2024年3月8日发(作者：鲜于鸿轩)

2022 北京海淀初三一模数

学校

学

2022．04

准考证号

姓名

考生须知

1.

本试卷共 8 页，共五道大题，24 道小题，满分 100 分。考试时间 150 分钟。

2.

在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.

试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.

在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.

考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（共 16 分，每题 2 分）

第一部分选择题

第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1． 右图是一个拱形积木玩具，其主视图是

（A） （B） （C） （D）

2．2022 年北京打造了一届绿色环保的冬奥会。张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了 250000 立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费。将 250000 用科学记数法表示应为

（A）

0.25105

（B）

2.5 105

（C）

2.5104

（D）

25104

3.

如图，

AOB  160

，

COB  20

．若OD

平分AOC

，则AOD

（A）20°

（C）80°

（B）70°

（D）140°

4.

若一个多边形的每个外角都是 30°，则这个多边形的边数为

（A）6

（C）10

（B）8

（D）12

5.

不透明的袋子中装有 2 个红球，3 个黑球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是

（A）

2（B）

3（C）

2（D）

15

5 3 2

6.

实数a, b

在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是

（A）

a  1

（B）

a  b

（C）

a  b  0

1 / 14

（D）

b  a  0

7.

北京 2022 年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代人场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图 1 是中

国体育代表团的引导牌，观察发现，图 2 中的图案可以由图 3 中的图案经过对称、旋转等变换得到。下列关于图 2

和图 3 的说法中，不正确的是

（A）

图 2 中的图案是轴对称图形

（B）

图 2 中的图案是中心对称图形

（C）

图 2 中的图案绕某个固定点旋转 60°，可以与自身重合

（D）

将图 3 中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转 120°，可以设计出图 2 中的图案

8.

某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O

．

A, B

是舞台边缘上两个固定位置，由线段

AB

及优弧

AB

围成的区域是表演区。若在

A

处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图 1 中阴影所示。若在

B

处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图 2 中阴影所示

若将灯光装置改放在如图 3 所示的点

M , N

或

P

处，能使表演区完全照亮的方案可能是

①在

M

处放置 2 台该型号的灯光装置

②在

M , N

处各放置 1 台该型号的灯光装置

③在

P

处放置 2 台该型号的灯光装置

（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③

第二部分非选择题

二、填空题（共 16 分，每题 2 分）

2

9.

若代数式，

有意义，则实数

x

的取值范围是

x  3

．

．

10.

已知

2  m  11

，且m

是整数，请写出一个符合要求的m

的值

．

3m2  3n2 

11．分解因式：

12.

如图，

PA, PB

是

O

的切线，

A, B

为切点。若APB  60

，则AOP

的大小为

2 / 14

．

x13.

已知关于

x

的一元二次方程

2  4x  m  0

没有实数根，则m

的取值范围是

k

x

．

14.

在平面直角坐标系

xOy

中，直线

y  ax

与双曲线

y 

交于点

A1, 2

和点

B

，则点

B

的坐标为

．

15.

如图，在 4×4 的正方形网格中，

A, B, C, D, E

是网格线交点，请画出一个△DEF

，使得△DEF

与△ABC

全等。

16.

甲、乙在下图所示的表格中从左至右依次填数。如图，已知表中第一个数字是 1，甲、乙轮流从 2,3,4,5,6,7,8,9

中选出一个数字填入表中（表中已出现的数字不再重复使用）。每次填数时，甲会选择填入后使表中数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中数据方差最小的数字。甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果。

三、解答题（共 68 分，第 17-20 题，每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23-24 题，每题 6 分，第 25 题 5

分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17.

计算：

3

tan 60 8 | 2

| (1



)0

．

4(x 1)  3x,

18.

解不等式组：

5x  3

 x,



2

19．已知m2  2mn  3  0

，求代数式(m  n)2  (m  n)(m  n)  m2

的值．

20.

