2023年12月8日发(作者：疏盼夏)

“山江湖”协作体2018-2019学年高二上学期

一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）

1.变量满足A. B.

,则的取值集合为( )

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式得到，写成集合的形式即为D的形式.

得到，写成集合的形式，则得到选项【详解】解不等式为D.故选D.

【点睛】本小题考查一元一次不等式的解法，考查解集要写成集合的形式.属于基础题.

2.复数A.

,则( )

B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】 先利用复数的除法运算，化简，然后利用复数模的运算求得复数的模.

【详解】根据复数的运算，有故选B.

【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，考查运算求解能力，属于基础题.

3.为测试一批新出厂的小米手机质量,从上产线上随机选取了200部手机进行测试,在这个问题中,样本指的是( )

A. 小米手机 B. 200 C. 200部小米手机 D. 200部小米手机的质量

【答案】D

【解析】

【分析】

注意题目的第一句话“为测试一批新出厂的小米手机质量”，由此可以判断样本是部小米手机的质量.

【详解】注意题目的第一句话“为测试一批新出厂的小米手机质量”，由此可以判断样本是部小米手机的质量.故选D.

【点睛】本小题主要考查样本的含义.样本是在总体之中抽取的研究对象，而题目明确了研究对象是手机的质量.属于基础题.

4.在利用反证法证明命题“（ ）

是无理数”时,假设正确的是，故.A. 假设是有理数 B. 假设是有理数

C. 假设或是有理数 D. 假设【答案】D

【解析】

【分析】

反证法，也即是要先假设原命题的否定，然后证明这个否定是错误的，由此证得原命题成立.

【详解】反证法，也即是要先假设原命题的否定，故“理数”的否定是“是有理数”.故选D.

是无是有理数

【点睛】本小题考查利用反证法证明题目的第一步，也就是假设原命题的否定成立.属于基础题.

5.已知样本A. B.

,则该样本的平均值和中位数指的是( )

C. 和 D. 和

【答案】B

【解析】

【分析】

平均数是把样本的个数求和后除以得到.中位数是将个数从小到大排列好后，取中间两个的平均值.

【详解】依题意，平均数为大排列为，中间两个数是，故中位数是，从小到.

【点睛】本小题主要考查平均数的计算方法，考查中位数的计算方法.中位数的计算过程中，若中位数是一个，那中位数就是它本身，要使中间有两个数，则取这两个数的平均数.

6.若将一个质点随机的投入如图所示的正方形则质点落在以为直径的半圆内的概率是( )

中,其中,

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

计算出半圆的面积，然后除以正方形的面积，可求得概率值.

【详解】根据几何概型概率的计算公式，落在阴影部分的概率为，故选C.

【点睛】本小题主要考查面积型的几何概型的概率计算.圆的面积公式是，正方形的面积公式是，利用面积的比可求得概率的值.

7.一道数学选择题共有4个选项,其中有且只有一个选项为正确选项.已知某同学在数学测试中遇到两道完全不会的选择题(即该同学在其中任何一题选A,B,C,D的可能性均一样),则该同学这两题能够得分的可能性是( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

两题都不能得分的概率是，故能得分的概率是.

【详解】两题能得分，也即至少有一个题能得分，它的对立事件是两个题都不得分，两题都不能得分的概率是分的概率是.故选A.

，故能得【点睛】本小题主要考查利用对立事件来求事件的概率.先求得题目所求事件的对立事件的概率，用减去这个概率，可得到所求的结果.

8.已知且满足,则的最小值为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

用去乘，化简后利用基本不等式可求得最小值.

.故选C.

【详解】依题意有【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和的最小值问题.主要方法是利用“”的代换，将所求式子转化为可以用基本不等式的形式.属于基础题.在应用基本不等式来解题时，要注意的是最后的结果必须是定值，如本题如果直接用基本不等式，由于右边的结果不是常数，故不是最小值.

9. 阅读程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 （ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

试题分析：根据框图的依次可得:；A正确．

考点：程序框图．

；；；．因为输出结果为16，则此时应跳出循环．故10.在一项田径比赛中,甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A、B、C做了一项预测:

A说:“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.

B说:“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.

C说:“我认为冠军不会是丙，而是甲”.

比赛结果出来后,发现A、B、C三人中有一人的两个判断都对,一人的两个判断都错,还有一人的两个判断一对一错,根据以上情况可判断冠军是( )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】A

【解析】

【分析】

对选项逐一进行判断.先假设A选项正确，然后对A,B,C三个观众的话进行判断.依次类推，对B,C,D三个选项进行判断，由此得出正确的选项.

【详解】先假设A选项正确，也即是甲为冠军，那么观众A判断一对一错，观众B判断都错，观众C判断都对，符合题意.对于B,C,D三个选项，假设后通过验证可知不符合题意.故本题选A.

【点睛】本小题主要考查根据选项进行假设，然后对题目的要求进行判断，考查阅读理解和思考的能力，属于基础题.

11.现在分别有两个容器，在容器里分别有7个红球和3个白球，在容器里有1个红球和9个白球，现已知从这两个容器里任意抽出了一个球，问：在抽到的是红球的情况下，是来自容器里面的球的概率是( )

A. B. C.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用条件概率的计算公式，先计算得从中抽取到一个红球的概率，和再计算抽到A容器内红球的概率，两个概率相除，可求得所求的条件概率.

【详解】个球，其中红球有个，故从中抽取到一个红球的概率为，其中属于容器的红球有个，从个球中抽取一个，得 D.

到容器的红球概率为.故所求的概率为，故选C.

【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，条件概率的计算公式为12.已知方程:内，则A. B.

.属于基础题.

,其一根在区间的取值范围为（ ）

C. D.

内,另一根在区间【答案】B

【解析】 【分析】

构造函数存在性定理

列出不等式组，解不等式组求得的范围，然后利用两点间的距离公式和数形结合的数学思想方法，求得的取值范围.

【详解】构造函数区间内，根据二分法有表示点，由于其一根在区间，即内,另一根在，根据这个函数根所在的区间，利用零点的，画出可行域如下图所示.到可行域内的点的距离的的平方，由,最大值图可知，最小值是点到直线的距离，即为范围是.由于不等式没有等号，不能取得边界位置，故取值.故选B.

【点睛】

本小题主要考查函数与方程根、零点的对应关系，考查零点的存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，考查线性规划，考查数形结合的数学思想方法.零点的存在性定理应用的时候要注意是零点存在的充分条件，而不是必要条件.是两点间的距离公式型的目标函数.

二、填空题：（本题包括4小题，共20分）

13.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组__________．

【答案】64

【解析】

设在第一组中抽取的号码为，则在各组中抽取的号码满足首项为，公差为的等差数列，即 又第二组抽取的号码为，即 所以第四组抽取的号码为14.若变量满足约束条件__________.

