2024年4月30日发(作者：乾妙晴)
Bessel光束经柱透镜的衍射光场
谢晓霞;吴逢铁;纪佳位
【摘 要】In this paper,propagation process of Bessel beam which
generated by axicon passing through cylindrical lens was on
the generalized huygens fresnel diffraction integral,the expression of the
light intensity distribution that Bessel beam passing through cylindrical
lens is transverse intensity distribution in different position was
numerical the experiment,generated Bessel beam by axicon
through the cylindrical lens which f= 130 mm. The optical intensity
distribution in difference propagation distances was captured by a CCD
theoretical anal-ysis and the experimental results both show
that Bessel beam passing through cylindrical lens can generate diffraction-
free caustics beam.%基于空间域中的广义惠更斯-菲涅耳衍射积分理论，导出
Bessel 光束通过柱透镜光强分布表达式，利用计算机模拟不同传播距离处的截面
光强分布。利用轴棱锥产生Bessel 光束，光束经过焦距为130 mm 的柱透镜，用
CCD拍摄柱透镜的后不同传播距离的处光强分布。结果表明：实验所得结果与理
论模拟吻合，Bessel光束经柱透镜后将产生唇状焦散光束。
【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(037)003
【总页数】4页(P291-294)
【关键词】Bessel光束;柱透镜;轴棱锥;无衍射光束;衍射理论
【作 者】谢晓霞;吴逢铁;纪佳位
【作者单位】华侨大学 信息科学与工程学院，福建 厦门 361021; 福建省光传输与
变换重点实验室，福建 厦门 361021;华侨大学 信息科学与工程学院，福建 厦门
361021; 福建省光传输与变换重点实验室，福建 厦门 361021;华侨大学 信息科学
与工程学院，福建 厦门 361021; 福建省光传输与变换重点实验室，福建 厦门
361021
【正文语种】中 文
【中图分类】O436.1
近年来，无衍射光束凭借其在自由空间传播过程中横向光场分布不随传播距离发生
变化及光束的重自愈等特性成为了研究热点,被广泛应用于光学俘获和操作[1-2]、
激光成像[3]，空间光通信等领域.1987年，Durning等[4]首次提出无衍射Bessel
光束后，Siviloglou等[5]提出Airy光束，GutiÉrrez-vega等[6]提出马丢光束，
BANDRES等[7]提出抛物线光束等一系列具有无衍射特性的特殊光束,并研究了这
些光束相关传输特性[8-11].2007年，无衍射焦散光束(diffraction-
free caustics beam)由Marcelino[12]小组提出，从汉克波理论和实验上证明焦
散光束的自重建特性，并在2009年，从几何光学上解释和在实验上获得焦散光束
[13].但上述文献缺少必要的理论推导及讨论，且未对焦散光束的衍射光场进行实
验研究.因此,本文基于空间域中的广义惠更斯-菲涅耳衍射积分理论，导出Bessel
光束通过柱透镜光强分布表达式，并设计相关实验加以验证.
当柱面透镜是一种非对称光学元件时，对非轴对称光学系统，描述对称光学系统的
2×2阶矩阵要扩张成4×4阶矩阵,在近轴近似条件下，空间域中的广义惠更斯-菲
涅耳衍射理论衍射积分[14]为
通过柱透镜及自由空间后，光束传输矩阵可写成
式(2)中：A,B,C,D均为2×2阶变换矩阵，；z为柱透镜到观察平面的距离；f为柱
透镜的焦距.将式(2)代入式(1)，可得
Helmholtz方程在z=0处的Whittaker解[15]可以表示为
式(4)中：kt为平面波的径向波矢分量;A(φ)为理想无衍射光的角谱.当A(φ)取不同
的值时可以得到不同的衍射光场.对于零阶Bessel光束A(φ)=1，将式(4)带入式(3)
中，移项整理可得
令.对式(5)作变量替换后,通过移项配方可得
令，对式(6)变量替换，并利用菲涅尔积分(β)，可将式(6)化简为
式(7)中：；；；光束经柱透镜后的光场强度分布为
光源采用He-Ne激光器λ=632.8 nm，轴棱锥折射率n=1.458，柱透镜的焦距
f=130 mm，对轴棱锥底角分别为γ=0.5°，γ=1°所产生的Bessel光束经柱透镜
后,在不同传播距离处的截面光强分布进行模拟，模拟图如图1，2所示.
