2024年3月3日发(作者：农欣然)
LPG»-Gtr；
初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
一、常用公式或结论
(1)横线段的长
=x大-X小=x^x左=横标之差的绝对值(用于情况不明)。
纵线段的长=y大沙小=丫上-y下=纵标之差的绝对值(用于情况不明)。
(2)点轴距离：
点P(X。，yo)到X轴的距离为|y0|,到Y轴的距离为|x。。
(3)两点间的距离公式：
若
A
(Xi,yi),
B(X2,y2),则
AB= J(x1
—x2)2+(y1
一
y2)2
(4)点到直线的距离：
点P(X。，yo)到直线Ax+By+C=0
(其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便 计算)的距离为：
d —°_ yo_C A B
AxB22(5)中点坐标公式：
若A(xi,yi), B
(X2,y2),则线段AB的中点坐标为(上二，么〜)
2 2
(6)直线的斜率公式：
若
A
(xi,yi),
B
(x2,y2)% 双2),则直线
AB
的斜率为：kAB
= *j, (xi
双2)
x1
一％
(7)两直线平行的结论：
已知直线
li： y=kix+bi
; I2： y=k2X+b2
①右
I1//I2,则
ki=k2；②右
ki=kz,且
bi
为2,则
li〃l2。
(8)两直线垂直的结论：
已知直线
li： y=kix+bi
; I2： y=k2X+b2
①右
li」2,则
ki?k2
=-i ；②若
ki?k2
=-i ,则
li」2
第10页共1页
(9)直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长公式
：
【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】
直线y=kx+n与抛物线
y=ax+bx+c
(或双曲线
y=m/x)截得的弦长公式是：
2AB=
41 +k2 • Xi — X2
=
Ji +
k2
・{(xi
+X2) —4x1X2
2证明如下：
设直线y=kx+n与抛物线y=ax+bx+c
(或双曲线y=m/x)交于A (xi, yi),
2B(X2, y2)两点，由两点间的距离公式可得：
AB=
J(x1
-x2)
+(y1
-y2)
,因为
A (x1, y1)
,B (x2, y2)两点是直线
y=kx+n
与抛 物线22抛物线y=ax+bx+c
(或双曲线y=m/x)的交点，所以
2A (xi, yi)
,B(X2, y2)两点也在直线
y=kx+n
上,
yi=kxi+n, y2=kx2+n,
222yi-y2= (kxi+n) — (kx2+n) =kxi-kx2=k(X1-X2),
22222「•
AB=
：’(月—x)
+k(x1
-x)
=。(1 +k)(x1
-x)
=
111 +
k2
* x1
- x2
=..1 k ■
(x1
x2) -4x1x2
22而Xi, X2显然是直线y=kx+n与抛物线y=ax+bx+c
(或双曲线y=m/x)组成方
程组后，消去y
(用代入法)所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达
定理Xi+X2
, Xi・X2可轻松求出，进而直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长就 很容易计算或表示出来。
2(I0)由特殊数据得到或联想的结论：
①已知点的坐标或线段的长度中若含有
角出现。
②在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若 有特殊角出现，那很多问题就好解决了。
③还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率
Y2J3等敏感数字信息，那很可能有特殊
K的值，若K=
土心，则直线
3
第10页共2页
与X轴的夹角为30
；若仁士1；则直线与X轴的夹角为45
；若仁士正，则直线
00与X轴的夹角为600
教学建议：在八年级下册讲一次函数与反比例函数时， 就引入上述绝大多数公式，
然后再强化练习，为后续学习打下基础。
二、基本公式或结论训练
----- 破解函数难题的基石
(一)横线段的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度=*大-x小
(1)若
A (2,0), B (10,0 ),贝U AB=- .............。
(2)若
A (-2,0 ), B (-4,0 ),则
AB=- ................
。
(3)若
M (-3,0 ), N (10,0 ),则
MN- .................
。
(4)若
O (0,0 ) , A (6,0 ),则
OA二 ----------
。
(5)若
O (0,0 ) , A (-4,0 ),则
OA=— ...........
。
(6)若
O (0,0), A(t,0),
且
A在。的右端，则
OA二一。
(7)若
O (0,0), A(t,0),
且
A在。的左端，则
OA=-
o
第10页共3页
(8)若
A(-2t,6),B(3t,6),
且
A在
B
的右端，则
AB二——。
(9)若
A (4t,m) ,B(1-2t,m),
且
B在
A
的左端，则
AB=- ............