《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”．这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现在人们所说的“北纬”完全吻合。利用类似的原理，我们也可以测量出所在地纬度。如图 1 所示．

①春分时，太阳光直射赤道。此时在

M

地直立一根杆子

MN

，在太阳光照射下，杆子

MN

在地面上形成影子。通过测量杆子与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子 MN 所成的夹角

；

3 / 14

②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与杆子

MW

所成的夹角

可以推算得到

M

地的纬度，即MOB

的大小．

（1）

图 2 是①中在

M

地测算太阳光与杆子

MN

所成夹角

的示意图。过点

M

作

MN

的垂线与直线CD

交于点Q

，则线段

MQ

可以看成是杆子

MN

在地面上形成的影子。使用直尺和圆规，在图 2 中作出影子 MQ（保留作图痕迹）；

（2）

依据图 1 完成如下证明。证明：

AB//CD

，

∴．

MOB 





（ ） （填推理的依据）．

∴（

M

地的纬度为

．）

21.

如图，在△ABC

中，

AB  AC

，

D

是

BC

的中点，点

E, F

在射线

AD

上，且

DE  DF

．

（1）

求证：四边形

BECF

是菱形；

（2）

若

AD  BC  6

，

AE  BE

，求菱形

BECF

的面积。

22.

在平面直角坐标系

xOy

中，一次函数

y  x  b(k  0)

的图象由函数

y 

1

x

，的图象平移得到，且经过点

2

(2, 0)

．

（1）

求这个一次函数的解析式；

（2）

当

x  m

时，对于

x

的每一个值，函数

y  3x  4

的值大于一次函数

y  kx  b

的值，直接且经过点写出m

的取值范围．

4 / 14

23.

数学学习小组的同学共同探究体积为 330mL 圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案。他们想探究容器表面积与底面半径的关系．

具体研究过程如下，请补充完整：

（1）

建立模型：设该容器的表面积为

Scm

？，底面半径为

xcm

，高为

ycm

，则

2330 



x2 y

，①

S  2

x2  2

xy

，②

由①试得

y

330

，，代人②式得



x2

S  2

x2 

660

x

③

可知，

S

是

x

的函数，自变量

x

的取值范围是

x  0

．

（2）

探究函数：

根据函数解析式③，按照下表中自变量

x

的值计算（精确到个位），得到了

S

与

x

的几组对应值：

x/cm

S/cm2

…

…

1

666

1.5

454

2

355

2.5

303

3

277

3.5

266

4

266

4.5

274

5

289

5.5

310

6

336

…

…

在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（3）

解决问题：根据图表回答，

①半径为 2.4cm 的圆柱形容器比半径为 4.4cm 的圆柱形容器表面积

②若容器的表面积为 300cm²，容器底面半径约为

（填“大”或“小”）；

cm（精确到 0．1）。

24.

如图，

O

是△ABC

的外接圆，

AB

是

O

的直径。点

D

为

AC

的中点．

O

的切线

DE

交OC

的延长线于点

E

．

（1）

求证：

DE //AC

；

（2）

连接

BD

交

AC

于点

P

，若

AC  8

．

cos A 

4

．

5

求

DE

和

BP

的长．

5 / 14

25.

为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了 20 名学生两次活动的

成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、指述和分析。下图是这 20 名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图。

（1）

①学生甲第一次成绩是 85 分，则该生第二次成绩是 分，他两次活动的平均成绩是 分；

②学生乙第一次成绩低于 80 分，第二次成绩高于 90 分，请在图中用“○”圈出代表乙的点；

（2）

为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C 三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成 6 组：

70  x  75

，

75  x  80

，

80  x  85

，

85  x  90

，

90  x  95

，

95  x  100

）：

已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是

6 / 14

；

（3）

假设有 400 名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于 90 分的学生人数为

226.

在平面直角坐标系

xOy

中，二次函数

y  ax  2ax(a  0)

的图象经过点

A1, 3

。

．

（1）

求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；

（2）

一次函数

y  2x  b

的图象经过点

A

，点(m, y1)

在一次函数

y  2x  6

的图象上，点(m  4, y2 )

在二次函数

y  a2  2ax

的图象上．若

y  y

，求m

的取值范围．

1 2

27.