【答案】4

【解析】

可行域为一个三角形及其内部，其中，当直线，则，

，所以．

的最大值为，

号，第二组号，…，第五组号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为过点时，最大，.

点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

视频

15.不等式【答案】【解析】

【分析】

将不等式转化为解集.

【详解】原不等式可转化为

或.故原不等式的解集为

.

，即，解得，将左边因式分解后，可求得不等式的的解集为_________________.

【点睛】本小题主要考查高次不等式的解法，考查利用因式分解法解高次不等式问题的基本解题策略.属于基础题.解决高次不等式的问题，和解一元二次不等式一样，先将不等式的一边化简为零，另一边利用分组分解法分解因式，求得不等式对应方程的根，然后从最右边的区间的正负出发，求得不等式的解集.

16.已知函数,,且时,恒成立,则的取值范围为___________.

【答案】【解析】

【分析】

原命题即当为时，不等式恒成立，将不等式转化的图像和

在区间上恒成立问题来解决，画出图像后，结合图像来求得取值范围.

【详解】原命题即当为即在区间时，满足.

时，不等式点.当恒成立，转化的图像和也过图像，上恒成立，，画出，且如下图所示，由图可知，两个函数都过范围是，根据对数函数的性质可得的取值【点睛】 本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略.属于中档题.不等式恒成立问题的求解策略有两种，一种是分离常数法，即将不等式的参数分离出来，由于本题不容易分离出来，故采用第二种方法：将原不等式转化为两个函数的不等式，变为两个函数图像的高低来进行求解.还考查了数形结合的数学思想方法.

三、解答题：（本题包括6小题，共70分）

17.证明以下结论:

（1）（2）;

.

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用分析法来证明，将要证明的不等式通过平方，化简后得到一个显然成立的的式子，由此证得不等式成立.（2）利用分析法来证明，将要证明的不等式去分母，化简后得到一个显然成立的式子，由此证得不等式成立.

【详解】证明:⑴要证只需要证明即从而只需证明即,

,

,

,

,这显然成立. ∴⑵要证需证明即.

,

,

从而只需证明又∴,∴,

,

成立.

【点睛】本小题主要考查利用分析法来证明不等式成立.利用分析法来证明不等式，是从结论出发，化简后得到一个显然成立的条件，由此证得不等式成立.属于基础题.

18.已知二次函数（1）若,求满足,

的的解得集合;

,求的值.

； （2）.

（2）若存在唯一的满足【答案】（1）【解析】

【分析】

（1）当时，根据一元二次不等式的解法来求得不等式的解，说明二次函数开口向上，并且集.（2）存在唯一的满足判别式为零，由此求得的值. 【详解】:⑴当解得时, ,要,可得,

;

的图像必须满足开,即满足的的解得集合为,可知函数且⑵∵存在唯一的满足口向上且与只有一个交点，由此可得:解得: .

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查存在性问题的求解，属于基础题.

19.因改卷系统故障,不能进行数据分析,年级为了解某次高二年级月考数学测试成绩分布情况,从改卷系统中抽取了部分学生的数学成绩,将所得数据整理后,画出频率分布直方图,又已知图中从左到右各小长方形的面积之比为8.

,且50-70分的频数为

⑴50-70分对应的频率是多少?本次抽取的样本容量是多少?

⑵测试成绩达90分以上的为及格,试估计本次考试年级的及格率.

⑶本次数学测试成绩的中位数落在哪一个分数段内?请说明理由.

【答案】⑴0.08；100；⑵0.52；⑶见解析. 【解析】

【分析】

（1）通过计算分段小长方形的面积，得到对应的频率.用小长方除以这个频率可得到样本容量为.（2）通过计算数，中位数是第这个分数段.

【详解】⑴0.08;100;

⑵0.52;

形的面积之和，求得及格率.（3）通过计算出各分数段的频两个数的平均数，由此判断出中位数在⑶由题可知,落在各分数段的频数分别为: 4,8,36,28,18,6,故落在90-110这个分数段.

【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识.在频率分布直方图中，小长方形的底是组距，小长方形的高是，故小长方形的面积就是频率.小长方形的面积之和即是频率之和等于.用频率乘以样本容量可求得频数，反过来，用频数除以频率可得样本容量.本小题属于基础题.

20.下表为某宝网站店主统计的月促销费用(万元)与月净利润(万元)数据表:

促销费用

2

3

6

10

13

211

5

18 月净利润

1

1

2

3

3.5

5

4

4.5

(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明；(系数精确到(2)建立关于的回归方程(结果精确到参考数据:,).

,,,

.

(系数精确到)；

);如果该店主想月净利润超6万元,预测理论上至少需要投入促销费用多少万元,其中分别为月促销费用和月净利润,参考公式：(1)样本(2)对于一组数据的相关系数,其回归方程.

的斜率和截距的最小二乘估计分别为【答案】（1）【解析】

【分析】

,.

万元.

，说明线性相关性很强； （2）（1）先计算出，将数据代入计算的公式中，计算的，说明线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的的关系.（2）将数据代入回归直线方程的计算公式，求得回归直线方程，令回归直线方程大于，解不等式可求得需要投入的促销费.

【详解】（1）由题可知,

将数据代入因为与的相关系数近似为得

,说明与的线性相关性很强,从而可以用线性回归模型拟合与的的关系.

（2）将数据代入又

得,

所以关于的回归方程由题 解得,

,即至少需要投入促销费用万元.

【点睛】本小题主要考查相关系数的计算，考查回归直线方程的计算以及用回归直线方程进行预测的知识，属于基础题.

21.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式

第二种生产方式

超过

不超过

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：

，

【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析

（2）80

（3）能

【解析】

分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可。

（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表。

（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果。

详解：（1）第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

（2）由茎叶图知列联表如下：

.

第一种生产方式

超过

不超过

15

5 第二种生产方式

（3）由于5

15

，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活。

22.观察以下运算:

⑴若两组数明.

⑵若两组数与,且,,运算是否成立,试证与,且,,对,,进行大小排序(不需要说明理由)；

⑶根据⑵中结论,若,试判定,,大小并证明.

【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用差比较法，计算证得，由此证明不.（3）利用分析法，将所要证等式成立.（2）根据题目所给需要观察的第二个不等式，得到明的不等式，三项同时取以为底的对数，化简为证明，根据（2）的结论可证明上式成立.由此证得原不等式成立.

【详解】⑴成立,证明如下:

∵又⑵⑶当时, ,

,,∴,即.

.

证明如下:

∵∴要证 ,只需证,

不妨令又即有∴当时,有 .

,,则有时,,

,

,

,即证明【点睛】本小题主要考查利用差比较法证明不等式，考查利用分析法来证明不等式成立，属于中档题，需要有较强的运算能力.