(10)若
P (2m+3,a) ,M(1-m,a),且
P在
M的右端，则
PM= -----------------
注意：横线段上任意两点的
y标是相等的，反之y标相等的任意两个点都在横
线段上。
(二)纵线段的长度计算：【特点：两端点的x标相等，长度二丫大-y小】。
(1)若
A(0,5) , B (0,7),则
AB= ------------
。
(2)若
A (0, -4), B (0, -8),,则
AB=- .......
。
(3) A 92), B (0, -6),贝U AB=
(4) A 90), B (0, -9),则
AB=
(5) A(0,0) , B(0,-6)
(6) O(0,0) , A(0,t),
且A在。的上端，则OA=-
(7)
O (0,0 ), A (0, t),且A在O的下端，则OA=
(8)
A (6, -4t),B(6,3t),
且
A在
B
的上端，则
AB=第10页共4页
(9)若
M (m,1-2t),N(m,3-4t),
且
M在
N
的下端,则
MN- ___________
。
(10)若
P (t,3n+2),M(t,1-2n),
且
P在
M的上端，贝U PM= _______
。
注意：纵线段上任意两点的
在纵线段上。
x标是相等的，反之
x标相等的任意两个点都
(三)点轴距离：
一个点(x示，y标)到x轴的的距离等于该点的
y标的绝对值(即y标)，至1J
y轴
的距离等于该点的x标的绝对值(即x标|)。
(1)点(-4,-3)到x轴的距离为 ------------- ，到y轴的距离为 ----------- 。
(2)若点A (1-2t,
t+2t-3)在第一象限，则点
A到x轴的距离为一一，到
y轴的距2离为。
(3)若点M (t,
t+4t+3)在第二象限，则点M到x轴的距离为一到y轴的 距离为 。
2(4)若点A (-t,2t-1)
在第三象限，则点
A到x轴的距离为,到y轴的距
离为。
(5)若点N (t , -t
2+2t-3)点在第四象限，则点
N到x轴的距离为 ------------
，
到y轴的距离为。
(6)若点P (t ,t
2+2t-3)在x轴上方，则点P到x轴的距离为
。第10页共5页
(7)若点Q(t, t2-2t-6
)在x轴下方，则点
Q到x轴的距离为
。
(8)若点D(t, t+4t-5 )在y轴左侧，则点
D到y轴的距离为 。
2(9)若点E(n, 2 n+ 6)在y轴的右侧，则点E到y轴的距离为。
(10)若动点P ( t , t-2t+3 )在x轴上方，且在y轴的左侧，则点
P到
x轴的距离为 ,至4丫轴的距离为 ----------------------------- 。
2(11)若动点P ( t , t-2t+3 )在x轴上方，且在y轴的右侧，则点
P到
x轴的距离为 ----------------，至4丫轴的距离为 ------------ 。
2(12)若动点P ( t , t-2t+3 )在x轴下方，且在y轴的左侧，则点
P
x轴的距离为 --------，至4丫轴的距离为 ---------- 。
2(13)若动点P ( t , t-2t+3 )在x轴下方，且在y轴的右侧，则点
P到
x轴的距离为 ----------------，至4丫轴的距离为 ---------- 。
2注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一 母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域(例如：动点P在抛物线y = x-2x+3上位于x轴下方，y轴右侧的图象上运动)
坐标中参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应
,以便准确写生动点
稿(或y标)的相反数，
第6页共6页
2
还是其本身。
(四)中点坐标的计算：
若【A (xi,y1)，B(X2,y2),,则线段AB的中点坐标为(^)】
2 , 2
(1)若
A (—4, 3 ) , B (6, 7),则
AB
中点为 ---------------
。
(2)若M (0, -6), N (6, -4),则MN的中点坐标为 --------------------
。
(3)若P
(1,-3),
Q
(1,1),则PQ的中点坐标为 ------------------
。
2 3 2
(4)若A(1,2),B(-3,4),
且B为AM的中点,则
M点的坐标为 -----------------
(5)若A(-1,3),B(0,2),
且A为BP中点，则P点坐标为 ------------------
。
(6)点P (― 5,0 )关于直线乂 =
2的对称点的坐标为 ----------------- 。
(7)点P (6,0)关于直线乂=
