2024年2月26日发(作者：索寻菱)

2020 年中考代数综合

第 6 讲：二次函数图象的翻折问题

【案例赏析】

1.

当 x≤3 时，函数 y＝x2﹣2x﹣3 的图象记为 G，将图象 G 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，

图象 G 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M，若直线 y＝x+b 与图象 M 有且只有两个公共点，则 b 的取值范围是 ．

2.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与 x 轴交于 A（3，0），B

两点．

（1）

求抛物线的表达式及点 B 的坐标；

（2）

当﹣2＜x＜3 时的函数图象记为 G，求此时函数 y 的取值范围；

（3）

在（2）的条件下，将图象 G 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，图象 G 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M．若经过点 C（4，2）的直线 y＝kx+b（k≠0）与图象 M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求 b 的取值范围．

第 1页（共 20页）

3.

在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2+mx+2m﹣7 的图象经过点（1，0）．

（1）

求抛物线的表达式；

（2）

把﹣4＜x＜1 时的函数图象记为 H，求此时函数 y 的取值范围；

（3）

在（2）的条件下，将图象 H 在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象 H 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M．若直线 y＝x+b 与图象 M 有三个公共点，求 b 的取值范围．

4.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与 x 轴交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为（3，0）．

（1）

求点 B 的坐标及 m 的值；

（2）

当﹣2＜x＜3 时，结合函数图象直接写出 y 的取值范围；

（3）

将抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新

图象 M．若直线 y＝kx+1（k≠0）与图象 M 在直线合图象求 k 的取值范围．

左侧的部分只有一个公共点，结

第 2页（共 20页）

【专题突破】

5.

如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A（﹣1，0），B（3，0），与 y 轴交于点

C（0，3），点 P 是坐标平面内一点，点 P 坐标（1，﹣2）．

（1）

求抛物线的解析式；

（2）

连接 OP，若点 D 在抛物线上且∠DBO+∠POB＝90°，求点 D 的坐标；

（3）

如图 2，将抛物线 y＝ax2+bx+c 当﹣1≤x≤3 时的函数图象记为 l1，将图象 l1

在 x

轴上方的部分沿 x 轴翻折，图象 l1

的其余部分保持不变，得到一个新图象 l2．若经过点 P

的一次函数 y＝mx+n 的图象与图象 l2

在第四象限内恰有两个公共点，求 n 的取值范围．

第 3页（共 20页）

6.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣x2+2bx﹣3 的对称轴为直线 x＝2．

（1）

求 b 的值；

y 轴上有一动点 P（0，m），过点 P 作垂直 y 轴的直线交抛物线于点 A（x1，y1），

（2）

在

B（x2，y2），其中 x1＜x2．

①当 x2﹣x1＝3 时，结合函数图象，求出 m 的值；

②把直线 PB 下方的函数图象，沿直线 PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 W，新图象 W 在 0≤x≤5 时，﹣4≤y≤4，求 m 的取值范围．

7.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝nx2﹣4nx+4n﹣1（n≠0），与 x 轴交于点 C，D（点

C 在点 D 的左侧），与 y 轴交于点 A．

（1）

求抛物线顶点 M 的坐标；

（2）

若点 A 的坐标为（0，3），AB∥x 轴，交抛物线于点 B，求点 B 的坐标；

（3）

在（2）的条件下，将抛物线在 B，C 两点之间的部分沿 y 轴翻折，翻折后的图象记为 G，若直线 y＝ x+m 与图象 G 有一个交点，结合函数的图象，求 m 的取值范围．

第 4页（共 20页）

8.

在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+ mx+m2﹣3m+2 与 x 轴的交点分别为原点 O

和点 A，点 B（4，n）在这条抛物线上．

（1）

求 B 点的坐标；

（2）

将此抛物线的图象向上平移 个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）

在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线 y＝

x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．

第 5页（共 20页）

【参考答案】

1.

当 x≤3 时，函数 y＝x2﹣2x﹣3 的图象记为 G，将图象 G 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，

图象 G 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M，若直线 y＝x+b 与图象 M 有且只有两

个公共点，则 b 的取值范围是 ﹣3＜b＜1 或 b＝

．

【分析】根据题意画出图形，进而利用直线 y＝x+b 过（﹣1，0）以及（3，0）得出 b 的值，再利用直线 y＝x+b 与抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 有一个交点，求出答案．

【解答】解：如图所示：∵y＝x2﹣2x﹣3，当 y＝0，则 0＝x2﹣2x﹣3，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

