2024年6月3日发(作者：析山蝶)
第五讲
--
最大公约数与最小
公 倍数
第五讲 最大公约数与最小公倍数
【知识导引】
一、约数的概念与最大公约数
约数又叫因数
(
在正整数范围内)整数
a
能被整数
b
整除，
a
叫做
b
的倍数，
b
就 叫
做
a
的约数。最大公约数
:
如果一个数既是数
a
的约数， 又是数
b
的约数，称为
[a,b]
的
几个数公有的因数，叫做这几个数的公
因 数
,
其中最大的一个叫做这几个数的最
大公因 数。
约数。
1.
求最大公约数的方法
① 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如：
231 3 7 11
，
252 2
2
3
2
7
，所以
(231,252) 3 7 21
；
218 12
② 短 除法： 先找 出所有共有 的约数， 然后相乘。 例如 ：
39 6
，所以
32
(12,18) 2 3 6
；
③ 辗转相除法： 每一次都用除数和余数相除， 能够整除的那个余数， 就是所求的
最 大公约数。 用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下： 先用小的一个数除大的一
个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数 除第
一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是
0
为止。那
么，最后一个除数就是所求的最大公约数
(
如果最后的除数是
1
，那么原来的 两个数是互
质的
)
。例如，求
600
和
1515
的最大公约数：
1515 600 2L 315
；
600 315 1L 285
；
315 285
1L 30
；
285 30 9L 15
；
30 15 2L 0
；所以
1515
和
600
的最大公约数是
15
。
2.
最大公约数的性质
① 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
② 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③ 几个数都乘以一个自然数
n
，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数 乘
以
n
。
3.
求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数
a
；求 出
各个分数的分子的最大公约数
b
；
b
即为所求。
a
二、倍数的概念与最小公倍数
对于整数
m
，能被
n
整除(
n/m
)
,
那么
m
就是
n
的倍数。如
15
能够被
3
或
5
整除， 我
几个数公有的倍数叫做
这 几个数的公倍数
,
其中最小的一个叫做
这几个数 的最小公倍数。
们就说
15
是
3
的倍数，也是
5
的倍数。
1.
求最小公倍数的方法
①
②
分解质因数法求最小公倍数
例如：
231 3 7 11
，
252 2
2
3
2
7
，所以
231,252 2
2
3
2
7 11 2772
；
短除法求最小公倍数
218 12
例如：
39 6
，所以
18,12 2 3 3 2 36
；
32
③ 公式法：
[a,b]
2.
最小公倍数的性质
ab
(a,b)
(a,b)
2024年6月3日发(作者：析山蝶)
第五讲
--
最大公约数与最小
公 倍数
第五讲 最大公约数与最小公倍数
【知识导引】
一、约数的概念与最大公约数
约数又叫因数
(
在正整数范围内)整数
a
能被整数
b
整除，
a
叫做
b
的倍数，
b
就 叫
做
a
的约数。最大公约数
:
如果一个数既是数
a
的约数， 又是数
b
的约数，称为
[a,b]
的
几个数公有的因数，叫做这几个数的公
因 数
,
其中最大的一个叫做这几个数的最
大公因 数。
约数。
1.
求最大公约数的方法
① 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如：
231 3 7 11
，
252 2
2
3
2
7
，所以
(231,252) 3 7 21
；
218 12
② 短 除法： 先找 出所有共有 的约数， 然后相乘。 例如 ：
39 6
，所以
32
(12,18) 2 3 6
；
③ 辗转相除法： 每一次都用除数和余数相除， 能够整除的那个余数， 就是所求的
最 大公约数。 用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下： 先用小的一个数除大的一
个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数 除第
一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是
0
为止。那
么，最后一个除数就是所求的最大公约数
(
如果最后的除数是
1
，那么原来的 两个数是互
质的
)
。例如，求
600
和
1515
的最大公约数：
1515 600 2L 315
；
600 315 1L 285
；
315 285
1L 30
；
285 30 9L 15
；
30 15 2L 0
；所以
1515
和
600
的最大公约数是
15
。
2.
最大公约数的性质
① 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
② 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③ 几个数都乘以一个自然数
n
，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数 乘
以
n
。
3.
求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数
a
；求 出
各个分数的分子的最大公约数
b
；
b
即为所求。
a
二、倍数的概念与最小公倍数
对于整数
m
，能被
n
整除(
n/m
)
,
那么
m
就是
n
的倍数。如
15
能够被
3
或
5
整除， 我
几个数公有的倍数叫做
这 几个数的公倍数
,
其中最小的一个叫做
这几个数 的最小公倍数。
们就说
15
是
3
的倍数，也是
5
的倍数。
1.
求最小公倍数的方法
①
②
分解质因数法求最小公倍数
例如：
231 3 7 11
，
252 2
2
3
2
7
，所以
231,252 2
2
3
2
7 11 2772
；
短除法求最小公倍数
218 12
例如：
39 6
，所以
18,12 2 3 3 2 36
；
32
③ 公式法：
[a,b]
2.
最小公倍数的性质
ab
(a,b)
(a,b)