2024年5月9日发(作者：愚昕雨)
高考真题及答案
2015年湖北省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）i为虚数单位，i
607
=（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．﹣1
2．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有
人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则
这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．（3分）命题“∃x
0
∈（0，+∞），lnx
0
=x
0
﹣1”的否定是（ ）
A．∃x
0
∈（0，+∞），lnx
0
≠x
0
﹣1 B．∃x
0
∉（0，+∞），lnx
0
=x
0
﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
4．（3分）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论
中正确的是（ ）
A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
5．（3分）l
1
，l
2
表示空间中的两条直线，若p：l
1
，l
2
是异面直线，q：l
1
，l
2
不相
交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．（3分）函数f（x）=+lg的定义域为（ ）
A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]
7．（3分）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（ ）
A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx
高考真题解析
高考真题及答案
8．（3分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p
1
为事件“x+y≤”的概率，
P
2
为事件“xy≤”的概率，则（ ）
A．p
1
＜p
2
＜ B． C．p
2
＜ D．
9．（3分）将离心率为e
1
的双曲线C
1
的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增
加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e
2
的双曲线C
2
，则（ ）
A．对任意的a，b，e
1
＞e
2
B．当a＞b时，e
1
＞e
2
；当a＜b时，e
1
＜e
2
C．对任意的a，b，e
1
＜e
2
D．当a＞b时，e
1
＜e
2
；当a＜b时，e
1
＞e
2
10．（3分）已知集合A={（x，y）|x
2
+y
2
≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，
|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）|（x
1
，y
1
）∈A，（x
2
，y
2
）
∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
二、填空题
11．（3分）已知向量⊥，||=3，则•= ．
12．（3分）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为 ．
13．（3分）f（x）=2sin xsin（x+）﹣x
2
的零点个数为 ．
14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统
计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如
图所示．
（1）直方图中的a= ．
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为 ．
高考真题解析
高考真题及答案
15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公
路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在
西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．
16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点
A，B（B在A的上方），且|AB|=2．
（1）圆C的标准方程为 ．
（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为 ．
17．（3分）a为实数，函数f（x）=|x
2
﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当
a= 时，g（a）的值最小．
三、解答题
18．（12分）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜
在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
高考真题解析
）
高考真题及答案
wx+φ
π
2π
0
x
Asin（wx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）
的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求
y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
19．（12分）设等差数列{a
n
}的公差为d，前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的公比
为q，已知b
1
=a
1
，b
2
=2，q=d，S
10
=100．
（1）求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式
（2）当d＞1时，记c
n
=，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．
20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱
锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳
马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、
BD、BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每
个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V
1
，四面体EBCD的体积为V
2
，求的值．
21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）
是偶函数，f（x）+g（x）=e
x
，其中e为自然对数的底数．
高考真题解析
高考真题及答案
（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜
（1﹣b）．
22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可
绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑
动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转
动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如
图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l
1
：x﹣2y=0和l
2
：x+2y=0分别交于P，Q两点．若
直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？
若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
＜bg（x）+
高考真题解析
高考真题及答案
2015年湖北省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）i为虚数单位，i
607
=（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．﹣1
【分析】直接利用虚数单位i的运算性质得答案．
【解答】解：i
607
=i
606
•i=（i
2
）
303
•i=（﹣1）
303
•i=﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查了虚数单位i的运算性质，是基础的计算题．
2．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有
人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则
这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×
故选：B．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（3分）命题“∃x
