2024年3月7日发(作者：宿映寒)
对称问题专题
【知识要点】
1•点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点 坐标公式的应用问题.
设尸（xo, yo）,对称中心为A （a,
b）,则尸关于A的对称点为P' （2”一沏，2〃一四）.
2•点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” .利用“垂直”“平分”这两个条件建立 方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：
设点P（xo,州）关于直线产入+〃的对称点为P'（『，>，'）,则有
可求出丁、y
特殊地，点尸（Xo, yo）关于直线4〃的对称点为P'
（2（1—Xo,并）；点尸（物 和）关于直线冲。的 对称点为P' （AO,劝一和）.
3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可 选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：
（1）曲线/
（x, y） =0关于已知点A
（a, b）的对称曲线的方程是/
（2a一大2b—y） =0.
（2）曲线/（x, >1） =0关于直线户丘+b的对称曲线的求法：
设曲线/（x, y） =0上任意一点为尸（xo, yo）, P点关于直线尸H+A的对称点为P' （x, >,）,则由（2）
知，P与尸’的坐标满足
从中解出出、yo,
代入已知曲线/（x, y） =0,应有/（加 第）=0.利用坐标代换法就可求出曲线/G, y） =0关于直线."云+〃 的对称曲线方程.
4•两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
(1)
点
(X, >')
关于x轴的对称点为（x, —y）；
关于(2)
点
(X, >')
y轴的对称点为（—x, >,）；
关于原点(3)
点
(X, >')
的对称点为（一心-y）：
关于直线x—(4)
点
(X, >')
y=0的对称点为（y, x）；
关于直线(5)
点
(X, >')
x+.v=O的对称点为（-y, —x）
【典型例题】
【例11求直线az 2x+y-4=0关于直线/：
3.v+4y—1=0对称的直线b的方程.
剖析：由平面几何知识可知若直线〃、％关于直线/对称，它们具有下列几何性质：（1）若“、〃相交, 则/是〃、〃交角的平分线；（2）若点A在直线”上，那么A关于直线/的对称点8一定在直线〃上，这时
AB_L/,并且A3的中点。在/上；（3）
“以/为轴旋转180° ,
一定与〃重合.使用这些性质，可以找出直 线〃的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线 方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.
然丁：。，解得“与/的交点七⑶—E点也在…
方法一：在直线〃：2x+y-4=0上找一点A （2, 0）,设点A关于直线/的对称点8的坐标为（.如,地）,
r 2xjn 0+yn
BX——1+4X —1=0,
之一解得8（2，一）.由两点式得直线〃的方程为
（一「二二
1%-2 3
即
2r+11）4-16=0.
5 5 _2_心）3-士
5 5
方法二：设直线〃上的动点P G・，y）关于/：
3x+4y —1=0的对称点。（加，和），则有
Vf J
献俎 7x-24y + 6 - 24x-7y + 8
x - x（）
解得乂尸—25—，严 —25一
3
Q（xo，yo）在直线
a： 2x+y—4=0
上，
则
2乂7.24尹6 + -24-7尹8_4=0, 25 25
化简得2x+llv+16=0是所求直线b的方程.
方法三：设直线〃上的动点P（x,
>'）,直线“上的点。（冲，4-2xo）,且P、。两点关于直线/：
3x+4y
- 1=0对称，则有
r 13x + 4y -11
3x0 + 4（4 - 2x0） -11
5 = 5
I y_（4_2x（））_4 =—.
1
x — 3
消去
xo,得
2X+1LV+16=0 或
2r+y—4=0
（舍）.
评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与，除了点E外，分别找出确定直线位置的 另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法二与方法三是利用直线上动点的几 何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对 坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.
【例2】光线从点A （—3, 4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点
B （-
2 , 6）,求射入），轴后的反射线的方程.
剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.
解：,:A （—3, 4）关于x轴的对称点Ai （—3, -4）在经x轴反射的光线上，
同样小（-3, -4）关于y轴的对称点从2（3, -4）在经过射入），轴的反射线上，
.._ 6+4
♦•我&8=益”=2.
故所求直线方程为丁一6=-2 （x+2）,
即
2v+y-2=0.
评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.
【例3】已知点M（3, 5）,在直线/：
x-2y+2=0和），轴上各找一点尸和。，使△MPQ的周长最小.