当直线 y＝x+b 过（﹣1，0）时，b＝1，

当直线 y＝x+b 过（3，0）时，b＝﹣3，

故当﹣3＜b＜1 时，直线 y＝x+b 与图象 M 有且只有两个公共点，

当直线 y＝x+b 与抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 有一个交点，

则 x2﹣3x﹣3﹣b＝0 有两个相等的实数根，

故△＝b2﹣4ac＝9+4（3+b）＝0，

解得：b＝﹣ ，

综上所述：直线 y＝x+b 与图象 M 有且只有两个公共点，则 b 的取值范是：﹣3＜b＜1 或

b＝﹣ ．

． 故答案为：﹣3＜b＜1 或 b＝﹣

【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确利用数形结合分析是解题关键．

2.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与 x 轴交于 A（3，0），B

两点．

（1）

求抛物线的表达式及点 B 的坐标；

第 6页（共 20页）

（2）

当﹣2＜x＜3 时的函数图象记为 G，求此时函数 y 的取值范围；

（3）

在（2）的条件下，将图象 G 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，图象 G 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M．若经过点 C（4，2）的直线 y＝kx+b（k≠0）与图象 M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求 b 的取值范围．

【分析】（1）把点 A 的坐标代入抛物线解析式，列出关于 m 的方程，通过解该方程可以求得 m 的值；

（2）

根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；

（3）

根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．

【解答】解：（1）将 A（3，0）代入，得 m＝1．

∴抛物线的表达式为 y＝x2﹣2x﹣3． B 点的坐标（﹣1，0）．

（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．

∵当﹣2＜x＜1 时，y 随 x 增大而减小；

当 1≤x＜3 时，y 随 x 增大而增大，

∴当 x＝1，y

最小＝﹣4． 当 x＝﹣2，y＝5．

∴y 的取值范围是﹣4≤y＜5．

（3）当直线 y＝kx+b 经过 B（﹣1，0）和点（4，2）时，

解析式为 y＝x+．

当直线 y＝kx+b 经过（﹣2，﹣5）和点（4，2）时，

解析式为 y＝x﹣ ．

结合图象可得，b 的取值范围是﹣ ＜b＜ ．

第 7页（共 20页）

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度．

3.

在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2+mx+2m﹣7 的图象经过点（1，0）．

（1）

求抛物线的表达式；

（2）

把﹣4＜x＜1 时的函数图象记为 H，求此时函数 y 的取值范围；

（3）

在（2）的条件下，将图象 H 在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象 H 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M．若直线 y＝x+b 与图象 M 有三个公共点，求 b 的取值范围．

第 8页（共 20页）

【分析】（1）把点（1，0）代入抛物线解析式，列出关于 m 的方程，通过解该方程可以求得 m 的值，从而得到抛物线的表达式；

（2）

根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；

（3）

根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．

【解答】解：（1）∵二次函数 y＝x2+mx+2m﹣7 的图象经过点（1，0），

∴1+m+2m﹣7＝0，解得 m＝2．

∴抛物线的表达式为 y＝x2+2x﹣3；

（2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4．

∵当﹣4＜x＜﹣1 时，y 随 x 增大而减小；

当﹣1≤x＜1 时，y 随 x 增大而增大，

∴当 x＝﹣1，y

最小＝﹣4． 当 x＝﹣4 时，y＝5．

∴﹣4＜x＜1 时，y 的取值范围是﹣4≤y＜5；

（3）y＝x2+2x﹣3 与 x 轴交于点（﹣3，0），（1，0）．新图象 M 如右图红色部分．

把抛物线 y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4 的图象 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为 y＝﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1），

当直线 y＝x+b 经过（﹣3，0）时，直线 y＝x+b 与图象 M 有两个公共点，此时 b＝3；

当直线 y＝x+b 与抛物线 y＝﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1）相切时，直线 y＝x+b 与图象 M

有两个公共点，

即﹣（x+1）2+4＝x+b 有相等的实数解，整理得 x2+3x+b﹣3＝0，△＝32﹣4（b﹣3）＝0，

解得 b＝．

． 结合图象可得，直线 y＝x+b 与图象 M 有三个公共点，b 的取值范围是 3＜b＜

第 9页（共 20页）

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，画出函数 M 的图象是解题的关键．

4.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与 x 轴交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为（3，0）．

（1）

求点 B 的坐标及 m 的值；

（2）

当﹣2＜x＜3 时，结合函数图象直接写出 y 的取值范围；

（3）

将抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新

图象 M．若直线 y＝kx+1（k≠0）与图象 M 在直线合图象求 k 的取值范围．

左侧的部分只有一个公共点，结

第 10页（共 20页）

【分析】（1）求出对称轴，根据对称性求出点 B 坐标，利用待定系数法求出 m 的值．

（2）

画出图象，利用图象即可解决问题．

（3）

当直线 y＝kx+1 经过点（ ，﹣ ）时，k＝﹣ ，推出直线 y＝kx+1（k≠0）与，当直线 y＝kx+1 图象 M 在直线左侧的部分只有一个公共点，由图象可知 k＜﹣经过点（﹣1，0）时，k＝1，此时直线 y＝kx+1 也满足条件，由此即可解决问题．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴 x＝1，点 A 坐标（3，0），又∵A、B 关于对称轴对称，

∴B（﹣1，0），

把点 B（﹣1，0）代入得到 0＝m+2m﹣3，

∴m＝1．

（2）如图，由图象可知，当﹣2＜x＜3 时，﹣4≤y＜5．

（3）将抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新

第 11页（共 20页）

图象 M，如图所示，

∵x＝ 时 ，y＝ ﹣1﹣3＝﹣

，

）时，k＝﹣ ， ∴当直线 y＝kx+1 经过点（ ，﹣

∴直线 y＝kx+1（k≠0）与图象 M 在直线k＜﹣ ，

左侧的部分只有一个公共点，由图象可知

当直线 y＝kx+1 经过点（﹣1，0）时，k＝1，此时直线 y＝kx+1 也满足条件，

综上所述，k 的取值范围为 k＜﹣或 k＝1．

【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是学会正确画出函数图象，利用图象法解决问题，属于中考常考题型．

5.