0
∈（0，+∞），lnx
0
=x
0
﹣1”的否定是（ ）
A．∃x
0
∈（0，+∞），lnx
0
≠x
0
﹣1 B．∃x
0
∉（0，+∞），lnx
0
=x
0
﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
高考真题解析
≈169石，
高考真题及答案
4．（3分）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论
中正确的是（ ）
A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
【分析】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设y=kz，
k＞0，得到x与z的相关性．
【解答】解：因为变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，一次项系数为﹣0.1＜0，所
以x与y负相关；
变量y与z正相关，设，y=kz，（k＞0），所以kz=﹣0.1x+1，得到z=
一次项系数小于0，所以z与x负相关；
故选：A．
【点评】本题考查由线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负
相关的对应是解题的关键．
5．（3分）l
1
，l
2
表示空间中的两条直线，若p：l
1
，l
2
是异面直线，q：l
1
，l
2
不相
交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即
可．
【解答】解：若l
1
，l
2
是异面直线，则l
1
，l
2
不相交，即充分性成立，
若l
1
，l
2
不相交，则l
1
，l
2
可能是平行或异面直线，即必要性不成立，
故p是q的充分条件，但不是q的必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是
解决本题的关键．
高考真题解析
，
高考真题及答案
6．（3分）函数f（x）=+lg的定义域为（ ）
A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]
【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，
＞0等价为①即，即x＞3，
②，即，此时2＜x＜3，
即2＜x＜3或x＞3，
∵﹣4≤x≤4，
∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，
即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
7．（3分）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（ ）
A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx
【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可．
【解答】解：对于选项A，右边=x|sgnx|=
显然不正确；
对于选项B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确；
，而左边=|x|=，
高考真题解析
高考真题及答案
对于选项C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确；
对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确；
故选：D．
【点评】本题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决本题的关键，注
意解题方法的积累，属于中档题．
8．（3分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p
1
为事件“x+y≤”的概率，
P
2
为事件“xy≤”的概率，则（ ）
A．p
1
＜p
2
＜ B． C．p
2
＜ D．
【分析】分别求出事件“x+y≤”和事件“xy≤”对应的区域，然后求出面积，利
用几何概型公式求出概率，比较大小．
【解答】解：由题意，事件“x+y≤”表示的区域如图阴影三角形，
p
1
=；
满足事件“xy≤”的区域如图阴影部分
高考真题解析
高考真题及答案
所以p
2
=
所以
故选：B．
；
==＞；
【点评】本题考查了几何概型的公式运用；关键是分别求出阴影部分的面积，利
用几何概型公式解答．
9．（3分）将离心率为e
1
的双曲线C
1
的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增
加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e
2
的双曲线C
2
，则（ ）
A．对任意的a，b，e
1
＞e
2
B．当a＞b时，e
1
＞e
2
；当a＜b时，e
1
＜e
2
C．对任意的a，b，e
1
＜e
2
D．当a＞b时，e
1
＜e
2
；当a＜b时，e
1
＞e
2
【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．
【解答】解：由题意，双曲线C
1
：c
2
=a
2
+b
2
，e
1
=；
双曲线C
2
：c′
2
=（a+m）
2
+（b+m）
2
，e
2
=，
∴=﹣=，
∴当a＞b时，e
1
＞e
2
；当a＜b时，e
1
＜e
2
，
故选：B．
高考真题解析
高考真题及答案
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（3分）已知集合A={（x，y）|x
2
+y
2
≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，
|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）|（x
1
，y
1
）∈A，（x
2
，y
2
）
∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），
B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）
（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，
﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），
（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求
【解答】解：解法一：
∵A={（x，y）|x
2
+y
2
≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣
1，0），
B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），
（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），
（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），
（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}
∵A⊕B={（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）|（x
1
，y
1
）∈A，（x
2
，y
2
）∈B}，
∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），
（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），
（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣
2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），
（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），
（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣
3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；
解法二：
因为集合A={（x，y）|x
2
+y
2
≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中
圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，
高考真题解析
高考真题及答案
即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）|（x
1
，y
1
）∈A，（x
2
，y
2
）
∈B}的元素可看作正方形A
1
B
1
C
1
D
1
中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45
个．
故选：C．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要
取得重复的元素．
二、填空题
11．（3分）已知向量⊥，||=3，则•= 9 ．
【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．
