa

故强度不够。

精品文档

精品文档

5-22 若在正方形截面短柱的中间处开一切槽，

其面积为原面积的一半，问最大压应力增大几倍？

解：未切槽时的压应力



1



FF



2

。

S

4a

切槽后，沿开槽处截开，受力图如下图所示。

显然，危险截面变为开槽截面，其面积仅为

S

，

2

a

，轴力N=F。

2

且该截面既有轴力又有弯矩作用，属于压缩与弯曲的组合变形。弯矩

MF

所以，切槽后的最大压应力：

1

Fa

NM2F

2



2



2



12a

W

Z

4a

Sa

2

26

F3F8F

8



1

222

2a2a4a

故切槽后最大压应力增大为原来的8倍。

5-23 如图所示的开口圆环，由直径

d=50mm的钢杆制成。已知：a=60mm，材料的

许用应力[σ]=120MPa。求最大许可拉力的数

值。

解：由于钢杆上部分开口，故其上半部分截面所

受内力为0。

分析钢杆下半部分截面内力。沿开口处将钢杆截

开，其受力图如图所示。

显然，钢杆下部直段部分属于拉伸与弯曲的组合变形。直线段最内侧弯曲产生的拉伸作

用最大，与拉力产生的拉伸叠加，危险点处于钢杆下半部直线段的内侧。

轴力N=P，弯矩M=P（a+d/2）。所以，最大拉应力：

精品文档

精品文档



max



强度条件：

NM4PP(ad/2)



3

SW

z



d

2



d/32



max



P

4PP(ad/2)

[



]

23



d



d/32





d

3

[



]

20d32a



50

3

120

20503260

16.1410

3

N16.14kN

故最大许可拉力为

16.14kN

。

5-24 如图所示的铁道路标信号板安装在外径

D=60mm的空心圆柱上，若信号板上所受的最大风载荷

p=2kPa，[σ]=60MPa，试确定空心柱的壁厚。

解：将均布在信号板上的力等效为作用于板心的集中

力F，即

F2



4

0.5

2

0.3925kN

力F对圆柱产生的弯矩在地面支点处达到最大值：

M

max

0.39250.80.314kNm

力F对竖直段圆柱产生的扭矩为

T

n

0.39250.60.236kNm

显然，空心圆柱承受弯曲与扭转的组合变形，在与地面接处的截面上弯矩和扭矩同时

达最大值。于是，最大弯曲正应力和扭转剪应力为：



max



M

max

T

，



max



n

W

Z

W



由弯曲与扭转组合变形的强度条件式：



2

4



2

[



]

，

并注意到

W







16

D

3

1



4

2W

z

，其中



为圆柱的内外径之比，则有

2



4T

n

M

2



22

W

z

(2W

z

)

M

2

T

n

W

z

2

[



]

精品文档

精品文档

2

所以

W

z



M

2

T

n

[



]

4

2

即

1





M

2

T

n

[



]



D

3



(0.31410

3

)

2

(0.23610

3

)

2

6010

6





0.06

32

3

0.309

32



10.3090.691

，



0.912

4

D2



D

0.912



(10.912)2.65mm

D2

因此，可选择空心柱的壁厚为3mm。

5-25 试求图（a）和（b）所示的超静定梁（等截面）的约束力，并作出剪力图和弯矩

图。

解：（1）解除多余约束，形成静定基，静定基上作用的载荷产生的变形如下列一组图所

示。

原超静定梁的位移约束条件，即变

形协调条件如下：

y

B

y

1max

y

2max

0

由题5-20（a）所得结果，得到：

y

1max

3M

o

a

2



2EI

直接利用悬臂梁在集中力作用下产

生的挠度公式，得：

y

1max

R

B

(2a)

3

8R

B

a

3



3EI3EI

由此，容易得到：

R

B



精品文档

9M

o

。

16a

精品文档

固定端A处的约束力容易由静力平衡方程求得（受力图略），结果如下：

R

A

R

B



9M

o

M

o

（方向向上），

M

A

2aR

B

M

o



（逆时针）

16a8

剪力图和弯矩图如下：

（2）解除多余约束，形成静定基，如下图所示。同上，变形协调条件如下：

y

B

y

1max

y

2max

0

式中

y

1max

为均布载荷q单独作用时在支座

B处产生的挠度，

y

2max

为约束力R

B

单独作用

时在支座B处产生的挠度（变形图略）。于是，有

y

1max

R

B

(2a)

3

8R

B

a

3

qa

4

qa

4

7qa

4



，

y

2max



8EI6EI24EI3EI3EI

其中

y

1max

计算式中的第二部分是考虑了长度为a的无载荷段变形后的直线特性而得到的结

果。于是，得全部的约束力结果如下（受力图略）：

qa

2

9

757

2aR

B

qa

2

（逆时针），

M

A



。

R

B

qa

，

R

A

qaR

B

qa

（向上）

232

6464

剪力图和弯矩图如下：

最大弯矩位于固定端处，其值为：



M



max



9

qa

2

。

32

精品文档

精品文档

5-26 如图所示的超静定梁采用工字钢，已

知：F=10kN，a=2m，许用弯曲应力[σ]=120MPa，

工字钢的弹性模量E=2×10

5

MPa。试确定工字钢

的型号。若将B处支座去掉，试问已确定的工

字钢型号能否满足此时的强度要求？

解：将支座B视为多余约束，同上题，解除此多余约束，形成静定基，求解支座B产

生的约束力，结果如下（求解过程略）：

题5-26图

R

B



5

F

16

最大弯矩位于固定端处，其值为：

M

M



max



[



]

