2024年2月26日发(作者：籍心香)

知识文库 第09期

证明哥德巴赫猜想

为了证明哥德巴赫猜想，采用了偶数裂项分析法，把一个偶数分裂为两个部分，再把这两个部分逐步变换成为两个素数，而且这个偶数的大小恰好与这两个素数的和相等。在偶数裂项分析过程中有两种情况，一种是盈亏平衡，偶数恰好与这两个素数的和相等；另一种是盈亏不平衡，使偶数与两个素数的和不相等。依据两个素数之间的大小关系，建立兄弟素数定理，用来平衡在偶数裂项分析中出现的盈亏不平衡，解决了盈亏不平衡问题。得到的结论是，哥德巴赫猜想命题成立，即任意一个大于2的偶数都可以表示成两个素数之和。

1 证明方法简介

1.1 偶数裂项分析法：

把偶数2n分裂为n+n=(p1+t)+(p2-t)=p1+p2的分析方法，定义为偶数裂项分析法。

其中n为任意自然数，p1,p2(p1≤p2)为任意二素数，t为满足以上关系式的自然数。

偶数裂项分析法的关键是要找到合适的p1,p2,t使得以上的等式成立，用以下两种方法寻

找p1,p2,t比较简便，其中求素数值要用筛法。

最小t值法：

当p1,p2二素数的大小相近时t取得最小值，比喻：

100=50+50=(47+3)+(53-3)=47+53（t=3,p1=47,p2=53此时两素数大小相近）

最大t值法：

当p1,p2二素数的大小相远时t取得最大值，比喻：

100=50+50=(3+47)+(97-47)=3+97（t=47,p1=3,p2=97此时两素数大小相远）

1.2 兄弟素数定理（简称BP定理）：

1.2.1 例表分析：

p1=p1´+k1=11=11+0=7+4=5+6=3+8，p2=p2´+k2=13

=13+0=11+2=7+6=5+8=3+10

从例表分析可以看出，对于任意一个素数p至少存在一个比p小的素数p´与一个自然数k使得k,p´的和与这个素数p相等，所以有如下的BP定理。

1.2.2 BP定理：

定义满足以上条件的素数p为兄素数，素数p´为弟素数，定义自然数k为差量数，所以兄弟素数定理表述如下：

任意一个兄素数p，总是可以表达为一个弟素数p´与一个差量数k之和。

BP定理表达式：p=p´+k(其中p´≤p，k∈N)。

显而易见，证明从略。

2 三个基本定理

2.1 亏素数定理（简称DP定理）

【DP定理】

对于任意一个亏素数p，总是可以表达为一个大于1的自然数n与亏量数d之差。

杨 哲

DP定理表达式：亏素数p=n-d(1＜p≤n,n,d∈N且0≤d＜n)。

证明从略。

2.2 盈素数定理（简称SP定理）

【SP定理】

对于任意一个盈素数p，总是可以表示为一个自然数n与盈量数s之和。

SP定理表达式：盈素数p=n+s(0≤s≤n≤p且s,n∈N)

证明从略。

2.3 兄弟素数定理（简称BP定理）

【BP定理】

任意一个兄素数p，总是可以表达为一个弟素数p´与一个差量数k之和。

BP定理表达式：p=p´+k(0≤k,p´≤p且k∈N)

2.3.3 证明BP定理：

设p,p´为任意二素数（p´≤p）

显然总是有自然数k使得p-p´=k成立，

所以，有p=p´+k（p´≤p，k∈N）成立。

所以，任意一个素数p都可以表达为另一个素数p´与一个自然数k之和。

3 证明哥德巴赫猜想

3.1 例表分析：

依据偶数裂项分析法以及DP定理,SP定理,BP定理，有：偶数2n=n+n=(p1+d)+(p2-s)=(p1+p2)+(d-s)=p1+p2（其中d=s盈亏平衡）

