2024年2月20日发(作者：公羊芳春)

§3.3 幂函数

学习目标 1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质.2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小．

导语

同学们，我们说要学好数学，要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积．《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂．”后来又推广引申为多次乘方的结果．到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂．清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念．

一、幂函数的概念

问题1 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？

(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数；

(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；

(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；

(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝S，这里c是S的函数；

1－(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t1，这里vt是t的函数．

提示 这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．

知识梳理

幂函数的概念

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

注意点：①自变量前的系数是1；②幂的系数为1；③α是任意常数；④函数的定义域与α有关．

1例1 (1)在函数y＝2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )

xA．0 B．1 C．2 D．3

答案 B

1－解析 ∵y＝2＝x2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两x项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．

(2)已知y＝m2m2x2m22＋2n－3是幂函数，求m，n的值．

2m＋2m－2＝1，解 由题意得

2n－3＝0，

m＝－3，m＝1，解得3或3

n＝n＝.223所以m＝－3或1，n＝.

2反思感悟 幂函数的判断及应用

(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．

(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．

跟踪训练1 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝________.

答案 16

解析 设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.

二、幂函数的图象与性质

问题2 根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？

提示 根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题．

问题3 你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x提示

12－1

这五个函数的图象吗？

问题4 观察函数图象以及函数解析式，完成下表．

定义域

值域

奇偶性

单调性

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

12y＝x1

－

提示 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} R [0，＋∞)

R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减

知识梳理

通过以上信息，我们可以得到：

(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x和y＝x(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－112－1的图象都通过点(1,1)；

是奇函数，函数y＝x2是偶函数；

y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝(3)在区间(0，＋∞)上，函数(4)在第一象限内，函数y＝xx单调递增，函数y＝x－1单调递减；

12－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．

注意点：一般幂函数的图象特征

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，图象只出现在第一象限，并且图象都过点(1,1)．

(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．且图象只出现在第一象限．

特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．

(3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义．

(4)在(－∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限．

(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．

(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

1例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则2相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )

11A．－2，－，，2

2211B．2，，－，－2

2211C．－，－2,2，

22

11D．2，，－2，－

22答案 B

解析 根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y＝xn递增速度11越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，22曲线C4的n＝－2.

反思感悟 (1)解决与幂函数有关的综合性问题的方法

首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．

(2)幂函数图象的画法

①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．

②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．

1－2，在幂函数g(x)的图象上，问当x跟踪训练2 若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点4为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)

解 设f(x)＝xα，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(2，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x2.

在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2－的图象(如图所示)，观察图象可得，

(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；

(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；

(3)当－1

三、幂函数性质的综合运用

例3 (1)比较下列各组数中两个数的大小：

20.510.5①5与3；

23－－1与－－1； ②35③33与.

243432解 ①∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，

20.510.521又>，∴5>3.

53②∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，

2323－－1>－－1. 又－<－，∴3535③∵函数y1＝x在(0，＋∞)上单调递增，

33又>1，∴14＝1.

223又∵函数y2＝x在(0，＋∞)上单调递增，且<1，

432343433∴12＝1，

4∴32333.

24－3432(2)已知幂函数y＝xp3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足a1p332a的a的取值范围．

－3p3解 ∵函数y＝xp在(0，＋∞)上单调递减，

∴p－3<0，即p<3.

又∵p∈N*，∴p＝1或p＝2.

∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，

－∴取p＝1，即y＝x2.

故a132a变为a132a∵函数y＝x在R上是增函数，

∴由a132a2即a<.

32－∞，. ∴所求a的取值范围是3反思感悟 比较幂值大小和解决幂函数的综合问题的注意点

(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．

(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．

1313，得13p3p31313.

a＋1<3－2a，

(3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等．

(4)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合等数学思想．

跟踪训练3 (1)比较下列各组数的大小：

20.310.333①3与3；②－3.14与－π.

21解 ①∵y＝x0.3在[0，＋∞)上单调递增且>，

3320.310.3∴3>3.

②∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，

∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.

1(2)已知函数f(x)＝xm2m(m∈N*)．若该函数图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

解 ∵该函数图象过点(2，2)，

1∴2m2m＝2，

12∴m2＋m＝2，∴m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝x.

2－a≥0，由f(2－a)>f(a－1)，得a－1≥0，2－a>a－1，

3解得1≤a<.

231，. 故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为2

1．知识清单：

(1)幂函数的定义．

(2)几个常见幂函数的图象．

(3)幂函数的性质．

2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法．

3．常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质．

1．下列函数中不是幂函数的是( )

A．y＝x

C．y＝3x

答案 C

B．y＝x3

D．y＝x1

－

解析 只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式．

14，，则f(2)等于( ) 2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点412A. B．2 C. D.2

22答案 A

14，， 解析 设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点41－∴＝4α，∴α＝－1，∴y＝x1，

41－∴f(2)＝21＝.

23．函数y＝x的图象是( )

54

答案 C

5解析 函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A，B选项．又>1，故排除D选项．

44．0.23－2.354与0.24－2.3－2.3的大小关系是____________________________．

在(0，＋∞)上单调递减，

答案 0.23>0.24－2.3解析 因为函数y＝x且0.23<0.24，

所以0.23－2.3－2.3>0.24－2.3.