1的对称点的坐标为 -------------------- 。
(8)点P (6,2)关于直线乂=
3的对称点的坐标为
o
(9)点Q (— 4,3 )关于直线x=— 3的对称点的坐标为 ---------------- 。
(10)点M(—4, —2)关于直线乂=
2的对称点的坐标为 ---------------------
第10页共7页
(11)点P (4, —3)关于直线x=— 1的对称点的坐标为 ---------------------
(12)点M (― 4,2 )关于直线y =—
1的对称点的坐标为 -----------------
。
(13)点T (4, —3)关于直线丫=
1的对称点的坐标为 ----------------- 。
(14)点Q (0, —3)关于x轴的对称点的坐标为 -------------------
。
(15)点N (4,0)关于y轴的对称点的坐标为 ------------- 。
(五)由两直线平行或垂直，求直线解析式。
等；两直线垂直，则两个
k值之积为-1.】
【两直线平行，则两个
k值相
(1)某直线与直线y=2x+3平行，且过点(1,-1),求此直线的解析式。
(2)某直线与直线y=.：x+1平行，且过点(2, 3),求此直线的解析式。
(3)某直线与直线y=-2x-5平行，且过点(-3,0),求此直线的解析式。
3
(4)某直线与y轴交于点P (0,3),且与直线y=Tx-1平行，求此直线的解 析式。
第10页共8页
(5)某直线与x轴交于点P (-2,0 ),且与直线y=」x + 4平行，求此直线的
2
解析式
(6)某直线与直线y=2x-1垂直，且过点(2,1 ),求此直线的解析式。
(7)某直线与直线y=-3x+2垂直，且过点(3,2),求此直线的解析式。
(8)某直线与直线
y=2x+i垂直，且过点(2, -1 ),求此直线的解析式。
3
(9)某直线与直线y=4x-4垂直，且过点(1,-2),求此直线的解析式。
(10)某直线与x轴交于点P (-4,0 ),且与直线y=-2x + 5垂直，求此直线
3
的解析式。
(六)两点间的距离公式：
若
A(x1,y
1),B(x
2,y
2),则
二虫七-人尸 *胃-力了
(1 )若
A (-2,0 ), B (0, 3),贝U AB=- .......
。
AB((2)若
P (-2,3 ), Q (1, -1 ),贝U PQ二 ------
。
(3)若
M (0,2 ), N (-2,5 ),则
MN=
1 c
1
o
(5)若
A(2，-3),B(-1,
c 1
1
(4)若
P(2，°), Q
(°，一3),贝U PQ=- ........
o
-2),则
AB=- ...........
第10页共9页
3 1
(6)若
P(4,2),B(
一厂11彳
),贝u PB= -------------
, 4
31 /
1…
(7)若
P(4,2),B(—41),则
PB=- ...............
1 2
11
d
(8)若
P(
-4,3) , MC2,),贝
U PM=- ............
2 1 1 2
(9)若
A「5,3), B(-5「3),则
AB= ------------------
, 一
’ 2 1 -
(1 0)若
A (
一3，1),
B
(「3),则
AB= ----------------
(11)若
A (— 2,
0) , B (3,
0),贝U AB= ---------
(1 2)若
P(0, -4) , Q(0, -2),贝U PQ=- ..............
(13)若
P(3,0) , Q(4,0),则
PQ=- ...............
。
(1 4 )若
P(1 , -4) , Q(2,0),则
PQ=- .............
(七)直线的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数y=kx+b中k的值】；
第10页共10
可由两个点的坐标直接求得：
若
A
(xi,yi),
B
(X2,y2)(%米2),则直线
AB
的斜率为：kAB
= ^二2, (xi正2)
Xi
- X2
例题：若
A(2, -3) , B(-1,4),则
kAB=
解：「A(2, -3) , B(-1,4) ,
kAB=2=3^=-g
(1)若
A(0 , 2) , B(3 , 0),则
kAB
=o
(2)若
(3)若
(4)若
(5)若
A(1 , -2)
M(-3, 1) , N(-2
P(1 , -4)
C(-1 , 1) ,, B(-3,
,4),贝U
, Q(-1,
1 1
贝U
1),则kMN=o
2),则kCQ=o
kAB=o
kpQ=o
第10页共11
Q(-2,-3),
3
一
1
_ 2 _ 1
(6)
E(3, -1)，F(- 3,
-3),贝U kEF
(7)
M(-2
1 -
5.
