2024年2月22日发(作者：季飞宇)

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章末综合测评(一) 常用逻辑用语

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列语句中是命题的为( )

①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R,5x－3>6．

A．①③

C．②④

B．②③

D．③④

D[①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]

2．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( )

A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等

B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形

C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形

D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形

C[将原命题的条件否定作为结论，为“△ABC是等腰三角形”，结论否定作为条件，为“有两个内角相等”，再调整语句，即可得到原命题的逆否命题，为“若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选C．]

3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

B[根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B．]

4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的( )

A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

A[命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．]

5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )

A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立

- 1 - / 6

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B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立

C．∀x∈R，使得f(x)＞0成立

D．∀x∈R，f(x)≤0成立

A[“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A．]

6．若命题(p∨(q))为真命题，则p，q的真假情况为( )

A．p真，q真

C．p假，q真

B．p真，q假

D．p假，q假

C[由(p∨(q))为真命题知，p∨(q)为假命题，从而p与q都是假命题，故p假q真．]

7．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则p为( )

x0A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e≤1

x0B．∃x0>0，使得(x0＋1)e≤1

C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1

D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1

x0B[因为全称命题∀x∈M，p(x)的否定为∃x0∈M，p(x)，故p：∃x0>0，使得(x0＋1)e≤1．]

x08．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2＜0．下列选项中为真命题的是( )

A．p

C．q∧p

B．p∨q

D．q

C[很明显命题p为真命题，所以p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以q是真命题．所以p∨q为假命题，q∧p为真命题，故选C．]

9．条件p：x≤1，且p是q的充分不必要条件，则q可以是( )

A．x>1

C．x≤2

B[∵p：x≤1，∴p：x>1，

又∵p是q的充分不必要条件，

∴p⇒q，q推不出p，即p是q的真子集．]

10．下列各组命题中，满足“p∨q”为真，且“p”为真的是( )

A．p：0＝∅；q：0∈∅

- 2 - / 6

B．x>0

D．－1

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B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；q：函数y＝sin x在第一象限是增函数

C．p：a＋b≥2ab(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)

D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：过点M(0,1)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条

C[A中，p、q均为假命题，故“p∨q”为假，排除A；B中，由在△ABC中，cos 2A＝cos 2B，得1－2sin2A＝1－2sin2B，即(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝0，所以A－B＝0，故p为真，从而“p”为假，排除B；C中，p为假，从而“p”为假，排除D．故选C．]

p”为真，q为真，从而“p∨q”为真；D中，p为真，故“11．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若“p∨q”为假命题，则实数m的取值X围为( )

A．[2，＋∞)

B．(－∞，－2]

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D．[－2,2]

A[由题意知p，q均为假命题，则p，q为真命题．

p：∀x∈R，mx2＋1>0，故m≥0，q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0，

则Δ＝m2－4≥0，即m≤－2或m≥2，

m≥0，由得m≥2．故选A．]

m≤－2或m≥212．设a，b∈R，则“2a＋2b＝2ab”是“a＋b≥2”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A[利用基本不等式，知2a＋b＝2a＋2b≥22a·2b，化简得2a＋b≥22，所以a＋b≥2，故充分性成立；当a＝0，b＝2时，a＋b＝2,2a＋2b＝20＋22＝5,2a＋b＝22＝4，即2a＋2b≠2a＋b，故必要性不成立．故选A．]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．命题“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”的逆否命题是________．

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若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0[“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”即为：“若x2＋x－6>0，则x<－3或x>2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0．]

14．写出命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的否命题为________．

若x2≠4，则x≠2且x≠－2 [命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的否命题为“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”．]

15．若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值X围是________．

(－∞，－1][命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题．

则∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，

∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1．

∴实数a的取值X围是(－∞，－1]．]

16．已知p：－40，若取值X围是________．

[－1,6][p：－40⇔2

a＋4≥3，三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．

[解]“若p，则q”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)

逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题)

否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题)

逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)

18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．

(1)q：所有的矩形都是正方形；

(2)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；

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(3)s：至少有一个实数x0，使x30＋3＝0．

[解](1)(2)恒成立．

(3)3s：∀x∈R，x3＋3≠0，假命题．这是由于当x＝－3时，x3＋3＝0．

q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．

r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>019．(本小题满分12分)(1)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件？