【解答】解：由
∵|
∴
故答案为：9．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计
算题．
|=3，
．
⊥，得•=0，即•（）=0，
12．（3分）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为 10 ．
高考真题解析
高考真题及答案
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z
的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，
由z=3x+y，得y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点C时，直线y=﹣3x+z
的截距最大，
此时z最大．
由得．即C（3，1），
此时z的最大值为z=3×3+1=10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常
用方法．
13．（3分）f（x）=2sin xsin（x+）﹣x
2
的零点个数为 2 ．
【分析】将函数进行化简，由f（x）=0，转化为两个函数的交点个数进行求解即
可．
【解答】解：f（x）=2sinxcosx﹣x
2
=sin2x﹣x
2
，
由f（x）=0得sin2x=x
2
，
作出函数y=sin2x和y=x
2
的图象如图：
由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，
高考真题解析
高考真题及答案
即函数f（x）的零点个数为2个，
故答案为：2
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数和方程之间的关系转化为
两个函数图象的交点问题是解决本题的关键．
14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统
计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如
图所示．
（1）直方图中的a= 3 ．
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为 6000 ．
【分析】（1）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根
据频率和为1，算出a的值；
（2）先求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率，再求频数．
【解答】解：（1）由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，
解得a=3
（2）由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×10000=6000
故答案为：（1）3 （2）6000
高考真题解析
高考真题及答案
【点评】本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，频数=频率
×样本容量，属于基础题．
15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公
路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在
西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= 100 m．
【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△
ABC中利用正弦定理求得h．
【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得
解得h=100（m）
．
=，
故答案为：100
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知
条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间
的联系，列方程或列式求解．
16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点
A，B（B在A的上方），且|AB|=2．
（1）圆C的标准方程为 （x﹣1）
2
+（y﹣）
2
=2 ．
．
（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为 ﹣1﹣
高考真题解析
高考真题及答案
【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程；
（2）求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截
距．
【解答】解：（1）由题意，圆的半径为
∴圆C的标准方程为（x﹣1）
2
+（y﹣
（2）由（1）知，B（0，1+），
﹣）（y﹣）=2，
=，圆心坐标为（1，），
）
2
=2；
∴圆C在点B处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1+
令y=0可得x=﹣1﹣．
）
2
=2；﹣1﹣．
故答案为：（x﹣1）
2
+（y﹣
【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属
于中档题．
17．（3分）a为实数，函数f（x）=|x
2
﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当
a= 2﹣2 时，g（a）的值最小．
﹣2、a＞2﹣2三种情况去函数f（x）表达【分析】通过分a≤0、0＜a≤2
式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论．
【解答】解：对函数f（x）=|x
2
﹣ax|=|（x﹣）
2
﹣|分下面几种情况讨论：
①当a≤0时，f（x）=x
2
﹣ax在区间[0，1]上单调递增，
∴f（x）
max
=g（1）=1﹣a；
②当0＜a≤2
∵
﹣2时，=
﹣2＜0，
=，f（1）=1﹣a，
﹣（1﹣a）=
∴f（x）
max
=g（1）=1﹣a；
高考真题解析
高考真题及答案
③当2﹣2＜a≤1时，f（x）
max
=g（a）=；
综上所述，g（a）=，
∴g（a）在（﹣∞，
∴g（a）
min
=g（）；
]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，
④当1＜a＜2时，g（a）=f（）=；
⑤当a≥2时，g（a）=f（1）=a﹣1；
综上，当a=
故答案为：
时，g（a）
min
=3﹣2
．
，
【点评】本题考查求函数的最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，
属于难题．
三、解答题
18．（12分）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜
在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
wx+φ
）
π
2π
0
x
Asin（wx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）
的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求
y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
【分析】（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x），解得其对称中心即可得解．
【解答】解：（1）数据补充完整如下表：
wx+φ
高考真题解析
π
2π
高考真题及答案
0
x
Asin（wx+φ）
0
5
0
）．
﹣5
0
函数f（x）的解析式为：f（x）=5sin（2x﹣
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移
（x+
由2x+
）﹣]=5sin（2x+）．
﹣
个单位长度，得到y=g（x）=5sin[2
=kπ，k∈Z，可解得：x=
．
，k∈Z，
当k=0时，可得：x=﹣
从而可得离原点O最近的对称中心为：（﹣，0）．
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin
（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．
19．（12分）设等差数列{a
n
}的公差为d，前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的公比
为q，已知b
1
=a
1
，b
2
=2，q=d，S
10
=100．
（1）求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式
（2）当d＞1时，记c
n
=，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．
【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d＞1时，由（1）知c
n
=，写出T
n
、T
n
的表达式，利用错位相减
法及等比数列的求和公式，计算即可．
【解答】解：（1）设a
1
=a，由题意可得
解得
当
当
，或，
，
时，a
n
=2n﹣1，b
n