剖析：如下图，作点M关于直线/的对称点Mi，再作点M关于y轴的对称点知2,连结MMi、MM],
连线K%、MM?与/及y轴交于尸与。两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长 最小.
0
解：由点M(3, 5)及直线/,可求得点M关于/的对称点必(5, 1).同样容易求得点M关于)，轴 的对称点(—3, 5).
据M及Mi两点可得到直线的方程为x+2y~7=0.
7
令户0,得到MM?与y轴的交点。(0，-).
2
fx+2y—7=Ot ,
、-
解方程组｛、一2"2二。，得父点
5 Q 7
故点P (1,=)、Q (0, i)即为所求.
2 4 2
评述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.
5 9
深化拓展
""…"语国石莉甬苹而丽而痂诵嬴 .................................................................
不妨再试试这个小题：已知点A (1, 3)、8 (5, 2),在x轴上找一点尸，使得IB4I+I尸BI最小，则最小 值为，尸点的坐标为.
答案：m (U, 0)
【巩固练习】
1 .已知点M(〃，))与N关于x轴对称，点P与点N关于)，轴对称，点。与点尸关于直线x+y=0对 称，则点。的坐标为
A.
(a9 b) B.
(〃，。)C. (—a,
~h) D.(一从—a)
解析:N (a,
-b), P (一a,
-b),则。(〃，“).
答案：B
2
.曲线/4式关于直线m2对称的曲线方程是
2A.^8—4x B.y=4x—8 C.^16-4A
D.'2=4X— 16
解析：设曲线产=以关于直线m2对称的曲线为C,在曲线C上任取一点尸(X, y),则P (x, y)关 于直线％=2的对称点为。(4—x, >1).因为Q (41v, y)在曲线｝2=4x上，
所以户=4 (4—x),即
4%.
答案：C
3
.已知直线/］： x+〃?y+5=0和直线，2： x+〃y+p=0，则八、%关于y轴对称的充要条件是
A.^- = — B.p=-5 C.〃?=一八 且片-5 D. —=— — K p=-5
m n m n
解析：直线/i关于y轴对称的直线方程为(f) +〃?y+5=0,即x—my-5=0,与12比较，
/, m=-n且p=-5.反之亦验证成立.
答案：C
4•点A (4, 5)关于直线/的对称点为8 (—2, 7),则/的方程为.
解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.
答案：3x—y+3=0
5
.设直线x+4)，-5=0的倾斜角为"，则它关于直线>，-3=0对称的直线的倾斜角是 ________ .
解析：数形结合.
答案：人一 °
6,已知圆。与圆(工-1)可产=1关于直线尸一x对称，则圆C的方程为
22A. (x+1) 2+)2= 1 B..v+y=l
222C.x+ (y+1) =1
D.x2+ (y— 1) =1
解析：由M
(x, y)关于y=-x的对称点为(-y, -x),
即得1+ (y+1) 2=1.
答案：c
7
.与直线x+2y—1=0关于点(1, —1)对称的直线方程为
A.2r—y—5=0 B.x+2y—3=0
C.x+2y+3=0
D.2x~y—1=0
解析：将
x+2y — 1=0
中的
x、y
分别代以
2 — x,
一2一》得(2 — x) +2 (-2-y) - 1=0, KP
x+2y+3=0.
故选C.
答案：c
8
.两直线产交X和41关于直线/对称，直线，的方程是 ______________ .
3
解析:I上的点为到两直线与41距离相等的点的集合,即
= I X-1 I，化简得X+6y
'3
— 2=0
或
3x~ V3 y—2=0.
答案：x+ 6 y—2=0
或
3 A—
y/3 y—2=0
9
.直线2x-＞，-4=0上有一点P,它与两定点A (4,
一
1)、B (3, 4)的距离之差最大，则尸点的坐标 是 .
解析：易知A (4, -1)、5(3, 4)在直线/：
2L,，-4=0的两侧.作A关于直线/的对称点A (0, 1),
当4、B、尸共线时距离之差最大.
答案：(5, 6)
10
.已知△ABC的一个顶点A (-1, -4),
NB、NC的平分线所在直线的方程分别为小 阳=0,
12：
x+y+l=0,求边8c所在直线的方程.