在Rt△ABC

中，

ABC  90，

BAC  30，

D

为边

BC

上一动点，点

E

在边

AC

上，

CE  CD

．点

D

关于点

B

的对称点为点

F

，连接

AD

，

P

为

AD

的中点，连接

PE, PF , EF

．

（1）

如图 1，当点

D

与点

B

重合时，写出线段

PE

与

PF

之间的位置关系与数量关系；

（2）

如图 2，当点

D

与点

B, C

不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。

8．在平面直角坐标系

xOy

中，对于点

P(x1，y1

)

，给出如下定义：当点Q(x2，y2

)

满足

x1

 x2

 y1

 y2

时，称点

Q

是点

P

的等和点。已知点

P

2, 0（1）在Q1

0, 2,Q2

2，1,Q3

1, 3

中，点

P

的等和点有 ；

（2）

点

A

在直线

y  x  4

上，若点

P

的等和点也是点

A

的等和点，求点

A

的坐标；

（3）

已知点

B(b,0)

和线段

MN

，对于所有满足

BC  1的点C

，线段

MN

上总存在线段

PC

上每个点的等和点．若

MN

的最小值为 5，直接写出b

的取值范围。

7 / 14

参考答案

第一部分 选择题

一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）

题号

答案

1

C

2

B

3

B

4

D

5

A

6

B

7

D

8

A

二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）

9． x  3

13． m  4

第二部分 非选择题

10．不唯一，m 的值为 2 或 3

14．（1，

2

）

11． 3m  nm  n12．60°

15．不唯一，符合题意即可 16．不唯一，填 9-5-2-4 或 9-5-8-6 均可

三、解答题（本题共 68 分，第 17-20 题，每小题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23-24 题，每题 6 分，第 25

题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 7 分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．（本题满分 5 分）