如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A（﹣1，0），B（3，0），与 y 轴交于点

C（0，3），点 P 是坐标平面内一点，点 P 坐标（1，﹣2）．

（1）

求抛物线的解析式；

（2）

连接 OP，若点 D 在抛物线上且∠DBO+∠POB＝90°，求点 D 的坐标；

（3）

如图 2，将抛物线 y＝ax2+bx+c 当﹣1≤x≤3 时的函数图象记为 l1，将图象 l1

在 x

轴上方的部分沿 x 轴翻折，图象 l1

的其余部分保持不变，得到一个新图象 l2．若经过点 P

的一次函数 y＝mx+n 的图象与图象 l2

在第四象限内恰有两个公共点，求 n 的取值范围．

第 12页（共 20页）

【分析】（1）设交点式 y＝a（x+1）（x﹣3），然后把 C 点坐标代入求出 a 的值即可得到抛物线的解析式；

（2）如图 1 中，如图 1 中，作 PH⊥OB 于 H．由 P（1，﹣2），推出 tan∠OPH＝，由

∠DBO+∠POB＝90°，∠POB+∠P＝90°，

推出∠DBO＝∠P，推出 tan∠DBO＝，设 BD 交 y 轴于 E，则 E（0，），可得直线

BD 的解析式为 y＝﹣x+ ，利用方程组即可求出点 D 坐标，同法求出 D′；

（3）当直线 y＝mx+n 经过 P（1，﹣2），B（3，0）时，则有可得一次函数的解析式为 y＝x﹣3，观察图象即可解决问题；

【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3），把 C（0，3）代入得 a•1•（﹣3）＝3，解得 a＝﹣1，

所以抛物线解析式为 y＝﹣（x+1）（x﹣3），即 y＝﹣x2+2x+3；

，解得，

（2）

如图 1 中，作 PH⊥OB 于 H．

第 13页（共 20页）

∵P（1，﹣2），

∴tan∠OPH＝ ，

∵∠DBO+∠POB＝90°，∠POB+∠P＝90°，

∴∠DBO＝∠P，

∴tan∠DBO＝，设 BD 交 y 轴于 E，则 E（0，），

∴直线 BD 的解析式为 y＝﹣x+，

由

，

解得

或 ，

∴D（﹣，）．

当点 D′在 x 轴下方时，直线 BD′的解析式为 y＝x﹣ ，

由

，

解得

或 ．

∴D′（﹣，﹣）．

（3）

如图 2 中，

第 14页（共 20页）

当直线 y＝mx+n 经过 P（1，﹣2），B（3，0）时，则有

解得 ，

，∴一次函数的解析式为 y＝x﹣3．

观察图象可知：n＞﹣3 时，直线经过点 P 的一次函数 y＝mx+n 的图象与图象 l2

在第四象限内恰有两个公共点．

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、两直线垂直 k 的乘积为﹣1 等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

6.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣x2+2bx﹣3 的对称轴为直线 x＝2．

（1）

求 b 的值；

y 轴上有一动点 P（0，m），过点 P 作垂直 y 轴的直线交抛物线于点 A（x1，y1），

（2）

在

B（x2，y2），其中 x1＜x2．

①当 x2﹣x1＝3 时，结合函数图象，求出 m 的值；

②把直线 PB 下方的函数图象，沿直线 PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 W，新图象 W 在 0≤x≤5 时，﹣4≤y≤4，求 m 的取值范围．

第 15页（共 20页）

【分析】（1）根据对称轴 x＝﹣ ，求出 b 的值；

（2）①先根据 x2﹣x1＝3 及对称轴方程，确定 A、B 中一个点的坐标，代入解析式求出

m 的值．

②根据图象和 x、y 的取值范围，可求出 m 的值．

【解答】解：（1）∵抛物线 y＝﹣x2+2bx﹣3 的对称轴为直线 x＝2，

∴﹣ ＝2，即﹣ ＝2

∴b＝2．

（2）①∴抛物线的表达式为 y＝﹣x2+4x﹣3．

∵A（x1，y），B（x2，y），

∴直线 AB 平行 x 轴．

∵x2﹣x1＝3，

∴AB＝3．

∵对称轴为 x＝2，

∴A（，m）．

∴当 时，m＝﹣（ ）2+4× ﹣3＝﹣ ．

②当 y＝m＝﹣4 时，0≤x≤5 时，﹣4≤y≤1；

当 y＝m＝﹣2 时，0≤x≤5 时，﹣2≤y≤4；

∴m 的取值范围为﹣4≤m≤﹣2．

第 16页（共 20页）

【点评】本题考查了二次函数的性质，图形的翻折变化等知识，解决本题的关键是 l 理解题意，充分的利用数形结合的思想．

7.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝nx2﹣4nx+4n﹣1（n≠0），与 x 轴交于点 C，D（点