3), Q(--万），则
M
=
kQ(8)
2
-4), Q(-1
， T),则
k =
PQP(.3,
（八）点到直线的距离公式: 点P （x0,y。）到直线Ax+By+C=0（为了方便计算，A,B,C最好化为整系数）
的距离公式为•
d」Ax。十By。：:
“虹曷A”刀. K铲；运用该公式时，要先把一次函数
y=kx+b化
为一般式Ax+By+C=0的形式（即：先写
x项，再写y项，最后写常数项,
等号右边必须是。）。
1 2
例题：求点P（2,-3）到直线y =2x-3的距离。
1
y2
解：先把直线=/F化为一般式3x-6y-4=0
所产端黑苧
的值就是把点0，。）对应代入代数式
Ax+By+C中。
（1）求点P （-2 , 1）到直（xy线y=x+2的距离。
(2)求点Q (1, -4)到直线y=2x-1的距离.
第10页共12
1
(3)求点A (1, 2)到直线y=2x—1的距离.
1
(4)求点M (0, -3)到直线y=qx—1的距离.
3
1 1 ,
(5)求点P(-2, 0)到直线y=2x时的距离.
(6)求点K (-3, -2)到直线y=1-2x的距离.
. ..... 1 1
一 一、(7)求点P (-3 , -1 )到直线y = 2x-3的距离.
2 3
. 1 1 1
一
(8)求点P (-),-1)到直线y.x+2的距离.
2
3 2
一 .
1 1
3 1.
(9)求点Q (-;, -3)到直线y=7x-；的距离.
(4)求点NI (1,-2,)关于直线丫
2
的对称点坐标＜1 c
第10页共13
2 3
4 2
(10)求点.
P (-3, -4)2
到直线3
y =
x3 1.
2-4的距离.
一 .
3 1
1 2
一
(11)求点N
(--,--)到直线y =-的距离.
2 3
2 3
(12)求点一 .
D
(-小-)2
到直线3
y=4x—3的距离1
.
5
1
4
一2
3
(13)求点..
E (-3--)3
到直线丫二2
-..
二的距离3 1
.
5
7
.....
3
2 4
(九)一个点关于一条斜直线的对称点：
(1)求点A (-2,3 )关于直线y=x-2的对称点坐标。
(2)求点B (3, -1,)关于直线y=2x-5的对称点坐标
(3)求点Q (3, 2,)关于直线y=-3x+5的对称点坐标
1 3 *1 2
(5)求点D 2,-3关于直线y=-2x+1的对称点坐标。
E(2 1)
=0」
y
二
- x
一3
一
第10页共14
(6)求点
3,-2关于直线丫一丁一万的对称点坐标。
(十)直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长：
(1)求直线y=x+2与抛物线y = x
2
—
2X
—
3截得的长。
(2)求直线y=-x+3与抛物线y = 2x
2 — 3 x — 1截得的弦长。(3)求直线y=2x-1与抛物线y = 3 x
2 — 2 x —4截得的弦长。(4)求直线y=x+1与双曲线y = 2 / x截得的弦长。
(5)求直线y=-2x-3与双曲线y=—3 / x截得的弦长。
第10页共15
(6)求直线y=-x+3与双曲线丫=
1/ x截得的弦长。
(7)求直线y=3x-5与双曲线y =—1/x截得的弦长。
(十一)求下列二次函数的最值(运用配方法，公公法，公代法三种方法求解)
(1) y=2x2-3x-l
(2)y=3x2-4x
(4)y=2/3x
2+5x-6 (5)y=3/5x2-3x
(十二)解下列方程:
(1 )
|m -5| =3
(2)卜2| = 3t+1
(5)
|2t2
-3t| =
2t-1
(7)
|n2 -3n +2=|n -3]
(8) 2m2
-3m 2 = m2
-5
(3)y=-3x
2+4x-1
(6)y=-1/2x
2-3/4x-2/3
(3)
|2t-1=|5-3t|
(6)
|t2-2t|=|5t-3|
(9)
|2m2
-3m-4| = |m2
+2m-5
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2024年3月3日发(作者：农欣然)
LPG»-Gtr；
初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
一、常用公式或结论
(1)横线段的长
=x大-X小=x^x左=横标之差的绝对值(用于情况不明)。
纵线段的长=y大沙小=丫上-y下=纵标之差的绝对值(用于情况不明)。
(2)点轴距离：
点P(X。，yo)到X轴的距离为|y0|,到Y轴的距离为|x。。
(3)两点间的距离公式：
若
A
(Xi,yi),
B(X2,y2),则
AB= J(x1
—x2)2+(y1
一
y2)2
(4)点到直线的距离：
点P(X。，yo)到直线Ax+By+C=0
(其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便 计算)的距离为：
