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高考数学考点44利用二项式定理求指定项试题解读与变式

IT圈 admin 2024-02-23 42浏览 0评论

2024年2月23日发(作者：智昂雄)

考点44 利用二项定理求指定项

一、知识储备汇总与命题规律展望

1.知识储备汇总:

n0n1n12n22rnrrnn（1）二项式定理：(ab)CnaCnabCnabCnabCnb ;

注意：①展开式共有n+1项；

②a按降幂排列b按升幂排列，a,b幂指数之和为n；

012n③系数依次为Cn,Cn,Cn,,Cn。

r④注意区分二项式系数与某一项的系数, 二项式系数是Cn(r0,1,2,,n)，而系数既包括二项式系数也包括二项式中系数和符号展出部分

rnrr1，2，n). （2）二项展开式的通项公式：Tr1Cnab(r0，（3）二项式定理系数性质：

knk①0≤k≤n时，CnCn．

②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，最大值.

③各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2，Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2012024135nnn1.

2.命题规律展望：二项式定理是高考的热点和重点，主要考查利用二项式定理或通项公式计算二项式展开式或三项式或两个二项式乘积的特定项或特定项系数，难度为基础题，分值为5分.

二、题型与相关高考题解读

1.求展开式中的特定项或特定系数

1.1考题展示与解读

例1【2017山东，理11】已知13x的展开式中含有x2项的系数是54，则n .

【命题意图探究】本题主要考查利用二项展开式通项公式计算已知指定项系数求二项式的指数问题，是基础题.

【答案】4

22rrrr【解析】由二项式定理的通项公式r1Cn3xCn3x，令r2得：Cn354，解得n4．

nr【解题能力要求】运算求解能力

【方法技巧归纳】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步，根据给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均

为非负整数，且n≥r)；第二步，根据所求的指数求解所求的项．

1.2【典型考题变式】

1【变式1：改编条件】二项式xx展开式中的常数项为（）

xA.

10 B.

10 C.

5 D.

5

【答案】B

【解析】展开式的通项为Tr11Cxr53C510，故选B.

5r1155r2，令1155r0得r3，所以展开式中的常数项为216【变式2：改编结论】若x的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）

xxA.

3 B.

4 C.

5 D.

【答案】C

n2【变式3：改编问法】若n2022sinxdx，则y的展开式中常数项为（）

y4nA. 8 B. 16 C. 24 D. 60

【答案】C

22【解析】∵n202sinxdx=2sinxcosxdx2cosxsinx|2

4004

2rr42r=2coscos0sinsin04，∴y的通项公式为Tr1C42y

，22y222令42r0，即r2，∴二项式y展开式中常数项是C4224，故选C

y2.求三项式展开式的指定项

2.1考题展示与解读

52例2【2015高考新课标1，理10】(xxy)的展开式中，xy的系数为( )

254

（A）10 （B）20 （C）30 （D）60

【命题意图探究】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数，是基础题

【答案】C

522【解析】在(xxy)的5个因式中，2个取因式中x剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y,故xy25的系数为C5C3C2=30，故选 C.

【解题能力要求】转化思想，运算求解能力

【方法技巧归纳】三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：

(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；

(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．

2.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】xyx2yz的展开式中，

xyz的系数为（）

2322126A.

30 B.

120 C.

240 D.

420

【答案】B

【变式2：改编结论】xyz的展开式共（）项

A. 10 B. 15 C. 20 D. 21

【答案】B

【解析】因为xyzxyzC4xyC4xyz+C4xyz

+C4xyzC4z,所以再运用二项式定理展开共有5432115项，故选B .

3344【变式3：改编问法】已知__________．（用数字作答）

【答案】120

的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为

3.两个二项式乘积展开式的指定项

3.1考题展示与解读

例3【2017课标1，理6】(1A．15

126x展开式中的系数为（）

)(1x)2x C．30 D．35 B．20

【命题意图探究】本题主要考查考查利用二项式定理展开式求指定项及分类整合思想，是基础题.

【答案】C

【解析】因为(11166)(1x)1(1x)(1x)6，则(1x)6展开式中含x2的项为1C62x215x2，22xx112644x展开式中含的项为(1x)C6x15x2，故x2前系数为151530，选C.