C 在点 D 的左侧），与 y 轴交于点 A．

（1）

求抛物线顶点 M 的坐标；

（2）

若点 A 的坐标为（0，3），AB∥x 轴，交抛物线于点 B，求点 B 的坐标；

（3）

在（2）的条件下，将抛物线在 B，C 两点之间的部分沿 y 轴翻折，翻折后的图象记

为 G，若直线 y＝x+m 与图象 G 有一个交点，结合函数的图象，求 m 的取值范围．

【分析】（1）利用配方法将已知函数解析式转化为顶点式方程，可以直接得到答案．．

（2）

根据抛物线的对称性质解答；

（3）

利用待定系数法求得抛物线的表达式为 y＝x2﹣4x+3．根据题意作出图象 G，结合图象求得 m 的取值范围．

【解答】解：（1）∵y＝nx2﹣4nx+4n﹣1＝n（x2﹣2）2﹣1，

∴该抛物线的顶点 M 的坐标为（2，﹣1）；

（2）

由（1）知，该抛物线的顶点 M 的坐标为（2，﹣1）；

∴该抛物线的对称轴直线是 x＝2，

∵点 A 的坐标为（0，3），AB∥x 轴，交抛物线于点 B，

∴点 A 与点 B 关于直线 x＝2 对称，

∴B（4，3）；

（3）

∵抛物线 y＝nx2﹣4nx+4n﹣1 与 y 轴交于点 A（0，3），

∴4n﹣1＝3．

第 17页（共 20页）

∴n＝1．

∴抛物线的表达式为 y＝x2﹣4x+3．

∴抛物线 G 的解析式为：y＝x2+4x+3

由 x+m＝x2+4x+3．

由△＝0，得：m＝﹣

∵抛物线 y＝x2﹣4x+3 与 x 轴的交点 C 的坐标为（1，0），

∴点 C 关于 y 轴的对称点 C1

的坐标为（﹣1，0）．把（﹣1，0）代入 y＝x+m，得：m＝ ．

把（﹣4，3）代入 y＝x+m，得：m＝5．

∴所求 m 的取值范围是 m＝﹣或 ＜m≤5．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，画出函数 G 的图象是解题的关键．

8.

在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+ mx+m2﹣3m+2 与 x 轴的交点分别为原点 O

和点 A，点 B（4，n）在这条抛物线上．

（1）

求 B 点的坐标；

（2）

将此抛物线的图象向上平移 个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）

在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线 y＝

x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．

【分析】（1）把原点坐标代入抛物线，解关于 m 的一元二次方程得到 m 的值，再根据二次项系数不等于 0 确定出函数解析式，再把点 B 坐标代入函数解析式求出 n 的值，即可得解；

（2）

根据向上平移纵坐标加解答即可；

（3）

把直线解析式与抛物线解析式联立，消掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，根据△＝

0 求出 b 的值，然后令 y＝0 求出抛物线与 x 轴的交点坐标，再求出直线经过抛物线与 x

轴左边交点的 b 值，然后根据图形写出 b 的取值范围即可．

【解答】解：（1）∵抛物线经过原点 O，

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∴m2﹣3m+2＝0，

解得 m1＝1，m2＝2，

当 m＝1 时，﹣∴m＝2，

∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+3x，

∵点 B（4，n）在这条抛物线上，

∴n＝﹣ ×42+3×4＝﹣8+12＝4，

∴点 B（4，4）；

＝﹣ ＝0，

（2）

∵抛物线的图象向上平移 个单位，

∴平移后的图象的解析式 y＝﹣x2+3x+ ；

（3）

联立 ，

消 掉 y 得 ，﹣ x2+3x+ ＝ x+b，

整理得，x2﹣5x+2b﹣7＝0，

△＝（﹣5）2﹣4×1×（2b﹣7）＝0，

解得 b＝，

令 y＝0，则﹣x2+3x+ ＝0，

整理得，x2﹣6x﹣7＝0，

解得 x1＝﹣1，x2＝7，

∴抛物线与 x 轴左边的交点为（﹣1，0），

当直线 y＝x+b 经过点（﹣1，0）时，×（﹣1）+b＝0，

解得 b＝，

当该直线经过点（7，0）时， ×7+b＝0，

第 19页（共 20页）

解得 b＝﹣，

∴当直线 y＝x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围为 b＞或﹣ ＜b＜ ．

【点评】本题是二次函数综合题，主要利用了解一元二次方程，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，难点在于（3）求出直线与抛物线有三个交点时的 b

值，作出图形更形象直观．

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2024年2月26日发(作者：索寻菱)

2020 年中考代数综合

第 6 讲：二次函数图象的翻折问题

【案例赏析】

1.

