2024年6月6日发(作者：邴初雪)
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第２ｌ卷 第２期
２００７年３月
新乡师范高等专科学校学报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＮＸＩＡＮＧ ＴＥＡＣＨＥＲＳ ＣＯＵ正ｌＧＥ
ＶｏＩ．２１．Ｎｏ．２
ＭＡＲ，２００７
一
类积分计算公式
及万会 ，普丰山
（１．银川大学数学系，宁夏永宁７５０１０５；２．漯河职业技术学院基础部，河南漯河４６２０００）
摘要：对初等积分用递推法得到一类三项式积分计算公式。
文献标志码：Ａ 文章编号：１００８－７６１３（２００７）０２－００１０－０２
关键词：初等积分；递推式；三项式；有理数
中图分类号：Ｏ１７２．２
韩毅给出了一类二项式积分递推式…，我们给
＋２ ＋ｒ）一‘ ＋２（ ＋２ ＋ｒ）一
出了另一类三项式公式，并且这类积分公式用双阶
乘表达式来表示。我们研究下列积分
命题：对任何正整数ｎ，ｒ＞１，则
ｒ１
于是 ＝Ｊ． ＿＝ ｄ ＝一
Ｊ ０
Ｉ（ ＋２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ＝口 ＋
（１）
［一 （ ＋２ ＋ｒ） ］ 一（２ｒ～２）Ａ ＋２
由 ＝（３＋ｒ） ＋ ，则
Ａ ＋。＝ｎ一 （２ｒ一２）一 ［２（３＋ｒ）一 一ｒ一 ］
＋（２ｎ—１）（２ｒ一２）一 ｎ一 Ａ
于是 ＝（２ｒ一２） （ｎ—１） ［２（３＋ｒ） 一
ｒ 一 ］＋（２ｎ一３）（２ｒ一２）一 （ｎ—１）一 Ａ 一 （２）
ｂ （ｒ—１）一 （ａｒｅｔａｎ（ｒ一１）一 一ａｒｅｔａｎ（ｒ一１）一 ）
其中口 ＝（２ｒ一２）一 （２／（３＋ｒ） 一 一ｒ 一 ）＋
∑（２ｒ一２） （２／（３＋ｒ）卜 一ｒｋ－ｎ）
（ｎ一 ）！（１ ｎ一 ２ ２ｋ 一 ）！！。ｕ１．
－（２ｒ－２ ，
我们计算得到 。：Ｉ（ ＋２ｘ＋ｒ）～ｄｘ＝
Ｉ［（ ＋１） ＋（ｒ—１）］一 ｄｘ：（ｒ—１）一 ａｒｃｔａｎ
（ ＋１）（ｒ—１）一 Ｉ ＝（ｒ—１）一 ａｒｃｔａｎ２（ｒ—
１）一 一ａｒｃｔａｎ（ｒ—１）一 （３）
再用分部积分法，设 ＝（ ＋２ ＋ｒ）～，ｄ ＝
ｄｘ；ｄｕ＝一（２ ＋２）（ ＋２ ＋ｒ）一 ｄｘ， ＝ ；
证明：设 ＝Ｉ（ ＋２ｘ＋ｒ）～ｄｘ；应用分部积
分法，
设 ：（ ＋２ ＋ｓ）一 ，ｄ ｚＪ＝ｄｘ；ｄｕ＝一
ｎ（２ｘ＋２）（ ＋２ ＋ｒ）一‘ ’ｄ ， ＝ ；
＝
Ａ１＝ｘ（ｘ ＋２ｘ＋ｒ）一 Ｉ ＋｝ｘ（２ｘ＋２）（戈 ＋
２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ＝（３＋ｒ）一 一Ｉ一（２ｘ＋２）（ ＋２ｘ＋
［ （ ＋２ ＋ｒ） ］ ＋
ｎ
Ｉ （２ｘ＋２）（ ＋２ｘ＋ｒ）一 ”ｄｘ
ｒ）一 ｄｘ一（２ｒ一２）Ｉ（ ＋２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ＋２Ｉ（ ＋２ｘ
＋ｒ）一２ｄ ＝（３＋ｒ）一 ＋［（３＋ｒ）一 一ｒ一 ］一（２ｒ一
２）Ａ２＋２ １
：
（３＋ｒ）一 ＋ｎｆ （２ ＋２）（ ＋２ ＋ｒ）一‘ ＋ ’ｄ
一
化成部分分式 （２ｘ＋２）（ ＋２ ＋ｒ）。‘ ”＝
２ （ ＋２ ＋ｒ）一 ”一２ｒ（ｘ ＋２ ＋ｒ）一 ＋
＝一
Ａ２＝（２ｒ一２）一 ［２（３＋ｒ）一 一ｒ一 ］＋（２ｒ一
２）Ｊ （４）
２（ ＋２ ＋ｒ）一
（２ ＋２）（ ＋２ ＋，．）一‘ ¨一（２ｒ一２）（
由（４）， ：＝（２ｒ一２） ［２（３＋ｒ）～一ｒ ］，ｂ：＝
收稿日期：２００６—１２－ｏ４
作者简介：及万会（１９４２－）。男，河北交河人，银川大学数学系副教授，研究方向：数论、不定方程。
１０