由图1，2可知：Bessel光束通过柱透镜后，形成渐曲线状的光强分布,在光轴上
随着z的增大.光场能量分布发生变化，在z=60 mm及z=80 mm处，光强分布
于中心的唇状焦散线；z继续增大后，中心的唇状焦散线开始向外扩大，光强分布
开始集中在唇状焦散线的边缘线上，出现类似椭圆形的光斑，在光斑中心呈现出交
替相交叉的条纹.这是由于象散导致输出光的波面斜率发生改变，使得光通过透镜
后干涉点也发生变化，Bessel光束横截面光强原有的圆对称性被破坏，此时，在
同轴唇状焦散线上形成两个光强度较大的光点，形成焦散光束.由图1，2还可知：
轴棱锥的底角不同，所形成的焦散光束的光斑大小不同，度数较大，其光斑较大，
度数较小，中心的渐曲线状的焦散线也比较明显.
为验证Bessel光束经柱透镜后会产生焦散光束，以轴棱锥底角γ=1°所产生的
Bessel光束经柱透镜进行实验验证，实验光路图如图3所示.图3中：He-Ne激
光光束波长为632.8 nm.由图3可知：光束通过由f1和f2组成的准直扩束系统，
入射到轴棱锥后产生无衍射Bessel光束，再经过柱透镜，利用电荷耦合器件(CCD)
观察，并拍摄Bessel光束经柱透镜后在不同传播距离处的衍射光场.其中，
f1=15 mm，f2=190 mm,轴棱锥的折射率n=1.458，底角γ=1°，柱透镜的焦距
f=130 mm，柱透镜与轴棱锥相距350 mm.
用CCD相机拍摄到了柱透镜后，无衍射光束在不同传播距离处光场的截面光强分
布，如图4所示.由图2，4可知：实验上与理论上的结果吻合，即利用轴棱锥产生
的Bessel光束经过柱透镜，由于柱透镜的非对称性，可形成焦散光束.
由广义惠更斯-菲涅耳衍射理论衍射理论，导出Bessel光束通过柱透镜光强分布表
达式，从理论及实验上研究了Bessel光束经过柱透镜的光学传输特性，实验所得
结果与理论模拟吻合，均表明Bessel光束经柱透镜后将产生唇状焦散光束，这种
光束在大景深成像、光束的传输上具有潜在的应用.研究结果对Bessel光束在非对
称光学系统传输亦有一定的参考价值.
【相关文献】
[1] LEAKE K D,HAWKINS A R,SCHMIDT -
optical particle trap using orthogonally intersecting beams[J].Photonics Research,2013,1(1
):47-51.
[2] 刘彬，吴逢铁，江新光.利用无衍射贝塞耳光束多层面操控微粒[J].中国激光,2009,36(2):379-
382.
[3] PLANCHON T A,GAO Liang,MILKIE D E,et three-
dimensional isotropic imaging of living cells using Bessel beam plane illumination[J].Natur
e methods,2011,8(5):417-423.
[4] DURNIN J,MICELI J J,EBERLY J ction-
free beams[J].Physical Review Letters,1987,58(15):1499-1501.
[5]
SIVILOGLOU G A,BROKY J,DOGARIU A,et ation of accelerating airy beams[J].Phys
ical Review Letters,2007,99(21):213901.
[6] GUTIÉRREZ-VEGA J C,ITURBE-CASTILLO M D,CHVEZ-
CERDA ative formulation for invariant optical fields: Mathieu beams[J].Optics Lette
rs,2000,25(20):1493-1495.
[7] BANDRES M A,GUTIÉRREZ-VEGA J C,CHVEZ-
CERDA lic nondiffracting optical wave fields[J].Optics Letters,2004,29(1):44-46.
[8] 何西，吴逢铁，李攀，等.绿光LED产生高阶Bessel光的自再现[J].中国科学，2015，
36(1):014202.
[9] HANG Chao,HUANG g ultraslow weak-
light bullets with Airy beams in a coherent atomic system[J].Physreva,2014,89(1):323-327.
[10] 李冬,吴逢铁,谢晓霞.无衍射Mathieu光束自重建特性的理论和实验研[J].物理学
报,2015,64(1):014201.
[11] CHANG G,WINFUL H G,GALVANAUSKAS A,et -
similar parabolic beam generation and propagation[J].Physical Review E Statistical Nonlin
ear and Soft Matter Physics,2005,72(1):275-275.
[12] ANGUIANO-MORALES M,MARTNEZ A,ITURBE-CASTILLO M D,et -
healing property of a caustic optical beam[J].Applied Optics,2007,46(34):8284-8290.
[13] ANGUIANO-
MORALES ormation of Bessel beams by means of a cylindrical lens[J].Applied Opt
ics,2009,48(25):4826-4831.
[14] 吕百达.激光光学光束描述、传输变换与光腔技术物理[M].北京：高等教育出版社,2003:16-
18.
[15] GUTIÉRREZ-VEGA J C,ITURBE-
CASTILLO M D,RAMREZ G A,et mental demonstration of optical Mathieu beams[J]
.Optics Communications,2001,195(1/2/3/4):35-40.