d —°_ yo_C A B
AxB22(5)中点坐标公式：
若A(xi,yi), B
(X2,y2),则线段AB的中点坐标为(上二，么〜)
2 2
(6)直线的斜率公式：
若
A
(xi,yi),
B
(x2,y2)% 双2),则直线
AB
的斜率为：kAB
= *j, (xi
双2)
x1
一％
(7)两直线平行的结论：
已知直线
li： y=kix+bi
; I2： y=k2X+b2
①右
I1//I2,则
ki=k2；②右
ki=kz,且
bi
为2,则
li〃l2。
(8)两直线垂直的结论：
已知直线
li： y=kix+bi
; I2： y=k2X+b2
①右
li」2,则
ki?k2
=-i ；②若
ki?k2
=-i ,则
li」2
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(9)直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长公式
：
【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】
直线y=kx+n与抛物线
y=ax+bx+c
(或双曲线
y=m/x)截得的弦长公式是：
2AB=
41 +k2 • Xi — X2
=
Ji +
k2
・{(xi
+X2) —4x1X2
2证明如下：
设直线y=kx+n与抛物线y=ax+bx+c
(或双曲线y=m/x)交于A (xi, yi),
2B(X2, y2)两点，由两点间的距离公式可得：
AB=
J(x1
-x2)
+(y1
-y2)
,因为
A (x1, y1)
,B (x2, y2)两点是直线
y=kx+n
与抛 物线22抛物线y=ax+bx+c
(或双曲线y=m/x)的交点，所以
2A (xi, yi)
,B(X2, y2)两点也在直线
y=kx+n
上,
yi=kxi+n, y2=kx2+n,
222yi-y2= (kxi+n) — (kx2+n) =kxi-kx2=k(X1-X2),
22222「•
AB=
：’(月—x)
+k(x1
-x)
=。(1 +k)(x1
-x)
=
111 +
k2
* x1
- x2
=..1 k ■
(x1
x2) -4x1x2
22而Xi, X2显然是直线y=kx+n与抛物线y=ax+bx+c
(或双曲线y=m/x)组成方
程组后，消去y
(用代入法)所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达
定理Xi+X2
, Xi・X2可轻松求出，进而直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长就 很容易计算或表示出来。
2(I0)由特殊数据得到或联想的结论：
①已知点的坐标或线段的长度中若含有
角出现。
②在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若 有特殊角出现，那很多问题就好解决了。
③还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率
Y2J3等敏感数字信息，那很可能有特殊
K的值，若K=
土心，则直线
3
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与X轴的夹角为30
；若仁士1；则直线与X轴的夹角为45
；若仁士正，则直线
00与X轴的夹角为600
教学建议：在八年级下册讲一次函数与反比例函数时， 就引入上述绝大多数公式，
然后再强化练习，为后续学习打下基础。
二、基本公式或结论训练
----- 破解函数难题的基石
(一)横线段的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度=*大-x小
(1)若
A (2,0), B (10,0 ),贝U AB=- .............。
(2)若
A (-2,0 ), B (-4,0 ),则
AB=- ................
。
(3)若
M (-3,0 ), N (10,0 ),则
MN- .................
。
(4)若
O (0,0 ) , A (6,0 ),则
OA二 ----------
。
(5)若
O (0,0 ) , A (-4,0 ),则
OA=— ...........
。
(6)若
O (0,0), A(t,0),
且
A在。的右端，则
OA二一。
(7)若
O (0,0), A(t,0),
且
A在。的左端，则
OA=-
o
第10页共3页
(8)若
A(-2t,6),B(3t,6),
且
A在
B
的右端，则
AB二——。
(9)若
A (4t,m) ,B(1-2t,m),
且
B在
A
的左端，则
AB=- ............