解：原式3 

3

 2

2



2

1

 2  2

．

18．（本题满分 5 分）

4(x  1)  3x, ①

解：原不等式组为5x  3

 x.②



2

解不等式①，得 x 

4 ． 解不等式②，得

x 

1

．

∴ 原不等式组的解集为1  x  4

．

19．（本题满分 5 分）

解：原式 =

m2  2mn  n2  m2  n2  m2

=

m2  2mn

．

∵

m2  2mn  3  0

，

∴

m2  2mn  3

．

∴ 原式 =

3． 20．（本题满分 5 分）

（1）

如图所示，线段 MQ 即为所求．

8 / 14

C

太阳光

N

α

M

Q

D

（2）∠OND，

两直线平行，内错角相等．

21．（本题满分 6 分）

（1）证明：

∵ D 是 BC 的中点，

∴ BD=CD．

∵ DE=DF，

∴ 四边形 BECF 是平行四边形．

∵ AB=AC，D 是 BC 中点，

∴ AD⊥BC．

∴ 平行四边形 BECF 是菱形．

（2）

解：

∵ BC=6，D 为 BC 中点，

∴

BD 

1

BC  3

．

2

设 DE  x ，

∵ AD=6，

∴

AE  AD  DE  6  x

．

∴

BE  AE  6  x

．

∵ AD⊥BC，

∴ ∠BDE=90°．

∴ 在Rt△BDE 中， BD2  DE2  BE2 ．∴

32  x2 

6  x2

．

解得： x 

9

，即 DF  DE 

9

．

4 4

∴ EF  DF  DE 

9

．

2

∴

S菱形BECF

=

1

BC  EF 

27

．

2 2

22．（本题满分 5 分）

9 / 14

A

E

B

D

C

F

（1）

解：

1

k  0

）的图象由 y  x 平移得到， ∵

y  kx  b

（

2

1

∴ k  ．

2

∵ 函数图象过（

2

，0），

∴ 2k  b  0 ，即1  b  0 ．

∴ b  1 ．

1

∴ 这个一次函数的解析式为 y  x  1 ．

2

（2） m  2 ．

23．（本题满分 6 分）

（2）

探究函数：

函数图象如图所示：

S / cm2

700

600

500

400

300

200

100

O

1 2 3 4 5 6 7

x/cm

（3）

解决问题：

① 大．

② 2.5 或

5.3． 24．（本题满分 6 分）

（1）

解：连接 OD，与 AC 交于 H，如图．

∵ DE 是⊙O 的切线，

∴ OD⊥DE．

∴ ∠ODE=90°．

B

O

∵ D 为

AC

的中点，

A

∴

AD  CD

．

∴ ∠AOD=∠COD．

∵ AO=CO，

10 / 14

H

D

F

C

E

∴ ∠OHC=90°= ∠ODE．

∴ DE∥AC．

（2）

解：

∵ AB 是⊙O 的直径，

∴ ∠ACB=90°．

4

∵ AC=8， cos A  ，

5

∴ OH⊥AC．

AC

 10 ．

∴ 在Rt△ABC 中， AB cos A

∴ OA=OB=OD=5．

∵ OH⊥AC，

∴

AH  CH  AC  4

．

2

1

∴ OH AO2  AH

2

 3 ．

∵ DE∥AC，

∴ △OCH ∽ △OED．

CH OH 3

∴   ．DE OD 5

∴ DE 

20

．

3

∵ ∠BCH=∠DHC=90°，∠AFD=∠CFB，

∴ △BCF ∽ △DHF．

∴

BC CF



．DH HF

∵ BC AB2  AC

2

 6 ，DH=OD-OH=2，

∵ CF+HF=CH=4，

∴ CF=3HF．

∴ CF=3．

∴ BF BC

2  CF

2

 3 5 ．

25．（本题满分 5 分）

（1）① 90， 87.5．

② 如图所示

11 / 14

（2）B．

（3）180．

26．（本题满分 6 分）

（1）

解：

1

，3）， ∵ 二次函数 y  ax2  2ax 的图象过点A（

∴ a  2a  3 ，解得： a  1 ．

∴ 二次函数的解析式为 y  x2  2x ．

∵

y  x2  2x 



x  1 1

，

∴ 顶点坐标为（1，

1

）．

（2）

解：

y

5

y=2x+5

2

1

，3）， ∵ 一次函数

y  2x  b

的图象也经过点 A（

∴ 2  b  3 ，解得： b  5 ．

A

4

3

2

y=2x-3

∴ 一次函数的解析式为

y  2x  5

．

如图，将函数

y  2x  5

的图象向右平移 4 个单位长度，

得到函数

y  2x  3

的图象.

∴点（3，3）在函数

y  2x  3

的图象上.

∵点（3，3）也在函数 y  x2  2x 的图象上，

1

–3 –2 –1

O

–1

1 2

23 4

x

y=x-2x

–2

–3

∴函数

y  2x  3

图象与 y  x2  2x 图象的交点为（1，

1

）和（3，3）.

∵ 点（m，

y1

）在函数

y  2x  5

的图象上，

m  4

，

y1

）在函数

y  2x  3

的图象上． ∴ 点（

m  4

，

y2

）在函数 y  x2  2x 的图象上， ∵ 点（

∴ 要使

y1  y2

，只需1  m  4  3

．

∴

3  m  1

．

12 / 14

．（本题满分 7 分）

（1）

PE⊥PF，

PF 3PE

．

（2）

仍然成立．

证明：连接 DE，延长 EP 到点 G，使得 EP=PG，连接 FG，FD．

∵ ∠ABC=90°，∠BAC=30°，

∴ ∠C=90°-∠BAC=60°．

∵ CD=CE，

∴ △CDE 为等边三角形．

∴ ∠CED=60°，DE=CE．

∵ P 为 AD 中点，

∴ AP=DP．

∵ EP=PG，∠APE=∠DPG，

∴ △APE ≌ △DPG．

∴ ∠EAP=∠PDG，AE=DG．

∴ AE∥DG．

∴ ∠EDG=∠DEC=60°．

∴ ∠EDG=∠C．

设 CD  CE  a ， BD  b ，

∴ BC  BD  CD  a  b ．

∵ ∠ABC=90°，∠BAC=30°，

∴ AC  2BC  2a  2b ．

∴ AE  AC  CE  a  2b ．

∵ D，F 关于 AB 对称，

∴ BF  BD  b ．

∴ CF  BC  BF  a  2b  AE ．

∴ DG  CF ．

∴ △EDG ≌ △ECF．

∴ EG=EF，∠CEF=∠DEG．

∴ ∠FEG=∠CED=60°．

∴ △EFG 为等边三角形．

∵ P 为 EG 中点，

∴ PF⊥EG．

∴ 在Rt△PEF 中，

PF  PE  tan PEF 3PE

．

13 / 14

A

G

P

E

F

B

D

C

27

28．（本题满分 7 分）

Q1

，

Q3

． （1）

（2）解：

∵ A 在直线

y   x  4

上，

∴ 设点 A 的坐标为（

a,

4  a ）．

设点 P 的一个等和点为（m，n），

∴ m，n 满足m  2  n ．

由于点（m，n）也是点 A 的等和点，

∴ m，n 满足m  a  4  a  n ．

结合这两个式子，推出a  2  4  a ，即 a  3 ．

∴ A 的坐标为（3，1）．

b  2  4 2

或2  4 2

． （3）

14 / 14

2024年3月8日发(作者：鲜于鸿轩)

2022 北京海淀初三一模数

学校

学

2022．04

准考证号

姓名

考生须知

1.