， 强度条件：



max



W

z

max



33

Fa1027.5kNm

88

M



max

7.510

6



62.510

3

mm

3

∴

W

z



[



]120

33

查附录1工字钢（GB/T 706），选型号为12.6的工字钢，因为其

W

x

77.510mm

（竖

放）＞

62.510mm

，故能够满足此超静定梁的强度要求。

若将支座B支掉，则成为静定的悬臂梁，其最大弯矩

33

M

max

Fa10220kNm

若仍采用已确定的12.6号工字钢，则最大弯曲正应力

M



max

2010

6





max

258.06MPa

3

W

z

77.510

显然，此时的最大弯曲正应力大超过了许用弯曲应力，因此，按已确定的工字钢不能满

足去掉支座B后的强度要求。

5-27 如图（a）所示的两端固定等截面杆，由钢和铜两种材料制成，在两段连接处受

到力F=100kN的作用，杆的横截面面积S=1000mm

2

。试求杆各段内横截面上的应力。已知：

钢的弹性模量E

1

=2×10

5

MPa，铜的弹性模量E

2

=1×10

5

MPa。

精品文档

精品文档

（a） （b）

解：外力F的作用使钢段受压而使铜段受拉，显然整个杆不会产生弯曲变形。将两端的

固定端约束解除，画出受力图如图(b)所示。

静力平衡条件：



F

伸长应为：

x

0

R

1

R

2

F0

（1）

铜段内的轴力为拉力，即

N

2

R

2

，而钢段内的轴力为压力，是

N

1

R

1

，整个杆的总



L

N

2

L

2

N

1

L

1

R

2

L

2

R

1

L

1



E

2

AE

1

AE

2

AE

1

A

但因杆件两端实际上是固定的，轴向总伸长

L

应为零，即变形协调条件为：

R

2

L

2

R

1

L

1

0

（2）

E

2

AE

1

A

R

2

E

2

L

1

110

5

600

由（2）式得：

1.5

5

R

1

E

1

L

2

210200

代入（1）式，得：

R

1

40kN

，

R

2

60kN

。于是钢段内的应力：

N

1

4010

3



1

40MPa

，

S1000

铜段的应力：

N

2

6010

3



2

60MPa

A1000

铜段内各点受到的为拉应力60MPa，钢段内各点受到的为压应力40MPa.

5-28 如图所示的两端固定等截面直杆，由钢

和铜两种材料制成，当温度升高60°C，试求各段

精品文档

精品文档

内横截面上的应力。已知：钢的线膨胀系数α

1

=12.5×10

-6

°C

-1

，弹性模量E

1

=2×10

5

MPa；铜

的线膨胀系数α

2

=16.5×10

-6

°C

-1

，弹性模量E

2

=1×10

5

MPa。

解：杆件因温度变化而引起的变形受到两固定端的限制，势必产生约束反力

R

A

和

R

B

，

限制杆件的膨胀和收缩，这就引起杆件内的应力，这种应力称为热应力。

使用轴力的平衡方程只能得出：

R

A

R

B

设想解除右端的多余支座，允许杆件自由膨胀，当温度升高

t

时，杆件的伸长应为：

l

t

(



1

L

1





2

L

2

)t

而杆件因

R

B

而产生的压缩变形为：

L

R

B

L

1

R

B

L

2



E

1

AE

2

A

因两端固定，杆件的长度不能变化，所以

R

B

所产生的压缩变形

L

必等于

l

t

，即：

R

B

L

1

R

B

L

2

(



1

L

1





2

L

2

)t

E

1

AE

2

A

R

B



E

1

E

2

A

(



1

L

1





2

L

2

)t

L

1

E

2

L

2

E

1

210

5

110

5

A

66

(12.510216.5101)60

55

21101210

124.5A



1





2



R

B

124.5A

124.5MPa

AA

由于温度升高限制其自由膨胀产生的热应力为压应力。

5-29 将题2-12中高塔设备看作是厚度均匀的圆筒体，已知塔设备所用材料的许用应

力[σ]=120MPa，塔顶的许用挠度[y]=H/800。试按强度条件确定塔设备的厚度，再校核塔顶

的挠度。

解：首先，按照风载荷和重力载荷作用下的强度条件来确定塔壁的厚度。

精品文档

精品文档

由题2-12得到结果知，最大轴力和最大弯矩都位于塔底，其值为：

N

max

250kN

，

M

max

165kNm

塔底属于弯曲与压缩的组合变形，其最大正应力为压应力，其强度条件为：



max



N

max

S

M



max



[



]

（1）

W

z

对于薄壁圆筒，其横截面面积和抗弯截面模量可用下面的近似公式计算，即

S



D



，

W

z





4

D

2



（2）

该二式容易由圆环截面的相应计算公式导出（推导过程略）。将（2）式代入（1）式，

解之得：

1





N







D[



]





6





116510

3









25010

1500/4

max

D/4





1500120





M

max







1.22mm



考虑到到腐蚀等实际因素，可取塔壁

厚度为3mm.

其次，校核按上述强度条件确定的塔

壁厚度能否满足塔顶挠度的要求，即刚度

要求。此时，刚度条件为：

y

max

[y]

塔顶挠度即为最大挠度，是由风载荷

的作用使塔发生了弯曲变形而产生的，可

按悬臂梁来计算。为研究方便，将整个塔

受风载荷作用的力学模型按水平方向画

出，如图（a）所示。采用叠加原理，可将

塔的两段风载荷作用，看作是图（b）和图

（c）所示的两种载荷的叠加，这两种载荷单独作用产生的挠度可直接得到，即：

q

2

DH

4

y

1



（3）

8EI

精品文档

精品文档

7(q