(10)若
P (2m+3,a) ,M(1-m,a),且
P在
M的右端，则
PM= -----------------
注意：横线段上任意两点的
y标是相等的，反之y标相等的任意两个点都在横
线段上。
(二)纵线段的长度计算：【特点：两端点的x标相等，长度二丫大-y小】。
(1)若
A(0,5) , B (0,7),则
AB= ------------
。
(2)若
A (0, -4), B (0, -8),,则
AB=- .......
。
(3) A 92), B (0, -6),贝U AB=
(4) A 90), B (0, -9),则
AB=
(5) A(0,0) , B(0,-6)
(6) O(0,0) , A(0,t),
且A在。的上端，则OA=-
(7)
O (0,0 ), A (0, t),且A在O的下端，则OA=
(8)
A (6, -4t),B(6,3t),
且
A在
B
的上端，则
AB=第10页共4页
(9)若
M (m,1-2t),N(m,3-4t),
且
M在
N
的下端,则
MN- ___________
。
(10)若
P (t,3n+2),M(t,1-2n),
且
P在
M的上端，贝U PM= _______
。
注意：纵线段上任意两点的
在纵线段上。
x标是相等的，反之
x标相等的任意两个点都
(三)点轴距离：
一个点(x示，y标)到x轴的的距离等于该点的
y标的绝对值(即y标)，至1J
y轴
的距离等于该点的x标的绝对值(即x标|)。
(1)点(-4,-3)到x轴的距离为 ------------- ，到y轴的距离为 ----------- 。
(2)若点A (1-2t,
t+2t-3)在第一象限，则点
A到x轴的距离为一一，到
y轴的距2离为。
(3)若点M (t,
t+4t+3)在第二象限，则点M到x轴的距离为一到y轴的 距离为 。
2(4)若点A (-t,2t-1)
在第三象限，则点
A到x轴的距离为,到y轴的距
离为。
(5)若点N (t , -t
2+2t-3)点在第四象限，则点
N到x轴的距离为 ------------
，
到y轴的距离为。
(6)若点P (t ,t
2+2t-3)在x轴上方，则点P到x轴的距离为
。第10页共5页
(7)若点Q(t, t2-2t-6
)在x轴下方，则点
Q到x轴的距离为
。
(8)若点D(t, t+4t-5 )在y轴左侧，则点
D到y轴的距离为 。
2(9)若点E(n, 2 n+ 6)在y轴的右侧，则点E到y轴的距离为。
(10)若动点P ( t , t-2t+3 )在x轴上方，且在y轴的左侧，则点
P到
x轴的距离为 ,至4丫轴的距离为 ----------------------------- 。
2(11)若动点P ( t , t-2t+3 )在x轴上方，且在y轴的右侧，则点
P到
x轴的距离为 ----------------，至4丫轴的距离为 ------------ 。
2(12)若动点P ( t , t-2t+3 )在x轴下方，且在y轴的左侧，则点
P
x轴的距离为 --------，至4丫轴的距离为 ---------- 。
2(13)若动点P ( t , t-2t+3 )在x轴下方，且在y轴的右侧，则点
P到
x轴的距离为 ----------------，至4丫轴的距离为 ---------- 。
2注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一 母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域(例如：动点P在抛物线y = x-2x+3上位于x轴下方，y轴右侧的图象上运动)
坐标中参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应
,以便准确写生动点
稿(或y标)的相反数，
第6页共6页
2
还是其本身。
(四)中点坐标的计算：
若【A (xi,y1)，B(X2,y2),,则线段AB的中点坐标为(^)】
2 , 2
(1)若
A (—4, 3 ) , B (6, 7),则
AB
中点为 ---------------
。
(2)若M (0, -6), N (6, -4),则MN的中点坐标为 --------------------
。
(3)若P
(1,-3),
Q
(1,1),则PQ的中点坐标为 ------------------
。
2 3 2
(4)若A(1,2),B(-3,4),
且B为AM的中点,则
M点的坐标为 -----------------
(5)若A(-1,3),B(0,2),
且A为BP中点，则P点坐标为 ------------------
。
(6)点P (― 5,0 )关于直线乂 =
2的对称点的坐标为 ----------------- 。
(7)点P (6,0)关于直线乂=