当 x≤3 时，函数 y＝x2﹣2x﹣3 的图象记为 G，将图象 G 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，

图象 G 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M，若直线 y＝x+b 与图象 M 有且只有两个公共点，则 b 的取值范围是 ．

2.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与 x 轴交于 A（3，0），B

两点．

（1）

求抛物线的表达式及点 B 的坐标；

（2）

当﹣2＜x＜3 时的函数图象记为 G，求此时函数 y 的取值范围；

（3）

在（2）的条件下，将图象 G 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，图象 G 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M．若经过点 C（4，2）的直线 y＝kx+b（k≠0）与图象 M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求 b 的取值范围．

第 1页（共 20页）

3.

在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2+mx+2m﹣7 的图象经过点（1，0）．

（1）

求抛物线的表达式；

（2）

把﹣4＜x＜1 时的函数图象记为 H，求此时函数 y 的取值范围；

（3）

在（2）的条件下，将图象 H 在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象 H 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M．若直线 y＝x+b 与图象 M 有三个公共点，求 b 的取值范围．

4.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与 x 轴交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为（3，0）．

（1）

求点 B 的坐标及 m 的值；

（2）

当﹣2＜x＜3 时，结合函数图象直接写出 y 的取值范围；

（3）

将抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新

图象 M．若直线 y＝kx+1（k≠0）与图象 M 在直线合图象求 k 的取值范围．

左侧的部分只有一个公共点，结

第 2页（共 20页）

【专题突破】

5.

如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A（﹣1，0），B（3，0），与 y 轴交于点

C（0，3），点 P 是坐标平面内一点，点 P 坐标（1，﹣2）．

（1）

求抛物线的解析式；

（2）

连接 OP，若点 D 在抛物线上且∠DBO+∠POB＝90°，求点 D 的坐标；

（3）

如图 2，将抛物线 y＝ax2+bx+c 当﹣1≤x≤3 时的函数图象记为 l1，将图象 l1

在 x

轴上方的部分沿 x 轴翻折，图象 l1

的其余部分保持不变，得到一个新图象 l2．若经过点 P

的一次函数 y＝mx+n 的图象与图象 l2

在第四象限内恰有两个公共点，求 n 的取值范围．

第 3页（共 20页）

6.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣x2+2bx﹣3 的对称轴为直线 x＝2．

（1）

求 b 的值；

y 轴上有一动点 P（0，m），过点 P 作垂直 y 轴的直线交抛物线于点 A（x1，y1），

（2）

在

B（x2，y2），其中 x1＜x2．

①当 x2﹣x1＝3 时，结合函数图象，求出 m 的值；

②把直线 PB 下方的函数图象，沿直线 PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 W，新图象 W 在 0≤x≤5 时，﹣4≤y≤4，求 m 的取值范围．

7.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝nx2﹣4nx+4n﹣1（n≠0），与 x 轴交于点 C，D（点

C 在点 D 的左侧），与 y 轴交于点 A．

（1）

求抛物线顶点 M 的坐标；

（2）

若点 A 的坐标为（0，3），AB∥x 轴，交抛物线于点 B，求点 B 的坐标；

（3）

在（2）的条件下，将抛物线在 B，C 两点之间的部分沿 y 轴翻折，翻折后的图象记为 G，若直线 y＝ x+m 与图象 G 有一个交点，结合函数的图象，求 m 的取值范围．

第 4页（共 20页）

8.

在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+ mx+m2﹣3m+2 与 x 轴的交点分别为原点 O

和点 A，点 B（4，n）在这条抛物线上．

（1）

求 B 点的坐标；

（2）

将此抛物线的图象向上平移 个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）

在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线 y＝

x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．

第 5页（共 20页）

【参考答案】

1.

当 x≤3 时，函数 y＝x2﹣2x﹣3 的图象记为 G，将图象 G 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，

图象 G 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M，若直线 y＝x+b 与图象 M 有且只有两

个公共点，则 b 的取值范围是 ﹣3＜b＜1 或 b＝

．

【分析】根据题意画出图形，进而利用直线 y＝x+b 过（﹣1，0）以及（3，0）得出 b 的值，再利用直线 y＝x+b 与抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 有一个交点，求出答案．

【解答】解：如图所示：∵y＝x2﹣2x﹣3，当 y＝0，则 0＝x2﹣2x﹣3，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

