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Black-Scholes公式的推导 - 对冲方法
2024年6月11日发(作者：碧鲁睿思)
B-S模型假设：
1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相
同的回报，均为无风险利率
r
；
2、市场上没有交易费用；
3、市场的交易可以连续进行；
4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的
证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）；
5、证券在期权存续期内无红利发放；
6、资产价格服从几何布朗运动模型：
dS
t
S
t
dt
S
t
dW
t
其中，
W
是标准布朗运动，
是证券的期望增长率，
是证券的波动率。
对冲方法：构造一个由一个期权和数量为
t
的标的资产（股票）组成的无
风险投资组合，下面将由此组合的无风险性推出
t
的值。
设这个投资组合在t时刻的价值为
t
C(t,S
t
)
t
S
t
，其中，
C(t,S
t
)
是一
份欧式期权的价值，它是t和
S
t
的函数。当时间变化一个
dt
时间单位时，该投资
组合价值的变化为
(,t
t
S)
d
t
dC
t
S
t
d
由B-S模型的假设资产价格服从几何布朗运动模型：
dS
t
S
t
dt
S
t
dW
t
（*）
ˆ
引理，有 由
Ito
C(t,S
t
)C(t,S
t
)
1
22
2
C(t,S
t
)C(t,S
t
)
dC(t,S
t
)
S
t
dW
t
S
t
S
t
dt
（**）
2
S
t
S2St
tt
将（*）和（**）代入
d
t
dC(t,S
t
)
t
dS
t
整理后得：
整理后得：
C(t,S
t
)
C(t,S
t
)
1
22
2
C(t,S
t
)C(t,S
t
)
d
t
S
t
t
dW
t
S
t
S
t
S
tt
dt
2
S
t
2S
t
t
S
t
由于该组合是无风险的，故其收益率为
r
，有
d
t
rdt
，即
d
t
r
t
dt
，
t
又由于
t
C(t,S
t
)
t
S
t
，故
d
t
r(C(t,S
t
)
t
S
t
)dt
，即有：
C(t,S
t
)
C(t,S
t
)
1
22
2
C(t,S
t
)C(t,S
t
)
d
SdW
S
S
S
t
tt
t
tttt
dt
2
S
t
2S
t
t
S
t
d
t
r(C(t,S
t
)
t
S
t
)dt
C(t,S
t
)
t
S
t
得
2
1
2
S
2
C(t,S
t
)
C(t,S
t
)
rSrC(t,S)
tttt
S
t
2
t
2
得到
C(t,S)
满足的偏微分方程：
1
C
t
(t,S)
2
S
2
C
ss
(t,S)rSC
s
(t,S)rC(t,S)0
2
这被称为Black-Scholes偏微分方程。
ˆ
引理是随机分析中的链法则。 注：
Ito
ˆ
过程是有如下形式的过程：
Ito
X(t)S(0)
(u)dW
u
(u)du
.
00
tt
或者可以写成微分形式：
dX(t)(t)dt(t)dW
t
.
ˆ
过程，
f(t,x)
为实值函数且偏导数
f
t
(t,x)
，
f
x
(t,x)
及
f
xx
(t,x)
均令
X
t
为
Ito
有定义且连续，
则
df(t,X
t
)f
t
(t,X
t
)dtf
x
(t,X
t
)dX
t
1
f
xx
(t,X
t
)dX
t
dX
t
.
2
2024年6月11日发(作者：碧鲁睿思)
B-S模型假设：
1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相
同的回报，均为无风险利率
r
；
2、市场上没有交易费用；
3、市场的交易可以连续进行；
4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的
证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）；
5、证券在期权存续期内无红利发放；
6、资产价格服从几何布朗运动模型：
dS
t
S
t
dt
S
t
dW
t
其中，
W
是标准布朗运动，
是证券的期望增长率，
是证券的波动率。
对冲方法：构造一个由一个期权和数量为
t
的标的资产（股票）组成的无
风险投资组合，下面将由此组合的无风险性推出
t
的值。
设这个投资组合在t时刻的价值为
t
C(t,S
t
)
t
S
t
，其中，
C(t,S
t
)
是一
份欧式期权的价值，它是t和
S
t
的函数。当时间变化一个
dt
时间单位时，该投资
组合价值的变化为
(,t
t
S)
d
t
dC
t
S
t
d
由B-S模型的假设资产价格服从几何布朗运动模型：
dS
t
S
t
dt
S
t
dW
t
（*）
ˆ
引理，有 由
Ito
C(t,S
t
)C(t,S
t
)
1
22
2
C(t,S
t
)C(t,S
t
)
dC(t,S
t
)
S
t
dW
t
S
t
S
t
dt
（**）
2
S
t
S2St
tt
将（*）和（**）代入
d
t
dC(t,S
t
)
t
dS
t
整理后得：
整理后得：
C(t,S
t
)
C(t,S
t
)
1
22
2
C(t,S
t
)C(t,S
t
)
d
t
S
t
t
dW
t
S
t
S
t
S
tt
dt
2
S
t
2S
t
t
S
t
由于该组合是无风险的，故其收益率为
r
，有
d
t
rdt
，即
d
t
r
t
dt
，
t
又由于
t
C(t,S
t
)
t
S
t
，故
d
t
r(C(t,S
t
)
t
S
t
)dt
，即有：
C(t,S
t
)
C(t,S
t
)
1
22
2
C(t,S
t
)C(t,S
t
)
d
SdW
S
S
S
t
tt
t
tttt
dt
2
S
t
2S
t
t
S
t
d
t
r(C(t,S
t
)
t
S
t
)dt
C(t,S
t
)
t
S
t
得
2
1
2
S
2
C(t,S
t
)
C(t,S
t
)
rSrC(t,S)
tttt
S
t
2
t
2
得到
C(t,S)
满足的偏微分方程：
1
C
t
(t,S)
2
S
2
C
ss
(t,S)rSC
s
(t,S)rC(t,S)0
2
这被称为Black-Scholes偏微分方程。
ˆ
引理是随机分析中的链法则。 注：
Ito
ˆ
过程是有如下形式的过程：
Ito
X(t)S(0)
(u)dW
u
(u)du
.
00
tt
或者可以写成微分形式：
dX(t)(t)dt(t)dW
t
.
ˆ
过程，
f(t,x)
为实值函数且偏导数
f
t
(t,x)
，
f
x
(t,x)
及
f
xx
(t,x)
均令
X
t
为
Ito
有定义且连续，
则
df(t,X
t
)f
t
(t,X
t
)dtf
x
(t,X
t
)dX
t
1
f
xx
(t,X
t
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.
2