1的对称点的坐标为 -------------------- 。
(8)点P (6,2)关于直线乂=
3的对称点的坐标为
o
(9)点Q (— 4,3 )关于直线x=— 3的对称点的坐标为 ---------------- 。
(10)点M(—4, —2)关于直线乂=
2的对称点的坐标为 ---------------------
第10页共7页
(11)点P (4, —3)关于直线x=— 1的对称点的坐标为 ---------------------
(12)点M (― 4,2 )关于直线y =—
1的对称点的坐标为 -----------------
。
(13)点T (4, —3)关于直线丫=
1的对称点的坐标为 ----------------- 。
(14)点Q (0, —3)关于x轴的对称点的坐标为 -------------------
。
(15)点N (4,0)关于y轴的对称点的坐标为 ------------- 。
(五)由两直线平行或垂直，求直线解析式。
等；两直线垂直，则两个
k值之积为-1.】
【两直线平行，则两个
k值相
(1)某直线与直线y=2x+3平行，且过点(1,-1),求此直线的解析式。
(2)某直线与直线y=.：x+1平行，且过点(2, 3),求此直线的解析式。
(3)某直线与直线y=-2x-5平行，且过点(-3,0),求此直线的解析式。
3
(4)某直线与y轴交于点P (0,3),且与直线y=Tx-1平行，求此直线的解 析式。
第10页共8页
(5)某直线与x轴交于点P (-2,0 ),且与直线y=」x + 4平行，求此直线的
2
解析式
(6)某直线与直线y=2x-1垂直，且过点(2,1 ),求此直线的解析式。
(7)某直线与直线y=-3x+2垂直，且过点(3,2),求此直线的解析式。
(8)某直线与直线
y=2x+i垂直，且过点(2, -1 ),求此直线的解析式。
3
(9)某直线与直线y=4x-4垂直，且过点(1,-2),求此直线的解析式。
(10)某直线与x轴交于点P (-4,0 ),且与直线y=-2x + 5垂直，求此直线
3
的解析式。
(六)两点间的距离公式：
若
A(x1,y
1),B(x
2,y
2),则
二虫七-人尸 *胃-力了
(1 )若
A (-2,0 ), B (0, 3),贝U AB=- .......
。
AB((2)若
P (-2,3 ), Q (1, -1 ),贝U PQ二 ------
。
(3)若
M (0,2 ), N (-2,5 ),则
MN=
1 c
1
o
(5)若
A(2，-3),B(-1,
c 1
1
(4)若
P(2，°), Q
(°，一3),贝U PQ=- ........
o
-2),则
AB=- ...........
第10页共9页
3 1
(6)若
P(4,2),B(
一厂11彳
),贝u PB= -------------
, 4
31 /
1…
(7)若
P(4,2),B(—41),则
PB=- ...............
1 2
11
d
(8)若
P(
-4,3) , MC2,),贝
U PM=- ............
2 1 1 2
(9)若
A「5,3), B(-5「3),则
AB= ------------------
, 一
’ 2 1 -
(1 0)若
A (
一3，1),
B
(「3),则
AB= ----------------
(11)若
A (— 2,
0) , B (3,
0),贝U AB= ---------
(1 2)若
P(0, -4) , Q(0, -2),贝U PQ=- ..............
(13)若
P(3,0) , Q(4,0),则
PQ=- ...............
。
(1 4 )若
P(1 , -4) , Q(2,0),则
PQ=- .............
(七)直线的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数y=kx+b中k的值】；
第10页共10
可由两个点的坐标直接求得：
若
A
(xi,yi),
B
(X2,y2)(%米2),则直线
AB
的斜率为：kAB
= ^二2, (xi正2)
Xi
- X2
例题：若
A(2, -3) , B(-1,4),则
kAB=
解：「A(2, -3) , B(-1,4) ,
kAB=2=3^=-g
(1)若
A(0 , 2) , B(3 , 0),则
kAB
=o
(2)若
(3)若
(4)若
(5)若
A(1 , -2)
M(-3, 1) , N(-2
P(1 , -4)
C(-1 , 1) ,, B(-3,
,4),贝U
, Q(-1,
1 1
贝U
1),则kMN=o
2),则kCQ=o
kAB=o
kpQ=o
第10页共11
Q(-2,-3),
3
一
1
_ 2 _ 1
(6)
E(3, -1)，F(- 3,
-3),贝U kEF
(7)
M(-2
1 -
5.