22xx【解题能力要求】运算求解能力

【方法技巧归纳】几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．

3.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】1x1x的展开式中x3的系数为（）

A. 4 B. -4 C. 6 D. -6

【答案】B

【解析】1x1xC4C4xC4xC4xC4x44C051334455C5xC52x2C5xC5xC5x

14x6x24x3x415x10x210x35x4x5，所以x3的项为110x34x10x26x25x4x314x3，故x3的系数为4，故选B.

1【变式2：改编结论】x2321的展开式的常数项是（）

x5

A. -3 B. -2 C. 2 D. 3

【答案】C

【变式3：改编问法】已知：29＝a0a1(x1)a2(x1)a9(x1)，则a6＝（）

A. －28 B. －448 C. 112 D. 448

【答案】A

【解析】当第一个因子取1时，第二个因子取4.二项式系数与各项的系数问题

4.1考题展示与解读

例4【2015高考新课标2，理15】(ax)(1x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则4，当第一个因子取，故a6＝时，第二个因子取，故选A.

a__________．

【命题意图探究】本题主要考查利用通项公式与二项定理展开式的系数性质，是基础题.

【答案】2

37【解析】因为(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以Cn，解得n10，

Cn9所以二项式(1x)10中奇数项的二项式系数和为【解题能力要求】运算求解能力

110229.

2【方法技巧归纳】 (1)“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法．对形如(ax＋b)，(ax＋bx＋c)(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．

(2)当n为偶数时，展开式中中间一项的二项式系数最大，；当n为奇数时，展开式中中间两项项的二项式系数最大.

4.2【典型考题变式】

n2m1【变式1：改编条件】已知二项式3x的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用x数字作答）

【答案】28

【变式2：改编结论】已知x2x1a0a1xa5x5，则a1a2a3a4a5______.

【答案】2

【解析】先令x0，得：

a02，再令x1得：

a0a1a2a3a4a50，

即

2a1a2a3a4a50，所以a1a2a3a4a52，故填2.

【变式3：改编问法】已知1xaxa0a1xa2x2...a7x7,aR，若64a0a1a2...a6a70，则a3的值为（）

35 B.

20 C.

5 D.

5

【答案】D

【解析】令x1，得a0a1...a72a1,a1，而a3表示x3的系数，

3a3C61C6215，故选D.

326三、课本试题探源

选修修2-3 P40 页复习参考题 A第8（2）题：求(9x13x)18展开式的常数项.

【解析】Tr1C18(9x)12336312C18=18564.

r18r(13xrx)r=3363rC18183r2,则183r0，解得r12，所以展开式的常数项为2四．典例高考试题演练

1.【广西贺州市桂梧高中2018届第四次联考】13x的展开式的第4项的系数为（）

27C7 B.

81C7 C.

27C7 D.

81C7

【答案】A

333【解析】由题意可得13x的展开式的第4项为T31C71733x27C7x，选A.

73343472.【2018届云南师范大学附属中学月考（二）】若的展开式中常数项为，则实数的值为（）

A. B. C. -2 D.

【答案】D

【解析】即，解得的展开式通项为，故选D．

，令，则有，∴，12n1n3.【广东省深圳市南山区2018届入学摸底考】2Cn6Cn18C3L23Cn ( )

22n122A. B.

4n1 C.

23n1 D.

3n1

333【答案】B

12n1n【解析】2Cn6Cn18C3L23Cn

212nCn3Cn32LCn3n=

320022n12nCn3Cn3Cn32LCn3n11314n1选B.

33314.【广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中2018届9月联考】求x21的展开式的常数项是（）

x26A. 15 B. -15 C. 17 D. -17

【答案】C

1r1【解析】1的展开式的通项公式：

Tr1痧6xx66r1r1rr6xr6,r0,1,2,,6，分别令164r−6=0，r−6=−2，解得r=6，r=4.∴x221的展开式的常数项是2×ð6+1×ð6=17,故选：C.

x62x5.【广西桂林市柳州市2018年届综合模拟金卷（1）】已知x的展开式中第4项的二项式系数为x2x20，则x的展开式中的常数项为（）

xA. 60 B.

60 C. 80 D.

80

【答案】A

6.【四川省双流中学2018届9月月考】在x2展开式中，二项式系数的最大值为m，含x5项的系数为6n（）

m5533A. B.