当直线 y＝x+b 过（﹣1，0）时，b＝1，

当直线 y＝x+b 过（3，0）时，b＝﹣3，

故当﹣3＜b＜1 时，直线 y＝x+b 与图象 M 有且只有两个公共点，

当直线 y＝x+b 与抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 有一个交点，

则 x2﹣3x﹣3﹣b＝0 有两个相等的实数根，

故△＝b2﹣4ac＝9+4（3+b）＝0，

解得：b＝﹣ ，

综上所述：直线 y＝x+b 与图象 M 有且只有两个公共点，则 b 的取值范是：﹣3＜b＜1 或

b＝﹣ ．

． 故答案为：﹣3＜b＜1 或 b＝﹣

【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确利用数形结合分析是解题关键．

2.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与 x 轴交于 A（3，0），B

两点．

（1）

求抛物线的表达式及点 B 的坐标；

第 6页（共 20页）

（2）

当﹣2＜x＜3 时的函数图象记为 G，求此时函数 y 的取值范围；

（3）

在（2）的条件下，将图象 G 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，图象 G 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M．若经过点 C（4，2）的直线 y＝kx+b（k≠0）与图象 M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求 b 的取值范围．

【分析】（1）把点 A 的坐标代入抛物线解析式，列出关于 m 的方程，通过解该方程可以求得 m 的值；

（2）

根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；

（3）

根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．

【解答】解：（1）将 A（3，0）代入，得 m＝1．

∴抛物线的表达式为 y＝x2﹣2x﹣3． B 点的坐标（﹣1，0）．

（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．

∵当﹣2＜x＜1 时，y 随 x 增大而减小；

当 1≤x＜3 时，y 随 x 增大而增大，

∴当 x＝1，y

最小＝﹣4． 当 x＝﹣2，y＝5．

∴y 的取值范围是﹣4≤y＜5．

（3）当直线 y＝kx+b 经过 B（﹣1，0）和点（4，2）时，

解析式为 y＝x+．

当直线 y＝kx+b 经过（﹣2，﹣5）和点（4，2）时，

解析式为 y＝x﹣ ．

结合图象可得，b 的取值范围是﹣ ＜b＜ ．

第 7页（共 20页）

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度．

3.

在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2+mx+2m﹣7 的图象经过点（1，0）．

（1）

求抛物线的表达式；

（2）

把﹣4＜x＜1 时的函数图象记为 H，求此时函数 y 的取值范围；

（3）

在（2）的条件下，将图象 H 在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象 H 的其余部分保持不变，得到一个新图象 M．若直线 y＝x+b 与图象 M 有三个公共点，求 b 的取值范围．

第 8页（共 20页）

【分析】（1）把点（1，0）代入抛物线解析式，列出关于 m 的方程，通过解该方程可以求得 m 的值，从而得到抛物线的表达式；

（2）

根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；

（3）

根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．

【解答】解：（1）∵二次函数 y＝x2+mx+2m﹣7 的图象经过点（1，0），

∴1+m+2m﹣7＝0，解得 m＝2．

∴抛物线的表达式为 y＝x2+2x﹣3；

（2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4．

∵当﹣4＜x＜﹣1 时，y 随 x 增大而减小；

当﹣1≤x＜1 时，y 随 x 增大而增大，

∴当 x＝﹣1，y

最小＝﹣4． 当 x＝﹣4 时，y＝5．

∴﹣4＜x＜1 时，y 的取值范围是﹣4≤y＜5；

（3）y＝x2+2x﹣3 与 x 轴交于点（﹣3，0），（1，0）．新图象 M 如右图红色部分．

把抛物线 y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4 的图象 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为 y＝﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1），

当直线 y＝x+b 经过（﹣3，0）时，直线 y＝x+b 与图象 M 有两个公共点，此时 b＝3；

当直线 y＝x+b 与抛物线 y＝﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1）相切时，直线 y＝x+b 与图象 M

有两个公共点，

即﹣（x+1）2+4＝x+b 有相等的实数解，整理得 x2+3x+b﹣3＝0，△＝32﹣4（b﹣3）＝0，

解得 b＝．

． 结合图象可得，直线 y＝x+b 与图象 M 有三个公共点，b 的取值范围是 3＜b＜

第 9页（共 20页）

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，画出函数 M 的图象是解题的关键．

4.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与 x 轴交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为（3，0）．

（1）

求点 B 的坐标及 m 的值；

（2）

当﹣2＜x＜3 时，结合函数图象直接写出 y 的取值范围；

（3）

将抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新

图象 M．若直线 y＝kx+1（k≠0）与图象 M 在直线合图象求 k 的取值范围．

左侧的部分只有一个公共点，结

第 10页（共 20页）

【分析】（1）求出对称轴，根据对称性求出点 B 坐标，利用待定系数法求出 m 的值．

（2）

画出图象，利用图象即可解决问题．

（3）

当直线 y＝kx+1 经过点（ ，﹣ ）时，k＝﹣ ，推出直线 y＝kx+1（k≠0）与，当直线 y＝kx+1 图象 M 在直线左侧的部分只有一个公共点，由图象可知 k＜﹣经过点（﹣1，0）时，k＝1，此时直线 y＝kx+1 也满足条件，由此即可解决问题．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴 x＝1，点 A 坐标（3，0），又∵A、B 关于对称轴对称，

∴B（﹣1，0），

把点 B（﹣1，0）代入得到 0＝m+2m﹣3，

∴m＝1．

（2）如图，由图象可知，当﹣2＜x＜3 时，﹣4≤y＜5．

（3）将抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新

第 11页（共 20页）

图象 M，如图所示，

∵x＝ 时 ，y＝ ﹣1﹣3＝﹣

，

）时，k＝﹣ ， ∴当直线 y＝kx+1 经过点（ ，﹣

∴直线 y＝kx+1（k≠0）与图象 M 在直线k＜﹣ ，

左侧的部分只有一个公共点，由图象可知

当直线 y＝kx+1 经过点（﹣1，0）时，k＝1，此时直线 y＝kx+1 也满足条件，

综上所述，k 的取值范围为 k＜﹣或 k＝1．

【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是学会正确画出函数图象，利用图象法解决问题，属于中考常考题型．

5.