3), Q(--万），则
M
=
kQ(8)
2
-4), Q(-1
， T),则
k =
PQP(.3,
（八）点到直线的距离公式: 点P （x0,y。）到直线Ax+By+C=0（为了方便计算，A,B,C最好化为整系数）
的距离公式为•
d」Ax。十By。：:
“虹曷A”刀. K铲；运用该公式时，要先把一次函数
y=kx+b化
为一般式Ax+By+C=0的形式（即：先写
x项，再写y项，最后写常数项,
等号右边必须是。）。
1 2
例题：求点P（2,-3）到直线y =2x-3的距离。
1
y2
解：先把直线=/F化为一般式3x-6y-4=0
所产端黑苧
的值就是把点0，。）对应代入代数式
Ax+By+C中。
（1）求点P （-2 , 1）到直（xy线y=x+2的距离。
(2)求点Q (1, -4)到直线y=2x-1的距离.
第10页共12
1
(3)求点A (1, 2)到直线y=2x—1的距离.
1
(4)求点M (0, -3)到直线y=qx—1的距离.
3
1 1 ,
(5)求点P(-2, 0)到直线y=2x时的距离.
(6)求点K (-3, -2)到直线y=1-2x的距离.
. ..... 1 1
一 一、(7)求点P (-3 , -1 )到直线y = 2x-3的距离.
2 3
. 1 1 1
一
(8)求点P (-),-1)到直线y.x+2的距离.
2
3 2
一 .
1 1
3 1.
(9)求点Q (-;, -3)到直线y=7x-；的距离.
(4)求点NI (1,-2,)关于直线丫
2
的对称点坐标＜1 c
第10页共13
2 3
4 2
(10)求点.
P (-3, -4)2
到直线3
y =
x3 1.
2-4的距离.
一 .
3 1
1 2
一
(11)求点N
(--,--)到直线y =-的距离.
2 3
2 3
(12)求点一 .
D
(-小-)2
到直线3
y=4x—3的距离1
.
5
1
4
一2
3
(13)求点..
E (-3--)3
到直线丫二2
-..
二的距离3 1
.
5
7
.....
3
2 4
(九)一个点关于一条斜直线的对称点：
(1)求点A (-2,3 )关于直线y=x-2的对称点坐标。
(2)求点B (3, -1,)关于直线y=2x-5的对称点坐标
(3)求点Q (3, 2,)关于直线y=-3x+5的对称点坐标
1 3 *1 2
(5)求点D 2,-3关于直线y=-2x+1的对称点坐标。
E(2 1)
=0」
y
二
- x
一3
一
第10页共14
(6)求点
3,-2关于直线丫一丁一万的对称点坐标。
(十)直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长：
(1)求直线y=x+2与抛物线y = x
2
—
2X
—
3截得的长。
(2)求直线y=-x+3与抛物线y = 2x
2 — 3 x — 1截得的弦长。(3)求直线y=2x-1与抛物线y = 3 x
2 — 2 x —4截得的弦长。(4)求直线y=x+1与双曲线y = 2 / x截得的弦长。
(5)求直线y=-2x-3与双曲线y=—3 / x截得的弦长。
第10页共15
(6)求直线y=-x+3与双曲线丫=
1/ x截得的弦长。
(7)求直线y=3x-5与双曲线y =—1/x截得的弦长。
(十一)求下列二次函数的最值(运用配方法，公公法，公代法三种方法求解)
(1) y=2x2-3x-l
(2)y=3x2-4x
(4)y=2/3x
2+5x-6 (5)y=3/5x2-3x
(十二)解下列方程:
(1 )
|m -5| =3
(2)卜2| = 3t+1
(5)
|2t2
-3t| =
2t-1
(7)
|n2 -3n +2=|n -3]
(8) 2m2
-3m 2 = m2
-5
(3)y=-3x
2+4x-1
(6)y=-1/2x
2-3/4x-2/3
(3)
|2t-1=|5-3t|
(6)
|t2-2t|=|5t-3|
(9)
|2m2
-3m-4| = |m2
+2m-5
第10页共16