=2
n
﹣
1
；
时，a
n
=（2n+79），b
n
=9•；
高考真题解析
高考真题及答案
（2）当d＞1时，由（1）知a
n
=2n﹣1，b
n
=2
n
﹣
1
，
∴c
n
==，
+7•
+5•
+
．
+
+9•
+7•
+…+
+…+（2n﹣1）•
+…+（2n﹣3）•
﹣（2n﹣1）•
，
+（2n﹣1）•
=3﹣，
，
∴T
n
=1+3•+5•
∴T
n
=1•+3•
∴T
n
=2++
∴T
n
=6﹣
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注
意解题方法的积累，属于中档题．
20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱
锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳
马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、
BD、BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每
个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V
1
，四面体EBCD的体积为V
2
，求的值．
【分析】（Ⅰ）证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面
都是直角三角形，即可得出结论；
（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V
1
=
（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，所以V
2
=
=
=
．由
．即
高考真题解析
高考真题及答案
可求的值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，
因为PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，
因为DE⊂平面PCD，
所以BC⊥DE，
因为PD=CD，点E是PC的中点，
所以DE⊥PC，
因为PC∩BC=C，
所以DE⊥平面PBC，
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠
DEB；
（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V
1
=
由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，
所以V
2
==．
=．
因为PD=CD，点E是PC的中点，
所以DE=CE=CD，
所以===4
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决
问题的能力，属于中档题．
21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）
是偶函数，f（x）+g（x）=e
x
，其中e为自然对数的底数．
（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；
高考真题解析
高考真题及答案
（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜
（1﹣b）．
＜bg（x）+
【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的
解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜
bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）
﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证．
【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（x）+g（x）=e
x
，f（﹣x）+g（﹣x）=e
﹣
x
，
即为﹣f（x）+g（x）=e
﹣
x
，
解得f（x）=（e
x
﹣e
﹣
x
），g（x）=（e
x
+e
﹣
x
），
则当x＞0时，e
x
＞1，0＜e
﹣
x
＜1，f（x）＞0；
g（x）=（e
x
+e
﹣
x
）＞×2=1，
则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）证明：f′（x）=（e
x
+e
﹣
x
）=g（x），
g′（x）=（e
x
﹣e
﹣
x
）=f（x），
当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，
＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，
设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，
h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c）
=g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x），
①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x
＞0），
即有f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故＞ag（x）+1﹣a成立；
②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x
高考真题解析
高考真题及答案
＞0），
即有f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故＜bg（x）+1﹣b成立．
＜b g（x）+（1﹣b）．
综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1﹣a）＜
【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，主要考查函数的解析式的求法和不等式
的证明，同时考查指数函数的单调性和基本不等式的运用，以及导数的运用：判
断单调性，属于中档题．
22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可
绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑
动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转
动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如
图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l
1
：x﹣2y=0和l
2
：x+2y=0分别交于P，Q两点．若
直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？
若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公
式进行求解即可．
【解答】解：（1）设D（t，0），|t|≤2，
N（x
0
，y
0
），M（x，y），由题意得
且||=||=1，
=2，
高考真题解析
高考真题及答案
∴（t﹣x，﹣y）=2（x
0
﹣t，y
0
），且，
即，且t（t﹣2x
0
）=0，
由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，
于是t=2x
0
，故x
0
=，y
0
=﹣，
代入x
0
2
+y
0
2
=1，得方程为．
（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S
△
OPQ
=
②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k
由
），
，
消去y，可得（1+4k
2
）x
2
+8kmx+4m
2
﹣16=0，
∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
∴△=64k
2
m
2
﹣4（1+4k
2
）（4m
2
﹣16）=0，即m
2
=16k
2
+4，①，
由，可得P（，），同理得Q（
和|PQ|=
，），
原点O到直线PQ的距离d=•|x
P
﹣x
Q
|，
可得S
△
OPQ
=|PQ|d=|m||x
P
﹣x
Q
|=|m|||=||②，
将①代入②得S
△
OPQ
=||=8||，
当k
2
＞时，S
△
OPQ
=8（）=8（1+）＞8，
高考真题解析
高考真题及答案
当0≤k
2
＜时，S
△
OPQ
=8||=﹣8（
≥2，
）=8（﹣1+），
∵0≤k
2
＜时，∴0＜1﹣4k
2
≤1，
∴S
△
OPQ
=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，
∴当k=0时，S
△
OPQ
的最小值为8，
综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小
值为8．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，
结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．
高考真题解析