大于12的偶数都存在有一对以上的二素数使他们的和与这个偶数相等；

例60000=p+11+p21=…=p1j+p2j（j∈N）

60000=30000+30000=(29989+11)+(30011-11)=29989+30011 (d1=s1=11 )

…………（中间有若干个表示式从略）

60000=30000+30000=(19+29981)+(59981-29981)=19+59981 (dj=sj=29981 )

当偶数大于12时，总是存在有一对以上这样的二素数使他们的和与这个偶数相等，而且随着自然数n的增大这种二素数在逐渐增多。所以有G1定理。

3.2 【G1定理】

任意一个大于2的偶数都可以表示为二素数之和，而且当偶数大于12时这种二素数存在有一对以上，偶数越大这样的二素数越多。

G1定理表达式：2n=p1+p2=p11+p21=…=p1i+p2i(1＜p1i≤ni≤p+2i,ni,i∈N且ni＞1)

3.3 证明G1定理：

设n,d,s均为自然数（0≤d＜n,0≤s＜n）,设p1,p2为二素数（1＜p1≤n≤p2）

依据DP定理,SP定理有：由p1=n-d及p2=n+s得n=p1+d

（下转第232页）

2019.05(上) 知识文库

229

.. All Rights Reserved.

知识文库 第09期

轮子，使生活的机器成为一部永动机，由此产生现代社会的骚动不安和狂热不休，现代人灵魂深处是对生命本身的无聊感。这种无聊感正是人们寻求刺激和新鲜感的文化来源，从人身体本身本来探索，身体也需要定期寻求新鲜的刺激和快乐。可见出轨是现代人填充生命的一种手段，男女两性在这一点上具有相似性，我们要把它放在同一道德层面去考量。较为激进的性道德学者福柯认为任何情况下性都不应当受到任何法律的制裁的观点。福柯认为性器官和其他身体部位一样，不具有特殊性，因此应该将性犯罪与普通身体伤害相等同。国内学者李银河发展了福柯这一思想，她认为性不关法律的事。它或者属于道德的范畴，或者属于人们可以自由选择的生活方式的范畴。而法律不应当干涉道德范畴之内的事,更无权干涉人们自由选择的生活方式。

笔者认为我们需要承认不同程度出轨在现代社会的大多数人身上都会发生，不管是男性还是女性他们面临着同样的现代性问题。女性的“红杏出墙”不必背负比男人更重的枷锁。社会也该以不同的标准来惩罚两性。其次，精神出轨作为被忽视的越轨类型同样对女性会带来伤害，我们要针对不同的越轨原因，调整关系的失序，面对不可调和的情况可以选择解体关系来达到。最后，对“红杏出墙”既成事实的女性，社会应给予理解和宽容，考虑女性越轨背后到底背负着什么，到底隐藏着多少泪水，而不是一味惩罚她们，让她们抬不起头。这个社会已经不需要用压制的性道德去规范每一个自由体，任何的决定都可以由人们自己来做出，因为这一决定所带来的后果，也只有她们自己在承担。

（作者单位：西北农林科技大学）

性出轨者受社会谴责的持续程度也比女性占有优势。从公众人物出轨事件的评论可以看出我们社会中的“双标”现象，男性公众人物在风波平息后很容易“改头换面”重新出场，而女性公众人物重塑形象要困难的多；最后，男性出轨时社会的讨伐声会转向“小三”，出轨本是两个人的选择，但大众更愿意相信女性勾引了男性而导致其出轨。不管什么形式的越轨对女性来说都是饱受愧疚和折磨的，但是社会对男女越轨的惩罚持“双标”态度，无疑是对女性的二次伤害。