(2)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？

[解](1)欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件，

mx<－⊆{x|x<－1或x>3}，

则只要x2

m则只要－≤－1，即m≥2，

2故存在实数m≥2，

使2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件．

(2)欲使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，

mx<－⊇{x|x<－1或x>3}，

则只要x2

则这是不可能的，

故不存在实数m使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件．

20．(本小题满分12分)已知p：x2－8x－33>0，q：x2－2x＋1－a2>0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值X围．

[解]解不等式x2－8x－33>0，得p：A＝{x|x>11或x<－3}；

解不等式x2－2x＋1－a2>0，得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．

依题意p⇒q但qp，说明AB．

a>0，于是有1＋a≤11，1－a>－3

a>0，或1＋a<11，1－a≥－3，

解得0

所以正实数a的取值X围是(0,4]．

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a·2x＋a－221．(本小题满分12分)证明：函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1．

2x＋11－11－2x2－12x[证明](充分性)若a＝1，则函数化为f(x)＝x(x∈R)．因为f(－x)＝x＝＝2＋12－＋11＋11＋2x2xx2－x－12x－1＝－x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．

2＋1(必要性)若函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，

a·2－x＋a－2a·2x＋a－2所以＝－，

2－x＋12x＋1a＋a－2·2xa·2x＋a－2所以＝－，

xx2＋12＋1所以a＋(a－2)·2x＝－a·2x－a＋2，

所以2(a－1)(2x＋1)＝0，解得a＝1．

a·2x＋a－2综上所述，函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1．

2x＋122．(本小题满分12分)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R．若p∨q为真，q为假，某某数m的取值X围．

[解]由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m2－4>0，解得m>2或m<－2．

∴命题p为真时，m>2或m<－2；命题p为假时，－2≤m≤2．

由不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R，得方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m－2)2－16<0，解得1

∴命题q为真时，1

∵p∨q为真，q为假，∴p真q假，

m>2或m<－2，∴解得m<－2或m≥3．

m≤1或m≥3，∴实数m的取值X围为(－∞，－2)∪[3，＋∞)．

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2024年2月22日发(作者：季飞宇)

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章末综合测评(一) 常用逻辑用语

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列语句中是命题的为( )

①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R,5x－3>6．

A．①③

C．②④

B．②③

D．③④

D[①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]

2．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( )

A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等

B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形

C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形

D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形

C[将原命题的条件否定作为结论，为“△ABC是等腰三角形”，结论否定作为条件，为“有两个内角相等”，再调整语句，即可得到原命题的逆否命题，为“若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选C．]

3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

B[根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B．]

4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的( )

A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

A[命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．]

5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )

A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立

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B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立

C．∀x∈R，使得f(x)＞0成立

D．∀x∈R，f(x)≤0成立

A[“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A．]

6．若命题(p∨(q))为真命题，则p，q的真假情况为( )

A．p真，q真

C．p假，q真

B．p真，q假

D．p假，q假

C[由(p∨(q))为真命题知，p∨(q)为假命题，从而p与q都是假命题，故p假q真．]

7．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则p为( )

x0A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e≤1

x0B．∃x0>0，使得(x0＋1)e≤1

C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1

D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1

x0B[因为全称命题∀x∈M，p(x)的否定为∃x0∈M，p(x)，故p：∃x0>0，使得(x0＋1)e≤1．]

x08．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2＜0．下列选项中为真命题的是( )

A．p

C．q∧p

B．p∨q

D．q

C[很明显命题p为真命题，所以p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以q是真命题．所以p∨q为假命题，q∧p为真命题，故选C．]

9．条件p：x≤1，且p是q的充分不必要条件，则q可以是( )

A．x>1

C．x≤2

B[∵p：x≤1，∴p：x>1，

又∵p是q的充分不必要条件，

∴p⇒q，q推不出p，即p是q的真子集．]

10．下列各组命题中，满足“p∨q”为真，且“p”为真的是( )

A．p：0＝∅；q：0∈∅

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B．x>0

D．－1

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B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；q：函数y＝sin x在第一象限是增函数

C．p：a＋b≥2ab(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)

D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：过点M(0,1)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条

