2024年3月13日发(作者：中音)
第2课时 简单的三角恒等变换(二)
学习目标 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2能够利用三角恒等变换解
决几何中的问题以及生活中的实际问题．
导语
同学们，我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，
比如sin x＋cos x等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助
角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大
的影响，今天，我们就和李善兰先生，一起来探究辅助角公式的意义吧．
一、三角恒等变换与三角函数
问题1 请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x±cos x，sin x±
3cos x，cos x±3sin x.
πππ
x±
，sin x±3cos x＝2sin
x±
，cos x±3sin x＝2sin
±
提示 sin x±cos x＝2sin
4
3
6
x
.
上述三角函数式，实际上是asin x＋bcos x(ab≠0)的特殊形式，上述一组恒等式中的a，b较
为特殊，经过一定的配凑，可以得到一些特殊角的三角函数值，那么对于一般的实系数a，b，
是否也能进行合并呢？
问题2 一般地，对于y＝asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？
提示 第一步：提常数，提出a
2
＋b
2
，
得到a
2
＋b
2
a
sin x＋
b
cos x
；
a
2
＋b
2
a
2
＋b
2
ab
，sin φ＝，
a
2
＋b
2
a
2
＋b
2
第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ＝
得到a
2
＋b
2
(cos φsin x＋sin φcos x)；
第三步：化简、逆用公式得asin x＋bcos x
b
＝a
2
＋b
2
sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
a
知识梳理
辅助角公式
b
其中tan θ＝
y＝asin x＋bcos x＝a
2
＋b
2
sin(x＋θ).
a
注意点：(1)该函数的最大值为a
2
＋b
2
，最小值为－a
2
＋b
2
；
(2)有时y＝asin x＋bcos x＝a
2
＋b
2
cos(x－θ)．
π
π
－x
，g(x)＝
1
sin 2x－
1
.
＋x
·例1 已知函数f(x)＝cos
cos
3
3
24
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
1313
解 (1)f(x)＝
cos x－sin x
cos x＋sin x
22
2
2
13
＝
cos
2
x－sin
2
x
44
1＋cos 2x31－cos 2x
＝－
88
11
＝
cos 2x－
，
24
2π
∴f(x)的最小正周期T＝
＝π.
2
11
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
22
＝
π
2
cos
2x＋
4
，
2
π
2
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值，
42
π
x＝kπ－
，k∈Z
. 此时x的取值集合为
x
8
反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当
的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常
利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝
的形式，以便研究函数的性质．
π
x－
，x∈R. 跟踪训练1 已知函数f(x)＝sin
2
x－sin
2
6
(1)求f(x)的最小正周期；
ππ
－，
上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间
34
a
2
＋b
2
sin(x＋φ)或y＝a
2
＋b
2
cos(x＋φ)
2x－
π
1－cos
1－cos 2x
3
解 (1)由已知，得f(x)＝
－
22
1
1
1
3
＝
cos 2x＋sin 2x
－cos 2x
2
22
2
2024年3月13日发(作者：中音)
第2课时 简单的三角恒等变换(二)
学习目标 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2能够利用三角恒等变换解
决几何中的问题以及生活中的实际问题．
导语
同学们，我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，
比如sin x＋cos x等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助
角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大
的影响，今天，我们就和李善兰先生，一起来探究辅助角公式的意义吧．
一、三角恒等变换与三角函数
问题1 请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x±cos x，sin x±
3cos x，cos x±3sin x.
πππ
x±
，sin x±3cos x＝2sin
x±
，cos x±3sin x＝2sin
±
提示 sin x±cos x＝2sin
4
3
6
x
.
上述三角函数式，实际上是asin x＋bcos x(ab≠0)的特殊形式，上述一组恒等式中的a，b较
为特殊，经过一定的配凑，可以得到一些特殊角的三角函数值，那么对于一般的实系数a，b，
是否也能进行合并呢？
问题2 一般地，对于y＝asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？
提示 第一步：提常数，提出a
2
＋b
2
，
得到a
2
＋b
2
a
sin x＋
b
cos x
；
a
2
＋b
2
a
2
＋b
2
ab
，sin φ＝，
a
2
＋b
2
a
2
＋b
2
第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ＝
得到a
2
＋b
2
(cos φsin x＋sin φcos x)；
第三步：化简、逆用公式得asin x＋bcos x
b
＝a
2
＋b
2
sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
a
知识梳理
辅助角公式
b
其中tan θ＝
y＝asin x＋bcos x＝a
2
＋b
2
sin(x＋θ).
a
注意点：(1)该函数的最大值为a
2
＋b
2
，最小值为－a
2
＋b
2
；
(2)有时y＝asin x＋bcos x＝a
2
＋b
2
cos(x－θ)．
π
π
－x
，g(x)＝
1
sin 2x－
1
.
＋x
·例1 已知函数f(x)＝cos
cos
3
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(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
1313
解 (1)f(x)＝
cos x－sin x
cos x＋sin x
22
2
2
13
＝
cos
2
x－sin
2
x
44
1＋cos 2x31－cos 2x
＝－
88
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＝
cos 2x－
，
24
2π
∴f(x)的最小正周期T＝
＝π.
2
11
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
22
＝
π
2
cos
2x＋
4
，
2
π
2
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值，
42
π
x＝kπ－
，k∈Z
. 此时x的取值集合为
x
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反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当
的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常
利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝
的形式，以便研究函数的性质．
π
x－
，x∈R. 跟踪训练1 已知函数f(x)＝sin
2
x－sin
2
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(1)求f(x)的最小正周期；
ππ
－，
上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间
34
a
2
＋b
2
sin(x＋φ)或y＝a
2
＋b
2
cos(x＋φ)
2x－
π
1－cos
1－cos 2x
3
解 (1)由已知，得f(x)＝
－
22
1
1
1
3
＝
cos 2x＋sin 2x
－cos 2x
2
22
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