 C. D.



3355n，则【答案】D

【解析】因为n6是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二项式系数为13mC620时，含x5项的系数为n1C6212，则n123，应选D。

m205n27.【河南省郑州市第一中学2018届入学考】若二项式x2展开式的二项式系数之和为8，则该展开x式的系数之和为（）

1 B. 1 C. 27 D.

27

【答案】A

2n【解析】依题意二项式系数和为28,n3.故二项式为x2，令x1，可求得系数和为x31231.

98.【河南省师范大学附属中学2018届8月开学考】已知x2a0a1xa2x2La9x9，则a13a35a57a79a9【答案】D

2a24a46a68a8的值为（）

2A.

39 B.

310 C.

311 D.

312

4129.【山西省2018届第一次五校联考】x3x1的展开式中常数项为( )

xxA.

30 B.

30 C.

25 D. 25

【答案】C

54111r12r2x3x1x1TC1【解析】1 的通项为，

r15

xxxxx1413x11x ，根据式子可知当r4 或r2 时有常数项，令r4

xx1211T5C51 ; 令r2T3C531;故所求常数项为C513C53

xx442555r5553025 ，故选C.

310.【江西省新余市第一中学2018届二模】在二项式x的展开式中，各项系数之和为A，各项二x项式系数之和为B，且AB72，则展开式中常数项的值为（）

A. 6 B. 9 C. 12 D. 18

【答案】B

n3nn【解析】在二项式x的展开式中，令x1得各项系数之和为4,A4，二项展开式的二项式x33系数和为2,B2，

4272，解得n3，

xx的展开式的通项为xxnnnnnn3Tr1Cr3x3r3rr3C3xxr33r2，令33r19，故选B.

0得r1，故展开式的常数项为T23C32

11.【湖北省襄阳四中2018届8月考】设x12x1a0a1x2a2x2La10x2，28210则a0a1a2La10的值为__________.

【答案】2

【解析】所给的多项式中，令x=-1可得：1121a0a1a2La10，

即：

a0a1a2La102.

12.【吉林省百校联盟2018届九月联考】x2018y【答案】210

【解析】由题意可得：

x2018y5682xy1010展开式中xy的系数为__________.

562xy10xxy2018y2xy，据此可得：只有xxy610106中含有xy，结合二项式定理可得其系数为：

C101210.

131xx2 的展开式中含

x265 的项为．

【答案】6x5.

【解析】1xx62=1xx

6=16xx215xx2220xx2315xx246xx25xx26,

故含

x5 的项为

203x5154x56x56x5．

a14.【山东省淄博市淄川中学2018届开学考】若x展开式中所有二项式系数之和是64，常数项为x15，则实数a的值是_____．

【答案】±1

na【解析】由题意可得264，解得n6，

x的通项公式xn6Tr1痧r6x6rraaxrr6x33r2，令33r20，解得r2，

常数项að6215，解得2a1，故答案为1.

13615.【河北省衡水第一中学2018届综合考试】若2xx的展开式中含有常数项，则n的最小xxn

值等于__________．

【答案】2

2024年2月23日发(作者：智昂雄)

考点44 利用二项定理求指定项

一、知识储备汇总与命题规律展望

1.知识储备汇总:

n0n1n12n22rnrrnn（1）二项式定理：(ab)CnaCnabCnabCnabCnb ;

注意：①展开式共有n+1项；

②a按降幂排列b按升幂排列，a,b幂指数之和为n；

012n③系数依次为Cn,Cn,Cn,,Cn。

r④注意区分二项式系数与某一项的系数, 二项式系数是Cn(r0,1,2,,n)，而系数既包括二项式系数也包括二项式中系数和符号展出部分

rnrr1，2，n). （2）二项展开式的通项公式：Tr1Cnab(r0，（3）二项式定理系数性质：

knk①0≤k≤n时，CnCn．

②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，最大值.

③各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2，Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2012024135nnn1.

二、题型与相关高考题解读

1.求展开式中的特定项或特定系数

1.1考题展示与解读

例1【2017山东，理11】已知13x的展开式中含有x2项的系数是54，则n .

【命题意图探究】本题主要考查利用二项展开式通项公式计算已知指定项系数求二项式的指数问题，是基础题.

【答案】4

22rrrr【解析】由二项式定理的通项公式r1Cn3xCn3x，令r2得：Cn354，解得n4．

nr【解题能力要求】运算求解能力

为非负整数，且n≥r)；第二步，根据所求的指数求解所求的项．

1.2【典型考题变式】

1【变式1：改编条件】二项式xx展开式中的常数项为（）

xA.