C[A中，p、q均为假命题，故“p∨q”为假，排除A；B中，由在△ABC中，cos 2A＝cos 2B，得1－2sin2A＝1－2sin2B，即(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝0，所以A－B＝0，故p为真，从而“p”为假，排除B；C中，p为假，从而“p”为假，排除D．故选C．]

p”为真，q为真，从而“p∨q”为真；D中，p为真，故“11．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若“p∨q”为假命题，则实数m的取值X围为( )

A．[2，＋∞)

B．(－∞，－2]

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D．[－2,2]

A[由题意知p，q均为假命题，则p，q为真命题．

p：∀x∈R，mx2＋1>0，故m≥0，q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0，

则Δ＝m2－4≥0，即m≤－2或m≥2，

m≥0，由得m≥2．故选A．]

m≤－2或m≥212．设a，b∈R，则“2a＋2b＝2ab”是“a＋b≥2”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A[利用基本不等式，知2a＋b＝2a＋2b≥22a·2b，化简得2a＋b≥22，所以a＋b≥2，故充分性成立；当a＝0，b＝2时，a＋b＝2,2a＋2b＝20＋22＝5,2a＋b＝22＝4，即2a＋2b≠2a＋b，故必要性不成立．故选A．]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．命题“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”的逆否命题是________．

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若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0[“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”即为：“若x2＋x－6>0，则x<－3或x>2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0．]

14．写出命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的否命题为________．

若x2≠4，则x≠2且x≠－2 [命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的否命题为“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”．]

15．若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值X围是________．

(－∞，－1][命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题．

则∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，

∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1．

∴实数a的取值X围是(－∞，－1]．]

16．已知p：－40，若取值X围是________．

[－1,6][p：－40⇔2

a＋4≥3，三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．

[解]“若p，则q”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)

逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题)

否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题)

逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)

18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．

(1)q：所有的矩形都是正方形；

(2)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；

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(3)s：至少有一个实数x0，使x30＋3＝0．

[解](1)(2)恒成立．

(3)3s：∀x∈R，x3＋3≠0，假命题．这是由于当x＝－3时，x3＋3＝0．

q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．

r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>019．(本小题满分12分)(1)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件？

(2)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？

[解](1)欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件，

mx<－⊆{x|x<－1或x>3}，

则只要x2

m则只要－≤－1，即m≥2，

2故存在实数m≥2，

使2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件．

(2)欲使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，

mx<－⊇{x|x<－1或x>3}，

则只要x2

则这是不可能的，

故不存在实数m使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件．

20．(本小题满分12分)已知p：x2－8x－33>0，q：x2－2x＋1－a2>0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值X围．

[解]解不等式x2－8x－33>0，得p：A＝{x|x>11或x<－3}；

解不等式x2－2x＋1－a2>0，得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．

依题意p⇒q但qp，说明AB．

a>0，于是有1＋a≤11，1－a>－3

a>0，或1＋a<11，1－a≥－3，

解得0

所以正实数a的取值X围是(0,4]．

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a·2x＋a－221．(本小题满分12分)证明：函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1．

2x＋11－11－2x2－12x[证明](充分性)若a＝1，则函数化为f(x)＝x(x∈R)．因为f(－x)＝x＝＝2＋12－＋11＋11＋2x2xx2－x－12x－1＝－x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．

2＋1(必要性)若函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，

a·2－x＋a－2a·2x＋a－2所以＝－，

2－x＋12x＋1a＋a－2·2xa·2x＋a－2所以＝－，

xx2＋12＋1所以a＋(a－2)·2x＝－a·2x－a＋2，

所以2(a－1)(2x＋1)＝0，解得a＝1．

a·2x＋a－2综上所述，函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1．

2x＋122．(本小题满分12分)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R．若p∨q为真，q为假，某某数m的取值X围．

[解]由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m2－4>0，解得m>2或m<－2．

∴命题p为真时，m>2或m<－2；命题p为假时，－2≤m≤2．

由不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R，得方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m－2)2－16<0，解得1

∴命题q为真时，1

∵p∨q为真，q为假，∴p真q假，

m>2或m<－2，∴解得m<－2或m≥3．

m≤1或m≥3，∴实数m的取值X围为(－∞，－2)∪[3，＋∞)．

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