“山江湖”协作体2018-2019学年高二上学期 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）

1.变量满足A. B.

,则的取值集合为( )

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式得到，写成集合的形式即为D的形式.

得到，写成集合的形式，则得到选项为D.故选D.

【详解】解不等式【点睛】本小题考查一元一次不等式的解法，考查解集要写成集合的形式.属于基础题.

2.复数A.

,则( )

B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用复数的除法运算，化简，然后利用复数模的运算求得复数的模.

【详解】根据复数的运算，有，故.故选B.

【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，考查运算求解能力，属于基础题.

3.为测试一批新出厂的小米手机质量,从上产线上随机选取了200部手机进行测试,在这个问题中,样本指的是( )

A. 小米手机 B. 200 C. 200部小米手机 D. 200部小米手机的质量

【答案】D

【解析】

【分析】

注意题目的第一句话“为测试一批新出厂的小米手机质量”，由此可以判断样本是的质量.

部小米手机【详解】注意题目的第一句话“为测试一批新出厂的小米手机质量”，由此可以判断样本是小米手机的质量.故选D.

部【点睛】本小题主要考查样本的含义.样本是在总体之中抽取的研究对象，而题目明确了研究对象是手机的质量.属于基础题.

4.在利用反证法证明命题“是无理数”时,假设正确的是（ ）

A. 假设是有理数 B. 假设是有理数

C. 假设或是有理数 D. 假设【答案】D

【解析】

【分析】

反证法，也即是要先假设原命题的否定，然后证明这个否定是错误的，由此证得原命题成立.

【详解】反证法，也即是要先假设原命题的否定，故“数”.故选D.

【点睛】本小题考查利用反证法证明题目的第一步，也就是假设原命题的否定成立.属于基础题.

5.已知样本A.

【答案】B

【解析】

【分析】

平均数是把样本的个数求和后除以得到.中位数是将个数从小到大排列好后，取中间两个的平均值.

【详解】依题意，平均数为，中间两个数是，故中位数是.

，从小到大排列为 B.

,则该样本的平均值和中位数指的是( )

C. 和 D. 和

是无理数”的否定是“是有理是有理数

【点睛】本小题主要考查平均数的计算方法，考查中位数的计算方法.中位数的计算过程中，若中位数是一个，那中位数就是它本身，要使中间有两个数，则取这两个数的平均数.

6.若将一个质点随机的投入如图所示的正方形圆内的概率是( )

中,其中,则质点落在以为直径的半 A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

计算出半圆的面积，然后除以正方形的面积，可求得概率值.

【详解】根据几何概型概率的计算公式，落在阴影部分的概率为【点睛】本小题主要考查面积型的几何概型的概率计算.圆的面积公式是式是，利用面积的比可求得概率的值.

，故选C.

，正方形的面积公7.一道数学选择题共有4个选项,其中有且只有一个选项为正确选项.已知某同学在数学测试中遇到两道完全不会的选择题(即该同学在其中任何一题选A,B,C,D的可能性均一样),则该同学这两题能够得分的可能性是( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

两题都不能得分的概率是，故能得分的概率是.

【详解】两题能得分，也即至少有一个题能得分，它的对立事件是两个题都不得分，两题都不能得分的概率是，故能得分的概率是.故选A.

【点睛】本小题主要考查利用对立事件来求事件的概率.先求得题目所求事件的对立事件的概率，用减去这个概率，可得到所求的结果.

8.已知且满足,则的最小值为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

【答案】C 【解析】

【分析】

用去乘，化简后利用基本不等式可求得最小值.

【详解】依题意有.故选C.

【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和的最小值问题.主要方法是利用“”的代换，将所求式子转化为可以用基本不等式的形式.属于基础题.在应用基本不等式来解题时，要注意的是最后的结果必须是定值，如本题如果直接用基本不等式数，故不是最小值.

9. 阅读程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 （ ）

，由于右边的结果不是常

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

试题分析：根据框图的依次可得:；；；；．因为输出结果为16，则此时应跳出循环．故A正确．

考点：程序框图．

10.在一项田径比赛中,甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A、B、C做了一项预测:

A说:“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.

B说:“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.

C说:“我认为冠军不会是丙，而是甲”.

比赛结果出来后,发现A、B、C三人中有一人的两个判断都对,一人的两个判断都错,还有一人的两个判断一对一错,根据以上情况可判断冠军是( )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】A

【解析】

【分析】

对选项逐一进行判断.先假设A选项正确，然后对A,B,C三个观众的话进行判断.依次类推，对B,C,D三个选项进行判断，由此得出正确的选项.

【详解】先假设A选项正确，也即是甲为冠军，那么观众A判断一对一错，观众B判断都错，观众C判断都对，符合题意.对于B,C,D三个选项，假设后通过验证可知不符合题意.故本题选A.

【点睛】本小题主要考查根据选项进行假设，然后对题目的要求进行判断，考查阅读理解和思考的能力，属于基础题.

11.现在分别有两个容器，在容器里分别有7个红球和3个白球，在容器里有1个红球和9个白球，现已知从这两个容器里任意抽出了一个球，问：在抽到的是红球的情况下，是来自容器里面的球的概率是( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用条件概率的计算公式，先计算得从中抽取到一个红球的概率，和再计算抽到A容器内红球的概率，两个概率相除，可求得所求的条件概率.

【详解】个球，其中红球有个，故从中抽取到一个红球的概率为，其中属于容器的红球有个，从个球中抽取一个，得到容器的红球概率为.故所求的概率为C.

【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，条件概率的计算公式为12.已知方程:取值范围为（ ）

A. B. C. D.

,其一根在区间内,另一根在区间内，则，故选.属于基础题.

的

【答案】B

【解析】

【分析】

构造函数，根据这个函数根所在的区间，利用零点的存在性定理

的范围，然后利用两点间的距离公式和数形结合的数学思想列出不等式组，解不等式组求得方法，求得的取值范围.

【详解】构造函数有，即，由于其一根在区间，画出可行域如下图所示.内,另一根在区间表示点内，根据二分法到可行域内的点的,最大值为.故选B.

距离的的平方，由图可知，最小值是点到直线的距离，即.由于不等式没有等号，不能取得边界位置，故取值范围是【点睛】 本小题主要考查函数与方程根、零点的对应关系，考查零点的存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，考查线性规划，考查数形结合的数学思想方法.零点的存在性定理应用的时候要注意式型的目标函数.

二、填空题：（本题包括4小题，共20分）

13.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组号，第二组号，…，第五组号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为__________．

【答案】64

【解析】

设在第一组中抽取的号码为，则在各组中抽取的号码满足首项为，公差为的等差数列，即，

，所以．

，

是零点存在的充分条件，而不是必要条件.是两点间的距离公 又第二组抽取的号码为，即 所以第四组抽取的号码为14.若变量【答案】4

【解析】

满足约束条件，则的最大值为__________.