2024年4月30日发(作者：乾妙晴)
Bessel光束经柱透镜的衍射光场
谢晓霞;吴逢铁;纪佳位
【摘 要】In this paper,propagation process of Bessel beam which
generated by axicon passing through cylindrical lens was on
the generalized huygens fresnel diffraction integral,the expression of the
light intensity distribution that Bessel beam passing through cylindrical
lens is transverse intensity distribution in different position was
numerical the experiment,generated Bessel beam by axicon
through the cylindrical lens which f= 130 mm. The optical intensity
distribution in difference propagation distances was captured by a CCD
theoretical anal-ysis and the experimental results both show
that Bessel beam passing through cylindrical lens can generate diffraction-
free caustics beam.%基于空间域中的广义惠更斯-菲涅耳衍射积分理论，导出
Bessel 光束通过柱透镜光强分布表达式，利用计算机模拟不同传播距离处的截面
光强分布。利用轴棱锥产生Bessel 光束，光束经过焦距为130 mm 的柱透镜，用
CCD拍摄柱透镜的后不同传播距离的处光强分布。结果表明：实验所得结果与理
论模拟吻合，Bessel光束经柱透镜后将产生唇状焦散光束。
【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(037)003
【总页数】4页(P291-294)
【关键词】Bessel光束;柱透镜;轴棱锥;无衍射光束;衍射理论
【作 者】谢晓霞;吴逢铁;纪佳位
【作者单位】华侨大学 信息科学与工程学院，福建 厦门 361021; 福建省光传输与
变换重点实验室，福建 厦门 361021;华侨大学 信息科学与工程学院，福建 厦门
361021; 福建省光传输与变换重点实验室，福建 厦门 361021;华侨大学 信息科学
与工程学院，福建 厦门 361021; 福建省光传输与变换重点实验室，福建 厦门
361021
【正文语种】中 文
【中图分类】O436.1
近年来，无衍射光束凭借其在自由空间传播过程中横向光场分布不随传播距离发生
变化及光束的重自愈等特性成为了研究热点,被广泛应用于光学俘获和操作[1-2]、
激光成像[3]，空间光通信等领域.1987年，Durning等[4]首次提出无衍射Bessel
光束后，Siviloglou等[5]提出Airy光束，GutiÉrrez-vega等[6]提出马丢光束，
BANDRES等[7]提出抛物线光束等一系列具有无衍射特性的特殊光束,并研究了这
些光束相关传输特性[8-11].2007年，无衍射焦散光束(diffraction-
free caustics beam)由Marcelino[12]小组提出，从汉克波理论和实验上证明焦
散光束的自重建特性，并在2009年，从几何光学上解释和在实验上获得焦散光束
[13].但上述文献缺少必要的理论推导及讨论，且未对焦散光束的衍射光场进行实
验研究.因此,本文基于空间域中的广义惠更斯-菲涅耳衍射积分理论，导出Bessel
光束通过柱透镜光强分布表达式，并设计相关实验加以验证.
当柱面透镜是一种非对称光学元件时，对非轴对称光学系统，描述对称光学系统的
2×2阶矩阵要扩张成4×4阶矩阵,在近轴近似条件下，空间域中的广义惠更斯-菲
涅耳衍射理论衍射积分[14]为
通过柱透镜及自由空间后，光束传输矩阵可写成
式(2)中：A,B,C,D均为2×2阶变换矩阵，；z为柱透镜到观察平面的距离；f为柱
透镜的焦距.将式(2)代入式(1)，可得
Helmholtz方程在z=0处的Whittaker解[15]可以表示为
式(4)中：kt为平面波的径向波矢分量;A(φ)为理想无衍射光的角谱.当A(φ)取不同
的值时可以得到不同的衍射光场.对于零阶Bessel光束A(φ)=1，将式(4)带入式(3)
中，移项整理可得
令.对式(5)作变量替换后,通过移项配方可得
令，对式(6)变量替换，并利用菲涅尔积分(β)，可将式(6)化简为
式(7)中：；；；光束经柱透镜后的光场强度分布为
光源采用He-Ne激光器λ=632.8 nm，轴棱锥折射率n=1.458，柱透镜的焦距
f=130 mm，对轴棱锥底角分别为γ=0.5°，γ=1°所产生的Bessel光束经柱透镜
后,在不同传播距离处的截面光强分布进行模拟，模拟图如图1，2所示.