本试卷共 8 页，共五道大题，24 道小题，满分 100 分。考试时间 150 分钟。

2.

在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.

试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.

在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.

考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（共 16 分，每题 2 分）

第一部分选择题

第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1． 右图是一个拱形积木玩具，其主视图是

（A） （B） （C） （D）

2．2022 年北京打造了一届绿色环保的冬奥会。张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了 250000 立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费。将 250000 用科学记数法表示应为

（A）

0.25105

（B）

2.5 105

（C）

2.5104

（D）

25104

3.

如图，

AOB  160

，

COB  20

．若OD

平分AOC

，则AOD

（A）20°

（C）80°

（B）70°

（D）140°

4.

若一个多边形的每个外角都是 30°，则这个多边形的边数为

（A）6

（C）10

（B）8

（D）12

5.

不透明的袋子中装有 2 个红球，3 个黑球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是

（A）

2（B）

3（C）

2（D）

15

5 3 2

6.

实数a, b

在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是

（A）

a  1

（B）

a  b

（C）

a  b  0

1 / 14

（D）

b  a  0

7.

北京 2022 年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代人场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图 1 是中

国体育代表团的引导牌，观察发现，图 2 中的图案可以由图 3 中的图案经过对称、旋转等变换得到。下列关于图 2

和图 3 的说法中，不正确的是

（A）

图 2 中的图案是轴对称图形

（B）

图 2 中的图案是中心对称图形

（C）

图 2 中的图案绕某个固定点旋转 60°，可以与自身重合

（D）

将图 3 中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转 120°，可以设计出图 2 中的图案

8.

某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O

．

A, B

是舞台边缘上两个固定位置，由线段

AB

及优弧

AB

围成的区域是表演区。若在

A

处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图 1 中阴影所示。若在

B

处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图 2 中阴影所示

若将灯光装置改放在如图 3 所示的点

M , N

或

P

处，能使表演区完全照亮的方案可能是

①在

M

处放置 2 台该型号的灯光装置

②在

M , N

处各放置 1 台该型号的灯光装置

③在

P

处放置 2 台该型号的灯光装置

（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③

第二部分非选择题

二、填空题（共 16 分，每题 2 分）

2

9.

若代数式，

有意义，则实数

x

的取值范围是

x  3

．

．

10.

已知

2  m  11

，且m

是整数，请写出一个符合要求的m

的值

．

3m2  3n2 

11．分解因式：

12.

如图，

PA, PB

是

O

的切线，

A, B

为切点。若APB  60

，则AOP

的大小为

2 / 14

．

x13.

已知关于

x

的一元二次方程

2  4x  m  0

没有实数根，则m

的取值范围是

k

x

．

14.

在平面直角坐标系

xOy

中，直线

y  ax

与双曲线

y 

交于点

A1, 2

和点

B

，则点

B

的坐标为

．

15.

如图，在 4×4 的正方形网格中，

A, B, C, D, E

是网格线交点，请画出一个△DEF

，使得△DEF

与△ABC

全等。

16.

甲、乙在下图所示的表格中从左至右依次填数。如图，已知表中第一个数字是 1，甲、乙轮流从 2,3,4,5,6,7,8,9

中选出一个数字填入表中（表中已出现的数字不再重复使用）。每次填数时，甲会选择填入后使表中数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中数据方差最小的数字。甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果。

三、解答题（共 68 分，第 17-20 题，每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23-24 题，每题 6 分，第 25 题 5

分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17.

计算：

3

tan 60 8 | 2

| (1



)0

．

4(x 1)  3x,

18.

解不等式组：

5x  3

 x,



2

19．已知m2  2mn  3  0

，求代数式(m  n)2  (m  n)(m  n)  m2

的值．

20.