可行域为一个三角形及其内部，其中，当直线过点时，最大，.

点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

视频

15.不等式【答案】【解析】

【分析】

将不等式转化为，将左边因式分解后，可求得不等式的解集.

的解集为_________________.

【详解】原不等式可转化为

.故原不等式的解集为，即

.

，解得或【点睛】本小题主要考查高次不等式的解法，考查利用因式分解法解高次不等式问题的基本解题策略.属于基础题.解决高次不等式的问题，和解一元二次不等式一样，先将不等式的一边化简为零，另一边利用分组分解法分解因式，求得不等式对应方程的根，然后从最右边的区间的正负出发，求得不等式的解集.

16.已知函数___________.

【答案】【解析】

【分析】

原命题即当时，不等式恒成立，将不等式转化为的图像和时，不等式的图像和，即时，满足，且在区间

,,且时,恒成立,则的取值范围为上恒成立问题来解决，画出【详解】原命题即当上恒成立，，画出当是.

也过图像后，结合图像来求得取值范围.

恒成立，转化为在区间点.图像如下图所示，由图可知，两个函数都过，根据对数函数的性质可得的取值范围【点睛】

本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略.属于中档题.不等式恒成立问题的求解策略有两种，一种是分离常数法，即将不等式的参数分离出来，由于本题不容易分离出来，故采用第二种方法：将原不等式转化为两个函数的不等式，变为两个函数图像的高低来进行求解.还考查了数形结合的数学思想方法.

三、解答题：（本题包括6小题，共70分）

17.证明以下结论:

（1）（2）;

.

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用分析法来证明，将要证明的不等式通过平方，化简后得到一个显然成立的的式子，由此证得不等式成立.（2）利用分析法来证明，将要证明的不等式去分母，化简后得到一个显然成立的式子，由此证得不等式成立.

【详解】证明:⑴要证只需要证明,

, 即从而只需证明即∴⑵要证需证明即从而只需证明又∴,∴,

,

,这显然成立.

.

,

,

,

,

成立.

【点睛】本小题主要考查利用分析法来证明不等式成立.利用分析法来证明不等式，是从结论出发，化简后得到一个显然成立的条件，由此证得不等式成立.属于基础题.

18.已知二次函数（1）若,求满足,

的的解得集合;

,求的值.

； （2）.

（2）若存在唯一的满足【答案】（1）【解析】

【分析】

（1）当时，根据一元二次不等式的解法来求得不等式的解集.（2）存在唯一的满足，说明二次函数开口向上，并且判别式为零，由此求得的值.

【详解】:⑴当解得时,

,即满足,要,可得;

的图像必须满足开口向上且与只有一个交.

,

的的解得集合为,可知函数解得:

⑵∵存在唯一的满足点，由此可得:且【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查存在性问题的求解，属于基础题.

19.因改卷系统故障,不能进行数据分析,年级为了解某次高二年级月考数学测试成绩分布情况,从改卷系统中抽取了部分学生的数学成绩,将所得数据整理后,画出频率分布直方图,又已知图中从左到右各小长方形的面积之比为,且50-70分的频数为8.

⑴50-70分对应的频率是多少?本次抽取的样本容量是多少?

⑵测试成绩达90分以上的为及格,试估计本次考试年级的及格率.

⑶本次数学测试成绩的中位数落在哪一个分数段内?请说明理由.

【答案】⑴0.08；100；⑵0.52；⑶见解析.

【解析】

【分析】

（1）通过计算为数，中位数是第分段小长方形的面积，得到对应的频率.用除以这个频率可得到样本容量小长方形的面积之和，求得及格率.（3）通过计算出各分数段的频这个分数段.

两个数的平均数，由此判断出中位数在.（2）通过计算【详解】⑴0.08;100;

⑵0.52;

⑶由题可知,落在各分数段的频数分别为: 4,8,36,28,18,6,故落在90-110这个分数段.

【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识.在频率分布直方图中，小长方形的底是组距，小长方形的高是题.

20.下表为某宝网站店主统计的月促销费用(万元)与月净利润(万元)数据表:

，故小长方形的面积就是频率.小长方形的面积之和即是频率之和等于.用频率乘以样本容量可求得频数，反过来，用频数除以频率可得样本容量.本小题属于基础促销费用

月净利润

2

3

6

10

13

21

15

18

1

1

2

3

3.5

5

4

4.5

(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明；(系数精确到)；

(系数精确到);如果该店主想月净利润超6万元,预测理论).

(2)建立关于的回归方程上至少需要投入促销费用多少万元(结果精确到参考数据:,,其中,,,

.

分别为月促销费用和月净利润,参考公式：(1)样本(2)对于一组数据的相关系数,其回归方程.

的斜率和截距的最小二乘估计分别为,【答案】（1）【解析】

【分析】

（1）先计算出.

，说明线性相关性很强； （2）万元.

，将数据代入计算的公式中，计算的，说明线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的的关系.（2）将数据代入回归直线方程的计算公式，求得回归直线方程，令回归直线方程大于，解不等式可求得需要投入的促销费.

【详解】（1）由题可知,

将数据代入因为与的相关系数近似为的的关系.

得

,说明与的线性相关性很强,从而可以用线性回归模型拟合与（2）将数据代入又

得,

所以关于的回归方程由题 解得,

,即至少需要投入促销费用万元.

【点睛】本小题主要考查相关系数的计算，考查回归直线方程的计算以及用回归直线方程进行预测的知识，属于基础题.

21.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式

第二种生产方式

超过

不超过

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：

，

【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析

（2）80

（3）能

【解析】

分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可。

（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表。

（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果。

详解：（1）第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

（2）由茎叶图知列联表如下：

.

第一种生产方式

第二种生产方式

超过

不超过

15

5

5

15

（3）由于异.

，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活。

22.观察以下运算:

⑴若两组数⑵若两组数与与,且,且,,运算,,对是否成立,试证明.

,,进行大小排序(不需要说明理由)；

⑶根据⑵中结论,若,试判定,,大小并证明.

【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用差比较法，计算证得所给需要观察的第二个不等式，得到用分析法，将所要证明的不等式，三项同时取以为底的对数，化简为证明，由此证明不等式成立.（2）根据题目.（3）利，根据（2）的结论可证明上式成立.由此证得原不等式成立.

【详解】⑴成立,证明如下:

∵又⑵⑶当证明如下:

∵∴要证 ,只需证,

不妨令又即有∴当时,有 .

,,则有时,,

,

,

,即证明时, ,

,,∴,即.

.

【点睛】本小题主要考查利用差比较法证明不等式，考查利用分析法来证明不等式成立，属于中档题，需要有较强的运算能力.