解：设点A ( — 1, -4)关于直线,v+l=0的对称点为A' (xi，”)，则工产一1, yi=2X ( — 1)一(―
4) =2,即
A' (-1, 2).
在直线8。上，再设点A( — 1,
一4)关于也x+y+l=0的对称点为A"3，”)，则有
任二t X (-1) =-1,
卜+1
[j一+『0
I 2
解得g,
2
「2=3,
即A" (3, 0)也在直线5c上，由直线方程的两点式得/1-三^,即x+2y— 3=0为边3C所在直 线的方程.
【能力提高】
II
.求函数产
6 + 9 + 7X-8A+41的最小值.
解：因为尸
J(x-0)2 +(0 — 3)2 + J(X-4)2 +(0 — 5)2.
2
14.直线/经过点（1, 1）,若抛物线尸=不上存在两点关于直线/对称，求直线/斜率的取值范围.
解法一：设直线/的方程为丁-1=&（X-1）,弦的两个端点分别是从（AP
"）、B（M，”），代入抛物 线方程并作差得（），1+丫2）（）“—丫2）=X1
—XI.
2
，yi+V2=iZ.注意到
A3
的中点在直线/：
y~=k （x—1）上，AXI+X2=1
——.
k
） 2
--k・
），（月+乃『 ，曰■
2
k2 （k + 2）（k2 - 2k + 2）八 八，八
由
.
yi2+V22> —―2
,得
1
一 一 >
k 2
一 n ---------- ----------
2k<0 = — 2 解法二：设抛物线上关于直线/： y-=k（A-1）对称的两点为产）、（环 ”）, V + »'2 2 -l=k -yi+y2=k, k2 1 I)/+[ 、yi是方程k工 V+kv+2 k 2— +—— 彳=0的两根. 一 ” / / 炉 1 1、八("2)(/ -2〃+ 2)八 一八 由 △=r-4 (——+— — — ) >0= -------------- <0 2 k 2 k= —2 15. （2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,点P是边AB边上异于AB的一点, CA反射后又回到点P （如图1）,若光线QR经过aABC的重心，则AP等于（ ） C. A. 2 B. 1 光线从点P出发，经BC, D. 最新文件仅供参考已改成word文本。方便更改
2024年3月7日发(作者：宿映寒)
对称问题专题
【知识要点】
1•点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点 坐标公式的应用问题.
设尸（xo, yo）,对称中心为A （a,
b）,则尸关于A的对称点为P' （2”一沏，2〃一四）.
2•点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” .利用“垂直”“平分”这两个条件建立 方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：
设点P（xo,州）关于直线产入+〃的对称点为P'（『，>，'）,则有
可求出丁、y
特殊地，点尸（Xo, yo）关于直线4〃的对称点为P'
（2（1—Xo,并）；点尸（物 和）关于直线冲。的 对称点为P' （AO,劝一和）.
3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可 选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：
（1）曲线/
（x, y） =0关于已知点A
（a, b）的对称曲线的方程是/
（2a一大2b—y） =0.
（2）曲线/（x, >1） =0关于直线户丘+b的对称曲线的求法：
设曲线/（x, y） =0上任意一点为尸（xo, yo）, P点关于直线尸H+A的对称点为P' （x, >,）,则由（2）
知，P与尸’的坐标满足
从中解出出、yo,
代入已知曲线/（x, y） =0,应有/（加 第）=0.利用坐标代换法就可求出曲线/G, y） =0关于直线."云+〃 的对称曲线方程.
4•两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
(1)
点
(X, >')
关于x轴的对称点为（x, —y）；
关于(2)
点
(X, >')
y轴的对称点为（—x, >,）；
关于原点(3)
点
(X, >')
的对称点为（一心-y）：
关于直线x—(4)
点
(X, >')
y=0的对称点为（y, x）；
关于直线(5)
点
(X, >')
x+.v=O的对称点为（-y, —x）
【典型例题】
【例11求直线az 2x+y-4=0关于直线/：
3.v+4y—1=0对称的直线b的方程.
剖析：由平面几何知识可知若直线〃、％关于直线/对称，它们具有下列几何性质：（1）若“、〃相交, 则/是〃、〃交角的平分线；（2）若点A在直线”上，那么A关于直线/的对称点8一定在直线〃上，这时
AB_L/,并且A3的中点。在/上；（3）
“以/为轴旋转180° ,
一定与〃重合.使用这些性质，可以找出直 线〃的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线 方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.