2024年2月20日发(作者：公羊芳春)

§3.3 幂函数

学习目标 1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质.2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小．

导语

同学们，我们说要学好数学，要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积．《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂．”后来又推广引申为多次乘方的结果．到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂．清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念．

一、幂函数的概念

问题1 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？

(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数；

(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；

(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；

(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝S，这里c是S的函数；

1－(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t1，这里vt是t的函数．

提示 这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．

知识梳理

幂函数的概念

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

注意点：①自变量前的系数是1；②幂的系数为1；③α是任意常数；④函数的定义域与α有关．

1例1 (1)在函数y＝2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )

xA．0 B．1 C．2 D．3

答案 B

1－解析 ∵y＝2＝x2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两x项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．

(2)已知y＝m2m2x2m22＋2n－3是幂函数，求m，n的值．

2m＋2m－2＝1，解 由题意得

2n－3＝0，

m＝－3，m＝1，解得3或3

n＝n＝.223所以m＝－3或1，n＝.

2反思感悟 幂函数的判断及应用

(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．

(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．

跟踪训练1 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝________.

答案 16

解析 设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.

二、幂函数的图象与性质

问题2 根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？

提示 根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题．

问题3 你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x提示

12－1

这五个函数的图象吗？

问题4 观察函数图象以及函数解析式，完成下表．

定义域

值域

奇偶性

单调性

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

12y＝x1

－

提示 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} R [0，＋∞)

R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减

知识梳理

通过以上信息，我们可以得到：

(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x和y＝x(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－112－1的图象都通过点(1,1)；

是奇函数，函数y＝x2是偶函数；

y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝(3)在区间(0，＋∞)上，函数(4)在第一象限内，函数y＝xx单调递增，函数y＝x－1单调递减；

12－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．

注意点：一般幂函数的图象特征

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，图象只出现在第一象限，并且图象都过点(1,1)．

(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．且图象只出现在第一象限．

特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．

(3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义．

(4)在(－∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限．

(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．

(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

1例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则2相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )

11A．－2，－，，2

2211B．2，，－，－2

2211C．－，－2,2，

22

11D．2，，－2，－

22答案 B

解析 根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y＝xn递增速度11越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，22曲线C4的n＝－2.

反思感悟 (1)解决与幂函数有关的综合性问题的方法

首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．

(2)幂函数图象的画法

①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．

②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．

1－2，在幂函数g(x)的图象上，问当x跟踪训练2 若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点4为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)

解 设f(x)＝xα，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(2，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x2.

在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2－的图象(如图所示)，观察图象可得，

(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；

(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；

(3)当－1

三、幂函数性质的综合运用

例3 (1)比较下列各组数中两个数的大小：

20.510.5①5与3；

23－－1与－－1； ②35③33与.

243432解 ①∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，

20.510.521又>，∴5>3.

53②∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，

2323－－1>－－1. 又－<－，∴3535③∵函数y1＝x在(0，＋∞)上单调递增，

33又>1，∴14＝1.

223又∵函数y2＝x在(0，＋∞)上单调递增，且<1，

432343433∴12＝1，

4∴32333.

24－3432(2)已知幂函数y＝xp3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足a1p332a的a的取值范围．

－3p3解 ∵函数y＝xp在(0，＋∞)上单调递减，

∴p－3<0，即p<3.

又∵p∈N*，∴p＝1或p＝2.

∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，

－∴取p＝1，即y＝x2.

故a132a变为a132a∵函数y＝x在R上是增函数，

∴由a132a2即a<.

32－∞，. ∴所求a的取值范围是3反思感悟 比较幂值大小和解决幂函数的综合问题的注意点

(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．

(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．

1313，得13p3p31313.

a＋1<3－2a，

(3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等．

(4)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合等数学思想．

跟踪训练3 (1)比较下列各组数的大小：

20.310.333①3与3；②－3.14与－π.

21解 ①∵y＝x0.3在[0，＋∞)上单调递增且>，

3320.310.3∴3>3.

②∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，

∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.

1(2)已知函数f(x)＝xm2m(m∈N*)．若该函数图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

解 ∵该函数图象过点(2，2)，

1∴2m2m＝2，

12∴m2＋m＝2，∴m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝x.

2－a≥0，由f(2－a)>f(a－1)，得a－1≥0，2－a>a－1，

3解得1≤a<.

231，. 故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为2

1．知识清单：

(1)幂函数的定义．

(2)几个常见幂函数的图象．

(3)幂函数的性质．

2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法．

3．常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质．

1．下列函数中不是幂函数的是( )

A．y＝x

C．y＝3x

答案 C

B．y＝x3

D．y＝x1

－

解析 只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式．

14，，则f(2)等于( ) 2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点412A. B．2 C. D.2

22答案 A

14，， 解析 设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点41－∴＝4α，∴α＝－1，∴y＝x1，

41－∴f(2)＝21＝.

23．函数y＝x的图象是( )

54

答案 C

5解析 函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A，B选项．又>1，故排除D选项．

44．0.23－2.354与0.24－2.3－2.3的大小关系是____________________________．

在(0，＋∞)上单调递减，

答案 0.23>0.24－2.3解析 因为函数y＝x且0.23<0.24，

所以0.23－2.3－2.3>0.24－2.3.