2023年12月8日发(作者：疏盼夏)

“山江湖”协作体2018-2019学年高二上学期

一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）

1.变量满足A. B.

,则的取值集合为( )

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式得到，写成集合的形式即为D的形式.

得到，写成集合的形式，则得到选项【详解】解不等式为D.故选D.

【点睛】本小题考查一元一次不等式的解法，考查解集要写成集合的形式.属于基础题.

2.复数A.

,则( )

B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】 先利用复数的除法运算，化简，然后利用复数模的运算求得复数的模.

【详解】根据复数的运算，有故选B.

【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，考查运算求解能力，属于基础题.

3.为测试一批新出厂的小米手机质量,从上产线上随机选取了200部手机进行测试,在这个问题中,样本指的是( )

A. 小米手机 B. 200 C. 200部小米手机 D. 200部小米手机的质量

【答案】D

【解析】

【分析】

注意题目的第一句话“为测试一批新出厂的小米手机质量”，由此可以判断样本是部小米手机的质量.

【详解】注意题目的第一句话“为测试一批新出厂的小米手机质量”，由此可以判断样本是部小米手机的质量.故选D.

【点睛】本小题主要考查样本的含义.样本是在总体之中抽取的研究对象，而题目明确了研究对象是手机的质量.属于基础题.

4.在利用反证法证明命题“（ ）

是无理数”时,假设正确的是，故.A. 假设是有理数 B. 假设是有理数

C. 假设或是有理数 D. 假设【答案】D

【解析】

【分析】

反证法，也即是要先假设原命题的否定，然后证明这个否定是错误的，由此证得原命题成立.

【详解】反证法，也即是要先假设原命题的否定，故“理数”的否定是“是有理数”.故选D.

是无是有理数

【点睛】本小题考查利用反证法证明题目的第一步，也就是假设原命题的否定成立.属于基础题.

5.已知样本A. B.

,则该样本的平均值和中位数指的是( )

C. 和 D. 和

【答案】B

【解析】

【分析】

平均数是把样本的个数求和后除以得到.中位数是将个数从小到大排列好后，取中间两个的平均值.

【详解】依题意，平均数为大排列为，中间两个数是，故中位数是，从小到.

【点睛】本小题主要考查平均数的计算方法，考查中位数的计算方法.中位数的计算过程中，若中位数是一个，那中位数就是它本身，要使中间有两个数，则取这两个数的平均数.

6.若将一个质点随机的投入如图所示的正方形则质点落在以为直径的半圆内的概率是( )

中,其中,

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

计算出半圆的面积，然后除以正方形的面积，可求得概率值.

【详解】根据几何概型概率的计算公式，落在阴影部分的概率为，故选C.

【点睛】本小题主要考查面积型的几何概型的概率计算.圆的面积公式是，正方形的面积公式是，利用面积的比可求得概率的值.

7.一道数学选择题共有4个选项,其中有且只有一个选项为正确选项.已知某同学在数学测试中遇到两道完全不会的选择题(即该同学在其中任何一题选A,B,C,D的可能性均一样),则该同学这两题能够得分的可能性是( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

两题都不能得分的概率是，故能得分的概率是.

【详解】两题能得分，也即至少有一个题能得分，它的对立事件是两个题都不得分，两题都不能得分的概率是分的概率是.故选A.

，故能得【点睛】本小题主要考查利用对立事件来求事件的概率.先求得题目所求事件的对立事件的概率，用减去这个概率，可得到所求的结果.

8.已知且满足,则的最小值为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

用去乘，化简后利用基本不等式可求得最小值.

.故选C.

【详解】依题意有【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和的最小值问题.主要方法是利用“”的代换，将所求式子转化为可以用基本不等式的形式.属于基础题.在应用基本不等式来解题时，要注意的是最后的结果必须是定值，如本题如果直接用基本不等式，由于右边的结果不是常数，故不是最小值.

9. 阅读程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 （ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

试题分析：根据框图的依次可得:；A正确．

考点：程序框图．

；；；．因为输出结果为16，则此时应跳出循环．故10.在一项田径比赛中,甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A、B、C做了一项预测:

A说:“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.

B说:“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.

C说:“我认为冠军不会是丙，而是甲”.

比赛结果出来后,发现A、B、C三人中有一人的两个判断都对,一人的两个判断都错,还有一人的两个判断一对一错,根据以上情况可判断冠军是( )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】A

【解析】

【分析】

对选项逐一进行判断.先假设A选项正确，然后对A,B,C三个观众的话进行判断.依次类推，对B,C,D三个选项进行判断，由此得出正确的选项.

【详解】先假设A选项正确，也即是甲为冠军，那么观众A判断一对一错，观众B判断都错，观众C判断都对，符合题意.对于B,C,D三个选项，假设后通过验证可知不符合题意.故本题选A.

【点睛】本小题主要考查根据选项进行假设，然后对题目的要求进行判断，考查阅读理解和思考的能力，属于基础题.

11.现在分别有两个容器，在容器里分别有7个红球和3个白球，在容器里有1个红球和9个白球，现已知从这两个容器里任意抽出了一个球，问：在抽到的是红球的情况下，是来自容器里面的球的概率是( )

A. B. C.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用条件概率的计算公式，先计算得从中抽取到一个红球的概率，和再计算抽到A容器内红球的概率，两个概率相除，可求得所求的条件概率.

【详解】个球，其中红球有个，故从中抽取到一个红球的概率为，其中属于容器的红球有个，从个球中抽取一个，得 D.

到容器的红球概率为.故所求的概率为，故选C.

【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，条件概率的计算公式为12.已知方程:内，则A. B.

.属于基础题.

,其一根在区间的取值范围为（ ）

C. D.

内,另一根在区间【答案】B

【解析】 【分析】

构造函数存在性定理

列出不等式组，解不等式组求得的范围，然后利用两点间的距离公式和数形结合的数学思想方法，求得的取值范围.

【详解】构造函数区间内，根据二分法有表示点，由于其一根在区间，即内,另一根在，根据这个函数根所在的区间，利用零点的，画出可行域如下图所示.到可行域内的点的距离的的平方，由,最大值图可知，最小值是点到直线的距离，即为范围是.由于不等式没有等号，不能取得边界位置，故取值.故选B.

【点睛】

本小题主要考查函数与方程根、零点的对应关系，考查零点的存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，考查线性规划，考查数形结合的数学思想方法.零点的存在性定理应用的时候要注意是零点存在的充分条件，而不是必要条件.是两点间的距离公式型的目标函数.

二、填空题：（本题包括4小题，共20分）

13.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组__________．

【答案】64

【解析】

设在第一组中抽取的号码为，则在各组中抽取的号码满足首项为，公差为的等差数列，即 又第二组抽取的号码为，即 所以第四组抽取的号码为14.若变量满足约束条件__________.