如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A（﹣1，0），B（3，0），与 y 轴交于点

C（0，3），点 P 是坐标平面内一点，点 P 坐标（1，﹣2）．

（1）

求抛物线的解析式；

（2）

连接 OP，若点 D 在抛物线上且∠DBO+∠POB＝90°，求点 D 的坐标；

（3）

如图 2，将抛物线 y＝ax2+bx+c 当﹣1≤x≤3 时的函数图象记为 l1，将图象 l1

在 x

轴上方的部分沿 x 轴翻折，图象 l1

的其余部分保持不变，得到一个新图象 l2．若经过点 P

的一次函数 y＝mx+n 的图象与图象 l2

在第四象限内恰有两个公共点，求 n 的取值范围．

第 12页（共 20页）

【分析】（1）设交点式 y＝a（x+1）（x﹣3），然后把 C 点坐标代入求出 a 的值即可得到抛物线的解析式；

（2）如图 1 中，如图 1 中，作 PH⊥OB 于 H．由 P（1，﹣2），推出 tan∠OPH＝，由

∠DBO+∠POB＝90°，∠POB+∠P＝90°，

推出∠DBO＝∠P，推出 tan∠DBO＝，设 BD 交 y 轴于 E，则 E（0，），可得直线

BD 的解析式为 y＝﹣x+ ，利用方程组即可求出点 D 坐标，同法求出 D′；

（3）当直线 y＝mx+n 经过 P（1，﹣2），B（3，0）时，则有可得一次函数的解析式为 y＝x﹣3，观察图象即可解决问题；

【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3），把 C（0，3）代入得 a•1•（﹣3）＝3，解得 a＝﹣1，

所以抛物线解析式为 y＝﹣（x+1）（x﹣3），即 y＝﹣x2+2x+3；

，解得，

（2）

如图 1 中，作 PH⊥OB 于 H．

第 13页（共 20页）

∵P（1，﹣2），

∴tan∠OPH＝ ，

∵∠DBO+∠POB＝90°，∠POB+∠P＝90°，

∴∠DBO＝∠P，

∴tan∠DBO＝，设 BD 交 y 轴于 E，则 E（0，），

∴直线 BD 的解析式为 y＝﹣x+，

由

，

解得

或 ，

∴D（﹣，）．

当点 D′在 x 轴下方时，直线 BD′的解析式为 y＝x﹣ ，

由

，

解得

或 ．

∴D′（﹣，﹣）．

（3）

如图 2 中，

第 14页（共 20页）

当直线 y＝mx+n 经过 P（1，﹣2），B（3，0）时，则有

解得 ，

，∴一次函数的解析式为 y＝x﹣3．

观察图象可知：n＞﹣3 时，直线经过点 P 的一次函数 y＝mx+n 的图象与图象 l2

在第四象限内恰有两个公共点．

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、两直线垂直 k 的乘积为﹣1 等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

6.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣x2+2bx﹣3 的对称轴为直线 x＝2．

（1）

求 b 的值；

y 轴上有一动点 P（0，m），过点 P 作垂直 y 轴的直线交抛物线于点 A（x1，y1），

（2）

在

B（x2，y2），其中 x1＜x2．

①当 x2﹣x1＝3 时，结合函数图象，求出 m 的值；

②把直线 PB 下方的函数图象，沿直线 PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 W，新图象 W 在 0≤x≤5 时，﹣4≤y≤4，求 m 的取值范围．

第 15页（共 20页）

【分析】（1）根据对称轴 x＝﹣ ，求出 b 的值；

（2）①先根据 x2﹣x1＝3 及对称轴方程，确定 A、B 中一个点的坐标，代入解析式求出

m 的值．

②根据图象和 x、y 的取值范围，可求出 m 的值．

【解答】解：（1）∵抛物线 y＝﹣x2+2bx﹣3 的对称轴为直线 x＝2，

∴﹣ ＝2，即﹣ ＝2

∴b＝2．

（2）①∴抛物线的表达式为 y＝﹣x2+4x﹣3．

∵A（x1，y），B（x2，y），

∴直线 AB 平行 x 轴．

∵x2﹣x1＝3，

∴AB＝3．

∵对称轴为 x＝2，

∴A（，m）．

∴当 时，m＝﹣（ ）2+4× ﹣3＝﹣ ．

②当 y＝m＝﹣4 时，0≤x≤5 时，﹣4≤y≤1；

当 y＝m＝﹣2 时，0≤x≤5 时，﹣2≤y≤4；

∴m 的取值范围为﹣4≤m≤﹣2．

第 16页（共 20页）

【点评】本题考查了二次函数的性质，图形的翻折变化等知识，解决本题的关键是 l 理解题意，充分的利用数形结合的思想．

7.