10 B.

10 C.

5 D.

5

【答案】B

【解析】展开式的通项为Tr11Cxr53C510，故选B.

5r1155r2，令1155r0得r3，所以展开式中的常数项为216【变式2：改编结论】若x的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）

xxA.

3 B.

4 C.

5 D.

【答案】C

n2【变式3：改编问法】若n2022sinxdx，则y的展开式中常数项为（）

y4nA. 8 B. 16 C. 24 D. 60

【答案】C

22【解析】∵n202sinxdx=2sinxcosxdx2cosxsinx|2

4004

2rr42r=2coscos0sinsin04，∴y的通项公式为Tr1C42y

，22y222令42r0，即r2，∴二项式y展开式中常数项是C4224，故选C

y2.求三项式展开式的指定项

2.1考题展示与解读

52例2【2015高考新课标1，理10】(xxy)的展开式中，xy的系数为( )

254

（A）10 （B）20 （C）30 （D）60

【命题意图探究】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数，是基础题

【答案】C

522【解析】在(xxy)的5个因式中，2个取因式中x剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y,故xy25的系数为C5C3C2=30，故选 C.

【解题能力要求】转化思想，运算求解能力

【方法技巧归纳】三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：

(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；

(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．

2.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】xyx2yz的展开式中，

xyz的系数为（）

2322126A.

30 B.

120 C.

240 D.

420

【答案】B

【变式2：改编结论】xyz的展开式共（）项

A. 10 B. 15 C. 20 D. 21

【答案】B

【解析】因为xyzxyzC4xyC4xyz+C4xyz

+C4xyzC4z,所以再运用二项式定理展开共有5432115项，故选B .

3344【变式3：改编问法】已知__________．（用数字作答）

【答案】120

的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为

3.两个二项式乘积展开式的指定项

3.1考题展示与解读

例3【2017课标1，理6】(1A．15

126x展开式中的系数为（）

)(1x)2x C．30 D．35 B．20

【命题意图探究】本题主要考查考查利用二项式定理展开式求指定项及分类整合思想，是基础题.

【答案】C

22xx【解题能力要求】运算求解能力

3.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】1x1x的展开式中x3的系数为（）

A. 4 B. -4 C. 6 D. -6

【答案】B

【解析】1x1xC4C4xC4xC4xC4x44C051334455C5xC52x2C5xC5xC5x

14x6x24x3x415x10x210x35x4x5，所以x3的项为110x34x10x26x25x4x314x3，故x3的系数为4，故选B.

1【变式2：改编结论】x2321的展开式的常数项是（）

x5

A. -3 B. -2 C. 2 D. 3

【答案】C

【变式3：改编问法】已知：29＝a0a1(x1)a2(x1)a9(x1)，则a6＝（）

A. －28 B. －448 C. 112 D. 448

【答案】A

【解析】当第一个因子取1时，第二个因子取4.二项式系数与各项的系数问题

4.1考题展示与解读

例4【2015高考新课标2，理15】(ax)(1x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则4，当第一个因子取，故a6＝时，第二个因子取，故选A.

a__________．

【命题意图探究】本题主要考查利用通项公式与二项定理展开式的系数性质，是基础题.

【答案】2

37【解析】因为(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以Cn，解得n10，

Cn9所以二项式(1x)10中奇数项的二项式系数和为【解题能力要求】运算求解能力

110229.

(2)当n为偶数时，展开式中中间一项的二项式系数最大，；当n为奇数时，展开式中中间两项项的二项式系数最大.

4.2【典型考题变式】

n2m1【变式1：改编条件】已知二项式3x的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用x数字作答）

【答案】28

【变式2：改编结论】已知x2x1a0a1xa5x5，则a1a2a3a4a5______.

【答案】2

【解析】先令x0，得：

a02，再令x1得：

a0a1a2a3a4a50，

即

2a1a2a3a4a50，所以a1a2a3a4a52，故填2.

【变式3：改编问法】已知1xaxa0a1xa2x2...a7x7,aR，若64a0a1a2...a6a70，则a3的值为（）

35 B.

20 C.

5 D.

5

【答案】D

【解析】令x1，得a0a1...a72a1,a1，而a3表示x3的系数，

3a3C61C6215，故选D.