2024年5月9日发(作者：愚昕雨)
高考真题及答案
2015年湖北省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）i为虚数单位，i
607
=（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．﹣1
2．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有
人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则
这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．（3分）命题“∃x
0
∈（0，+∞），lnx
0
=x
0
﹣1”的否定是（ ）
A．∃x
0
∈（0，+∞），lnx
0
≠x
0
﹣1 B．∃x
0
∉（0，+∞），lnx
0
=x
0
﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
4．（3分）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论
中正确的是（ ）
A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
5．（3分）l
1
，l
2
表示空间中的两条直线，若p：l
1
，l
2
是异面直线，q：l
1
，l
2
不相
交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．（3分）函数f（x）=+lg的定义域为（ ）
A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]
7．（3分）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（ ）
A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx
高考真题解析
高考真题及答案
8．（3分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p
1
为事件“x+y≤”的概率，
P
2
为事件“xy≤”的概率，则（ ）
A．p
1
＜p
2
＜ B． C．p
2
＜ D．
9．（3分）将离心率为e
1
的双曲线C
1
的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增
加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e
2
的双曲线C
2
，则（ ）
A．对任意的a，b，e
1
＞e
2
B．当a＞b时，e
1
＞e
2
；当a＜b时，e
1
＜e
2
C．对任意的a，b，e
1
＜e
2
D．当a＞b时，e
1
＜e
2
；当a＜b时，e
1
＞e
2
10．（3分）已知集合A={（x，y）|x
2
+y
2
≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，
|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）|（x
1
，y
1
）∈A，（x
2
，y
2
）
∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
二、填空题
11．（3分）已知向量⊥，||=3，则•= ．
12．（3分）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为 ．
13．（3分）f（x）=2sin xsin（x+）﹣x
2
的零点个数为 ．
14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统
计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如
图所示．
（1）直方图中的a= ．
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为 ．
高考真题解析
高考真题及答案
15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公
路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在
西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．
16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点
A，B（B在A的上方），且|AB|=2．
（1）圆C的标准方程为 ．
（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为 ．
17．（3分）a为实数，函数f（x）=|x
2
﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当
a= 时，g（a）的值最小．
三、解答题
18．（12分）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜
在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
高考真题解析
）
高考真题及答案
wx+φ
π
2π
0
x
Asin（wx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）
的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求
y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
19．（12分）设等差数列{a
n
}的公差为d，前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的公比
为q，已知b
1
=a
1
，b
2
=2，q=d，S
10
=100．
（1）求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式
（2）当d＞1时，记c
n
=，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．
20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱
锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳
马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、
BD、BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每
个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V
1
，四面体EBCD的体积为V
2
，求的值．
21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）
是偶函数，f（x）+g（x）=e
x
，其中e为自然对数的底数．
高考真题解析
高考真题及答案
（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜
（1﹣b）．
22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可
绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑
动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转
动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如
图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l
1
：x﹣2y=0和l
2
：x+2y=0分别交于P，Q两点．若
直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？
若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
＜bg（x）+
高考真题解析
高考真题及答案
2015年湖北省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）i为虚数单位，i
607
=（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．﹣1
【分析】直接利用虚数单位i的运算性质得答案．
【解答】解：i
607
=i
606
•i=（i
2
）
303
•i=（﹣1）
303
•i=﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查了虚数单位i的运算性质，是基础的计算题．
2．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有
人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则
这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×
故选：B．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（3分）命题“∃x