【答案】4

【解析】

可行域为一个三角形及其内部，其中，当直线，则，

，所以．

的最大值为，

号，第二组号，…，第五组号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为过点时，最大，.

点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

视频

15.不等式【答案】【解析】

【分析】

将不等式转化为解集.

【详解】原不等式可转化为

或.故原不等式的解集为

.

，即，解得，将左边因式分解后，可求得不等式的的解集为_________________.

【点睛】本小题主要考查高次不等式的解法，考查利用因式分解法解高次不等式问题的基本解题策略.属于基础题.解决高次不等式的问题，和解一元二次不等式一样，先将不等式的一边化简为零，另一边利用分组分解法分解因式，求得不等式对应方程的根，然后从最右边的区间的正负出发，求得不等式的解集.

16.已知函数,,且时,恒成立,则的取值范围为___________.

【答案】【解析】

【分析】

原命题即当为时，不等式恒成立，将不等式转化的图像和

在区间上恒成立问题来解决，画出图像后，结合图像来求得取值范围.

【详解】原命题即当为即在区间时，满足.

时，不等式点.当恒成立，转化的图像和也过图像，上恒成立，，画出，且如下图所示，由图可知，两个函数都过范围是，根据对数函数的性质可得的取值【点睛】 本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略.属于中档题.不等式恒成立问题的求解策略有两种，一种是分离常数法，即将不等式的参数分离出来，由于本题不容易分离出来，故采用第二种方法：将原不等式转化为两个函数的不等式，变为两个函数图像的高低来进行求解.还考查了数形结合的数学思想方法.

三、解答题：（本题包括6小题，共70分）

17.证明以下结论:

（1）（2）;

.

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用分析法来证明，将要证明的不等式通过平方，化简后得到一个显然成立的的式子，由此证得不等式成立.（2）利用分析法来证明，将要证明的不等式去分母，化简后得到一个显然成立的式子，由此证得不等式成立.

【详解】证明:⑴要证只需要证明即从而只需证明即,

,

,

,

,这显然成立. ∴⑵要证需证明即.

,

,

从而只需证明又∴,∴,

,

成立.

【点睛】本小题主要考查利用分析法来证明不等式成立.利用分析法来证明不等式，是从结论出发，化简后得到一个显然成立的条件，由此证得不等式成立.属于基础题.

18.已知二次函数（1）若,求满足,

的的解得集合;

,求的值.

； （2）.

（2）若存在唯一的满足【答案】（1）【解析】

【分析】

（1）当时，根据一元二次不等式的解法来求得不等式的解，说明二次函数开口向上，并且集.（2）存在唯一的满足判别式为零，由此求得的值. 【详解】:⑴当解得时, ,要,可得,

;

的图像必须满足开,即满足的的解得集合为,可知函数且⑵∵存在唯一的满足口向上且与只有一个交点，由此可得:解得: .

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查存在性问题的求解，属于基础题.

19.因改卷系统故障,不能进行数据分析,年级为了解某次高二年级月考数学测试成绩分布情况,从改卷系统中抽取了部分学生的数学成绩,将所得数据整理后,画出频率分布直方图,又已知图中从左到右各小长方形的面积之比为8.

,且50-70分的频数为

⑴50-70分对应的频率是多少?本次抽取的样本容量是多少?

⑵测试成绩达90分以上的为及格,试估计本次考试年级的及格率.

⑶本次数学测试成绩的中位数落在哪一个分数段内?请说明理由.

【答案】⑴0.08；100；⑵0.52；⑶见解析. 【解析】

【分析】

（1）通过计算分段小长方形的面积，得到对应的频率.用小长方除以这个频率可得到样本容量为.（2）通过计算数，中位数是第这个分数段.

【详解】⑴0.08;100;

⑵0.52;

形的面积之和，求得及格率.（3）通过计算出各分数段的频两个数的平均数，由此判断出中位数在⑶由题可知,落在各分数段的频数分别为: 4,8,36,28,18,6,故落在90-110这个分数段.

【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识.在频率分布直方图中，小长方形的底是组距，小长方形的高是，故小长方形的面积就是频率.小长方形的面积之和即是频率之和等于.用频率乘以样本容量可求得频数，反过来，用频数除以频率可得样本容量.本小题属于基础题.

20.下表为某宝网站店主统计的月促销费用(万元)与月净利润(万元)数据表:

促销费用

2

3

6

10

13

211

5

18 月净利润

1

1

2

3

3.5

5

4

4.5

(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明；(系数精确到(2)建立关于的回归方程(结果精确到参考数据:,).

,,,

.

(系数精确到)；

);如果该店主想月净利润超6万元,预测理论上至少需要投入促销费用多少万元,其中分别为月促销费用和月净利润,参考公式：(1)样本(2)对于一组数据的相关系数,其回归方程.

的斜率和截距的最小二乘估计分别为【答案】（1）【解析】

【分析】

,.

万元.

，说明线性相关性很强； （2）（1）先计算出，将数据代入计算的公式中，计算的，说明线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的的关系.（2）将数据代入回归直线方程的计算公式，求得回归直线方程，令回归直线方程大于，解不等式可求得需要投入的促销费.

【详解】（1）由题可知,

将数据代入因为与的相关系数近似为得

,说明与的线性相关性很强,从而可以用线性回归模型拟合与的的关系.

（2）将数据代入又

得,

所以关于的回归方程由题 解得,

,即至少需要投入促销费用万元.

【点睛】本小题主要考查相关系数的计算，考查回归直线方程的计算以及用回归直线方程进行预测的知识，属于基础题.

21.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式

第二种生产方式

超过

不超过

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：

，

【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析

（2）80

（3）能

【解析】

分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可。

（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表。

（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果。

详解：（1）第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

（2）由茎叶图知列联表如下：

.

第一种生产方式

超过

不超过

15

5 第二种生产方式

（3）由于5

15

，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活。

22.观察以下运算:

⑴若两组数明.

⑵若两组数与,且,,运算是否成立,试证与,且,,对,,进行大小排序(不需要说明理由)；

⑶根据⑵中结论,若,试判定,,大小并证明.

【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用差比较法，计算证得，由此证明不.（3）利用分析法，将所要证等式成立.（2）根据题目所给需要观察的第二个不等式，得到明的不等式，三项同时取以为底的对数，化简为证明，根据（2）的结论可证明上式成立.由此证得原不等式成立.

【详解】⑴成立,证明如下:

∵又⑵⑶当时, ,

,,∴,即.

.

证明如下:

∵∴要证 ,只需证,

不妨令又即有∴当时,有 .

,,则有时,,

,

,

,即证明【点睛】本小题主要考查利用差比较法证明不等式，考查利用分析法来证明不等式成立，属于中档题，需要有较强的运算能力.