由图1，2可知：Bessel光束通过柱透镜后，形成渐曲线状的光强分布,在光轴上
随着z的增大.光场能量分布发生变化，在z=60 mm及z=80 mm处，光强分布
于中心的唇状焦散线；z继续增大后，中心的唇状焦散线开始向外扩大，光强分布
开始集中在唇状焦散线的边缘线上，出现类似椭圆形的光斑，在光斑中心呈现出交
替相交叉的条纹.这是由于象散导致输出光的波面斜率发生改变，使得光通过透镜
后干涉点也发生变化，Bessel光束横截面光强原有的圆对称性被破坏，此时，在
同轴唇状焦散线上形成两个光强度较大的光点，形成焦散光束.由图1，2还可知：
轴棱锥的底角不同，所形成的焦散光束的光斑大小不同，度数较大，其光斑较大，
度数较小，中心的渐曲线状的焦散线也比较明显.
为验证Bessel光束经柱透镜后会产生焦散光束，以轴棱锥底角γ=1°所产生的
Bessel光束经柱透镜进行实验验证，实验光路图如图3所示.图3中：He-Ne激
光光束波长为632.8 nm.由图3可知：光束通过由f1和f2组成的准直扩束系统，
入射到轴棱锥后产生无衍射Bessel光束，再经过柱透镜，利用电荷耦合器件(CCD)
观察，并拍摄Bessel光束经柱透镜后在不同传播距离处的衍射光场.其中，
f1=15 mm，f2=190 mm,轴棱锥的折射率n=1.458，底角γ=1°，柱透镜的焦距
f=130 mm，柱透镜与轴棱锥相距350 mm.
用CCD相机拍摄到了柱透镜后，无衍射光束在不同传播距离处光场的截面光强分
布，如图4所示.由图2，4可知：实验上与理论上的结果吻合，即利用轴棱锥产生
的Bessel光束经过柱透镜，由于柱透镜的非对称性，可形成焦散光束.
由广义惠更斯-菲涅耳衍射理论衍射理论，导出Bessel光束通过柱透镜光强分布表
达式，从理论及实验上研究了Bessel光束经过柱透镜的光学传输特性，实验所得
结果与理论模拟吻合，均表明Bessel光束经柱透镜后将产生唇状焦散光束，这种
光束在大景深成像、光束的传输上具有潜在的应用.研究结果对Bessel光束在非对
称光学系统传输亦有一定的参考价值.
【相关文献】
[1] LEAKE K D,HAWKINS A R,SCHMIDT -
optical particle trap using orthogonally intersecting beams[J].Photonics Research,2013,1(1
):47-51.
[2] 刘彬，吴逢铁，江新光.利用无衍射贝塞耳光束多层面操控微粒[J].中国激光,2009,36(2):379-
382.
[3] PLANCHON T A,GAO Liang,MILKIE D E,et three-
dimensional isotropic imaging of living cells using Bessel beam plane illumination[J].Natur
e methods,2011,8(5):417-423.
[4] DURNIN J,MICELI J J,EBERLY J ction-
free beams[J].Physical Review Letters,1987,58(15):1499-1501.
[5]
SIVILOGLOU G A,BROKY J,DOGARIU A,et ation of accelerating airy beams[J].Phys
ical Review Letters,2007,99(21):213901.
[6] GUTIÉRREZ-VEGA J C,ITURBE-CASTILLO M D,CHVEZ-
CERDA ative formulation for invariant optical fields: Mathieu beams[J].Optics Lette
rs,2000,25(20):1493-1495.
[7] BANDRES M A,GUTIÉRREZ-VEGA J C,CHVEZ-
CERDA lic nondiffracting optical wave fields[J].Optics Letters,2004,29(1):44-46.
[8] 何西，吴逢铁，李攀，等.绿光LED产生高阶Bessel光的自再现[J].中国科学，2015，
36(1):014202.
[9] HANG Chao,HUANG g ultraslow weak-
light bullets with Airy beams in a coherent atomic system[J].Physreva,2014,89(1):323-327.
[10] 李冬,吴逢铁,谢晓霞.无衍射Mathieu光束自重建特性的理论和实验研[J].物理学
报,2015,64(1):014201.
[11] CHANG G,WINFUL H G,GALVANAUSKAS A,et -
similar parabolic beam generation and propagation[J].Physical Review E Statistical Nonlin
ear and Soft Matter Physics,2005,72(1):275-275.
[12] ANGUIANO-MORALES M,MARTNEZ A,ITURBE-CASTILLO M D,et -
healing property of a caustic optical beam[J].Applied Optics,2007,46(34):8284-8290.
[13] ANGUIANO-
MORALES ormation of Bessel beams by means of a cylindrical lens[J].Applied Opt
ics,2009,48(25):4826-4831.
[14] 吕百达.激光光学光束描述、传输变换与光腔技术物理[M].北京：高等教育出版社,2003:16-
18.
[15] GUTIÉRREZ-VEGA J C,ITURBE-
CASTILLO M D,RAMREZ G A,et mental demonstration of optical Mathieu beams[J]
.Optics Communications,2001,195(1/2/3/4):35-40.