然丁：。，解得“与/的交点七⑶—E点也在…
方法一：在直线〃：2x+y-4=0上找一点A （2, 0）,设点A关于直线/的对称点8的坐标为（.如,地）,
r 2xjn 0+yn
BX——1+4X —1=0,
之一解得8（2，一）.由两点式得直线〃的方程为
（一「二二
1%-2 3
即
2r+11）4-16=0.
5 5 _2_心）3-士
5 5
方法二：设直线〃上的动点P G・，y）关于/：
3x+4y —1=0的对称点。（加，和），则有
Vf J
献俎 7x-24y + 6 - 24x-7y + 8
x - x（）
解得乂尸—25—，严 —25一
3
Q（xo，yo）在直线
a： 2x+y—4=0
上，
则
2乂7.24尹6 + -24-7尹8_4=0, 25 25
化简得2x+llv+16=0是所求直线b的方程.
方法三：设直线〃上的动点P（x,
>'）,直线“上的点。（冲，4-2xo）,且P、。两点关于直线/：
3x+4y
- 1=0对称，则有
r 13x + 4y -11
3x0 + 4（4 - 2x0） -11
5 = 5
I y_（4_2x（））_4 =—.
1
x — 3
消去
xo,得
2X+1LV+16=0 或
2r+y—4=0
（舍）.
评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与，除了点E外，分别找出确定直线位置的 另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法二与方法三是利用直线上动点的几 何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对 坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.
【例2】光线从点A （—3, 4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点
B （-
2 , 6）,求射入），轴后的反射线的方程.
剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.
解：,:A （—3, 4）关于x轴的对称点Ai （—3, -4）在经x轴反射的光线上，
同样小（-3, -4）关于y轴的对称点从2（3, -4）在经过射入），轴的反射线上，
.._ 6+4
♦•我&8=益”=2.
故所求直线方程为丁一6=-2 （x+2）,
即
2v+y-2=0.
评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.
【例3】已知点M（3, 5）,在直线/：
x-2y+2=0和），轴上各找一点尸和。，使△MPQ的周长最小.
剖析：如下图，作点M关于直线/的对称点Mi，再作点M关于y轴的对称点知2,连结MMi、MM],
连线K%、MM?与/及y轴交于尸与。两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长 最小.
0
解：由点M(3, 5)及直线/,可求得点M关于/的对称点必(5, 1).同样容易求得点M关于)，轴 的对称点(—3, 5).
据M及Mi两点可得到直线的方程为x+2y~7=0.
7
令户0,得到MM?与y轴的交点。(0，-).
2
fx+2y—7=Ot ,
、-
解方程组｛、一2"2二。，得父点
5 Q 7
故点P (1,=)、Q (0, i)即为所求.
2 4 2
评述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.
5 9
深化拓展
""…"语国石莉甬苹而丽而痂诵嬴 .................................................................
不妨再试试这个小题：已知点A (1, 3)、8 (5, 2),在x轴上找一点尸，使得IB4I+I尸BI最小，则最小 值为，尸点的坐标为.
答案：m (U, 0)
【巩固练习】
1 .已知点M(〃，))与N关于x轴对称，点P与点N关于)，轴对称，点。与点尸关于直线x+y=0对 称，则点。的坐标为
A.
(a9 b) B.
(〃，。)C. (—a,
~h) D.(一从—a)
解析:N (a,
-b), P (一a,
-b),则。(〃，“).
答案：B
2
.曲线/4式关于直线m2对称的曲线方程是
2A.^8—4x B.y=4x—8 C.^16-4A
D.'2=4X— 16
解析：设曲线产=以关于直线m2对称的曲线为C,在曲线C上任取一点尸(X, y),则P (x, y)关 于直线％=2的对称点为。(4—x, >1).因为Q (41v, y)在曲线｝2=4x上，
所以户=4 (4—x),即
4%.
答案：C
3
.已知直线/］： x+〃?y+5=0和直线，2： x+〃y+p=0，则八、%关于y轴对称的充要条件是
A.^- = — B.p=-5 C.〃?=一八 且片-5 D. —=— — K p=-5
m n m n
解析：直线/i关于y轴对称的直线方程为(f) +〃?y+5=0,即x—my-5=0,与12比较，
/, m=-n且p=-5.反之亦验证成立.