《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”．这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现在人们所说的“北纬”完全吻合。利用类似的原理，我们也可以测量出所在地纬度。如图 1 所示．

①春分时，太阳光直射赤道。此时在

M

地直立一根杆子

MN

，在太阳光照射下，杆子

MN

在地面上形成影子。通过测量杆子与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子 MN 所成的夹角

；

3 / 14

②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与杆子

MW

所成的夹角

可以推算得到

M

地的纬度，即MOB

的大小．

（1）

图 2 是①中在

M

地测算太阳光与杆子

MN

所成夹角

的示意图。过点

M

作

MN

的垂线与直线CD

交于点Q

，则线段

MQ

可以看成是杆子

MN

在地面上形成的影子。使用直尺和圆规，在图 2 中作出影子 MQ（保留作图痕迹）；

（2）

依据图 1 完成如下证明。证明：

AB//CD

，

∴．

MOB 





（ ） （填推理的依据）．

∴（

M

地的纬度为

．）

21.

如图，在△ABC

中，

AB  AC

，

D

是

BC

的中点，点

E, F

在射线

AD

上，且

DE  DF

．

（1）

求证：四边形

BECF

是菱形；

（2）

若

AD  BC  6

，

AE  BE

，求菱形

BECF

的面积。

22.

在平面直角坐标系

xOy

中，一次函数

y  x  b(k  0)

的图象由函数

y 

1

x

，的图象平移得到，且经过点

2

(2, 0)

．

（1）

求这个一次函数的解析式；

（2）

当

x  m

时，对于

x

的每一个值，函数

y  3x  4

的值大于一次函数

y  kx  b

的值，直接且经过点写出m

的取值范围．

4 / 14

23.

数学学习小组的同学共同探究体积为 330mL 圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案。他们想探究容器表面积与底面半径的关系．

具体研究过程如下，请补充完整：

（1）

建立模型：设该容器的表面积为

Scm

？，底面半径为

xcm

，高为

ycm

，则

2330 



x2 y

，①

S  2

x2  2

xy

，②

由①试得

y

330

，，代人②式得



x2

S  2

x2 

660

x

③

可知，

S

是

x

的函数，自变量

x

的取值范围是

x  0

．

（2）

探究函数：

根据函数解析式③，按照下表中自变量

x

的值计算（精确到个位），得到了

S

与

x

的几组对应值：

x/cm

S/cm2

…

…

1

666

1.5

454

2

355

2.5

303

3

277

3.5

266

4

266

4.5

274

5

289

5.5

310

6

336

…

…

在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（3）

解决问题：根据图表回答，

①半径为 2.4cm 的圆柱形容器比半径为 4.4cm 的圆柱形容器表面积

②若容器的表面积为 300cm²，容器底面半径约为

（填“大”或“小”）；

cm（精确到 0．1）。

24.

如图，

O

是△ABC

的外接圆，

AB

是

O

的直径。点

D

为

AC

的中点．

O

的切线

DE

交OC

的延长线于点

E

．

（1）

求证：

DE //AC

；

（2）

连接

BD

交

AC

于点

P

，若

AC  8

．

cos A 

4

．

5

求

DE

和

BP

的长．

5 / 14

25.

为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了 20 名学生两次活动的

成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、指述和分析。下图是这 20 名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图。

（1）

①学生甲第一次成绩是 85 分，则该生第二次成绩是 分，他两次活动的平均成绩是 分；

②学生乙第一次成绩低于 80 分，第二次成绩高于 90 分，请在图中用“○”圈出代表乙的点；

（2）

为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C 三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成 6 组：

70  x  75

，

75  x  80

，

80  x  85

，

85  x  90

，

90  x  95

，

95  x  100

）：

已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是

6 / 14

；

（3）

假设有 400 名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于 90 分的学生人数为

226.

在平面直角坐标系

xOy

中，二次函数

y  ax  2ax(a  0)

的图象经过点

A1, 3

。

．

（1）

求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；

（2）

一次函数

y  2x  b

的图象经过点

A

，点(m, y1)

在一次函数

y  2x  6

的图象上，点(m  4, y2 )

在二次函数

y  a2  2ax

的图象上．若

y  y

，求m

的取值范围．

1 2

27.