0
∈（0，+∞），lnx
0
=x
0
﹣1”的否定是（ ）
A．∃x
0
∈（0，+∞），lnx
0
≠x
0
﹣1 B．∃x
0
∉（0，+∞），lnx
0
=x
0
﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
高考真题解析
≈169石，
高考真题及答案
4．（3分）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论
中正确的是（ ）
A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
【分析】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设y=kz，
k＞0，得到x与z的相关性．
【解答】解：因为变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，一次项系数为﹣0.1＜0，所
以x与y负相关；
变量y与z正相关，设，y=kz，（k＞0），所以kz=﹣0.1x+1，得到z=
一次项系数小于0，所以z与x负相关；
故选：A．
【点评】本题考查由线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负
相关的对应是解题的关键．
5．（3分）l
1
，l
2
表示空间中的两条直线，若p：l
1
，l
2
是异面直线，q：l
1
，l
2
不相
交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即
可．
【解答】解：若l
1
，l
2
是异面直线，则l
1
，l
2
不相交，即充分性成立，
若l
1
，l
2
不相交，则l
1
，l
2
可能是平行或异面直线，即必要性不成立，
故p是q的充分条件，但不是q的必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是
解决本题的关键．
高考真题解析
，
高考真题及答案
6．（3分）函数f（x）=+lg的定义域为（ ）
A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]
【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，
＞0等价为①即，即x＞3，
②，即，此时2＜x＜3，
即2＜x＜3或x＞3，
∵﹣4≤x≤4，
∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，
即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
7．（3分）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（ ）
A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx
【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可．
【解答】解：对于选项A，右边=x|sgnx|=
显然不正确；
对于选项B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确；
，而左边=|x|=，
高考真题解析
高考真题及答案
对于选项C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确；
对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确；
故选：D．
【点评】本题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决本题的关键，注
意解题方法的积累，属于中档题．
8．（3分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p
1
为事件“x+y≤”的概率，
P
2
为事件“xy≤”的概率，则（ ）
A．p
1
＜p
2
＜ B． C．p
2
＜ D．
【分析】分别求出事件“x+y≤”和事件“xy≤”对应的区域，然后求出面积，利
用几何概型公式求出概率，比较大小．
【解答】解：由题意，事件“x+y≤”表示的区域如图阴影三角形，
p
1
=；
满足事件“xy≤”的区域如图阴影部分
高考真题解析
高考真题及答案
所以p
2
=
所以
故选：B．
；
==＞；
【点评】本题考查了几何概型的公式运用；关键是分别求出阴影部分的面积，利
用几何概型公式解答．
9．（3分）将离心率为e
1
的双曲线C
1
的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增
加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e
2
的双曲线C
2
，则（ ）
A．对任意的a，b，e
1
＞e
2
B．当a＞b时，e
1
＞e
2
；当a＜b时，e
1
＜e
2
C．对任意的a，b，e
1
＜e
2
D．当a＞b时，e
1
＜e
2
；当a＜b时，e
1
＞e
2
【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．
【解答】解：由题意，双曲线C
1
：c
2
=a
2
+b
2
，e
1
=；
双曲线C
2
：c′
2
=（a+m）
2
+（b+m）
2
，e
2
=，
∴=﹣=，
∴当a＞b时，e
1
＞e
2
；当a＜b时，e
1
＜e
2
，
故选：B．
高考真题解析
高考真题及答案
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（3分）已知集合A={（x，y）|x
2
+y
2
≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，
|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）|（x
1
，y
1
）∈A，（x
2
，y
2
）
∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），
B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）
（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，
﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），
（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求
【解答】解：解法一：
∵A={（x，y）|x
2
+y
2
≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣
1，0），
B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），
（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），
（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），
（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}
∵A⊕B={（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）|（x
1
，y
1
）∈A，（x
2
，y
2
）∈B}，
∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），
（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），
（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣
2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），
（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），
（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣
3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；
解法二：
因为集合A={（x，y）|x
2
+y
2
≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中
圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，
高考真题解析
高考真题及答案
即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）|（x
1
，y
1
）∈A，（x
2
，y
2
）
∈B}的元素可看作正方形A
1
B
1
C
1
D
1
中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45
个．
故选：C．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要
取得重复的元素．
二、填空题
11．（3分）已知向量⊥，||=3，则•= 9 ．
【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．