答案：C
4•点A (4, 5)关于直线/的对称点为8 (—2, 7),则/的方程为.
解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.
答案：3x—y+3=0
5
.设直线x+4)，-5=0的倾斜角为"，则它关于直线>，-3=0对称的直线的倾斜角是 ________ .
解析：数形结合.
答案：人一 °
6,已知圆。与圆(工-1)可产=1关于直线尸一x对称，则圆C的方程为
22A. (x+1) 2+)2= 1 B..v+y=l
222C.x+ (y+1) =1
D.x2+ (y— 1) =1
解析：由M
(x, y)关于y=-x的对称点为(-y, -x),
即得1+ (y+1) 2=1.
答案：c
7
.与直线x+2y—1=0关于点(1, —1)对称的直线方程为
A.2r—y—5=0 B.x+2y—3=0
C.x+2y+3=0
D.2x~y—1=0
解析：将
x+2y — 1=0
中的
x、y
分别代以
2 — x,
一2一》得(2 — x) +2 (-2-y) - 1=0, KP
x+2y+3=0.
故选C.
答案：c
8
.两直线产交X和41关于直线/对称，直线，的方程是 ______________ .
3
解析:I上的点为到两直线与41距离相等的点的集合,即
= I X-1 I，化简得X+6y
'3
— 2=0
或
3x~ V3 y—2=0.
答案：x+ 6 y—2=0
或
3 A—
y/3 y—2=0
9
.直线2x-＞，-4=0上有一点P,它与两定点A (4,
一
1)、B (3, 4)的距离之差最大，则尸点的坐标 是 .
解析：易知A (4, -1)、5(3, 4)在直线/：
2L,，-4=0的两侧.作A关于直线/的对称点A (0, 1),
当4、B、尸共线时距离之差最大.
答案：(5, 6)
10
.已知△ABC的一个顶点A (-1, -4),
NB、NC的平分线所在直线的方程分别为小 阳=0,
12：
x+y+l=0,求边8c所在直线的方程.
解：设点A ( — 1, -4)关于直线,v+l=0的对称点为A' (xi，”)，则工产一1, yi=2X ( — 1)一(―
4) =2,即
A' (-1, 2).
在直线8。上，再设点A( — 1,
一4)关于也x+y+l=0的对称点为A"3，”)，则有
任二t X (-1) =-1,
卜+1
[j一+『0
I 2
解得g,
2
「2=3,
即A" (3, 0)也在直线5c上，由直线方程的两点式得/1-三^,即x+2y— 3=0为边3C所在直 线的方程.
【能力提高】
II
.求函数产
6 + 9 + 7X-8A+41的最小值.
解：因为尸
J(x-0)2 +(0 — 3)2 + J(X-4)2 +(0 — 5)2.
2
14.直线/经过点（1, 1）,若抛物线尸=不上存在两点关于直线/对称，求直线/斜率的取值范围.
解法一：设直线/的方程为丁-1=&（X-1）,弦的两个端点分别是从（AP
"）、B（M，”），代入抛物 线方程并作差得（），1+丫2）（）“—丫2）=X1
—XI.
2
，yi+V2=iZ.注意到
A3
的中点在直线/：
y~=k （x—1）上，AXI+X2=1
——.
k
） 2
--k・
），（月+乃『 ，曰■
2
k2 （k + 2）（k2 - 2k + 2）八 八，八
由
.
yi2+V22> —―2
,得
1
一 一 >
k 2
一 n ---------- ----------
2k<0 = — 2 解法二：设抛物线上关于直线/： y-=k（A-1）对称的两点为产）、（环 ”）, V + »'2 2 -l=k -yi+y2=k, k2 1 I)/+[ 、yi是方程k工 V+kv+2 k 2— +—— 彳=0的两根. 一 ” / / 炉 1 1、八("2)(/ -2〃+ 2)八 一八 由 △=r-4 (——+— — — ) >0= -------------- <0 2 k 2 k= —2 15. （2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,点P是边AB边上异于AB的一点, CA反射后又回到点P （如图1）,若光线QR经过aABC的重心，则AP等于（ ） C. A. 2 B. 1 光线从点P出发，经BC, D. 最新文件仅供参考已改成word文本。方便更改