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第２期 及万会，普丰山：一类积分计算公式
∑（２ｒ一２） ［２（３＋ｒ） 一 ］
（１ ２ｋ １
，ｌ一 ）！（２，ｌ一 一 ）！！
命题证毕。
（７）
、
设 Ｂ ＝ｌ （ ＋２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ；
＝
ｌ （ ＋２ｘ＋ｒ）一ｄｘ；
由２Ｂ．＋２Ａ ＝ｌ（２ｘ＋２）（ ＋２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ＝
（１一，１）一 ［（ ＋２ ＋ｒ） 一 ］Ｉ ＝（１一，１） ［（３＋ｒ） 一
一
ｒ
卜 ］
所以，Ｂ ＝ｌ （ ＋２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ＝
２一 （１一，１）一 ［（３＋ｒ） 一 一ｒ 一 ）一Ａ
由 ＋２Ｂ ＋Ｃ ＝Ａ ，所以
＝
（８）
ｌ （ ＋２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ＝Ａ 一１一
（ ＿｝２Ｂ ）＝Ａ 一 一（ｒ一２）Ａ 一（１一，１）一 ［（３＋
ｒ）卜 一ｒ卜 ］ （９）
在（１）式中ｒ给出不同的数可得到具体的积分
计算公式，此不再赘述。
参考文献：
［１］韩毅．一类积分递推式的解法［Ｊ］．高等数学研究，２ＯＯ４，
（６）：３２—３３．
［２］菲赫金哥尔茨．微积分学教程（第一卷一分册）［Ｍ］．北
京：人民教育出版社，１９６４：３４—３６．
【责任编辑邢怀民】
Ｔｈｅ Ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ Ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ Ｏｎｅ Ｃｌａｓｓ Ｔｒｉｎｏｍｉａｌ Ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ
ｊＩ Ｗａｎ－ｈｕｉ ，ＰＵ Ｆｅｎｇ－ｓｈａｎ２
（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｙｉｎｃｈｕａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｏｎｇｎｉｎｇ ７５０１０５，Ｃｈｉｎａ；
２．ｈａｏｈｅ Ｖｏｃ—Ｔｅｃｈ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌｕｏｈｅ ４６２０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔ ｎ，ｒ ｂｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ，ｗｅ ｕｓｅ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｏｆ ｔｒｉｎｏ—
ｍｉａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ：
】
Ｊ ０
ｌ ＋２ｘ＋ 一ｄｘ＝％＋６ ｒ一１）－１，２ ｆａｅｒｔａｎ２（ｒ一１）＿１，２一ａｒｃｔａｎ（ｒ一１） ，２ ｗｈｅｒｅ％ａｎｄ ｂ ａｒｅ ｒａｆｉｏｎＭ
ｎｕｍｂｅｒｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ；ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ；ｔｒｉｎｏｍｉａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ；ｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ
2024年6月6日发(作者：邴初雪)
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第２ｌ卷 第２期
２００７年３月
新乡师范高等专科学校学报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＮＸＩＡＮＧ ＴＥＡＣＨＥＲＳ ＣＯＵ正ｌＧＥ
ＶｏＩ．２１．Ｎｏ．２
ＭＡＲ，２００７
一
类积分计算公式
及万会 ，普丰山
（１．银川大学数学系，宁夏永宁７５０１０５；２．漯河职业技术学院基础部，河南漯河４６２０００）
摘要：对初等积分用递推法得到一类三项式积分计算公式。
文献标志码：Ａ 文章编号：１００８－７６１３（２００７）０２－００１０－０２
关键词：初等积分；递推式；三项式；有理数
中图分类号：Ｏ１７２．２
韩毅给出了一类二项式积分递推式…，我们给
＋２ ＋ｒ）一‘ ＋２（ ＋２ ＋ｒ）一
出了另一类三项式公式，并且这类积分公式用双阶
乘表达式来表示。我们研究下列积分
命题：对任何正整数ｎ，ｒ＞１，则
ｒ１
于是 ＝Ｊ． ＿＝ ｄ ＝一
Ｊ ０
Ｉ（ ＋２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ＝口 ＋
（１）
［一 （ ＋２ ＋ｒ） ］ 一（２ｒ～２）Ａ ＋２
由 ＝（３＋ｒ） ＋ ，则
Ａ ＋。＝ｎ一 （２ｒ一２）一 ［２（３＋ｒ）一 一ｒ一 ］
＋（２ｎ—１）（２ｒ一２）一 ｎ一 Ａ
于是 ＝（２ｒ一２） （ｎ—１） ［２（３＋ｒ） 一
ｒ 一 ］＋（２ｎ一３）（２ｒ一２）一 （ｎ—１）一 Ａ 一 （２）
ｂ （ｒ—１）一 （ａｒｅｔａｎ（ｒ一１）一 一ａｒｅｔａｎ（ｒ一１）一 ）
其中口 ＝（２ｒ一２）一 （２／（３＋ｒ） 一 一ｒ 一 ）＋
∑（２ｒ一２） （２／（３＋ｒ）卜 一ｒｋ－ｎ）
（ｎ一 ）！（１ ｎ一 ２ ２ｋ 一 ）！！。ｕ１．
－（２ｒ－２ ，
我们计算得到 。：Ｉ（ ＋２ｘ＋ｒ）～ｄｘ＝
Ｉ［（ ＋１） ＋（ｒ—１）］一 ｄｘ：（ｒ—１）一 ａｒｃｔａｎ
（ ＋１）（ｒ—１）一 Ｉ ＝（ｒ—１）一 ａｒｃｔａｎ２（ｒ—
１）一 一ａｒｃｔａｎ（ｒ—１）一 （３）
再用分部积分法，设 ＝（ ＋２ ＋ｒ）～，ｄ ＝
ｄｘ；ｄｕ＝一（２ ＋２）（ ＋２ ＋ｒ）一 ｄｘ， ＝ ；
证明：设 ＝Ｉ（ ＋２ｘ＋ｒ）～ｄｘ；应用分部积
分法，
设 ：（ ＋２ ＋ｓ）一 ，ｄ ｚＪ＝ｄｘ；ｄｕ＝一
ｎ（２ｘ＋２）（ ＋２ ＋ｒ）一‘ ’ｄ ， ＝ ；
＝
Ａ１＝ｘ（ｘ ＋２ｘ＋ｒ）一 Ｉ ＋｝ｘ（２ｘ＋２）（戈 ＋
２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ＝（３＋ｒ）一 一Ｉ一（２ｘ＋２）（ ＋２ｘ＋
［ （ ＋２ ＋ｒ） ］ ＋
ｎ
Ｉ （２ｘ＋２）（ ＋２ｘ＋ｒ）一 ”ｄｘ
ｒ）一 ｄｘ一（２ｒ一２）Ｉ（ ＋２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ＋２Ｉ（ ＋２ｘ
＋ｒ）一２ｄ ＝（３＋ｒ）一 ＋［（３＋ｒ）一 一ｒ一 ］一（２ｒ一
２）Ａ２＋２ １
：
（３＋ｒ）一 ＋ｎｆ （２ ＋２）（ ＋２ ＋ｒ）一‘ ＋ ’ｄ
一
化成部分分式 （２ｘ＋２）（ ＋２ ＋ｒ）。‘ ”＝
２ （ ＋２ ＋ｒ）一 ”一２ｒ（ｘ ＋２ ＋ｒ）一 ＋
＝一
Ａ２＝（２ｒ一２）一 ［２（３＋ｒ）一 一ｒ一 ］＋（２ｒ一
２）Ｊ （４）
２（ ＋２ ＋ｒ）一
（２ ＋２）（ ＋２ ＋，．）一‘ ¨一（２ｒ一２）（
由（４）， ：＝（２ｒ一２） ［２（３＋ｒ）～一ｒ ］，ｂ：＝
收稿日期：２００６—１２－ｏ４