【解答】解：由
∵|
∴
故答案为：9．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计
算题．
|=3，
．
⊥，得•=0，即•（）=0，
12．（3分）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为 10 ．
高考真题解析
高考真题及答案
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z
的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，
由z=3x+y，得y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点C时，直线y=﹣3x+z
的截距最大，
此时z最大．
由得．即C（3，1），
此时z的最大值为z=3×3+1=10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常
用方法．
13．（3分）f（x）=2sin xsin（x+）﹣x
2
的零点个数为 2 ．
【分析】将函数进行化简，由f（x）=0，转化为两个函数的交点个数进行求解即
可．
【解答】解：f（x）=2sinxcosx﹣x
2
=sin2x﹣x
2
，
由f（x）=0得sin2x=x
2
，
作出函数y=sin2x和y=x
2
的图象如图：
由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，
高考真题解析
高考真题及答案
即函数f（x）的零点个数为2个，
故答案为：2
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数和方程之间的关系转化为
两个函数图象的交点问题是解决本题的关键．
14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统
计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如
图所示．
（1）直方图中的a= 3 ．
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为 6000 ．
【分析】（1）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根
据频率和为1，算出a的值；
（2）先求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率，再求频数．
【解答】解：（1）由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，
解得a=3
（2）由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×10000=6000
故答案为：（1）3 （2）6000
高考真题解析
高考真题及答案
【点评】本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，频数=频率
×样本容量，属于基础题．
15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公
路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在
西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= 100 m．
【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△
ABC中利用正弦定理求得h．
【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得
解得h=100（m）
．
=，
故答案为：100
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知
条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间
的联系，列方程或列式求解．
16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点
A，B（B在A的上方），且|AB|=2．
（1）圆C的标准方程为 （x﹣1）
2
+（y﹣）
2
=2 ．
．
（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为 ﹣1﹣
高考真题解析
高考真题及答案
【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程；
（2）求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截
距．
【解答】解：（1）由题意，圆的半径为
∴圆C的标准方程为（x﹣1）
2
+（y﹣
（2）由（1）知，B（0，1+），
﹣）（y﹣）=2，
=，圆心坐标为（1，），
）
2
=2；
∴圆C在点B处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1+
令y=0可得x=﹣1﹣．
）
2
=2；﹣1﹣．
故答案为：（x﹣1）
2
+（y﹣
【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属
于中档题．
17．（3分）a为实数，函数f（x）=|x
2
﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当
a= 2﹣2 时，g（a）的值最小．
﹣2、a＞2﹣2三种情况去函数f（x）表达【分析】通过分a≤0、0＜a≤2
式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论．
【解答】解：对函数f（x）=|x
2
﹣ax|=|（x﹣）
2
﹣|分下面几种情况讨论：
①当a≤0时，f（x）=x
2
﹣ax在区间[0，1]上单调递增，
∴f（x）
max
=g（1）=1﹣a；
②当0＜a≤2
∵
﹣2时，=
﹣2＜0，
=，f（1）=1﹣a，
﹣（1﹣a）=
∴f（x）
max
=g（1）=1﹣a；
高考真题解析
高考真题及答案
③当2﹣2＜a≤1时，f（x）
max
=g（a）=；
综上所述，g（a）=，
∴g（a）在（﹣∞，
∴g（a）
min
=g（）；
]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，
④当1＜a＜2时，g（a）=f（）=；
⑤当a≥2时，g（a）=f（1）=a﹣1；
综上，当a=
故答案为：
时，g（a）
min
=3﹣2
．
，
【点评】本题考查求函数的最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，
属于难题．
三、解答题
18．（12分）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜
在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
wx+φ
）
π
2π
0
x
Asin（wx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）
的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求
y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
【分析】（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x），解得其对称中心即可得解．
【解答】解：（1）数据补充完整如下表：
wx+φ
高考真题解析
π
2π
高考真题及答案
0
x
Asin（wx+φ）
0
5
0
）．
﹣5
0
函数f（x）的解析式为：f（x）=5sin（2x﹣
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移
（x+
由2x+
）﹣]=5sin（2x+）．
﹣
个单位长度，得到y=g（x）=5sin[2
=kπ，k∈Z，可解得：x=
．
，k∈Z，
当k=0时，可得：x=﹣
从而可得离原点O最近的对称中心为：（﹣，0）．
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin
（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．
19．（12分）设等差数列{a
n
}的公差为d，前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的公比
为q，已知b
1
=a
1
，b
2
=2，q=d，S
10
=100．
（1）求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式
（2）当d＞1时，记c
n
=，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．
【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d＞1时，由（1）知c
n
=，写出T
n
、T
n
的表达式，利用错位相减
法及等比数列的求和公式，计算即可．
【解答】解：（1）设a
1
=a，由题意可得
解得
当
当
，或，
，
时，a
n
=2n﹣1，b
n