3 “红杏出墙”的性道德讨论

西方学者将性道德的变化分为三个阶段：在一阶段人类的性活动处于自由散漫的未整合的状态，卖淫、通奸和同性恋都不算不道德行为。在第二阶段从纪元到20世纪中期,这一时期只有婚内的性活动才是道德的，性开始受到社会的整合。在第三阶段，人享有完全的性自由，属于性开放的时代。第一、三两阶段的区别在于，第一阶段只有男性享有自由，第三阶段女性也享有自由。中国目前处于第二和第三阶段过渡的过程，不同地区的性开放程度不同，而女性拥有的性自由也是一种半自由的状态。在我国“红杏出墙”未导致夫妻感情破裂，或者破裂后有修复可能性就不受法律的制裁，这是性解放初步体现。现代社会法律赋予自然人依法解除不幸婚姻关系的权利，也是人人平等享有的基本人身权利。当一方或双方不愿共同生活时，婚姻的肌体将会死亡，女性作为当事人她们的意愿应该得到尊重。

齐美尔认为客体文化与主体文化的相互离异导致现代人生命和生活的碎片化。金钱成为时代的主宰后，生命的感觉在逐渐地萎缩。他认为货币给现代社会装上了无法停转的

.. All Rights Reserved.

（上接第229页）

且n=p2-s

依据偶数裂项分析法有：偶数2n=n+n=(p1+d)+ (p2-s)=

(p1+p2)+(d-s)（*）

式（*）存在有以下三种情况。

3.3.1 当d=s时d-s=0盈亏平衡

由以上的(*)式得：偶数2n=p1+p2

即任意一个大于2的偶数都可表达为p1,p2二素数之和,此时哥德巴赫猜想命题成立。

当n＞6时依据BP定理有：

P1=p11+k1=p12+k2=p12+k3=…=p1i+ki(a)

P2=p21-k1=p22-k2=p23-k3=…=p2i+ki(b)

由(a)+(b)得：

p1+p2=(p11+k1)+(p21-k1)=(p12+k2)+(p22-k2)=(p13+k3)+(p23-k3)=…=(p1i+ki)+(p2i-ki)

化简得p1+p2=p11+p21=p12+p22=p13+p23=…=p1i+p2i（i∈N且i＞0）

由以上的(*)式得2n=p1+p2=p11+p21=p12+p22=p13+p23=…=p1i+p2i而且二素数p1i,p2i随着自然数n的增大在逐渐增多，所以满足表达式2n=p1i+p2i的p1i，p2i二素数存在有一对以上。

所以G1定理成立。

3.3.2 当d＞s时d-s＞0盈亏不平衡

由2n=p1+p2+(d-s)得2n＞p1+p2

说明p1+p2取值偏小，需要将p1,p2调整为p11,p21使2n=p11+p21成立。

232

知识文库 2019.05(上)

依据BP定理做下列盈亏平衡变换：

p1+d=p11+k+d=p11+d1(d1=d+k),p2-s=p21-k-s=p21-s1(s1=k+s),且d1=s1盈亏平衡

所以

2n=(p1+d)+(p2-s)=(p11+d1)+(p21-s1)=p11+p21+(d1-s1)=p11+p21

任意一个大于2的偶数都可表示为p1,p2二素数之和，此时哥德巴赫猜想命题仍然成立。

3.3.3 当d＜s时d-s＜0盈亏不平衡

由2n=p1+p2+(d-s)得2n＜p1+p2

说明了p1,p2取值偏大，需要将p1,p2调整为p11,p21使2n=p11+p21成立。

依据BP定理做下列盈亏平衡变换：

p1+d=p11+k+d=p11+d1(d1=k+d),p2-s=p21-k-s=p21-s1(s1=k+s),且d1=s1（盈亏平衡）

所以偶数

2n=(p1+d)+(p2-s)=(p11+d1)+(p21-s1)=p11+p21+(d1-s1)=p11+p21

任意一个大于2的偶数都可表示为p1,p2二素数之和,此时哥德巴赫猜想命题仍然成立。

4 结论

G1定理成立，即任意一个大于2的偶数都可表示为二素数之和，且当偶数大于12时存在有一对以上这样的二素数，偶数越大这样的二素数越多。

（作者单位：浙江创新科技学院（筹））

2024年2月26日发(作者：籍心香)