“山江湖”协作体2018-2019学年高二上学期 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）

1.变量满足A. B.

,则的取值集合为( )

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式得到，写成集合的形式即为D的形式.

得到，写成集合的形式，则得到选项为D.故选D.

【详解】解不等式【点睛】本小题考查一元一次不等式的解法，考查解集要写成集合的形式.属于基础题.

2.复数A.

,则( )

B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用复数的除法运算，化简，然后利用复数模的运算求得复数的模.

【详解】根据复数的运算，有，故.故选B.

【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，考查运算求解能力，属于基础题.

3.为测试一批新出厂的小米手机质量,从上产线上随机选取了200部手机进行测试,在这个问题中,样本指的是( )

A. 小米手机 B. 200 C. 200部小米手机 D. 200部小米手机的质量

【答案】D

【解析】

【分析】

注意题目的第一句话“为测试一批新出厂的小米手机质量”，由此可以判断样本是的质量.

部小米手机【详解】注意题目的第一句话“为测试一批新出厂的小米手机质量”，由此可以判断样本是小米手机的质量.故选D.

部【点睛】本小题主要考查样本的含义.样本是在总体之中抽取的研究对象，而题目明确了研究对象是手机的质量.属于基础题.

4.在利用反证法证明命题“是无理数”时,假设正确的是（ ）

A. 假设是有理数 B. 假设是有理数

C. 假设或是有理数 D. 假设【答案】D

【解析】

【分析】

反证法，也即是要先假设原命题的否定，然后证明这个否定是错误的，由此证得原命题成立.

【详解】反证法，也即是要先假设原命题的否定，故“数”.故选D.

【点睛】本小题考查利用反证法证明题目的第一步，也就是假设原命题的否定成立.属于基础题.

5.已知样本A.

【答案】B

【解析】

【分析】

平均数是把样本的个数求和后除以得到.中位数是将个数从小到大排列好后，取中间两个的平均值.

【详解】依题意，平均数为，中间两个数是，故中位数是.

，从小到大排列为 B.

,则该样本的平均值和中位数指的是( )

C. 和 D. 和

是无理数”的否定是“是有理是有理数

【点睛】本小题主要考查平均数的计算方法，考查中位数的计算方法.中位数的计算过程中，若中位数是一个，那中位数就是它本身，要使中间有两个数，则取这两个数的平均数.

6.若将一个质点随机的投入如图所示的正方形圆内的概率是( )

中,其中,则质点落在以为直径的半 A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

计算出半圆的面积，然后除以正方形的面积，可求得概率值.

【详解】根据几何概型概率的计算公式，落在阴影部分的概率为【点睛】本小题主要考查面积型的几何概型的概率计算.圆的面积公式是式是，利用面积的比可求得概率的值.

，故选C.

，正方形的面积公7.一道数学选择题共有4个选项,其中有且只有一个选项为正确选项.已知某同学在数学测试中遇到两道完全不会的选择题(即该同学在其中任何一题选A,B,C,D的可能性均一样),则该同学这两题能够得分的可能性是( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

两题都不能得分的概率是，故能得分的概率是.

【详解】两题能得分，也即至少有一个题能得分，它的对立事件是两个题都不得分，两题都不能得分的概率是，故能得分的概率是.故选A.

【点睛】本小题主要考查利用对立事件来求事件的概率.先求得题目所求事件的对立事件的概率，用减去这个概率，可得到所求的结果.

8.已知且满足,则的最小值为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

【答案】C 【解析】

【分析】

用去乘，化简后利用基本不等式可求得最小值.

【详解】依题意有.故选C.

【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和的最小值问题.主要方法是利用“”的代换，将所求式子转化为可以用基本不等式的形式.属于基础题.在应用基本不等式来解题时，要注意的是最后的结果必须是定值，如本题如果直接用基本不等式数，故不是最小值.

9. 阅读程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 （ ）

，由于右边的结果不是常

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

试题分析：根据框图的依次可得:；；；；．因为输出结果为16，则此时应跳出循环．故A正确．

考点：程序框图．

10.在一项田径比赛中,甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A、B、C做了一项预测:

A说:“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.

B说:“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.

C说:“我认为冠军不会是丙，而是甲”.

比赛结果出来后,发现A、B、C三人中有一人的两个判断都对,一人的两个判断都错,还有一人的两个判断一对一错,根据以上情况可判断冠军是( )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】A

【解析】

【分析】

对选项逐一进行判断.先假设A选项正确，然后对A,B,C三个观众的话进行判断.依次类推，对B,C,D三个选项进行判断，由此得出正确的选项.

【详解】先假设A选项正确，也即是甲为冠军，那么观众A判断一对一错，观众B判断都错，观众C判断都对，符合题意.对于B,C,D三个选项，假设后通过验证可知不符合题意.故本题选A.

【点睛】本小题主要考查根据选项进行假设，然后对题目的要求进行判断，考查阅读理解和思考的能力，属于基础题.

11.现在分别有两个容器，在容器里分别有7个红球和3个白球，在容器里有1个红球和9个白球，现已知从这两个容器里任意抽出了一个球，问：在抽到的是红球的情况下，是来自容器里面的球的概率是( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用条件概率的计算公式，先计算得从中抽取到一个红球的概率，和再计算抽到A容器内红球的概率，两个概率相除，可求得所求的条件概率.

【详解】个球，其中红球有个，故从中抽取到一个红球的概率为，其中属于容器的红球有个，从个球中抽取一个，得到容器的红球概率为.故所求的概率为C.

【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，条件概率的计算公式为12.已知方程:取值范围为（ ）

A. B. C. D.

,其一根在区间内,另一根在区间内，则，故选.属于基础题.

的

【答案】B

【解析】

【分析】

构造函数，根据这个函数根所在的区间，利用零点的存在性定理

的范围，然后利用两点间的距离公式和数形结合的数学思想列出不等式组，解不等式组求得方法，求得的取值范围.

【详解】构造函数有，即，由于其一根在区间，画出可行域如下图所示.内,另一根在区间表示点内，根据二分法到可行域内的点的,最大值为.故选B.

距离的的平方，由图可知，最小值是点到直线的距离，即.由于不等式没有等号，不能取得边界位置，故取值范围是【点睛】 本小题主要考查函数与方程根、零点的对应关系，考查零点的存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，考查线性规划，考查数形结合的数学思想方法.零点的存在性定理应用的时候要注意式型的目标函数.

二、填空题：（本题包括4小题，共20分）

13.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组号，第二组号，…，第五组号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为__________．

【答案】64

【解析】

设在第一组中抽取的号码为，则在各组中抽取的号码满足首项为，公差为的等差数列，即，

，所以．

，

是零点存在的充分条件，而不是必要条件.是两点间的距离公 又第二组抽取的号码为，即 所以第四组抽取的号码为14.若变量【答案】4

【解析】

满足约束条件，则的最大值为__________.