=2
n
﹣
1
；
时，a
n
=（2n+79），b
n
=9•；
高考真题解析
高考真题及答案
（2）当d＞1时，由（1）知a
n
=2n﹣1，b
n
=2
n
﹣
1
，
∴c
n
==，
+7•
+5•
+
．
+
+9•
+7•
+…+
+…+（2n﹣1）•
+…+（2n﹣3）•
﹣（2n﹣1）•
，
+（2n﹣1）•
=3﹣，
，
∴T
n
=1+3•+5•
∴T
n
=1•+3•
∴T
n
=2++
∴T
n
=6﹣
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注
意解题方法的积累，属于中档题．
20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱
锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳
马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、
BD、BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每
个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V
1
，四面体EBCD的体积为V
2
，求的值．
【分析】（Ⅰ）证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面
都是直角三角形，即可得出结论；
（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V
1
=
（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，所以V
2
=
=
=
．由
．即
高考真题解析
高考真题及答案
可求的值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，
因为PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，
因为DE⊂平面PCD，
所以BC⊥DE，
因为PD=CD，点E是PC的中点，
所以DE⊥PC，
因为PC∩BC=C，
所以DE⊥平面PBC，
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠
DEB；
（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V
1
=
由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，
所以V
2
==．
=．
因为PD=CD，点E是PC的中点，
所以DE=CE=CD，
所以===4
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决
问题的能力，属于中档题．
21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）
是偶函数，f（x）+g（x）=e
x
，其中e为自然对数的底数．
（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；
高考真题解析
高考真题及答案
（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜
（1﹣b）．
＜bg（x）+
【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的
解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜
bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）
﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证．
【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（x）+g（x）=e
x
，f（﹣x）+g（﹣x）=e
﹣
x
，
即为﹣f（x）+g（x）=e
﹣
x
，
解得f（x）=（e
x
﹣e
﹣
x
），g（x）=（e
x
+e
﹣
x
），
则当x＞0时，e
x
＞1，0＜e
﹣
x
＜1，f（x）＞0；
g（x）=（e
x
+e
﹣
x
）＞×2=1，
则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）证明：f′（x）=（e
x
+e
﹣
x
）=g（x），
g′（x）=（e
x
﹣e
﹣
x
）=f（x），
当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，
＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，
设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，
h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c）
=g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x），
①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x
＞0），
即有f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故＞ag（x）+1﹣a成立；
②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x
高考真题解析
高考真题及答案
＞0），
即有f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故＜bg（x）+1﹣b成立．
＜b g（x）+（1﹣b）．
综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1﹣a）＜
【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，主要考查函数的解析式的求法和不等式
的证明，同时考查指数函数的单调性和基本不等式的运用，以及导数的运用：判
断单调性，属于中档题．
22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可
绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑
动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转
动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如
图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l
1
：x﹣2y=0和l
2
：x+2y=0分别交于P，Q两点．若
直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？
若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公
式进行求解即可．
【解答】解：（1）设D（t，0），|t|≤2，
N（x
0
，y
0
），M（x，y），由题意得
且||=||=1，
=2，
高考真题解析
高考真题及答案
∴（t﹣x，﹣y）=2（x
0
﹣t，y
0
），且，
即，且t（t﹣2x
0
）=0，
由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，
于是t=2x
0
，故x
0
=，y
0
=﹣，
代入x
0
2
+y
0
2
=1，得方程为．
（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S
△
OPQ
=
②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k
由
），
，
消去y，可得（1+4k
2
）x
2
+8kmx+4m
2
﹣16=0，
∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
∴△=64k
2
m
2
﹣4（1+4k
2
）（4m
2
﹣16）=0，即m
2
=16k
2
+4，①，
由，可得P（，），同理得Q（
和|PQ|=
，），
原点O到直线PQ的距离d=•|x
P
﹣x
Q
|，
可得S
△
OPQ
=|PQ|d=|m||x
P
﹣x
Q
|=|m|||=||②，
将①代入②得S
△
OPQ
=||=8||，
当k
2
＞时，S
△
OPQ
=8（）=8（1+）＞8，
高考真题解析
高考真题及答案
当0≤k
2
＜时，S
△
OPQ
=8||=﹣8（
≥2，
）=8（﹣1+），
∵0≤k
2
＜时，∴0＜1﹣4k
2
≤1，
∴S
△
OPQ
=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，
∴当k=0时，S
△
OPQ
的最小值为8，
综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小
值为8．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，
结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．
高考真题解析