在Rt△ABC

中，

ABC  90，

BAC  30，

D

为边

BC

上一动点，点

E

在边

AC

上，

CE  CD

．点

D

关于点

B

的对称点为点

F

，连接

AD

，

P

为

AD

的中点，连接

PE, PF , EF

．

（1）

如图 1，当点

D

与点

B

重合时，写出线段

PE

与

PF

之间的位置关系与数量关系；

（2）

如图 2，当点

D

与点

B, C

不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。

8．在平面直角坐标系

xOy

中，对于点

P(x1，y1

)

，给出如下定义：当点Q(x2，y2

)

满足

x1

 x2

 y1

 y2

时，称点

Q

是点

P

的等和点。已知点

P

2, 0（1）在Q1

0, 2,Q2

2，1,Q3

1, 3

中，点

P

的等和点有 ；

（2）

点

A

在直线

y  x  4

上，若点

P

的等和点也是点

A

的等和点，求点

A

的坐标；

（3）

已知点

B(b,0)

和线段

MN

，对于所有满足

BC  1的点C

，线段

MN

上总存在线段

PC

上每个点的等和点．若

MN

的最小值为 5，直接写出b

的取值范围。

7 / 14

参考答案

第一部分 选择题

一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）

题号

答案

1

C

2

B

3

B

4

D

5

A

6

B

7

D

8

A

二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）

9． x  3

13． m  4

第二部分 非选择题

10．不唯一，m 的值为 2 或 3

14．（1，

2

）

11． 3m  nm  n12．60°

15．不唯一，符合题意即可 16．不唯一，填 9-5-2-4 或 9-5-8-6 均可

三、解答题（本题共 68 分，第 17-20 题，每小题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23-24 题，每题 6 分，第 25

题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 7 分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．（本题满分 5 分）