知识文库 第09期

证明哥德巴赫猜想

为了证明哥德巴赫猜想，采用了偶数裂项分析法，把一个偶数分裂为两个部分，再把这两个部分逐步变换成为两个素数，而且这个偶数的大小恰好与这两个素数的和相等。在偶数裂项分析过程中有两种情况，一种是盈亏平衡，偶数恰好与这两个素数的和相等；另一种是盈亏不平衡，使偶数与两个素数的和不相等。依据两个素数之间的大小关系，建立兄弟素数定理，用来平衡在偶数裂项分析中出现的盈亏不平衡，解决了盈亏不平衡问题。得到的结论是，哥德巴赫猜想命题成立，即任意一个大于2的偶数都可以表示成两个素数之和。

1 证明方法简介

1.1 偶数裂项分析法：

把偶数2n分裂为n+n=(p1+t)+(p2-t)=p1+p2的分析方法，定义为偶数裂项分析法。

其中n为任意自然数，p1,p2(p1≤p2)为任意二素数，t为满足以上关系式的自然数。

偶数裂项分析法的关键是要找到合适的p1,p2,t使得以上的等式成立，用以下两种方法寻

找p1,p2,t比较简便，其中求素数值要用筛法。

最小t值法：

当p1,p2二素数的大小相近时t取得最小值，比喻：

100=50+50=(47+3)+(53-3)=47+53（t=3,p1=47,p2=53此时两素数大小相近）

最大t值法：

当p1,p2二素数的大小相远时t取得最大值，比喻：

100=50+50=(3+47)+(97-47)=3+97（t=47,p1=3,p2=97此时两素数大小相远）

1.2 兄弟素数定理（简称BP定理）：

1.2.1 例表分析：

p1=p1´+k1=11=11+0=7+4=5+6=3+8，p2=p2´+k2=13

=13+0=11+2=7+6=5+8=3+10

从例表分析可以看出，对于任意一个素数p至少存在一个比p小的素数p´与一个自然数k使得k,p´的和与这个素数p相等，所以有如下的BP定理。

1.2.2 BP定理：

定义满足以上条件的素数p为兄素数，素数p´为弟素数，定义自然数k为差量数，所以兄弟素数定理表述如下：

任意一个兄素数p，总是可以表达为一个弟素数p´与一个差量数k之和。

BP定理表达式：p=p´+k(其中p´≤p，k∈N)。

显而易见，证明从略。

2 三个基本定理

2.1 亏素数定理（简称DP定理）

【DP定理】

对于任意一个亏素数p，总是可以表达为一个大于1的自然数n与亏量数d之差。

杨 哲

DP定理表达式：亏素数p=n-d(1＜p≤n,n,d∈N且0≤d＜n)。

证明从略。

2.2 盈素数定理（简称SP定理）

【SP定理】

对于任意一个盈素数p，总是可以表示为一个自然数n与盈量数s之和。

SP定理表达式：盈素数p=n+s(0≤s≤n≤p且s,n∈N)

证明从略。

2.3 兄弟素数定理（简称BP定理）

【BP定理】

任意一个兄素数p，总是可以表达为一个弟素数p´与一个差量数k之和。

BP定理表达式：p=p´+k(0≤k,p´≤p且k∈N)

2.3.3 证明BP定理：

设p,p´为任意二素数（p´≤p）

显然总是有自然数k使得p-p´=k成立，

所以，有p=p´+k（p´≤p，k∈N）成立。

所以，任意一个素数p都可以表达为另一个素数p´与一个自然数k之和。

3 证明哥德巴赫猜想

3.1 例表分析：

依据偶数裂项分析法以及DP定理,SP定理,BP定理，有：偶数2n=n+n=(p1+d)+(p2-s)=(p1+p2)+(d-s)=p1+p2（其中d=s盈亏平衡）