作者简介：及万会（１９４２－）。男，河北交河人，银川大学数学系副教授，研究方向：数论、不定方程。
１０
维普资讯
第２期 及万会，普丰山：一类积分计算公式
∑（２ｒ一２） ［２（３＋ｒ） 一 ］
（１ ２ｋ １
，ｌ一 ）！（２，ｌ一 一 ）！！
命题证毕。
（７）
、
设 Ｂ ＝ｌ （ ＋２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ；
＝
ｌ （ ＋２ｘ＋ｒ）一ｄｘ；
由２Ｂ．＋２Ａ ＝ｌ（２ｘ＋２）（ ＋２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ＝
（１一，１）一 ［（ ＋２ ＋ｒ） 一 ］Ｉ ＝（１一，１） ［（３＋ｒ） 一
一
ｒ
卜 ］
所以，Ｂ ＝ｌ （ ＋２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ＝
２一 （１一，１）一 ［（３＋ｒ） 一 一ｒ 一 ）一Ａ
由 ＋２Ｂ ＋Ｃ ＝Ａ ，所以
＝
（８）
ｌ （ ＋２ｘ＋ｒ）一 ｄｘ＝Ａ 一１一
（ ＿｝２Ｂ ）＝Ａ 一 一（ｒ一２）Ａ 一（１一，１）一 ［（３＋
ｒ）卜 一ｒ卜 ］ （９）
在（１）式中ｒ给出不同的数可得到具体的积分
计算公式，此不再赘述。
参考文献：
［１］韩毅．一类积分递推式的解法［Ｊ］．高等数学研究，２ＯＯ４，
（６）：３２—３３．
［２］菲赫金哥尔茨．微积分学教程（第一卷一分册）［Ｍ］．北
京：人民教育出版社，１９６４：３４—３６．
【责任编辑邢怀民】
Ｔｈｅ Ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ Ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ Ｏｎｅ Ｃｌａｓｓ Ｔｒｉｎｏｍｉａｌ Ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ
ｊＩ Ｗａｎ－ｈｕｉ ，ＰＵ Ｆｅｎｇ－ｓｈａｎ２
（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｙｉｎｃｈｕａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｏｎｇｎｉｎｇ ７５０１０５，Ｃｈｉｎａ；
２．ｈａｏｈｅ Ｖｏｃ—Ｔｅｃｈ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌｕｏｈｅ ４６２０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔ ｎ，ｒ ｂｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ，ｗｅ ｕｓｅ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｏｆ ｔｒｉｎｏ—
ｍｉａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ：
】
Ｊ ０
ｌ ＋２ｘ＋ 一ｄｘ＝％＋６ ｒ一１）－１，２ ｆａｅｒｔａｎ２（ｒ一１）＿１，２一ａｒｃｔａｎ（ｒ一１） ，２ ｗｈｅｒｅ％ａｎｄ ｂ ａｒｅ ｒａｆｉｏｎＭ
ｎｕｍｂｅｒｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ；ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ；ｔｒｉｎｏｍｉａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ；ｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