解：原式3 

3

 2

2



2

1

 2  2

．

18．（本题满分 5 分）

4(x  1)  3x, ①

解：原不等式组为5x  3

 x.②



2

解不等式①，得 x 

4 ． 解不等式②，得

x 

1

．

∴ 原不等式组的解集为1  x  4

．

19．（本题满分 5 分）

解：原式 =

m2  2mn  n2  m2  n2  m2

=

m2  2mn

．

∵

m2  2mn  3  0

，

∴

m2  2mn  3

．

∴ 原式 =

3． 20．（本题满分 5 分）

（1）

如图所示，线段 MQ 即为所求．

8 / 14

C

太阳光

N

α

M

Q

D

（2）∠OND，

两直线平行，内错角相等．

21．（本题满分 6 分）

（1）证明：

∵ D 是 BC 的中点，

∴ BD=CD．

∵ DE=DF，

∴ 四边形 BECF 是平行四边形．

∵ AB=AC，D 是 BC 中点，

∴ AD⊥BC．

∴ 平行四边形 BECF 是菱形．

（2）

解：

∵ BC=6，D 为 BC 中点，

∴

BD 

1

BC  3

．

2

设 DE  x ，

∵ AD=6，

∴

AE  AD  DE  6  x

．

∴

BE  AE  6  x

．

∵ AD⊥BC，

∴ ∠BDE=90°．

∴ 在Rt△BDE 中， BD2  DE2  BE2 ．∴

32  x2 

6  x2

．

解得： x 

9

，即 DF  DE 

9

．

4 4

∴ EF  DF  DE 

9

．

2

∴

S菱形BECF

=

1

BC  EF 

27

．

2 2

22．（本题满分 5 分）

9 / 14

A

E

B

D

C

F

（1）

解：

1

k  0

）的图象由 y  x 平移得到， ∵

y  kx  b

（

2

1

∴ k  ．

2

∵ 函数图象过（

2

，0），

∴ 2k  b  0 ，即1  b  0 ．

∴ b  1 ．

1

∴ 这个一次函数的解析式为 y  x  1 ．

2

（2） m  2 ．

23．（本题满分 6 分）

（2）

探究函数：

函数图象如图所示：

S / cm2

700

600

500

400

300

200

100

O

1 2 3 4 5 6 7

x/cm

（3）

解决问题：

① 大．

② 2.5 或

5.3． 24．（本题满分 6 分）

（1）

解：连接 OD，与 AC 交于 H，如图．

∵ DE 是⊙O 的切线，

∴ OD⊥DE．

∴ ∠ODE=90°．

B

O

∵ D 为

AC

的中点，

A

∴

AD  CD

．

∴ ∠AOD=∠COD．

∵ AO=CO，

10 / 14

H

D

F

C

E

∴ ∠OHC=90°= ∠ODE．

∴ DE∥AC．

（2）

解：

∵ AB 是⊙O 的直径，

∴ ∠ACB=90°．

4

∵ AC=8， cos A  ，

5

∴ OH⊥AC．

AC

 10 ．

∴ 在Rt△ABC 中， AB cos A

∴ OA=OB=OD=5．

∵ OH⊥AC，

∴

AH  CH  AC  4

．

2

1

∴ OH AO2  AH

2

 3 ．

∵ DE∥AC，

∴ △OCH ∽ △OED．

CH OH 3

∴   ．DE OD 5

∴ DE 

20

．

3

∵ ∠BCH=∠DHC=90°，∠AFD=∠CFB，

∴ △BCF ∽ △DHF．

∴

BC CF



．DH HF

∵ BC AB2  AC

2

 6 ，DH=OD-OH=2，

∵ CF+HF=CH=4，

∴ CF=3HF．

∴ CF=3．

∴ BF BC

2  CF

2

 3 5 ．

25．（本题满分 5 分）

（1）① 90， 87.5．

② 如图所示

11 / 14

（2）B．

（3）180．

26．（本题满分 6 分）

（1）

解：

1

，3）， ∵ 二次函数 y  ax2  2ax 的图象过点A（

∴ a  2a  3 ，解得： a  1 ．

∴ 二次函数的解析式为 y  x2  2x ．

∵

y  x2  2x 



x  1 1

，

∴ 顶点坐标为（1，

1

）．

（2）

解：

y

5

y=2x+5

2

1

，3）， ∵ 一次函数

y  2x  b

的图象也经过点 A（

∴ 2  b  3 ，解得： b  5 ．

A

4

3

2

y=2x-3

∴ 一次函数的解析式为

y  2x  5

．

如图，将函数

y  2x  5

的图象向右平移 4 个单位长度，

得到函数

y  2x  3

的图象.

∴点（3，3）在函数

y  2x  3

的图象上.

∵点（3，3）也在函数 y  x2  2x 的图象上，

1

–3 –2 –1

O

–1

1 2

23 4

x

y=x-2x

–2

–3

∴函数

y  2x  3

图象与 y  x2  2x 图象的交点为（1，

1

）和（3，3）.

∵ 点（m，

y1

）在函数

y  2x  5

的图象上，

m  4

，

y1

）在函数

y  2x  3

的图象上． ∴ 点（

m  4

，

y2

）在函数 y  x2  2x 的图象上， ∵ 点（

∴ 要使

y1  y2

，只需1  m  4  3

．

∴

3  m  1

．

12 / 14

．（本题满分 7 分）

（1）

PE⊥PF，

PF 3PE

．

（2）

仍然成立．

证明：连接 DE，延长 EP 到点 G，使得 EP=PG，连接 FG，FD．

∵ ∠ABC=90°，∠BAC=30°，

∴ ∠C=90°-∠BAC=60°．

∵ CD=CE，

∴ △CDE 为等边三角形．

∴ ∠CED=60°，DE=CE．

∵ P 为 AD 中点，

∴ AP=DP．

∵ EP=PG，∠APE=∠DPG，

∴ △APE ≌ △DPG．

∴ ∠EAP=∠PDG，AE=DG．

∴ AE∥DG．

∴ ∠EDG=∠DEC=60°．

∴ ∠EDG=∠C．

设 CD  CE  a ， BD  b ，

∴ BC  BD  CD  a  b ．

∵ ∠ABC=90°，∠BAC=30°，

∴ AC  2BC  2a  2b ．

∴ AE  AC  CE  a  2b ．

∵ D，F 关于 AB 对称，

∴ BF  BD  b ．

∴ CF  BC  BF  a  2b  AE ．

∴ DG  CF ．

∴ △EDG ≌ △ECF．

∴ EG=EF，∠CEF=∠DEG．

∴ ∠FEG=∠CED=60°．

∴ △EFG 为等边三角形．

∵ P 为 EG 中点，

∴ PF⊥EG．

∴ 在Rt△PEF 中，

PF  PE  tan PEF 3PE

．

13 / 14

A

G

P

E

F

B

D

C

27

28．（本题满分 7 分）

Q1

，

Q3

． （1）

（2）解：

∵ A 在直线

y   x  4

上，

∴ 设点 A 的坐标为（

a,

4  a ）．

设点 P 的一个等和点为（m，n），

∴ m，n 满足m  2  n ．

由于点（m，n）也是点 A 的等和点，

∴ m，n 满足m  a  4  a  n ．

结合这两个式子，推出a  2  4  a ，即 a  3 ．

∴ A 的坐标为（3，1）．

b  2  4 2

或2  4 2

． （3）

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