可行域为一个三角形及其内部，其中，当直线过点时，最大，.

点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

视频

15.不等式【答案】【解析】

【分析】

将不等式转化为，将左边因式分解后，可求得不等式的解集.

的解集为_________________.

【详解】原不等式可转化为

.故原不等式的解集为，即

.

，解得或【点睛】本小题主要考查高次不等式的解法，考查利用因式分解法解高次不等式问题的基本解题策略.属于基础题.解决高次不等式的问题，和解一元二次不等式一样，先将不等式的一边化简为零，另一边利用分组分解法分解因式，求得不等式对应方程的根，然后从最右边的区间的正负出发，求得不等式的解集.

16.已知函数___________.

【答案】【解析】

【分析】

原命题即当时，不等式恒成立，将不等式转化为的图像和时，不等式的图像和，即时，满足，且在区间

,,且时,恒成立,则的取值范围为上恒成立问题来解决，画出【详解】原命题即当上恒成立，，画出当是.

也过图像后，结合图像来求得取值范围.

恒成立，转化为在区间点.图像如下图所示，由图可知，两个函数都过，根据对数函数的性质可得的取值范围【点睛】

本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略.属于中档题.不等式恒成立问题的求解策略有两种，一种是分离常数法，即将不等式的参数分离出来，由于本题不容易分离出来，故采用第二种方法：将原不等式转化为两个函数的不等式，变为两个函数图像的高低来进行求解.还考查了数形结合的数学思想方法.

三、解答题：（本题包括6小题，共70分）

17.证明以下结论:

（1）（2）;

.

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用分析法来证明，将要证明的不等式通过平方，化简后得到一个显然成立的的式子，由此证得不等式成立.（2）利用分析法来证明，将要证明的不等式去分母，化简后得到一个显然成立的式子，由此证得不等式成立.

【详解】证明:⑴要证只需要证明,

, 即从而只需证明即∴⑵要证需证明即从而只需证明又∴,∴,

,

,这显然成立.

.

,

,

,

,

成立.

【点睛】本小题主要考查利用分析法来证明不等式成立.利用分析法来证明不等式，是从结论出发，化简后得到一个显然成立的条件，由此证得不等式成立.属于基础题.

18.已知二次函数（1）若,求满足,

的的解得集合;

,求的值.

； （2）.

（2）若存在唯一的满足【答案】（1）【解析】

【分析】

（1）当时，根据一元二次不等式的解法来求得不等式的解集.（2）存在唯一的满足，说明二次函数开口向上，并且判别式为零，由此求得的值.

【详解】:⑴当解得时,

,即满足,要,可得;

的图像必须满足开口向上且与只有一个交.

,

的的解得集合为,可知函数解得:

⑵∵存在唯一的满足点，由此可得:且【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查存在性问题的求解，属于基础题.

19.因改卷系统故障,不能进行数据分析,年级为了解某次高二年级月考数学测试成绩分布情况,从改卷系统中抽取了部分学生的数学成绩,将所得数据整理后,画出频率分布直方图,又已知图中从左到右各小长方形的面积之比为,且50-70分的频数为8.

⑴50-70分对应的频率是多少?本次抽取的样本容量是多少?

⑵测试成绩达90分以上的为及格,试估计本次考试年级的及格率.

⑶本次数学测试成绩的中位数落在哪一个分数段内?请说明理由.

【答案】⑴0.08；100；⑵0.52；⑶见解析.

【解析】

【分析】

（1）通过计算为数，中位数是第分段小长方形的面积，得到对应的频率.用除以这个频率可得到样本容量小长方形的面积之和，求得及格率.（3）通过计算出各分数段的频这个分数段.

两个数的平均数，由此判断出中位数在.（2）通过计算【详解】⑴0.08;100;

⑵0.52;

⑶由题可知,落在各分数段的频数分别为: 4,8,36,28,18,6,故落在90-110这个分数段.

【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识.在频率分布直方图中，小长方形的底是组距，小长方形的高是题.

20.下表为某宝网站店主统计的月促销费用(万元)与月净利润(万元)数据表:

，故小长方形的面积就是频率.小长方形的面积之和即是频率之和等于.用频率乘以样本容量可求得频数，反过来，用频数除以频率可得样本容量.本小题属于基础促销费用

月净利润

2

3

6

10

13

21

15

18

1

1

2

3

3.5

5

4

4.5

(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明；(系数精确到)；

(系数精确到);如果该店主想月净利润超6万元,预测理论).

(2)建立关于的回归方程上至少需要投入促销费用多少万元(结果精确到参考数据:,,其中,,,

.

分别为月促销费用和月净利润,参考公式：(1)样本(2)对于一组数据的相关系数,其回归方程.

的斜率和截距的最小二乘估计分别为,【答案】（1）【解析】

【分析】

（1）先计算出.

，说明线性相关性很强； （2）万元.

，将数据代入计算的公式中，计算的，说明线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的的关系.（2）将数据代入回归直线方程的计算公式，求得回归直线方程，令回归直线方程大于，解不等式可求得需要投入的促销费.

【详解】（1）由题可知,

将数据代入因为与的相关系数近似为的的关系.

得

,说明与的线性相关性很强,从而可以用线性回归模型拟合与（2）将数据代入又

得,

所以关于的回归方程由题 解得,

,即至少需要投入促销费用万元.

【点睛】本小题主要考查相关系数的计算，考查回归直线方程的计算以及用回归直线方程进行预测的知识，属于基础题.

21.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式

第二种生产方式

超过

不超过

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：

，

【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析

（2）80

（3）能

【解析】

分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可。

（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表。

（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果。

详解：（1）第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

（2）由茎叶图知列联表如下：

.

第一种生产方式

第二种生产方式

超过

不超过

15

5

5

15

（3）由于异.

，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活。

22.观察以下运算:

⑴若两组数⑵若两组数与与,且,且,,运算,,对是否成立,试证明.

,,进行大小排序(不需要说明理由)；

⑶根据⑵中结论,若,试判定,,大小并证明.

【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用差比较法，计算证得所给需要观察的第二个不等式，得到用分析法，将所要证明的不等式，三项同时取以为底的对数，化简为证明，由此证明不等式成立.（2）根据题目.（3）利，根据（2）的结论可证明上式成立.由此证得原不等式成立.

【详解】⑴成立,证明如下:

∵又⑵⑶当证明如下:

∵∴要证 ,只需证,

不妨令又即有∴当时,有 .

,,则有时,,

,

,

,即证明时, ,

,,∴,即.

.

【点睛】本小题主要考查利用差比较法证明不等式，考查利用分析法来证明不等式成立，属于中档题，需要有较强的运算能力.