大于12的偶数都存在有一对以上的二素数使他们的和与这个偶数相等；

例60000=p+11+p21=…=p1j+p2j（j∈N）

60000=30000+30000=(29989+11)+(30011-11)=29989+30011 (d1=s1=11 )

…………（中间有若干个表示式从略）

60000=30000+30000=(19+29981)+(59981-29981)=19+59981 (dj=sj=29981 )

当偶数大于12时，总是存在有一对以上这样的二素数使他们的和与这个偶数相等，而且随着自然数n的增大这种二素数在逐渐增多。所以有G1定理。

3.2 【G1定理】

任意一个大于2的偶数都可以表示为二素数之和，而且当偶数大于12时这种二素数存在有一对以上，偶数越大这样的二素数越多。

G1定理表达式：2n=p1+p2=p11+p21=…=p1i+p2i(1＜p1i≤ni≤p+2i,ni,i∈N且ni＞1)

3.3 证明G1定理：

设n,d,s均为自然数（0≤d＜n,0≤s＜n）,设p1,p2为二素数（1＜p1≤n≤p2）

依据DP定理,SP定理有：由p1=n-d及p2=n+s得n=p1+d

（下转第232页）

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229

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知识文库 第09期

轮子，使生活的机器成为一部永动机，由此产生现代社会的骚动不安和狂热不休，现代人灵魂深处是对生命本身的无聊感。这种无聊感正是人们寻求刺激和新鲜感的文化来源，从人身体本身本来探索，身体也需要定期寻求新鲜的刺激和快乐。可见出轨是现代人填充生命的一种手段，男女两性在这一点上具有相似性，我们要把它放在同一道德层面去考量。较为激进的性道德学者福柯认为任何情况下性都不应当受到任何法律的制裁的观点。福柯认为性器官和其他身体部位一样，不具有特殊性，因此应该将性犯罪与普通身体伤害相等同。国内学者李银河发展了福柯这一思想，她认为性不关法律的事。它或者属于道德的范畴，或者属于人们可以自由选择的生活方式的范畴。而法律不应当干涉道德范畴之内的事,更无权干涉人们自由选择的生活方式。

笔者认为我们需要承认不同程度出轨在现代社会的大多数人身上都会发生，不管是男性还是女性他们面临着同样的现代性问题。女性的“红杏出墙”不必背负比男人更重的枷锁。社会也该以不同的标准来惩罚两性。其次，精神出轨作为被忽视的越轨类型同样对女性会带来伤害，我们要针对不同的越轨原因，调整关系的失序，面对不可调和的情况可以选择解体关系来达到。最后，对“红杏出墙”既成事实的女性，社会应给予理解和宽容，考虑女性越轨背后到底背负着什么，到底隐藏着多少泪水，而不是一味惩罚她们，让她们抬不起头。这个社会已经不需要用压制的性道德去规范每一个自由体，任何的决定都可以由人们自己来做出，因为这一决定所带来的后果，也只有她们自己在承担。

（作者单位：西北农林科技大学）

性出轨者受社会谴责的持续程度也比女性占有优势。从公众人物出轨事件的评论可以看出我们社会中的“双标”现象，男性公众人物在风波平息后很容易“改头换面”重新出场，而女性公众人物重塑形象要困难的多；最后，男性出轨时社会的讨伐声会转向“小三”，出轨本是两个人的选择，但大众更愿意相信女性勾引了男性而导致其出轨。不管什么形式的越轨对女性来说都是饱受愧疚和折磨的，但是社会对男女越轨的惩罚持“双标”态度，无疑是对女性的二次伤害。