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝nx2﹣4nx+4n﹣1（n≠0），与 x 轴交于点 C，D（点

C 在点 D 的左侧），与 y 轴交于点 A．

（1）

求抛物线顶点 M 的坐标；

（2）

若点 A 的坐标为（0，3），AB∥x 轴，交抛物线于点 B，求点 B 的坐标；

（3）

在（2）的条件下，将抛物线在 B，C 两点之间的部分沿 y 轴翻折，翻折后的图象记

为 G，若直线 y＝x+m 与图象 G 有一个交点，结合函数的图象，求 m 的取值范围．

【分析】（1）利用配方法将已知函数解析式转化为顶点式方程，可以直接得到答案．．

（2）

根据抛物线的对称性质解答；

（3）

利用待定系数法求得抛物线的表达式为 y＝x2﹣4x+3．根据题意作出图象 G，结合图象求得 m 的取值范围．

【解答】解：（1）∵y＝nx2﹣4nx+4n﹣1＝n（x2﹣2）2﹣1，

∴该抛物线的顶点 M 的坐标为（2，﹣1）；

（2）

由（1）知，该抛物线的顶点 M 的坐标为（2，﹣1）；

∴该抛物线的对称轴直线是 x＝2，

∵点 A 的坐标为（0，3），AB∥x 轴，交抛物线于点 B，

∴点 A 与点 B 关于直线 x＝2 对称，

∴B（4，3）；

（3）

∵抛物线 y＝nx2﹣4nx+4n﹣1 与 y 轴交于点 A（0，3），

∴4n﹣1＝3．

第 17页（共 20页）

∴n＝1．

∴抛物线的表达式为 y＝x2﹣4x+3．

∴抛物线 G 的解析式为：y＝x2+4x+3

由 x+m＝x2+4x+3．

由△＝0，得：m＝﹣

∵抛物线 y＝x2﹣4x+3 与 x 轴的交点 C 的坐标为（1，0），

∴点 C 关于 y 轴的对称点 C1

的坐标为（﹣1，0）．把（﹣1，0）代入 y＝x+m，得：m＝ ．

把（﹣4，3）代入 y＝x+m，得：m＝5．

∴所求 m 的取值范围是 m＝﹣或 ＜m≤5．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，画出函数 G 的图象是解题的关键．

8.

在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+ mx+m2﹣3m+2 与 x 轴的交点分别为原点 O

和点 A，点 B（4，n）在这条抛物线上．

（1）

求 B 点的坐标；

（2）

将此抛物线的图象向上平移 个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）

在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线 y＝

x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．

【分析】（1）把原点坐标代入抛物线，解关于 m 的一元二次方程得到 m 的值，再根据二次项系数不等于 0 确定出函数解析式，再把点 B 坐标代入函数解析式求出 n 的值，即可得解；

（2）

根据向上平移纵坐标加解答即可；

（3）

把直线解析式与抛物线解析式联立，消掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，根据△＝

0 求出 b 的值，然后令 y＝0 求出抛物线与 x 轴的交点坐标，再求出直线经过抛物线与 x

轴左边交点的 b 值，然后根据图形写出 b 的取值范围即可．

【解答】解：（1）∵抛物线经过原点 O，

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∴m2﹣3m+2＝0，

解得 m1＝1，m2＝2，

当 m＝1 时，﹣∴m＝2，

∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+3x，

∵点 B（4，n）在这条抛物线上，

∴n＝﹣ ×42+3×4＝﹣8+12＝4，

∴点 B（4，4）；

＝﹣ ＝0，

（2）

∵抛物线的图象向上平移 个单位，

∴平移后的图象的解析式 y＝﹣x2+3x+ ；

（3）

联立 ，

消 掉 y 得 ，﹣ x2+3x+ ＝ x+b，

整理得，x2﹣5x+2b﹣7＝0，

△＝（﹣5）2﹣4×1×（2b﹣7）＝0，

解得 b＝，

令 y＝0，则﹣x2+3x+ ＝0，

整理得，x2﹣6x﹣7＝0，

解得 x1＝﹣1，x2＝7，

∴抛物线与 x 轴左边的交点为（﹣1，0），

当直线 y＝x+b 经过点（﹣1，0）时，×（﹣1）+b＝0，

解得 b＝，

当该直线经过点（7，0）时， ×7+b＝0，

第 19页（共 20页）

解得 b＝﹣，

∴当直线 y＝x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围为 b＞或﹣ ＜b＜ ．

【点评】本题是二次函数综合题，主要利用了解一元二次方程，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，难点在于（3）求出直线与抛物线有三个交点时的 b

值，作出图形更形象直观．

第 20页（共 20页）