326三、课本试题探源

选修修2-3 P40 页复习参考题 A第8（2）题：求(9x13x)18展开式的常数项.

【解析】Tr1C18(9x)12336312C18=18564.

r18r(13xrx)r=3363rC18183r2,则183r0，解得r12，所以展开式的常数项为2四．典例高考试题演练

1.【广西贺州市桂梧高中2018届第四次联考】13x的展开式的第4项的系数为（）

27C7 B.

81C7 C.

27C7 D.

81C7

【答案】A

333【解析】由题意可得13x的展开式的第4项为T31C71733x27C7x，选A.

73343472.【2018届云南师范大学附属中学月考（二）】若的展开式中常数项为，则实数的值为（）

A. B. C. -2 D.

【答案】D

【解析】即，解得的展开式通项为，故选D．

，令，则有，∴，12n1n3.【广东省深圳市南山区2018届入学摸底考】2Cn6Cn18C3L23Cn ( )

22n122A. B.

4n1 C.

23n1 D.

3n1

333【答案】B

12n1n【解析】2Cn6Cn18C3L23Cn

212nCn3Cn32LCn3n=

320022n12nCn3Cn3Cn32LCn3n11314n1选B.

33314.【广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中2018届9月联考】求x21的展开式的常数项是（）

x26A. 15 B. -15 C. 17 D. -17

【答案】C

1r1【解析】1的展开式的通项公式：

xA. 60 B.

60 C. 80 D.

80

【答案】A

6.【四川省双流中学2018届9月月考】在x2展开式中，二项式系数的最大值为m，含x5项的系数为6n（）

m5533A. B.

 C. D.



3355n，则【答案】D

m205n27.【河南省郑州市第一中学2018届入学考】若二项式x2展开式的二项式系数之和为8，则该展开x式的系数之和为（）

1 B. 1 C. 27 D.

27

【答案】A

2n【解析】依题意二项式系数和为28,n3.故二项式为x2，令x1，可求得系数和为x31231.

98.【河南省师范大学附属中学2018届8月开学考】已知x2a0a1xa2x2La9x9，则a13a35a57a79a9【答案】D

2a24a46a68a8的值为（）

2A.

39 B.

310 C.

311 D.

312

4129.【山西省2018届第一次五校联考】x3x1的展开式中常数项为( )

xxA.

30 B.

30 C.

25 D. 25

【答案】C

54111r12r2x3x1x1TC1【解析】1 的通项为，

r15

xxxxx1413x11x ，根据式子可知当r4 或r2 时有常数项，令r4

xx1211T5C51 ; 令r2T3C531;故所求常数项为C513C53

xx442555r5553025 ，故选C.

A. 6 B. 9 C. 12 D. 18

【答案】B

n3nn【解析】在二项式x的展开式中，令x1得各项系数之和为4,A4，二项展开式的二项式x33系数和为2,B2，

4272，解得n3，

xx的展开式的通项为xxnnnnnn3Tr1Cr3x3r3rr3C3xxr33r2，令33r19，故选B.

0得r1，故展开式的常数项为T23C32

11.【湖北省襄阳四中2018届8月考】设x12x1a0a1x2a2x2La10x2，28210则a0a1a2La10的值为__________.

【答案】2

【解析】所给的多项式中，令x=-1可得：1121a0a1a2La10，

即：

a0a1a2La102.

12.【吉林省百校联盟2018届九月联考】x2018y【答案】210

【解析】由题意可得：

x2018y5682xy1010展开式中xy的系数为__________.

562xy10xxy2018y2xy，据此可得：只有xxy610106中含有xy，结合二项式定理可得其系数为：

C101210.

131xx2 的展开式中含

x265 的项为．

【答案】6x5.

【解析】1xx62=1xx

6=16xx215xx2220xx2315xx246xx25xx26,

故含

x5 的项为

203x5154x56x56x5．

a14.【山东省淄博市淄川中学2018届开学考】若x展开式中所有二项式系数之和是64，常数项为x15，则实数a的值是_____．

【答案】±1

na【解析】由题意可得264，解得n6，

x的通项公式xn6Tr1痧r6x6rraaxrr6x33r2，令33r20，解得r2，

常数项að6215，解得2a1，故答案为1.

13615.【河北省衡水第一中学2018届综合考试】若2xx的展开式中含有常数项，则n的最小xxn

值等于__________．

【答案】2