3 “红杏出墙”的性道德讨论

西方学者将性道德的变化分为三个阶段：在一阶段人类的性活动处于自由散漫的未整合的状态，卖淫、通奸和同性恋都不算不道德行为。在第二阶段从纪元到20世纪中期,这一时期只有婚内的性活动才是道德的，性开始受到社会的整合。在第三阶段，人享有完全的性自由，属于性开放的时代。第一、三两阶段的区别在于，第一阶段只有男性享有自由，第三阶段女性也享有自由。中国目前处于第二和第三阶段过渡的过程，不同地区的性开放程度不同，而女性拥有的性自由也是一种半自由的状态。在我国“红杏出墙”未导致夫妻感情破裂，或者破裂后有修复可能性就不受法律的制裁，这是性解放初步体现。现代社会法律赋予自然人依法解除不幸婚姻关系的权利，也是人人平等享有的基本人身权利。当一方或双方不愿共同生活时，婚姻的肌体将会死亡，女性作为当事人她们的意愿应该得到尊重。

齐美尔认为客体文化与主体文化的相互离异导致现代人生命和生活的碎片化。金钱成为时代的主宰后，生命的感觉在逐渐地萎缩。他认为货币给现代社会装上了无法停转的

.. All Rights Reserved.

（上接第229页）

且n=p2-s

依据偶数裂项分析法有：偶数2n=n+n=(p1+d)+ (p2-s)=

(p1+p2)+(d-s)（*）

式（*）存在有以下三种情况。

3.3.1 当d=s时d-s=0盈亏平衡

由以上的(*)式得：偶数2n=p1+p2

即任意一个大于2的偶数都可表达为p1,p2二素数之和,此时哥德巴赫猜想命题成立。

当n＞6时依据BP定理有：

P1=p11+k1=p12+k2=p12+k3=…=p1i+ki(a)

P2=p21-k1=p22-k2=p23-k3=…=p2i+ki(b)

由(a)+(b)得：

p1+p2=(p11+k1)+(p21-k1)=(p12+k2)+(p22-k2)=(p13+k3)+(p23-k3)=…=(p1i+ki)+(p2i-ki)

化简得p1+p2=p11+p21=p12+p22=p13+p23=…=p1i+p2i（i∈N且i＞0）

由以上的(*)式得2n=p1+p2=p11+p21=p12+p22=p13+p23=…=p1i+p2i而且二素数p1i,p2i随着自然数n的增大在逐渐增多，所以满足表达式2n=p1i+p2i的p1i，p2i二素数存在有一对以上。

所以G1定理成立。

3.3.2 当d＞s时d-s＞0盈亏不平衡

由2n=p1+p2+(d-s)得2n＞p1+p2

说明p1+p2取值偏小，需要将p1,p2调整为p11,p21使2n=p11+p21成立。

232

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依据BP定理做下列盈亏平衡变换：

p1+d=p11+k+d=p11+d1(d1=d+k),p2-s=p21-k-s=p21-s1(s1=k+s),且d1=s1盈亏平衡

所以

2n=(p1+d)+(p2-s)=(p11+d1)+(p21-s1)=p11+p21+(d1-s1)=p11+p21

任意一个大于2的偶数都可表示为p1,p2二素数之和，此时哥德巴赫猜想命题仍然成立。

3.3.3 当d＜s时d-s＜0盈亏不平衡

由2n=p1+p2+(d-s)得2n＜p1+p2

说明了p1,p2取值偏大，需要将p1,p2调整为p11,p21使2n=p11+p21成立。

依据BP定理做下列盈亏平衡变换：

p1+d=p11+k+d=p11+d1(d1=k+d),p2-s=p21-k-s=p21-s1(s1=k+s),且d1=s1（盈亏平衡）

所以偶数

2n=(p1+d)+(p2-s)=(p11+d1)+(p21-s1)=p11+p21+(d1-s1)=p11+p21

任意一个大于2的偶数都可表示为p1,p2二素数之和,此时哥德巴赫猜想命题仍然成立。

4 结论

G1定理成立，即任意一个大于2的偶数都可表示为二素数之和，且当偶数大于12时存在有一对以上这样的二素数，偶数越大这样的二素数越多。

（作者单位：浙江创新科技学院（筹））