2024年3月13日发(作者：桥英发)
抛物线过定点的问题集锦
解法步骤：
第一步：对含有变系数的项集中；
第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常
数的因式之积的形式；
第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”
了)；
第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，
即得到一个y的值y
0
(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x
0
，y
0
)；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．
1、无论m为任何实数，二次函数
yx(2m)xm
的图像总过的点是（ ）
A. （1，3） B. （1，0） C. （－1，3） D. （－1，0）
巩固练习：
1．无论m为何实数，二次函数y=x
2
﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点 （ ）
A． （1，3） B． （1，0） C． （﹣1，3） D． （﹣1，0）
2
2．对于关于x的二次函数y=ax
2
﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（ ）
①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点； ②无论a取何值，图象必过两定
点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当
a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4 个
3.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx
2
﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，
随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经
过两个定点，请你写出这两个定点的坐标： _________ ．
4．某数学小组研究二次函救y=mx
2
﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二
次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这
两个定点的坐标： _________ ．
5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x
2
+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一
个定点，这个定点是 _________ ．
6．无论m为何实数，二次函数y=x
2
﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点 _________ ．
7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象
上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次
函数解析式： _________ ．
8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标
2024年3月13日发(作者：桥英发)
抛物线过定点的问题集锦
解法步骤：
第一步：对含有变系数的项集中；
第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常
数的因式之积的形式；
第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”
了)；
第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，
即得到一个y的值y
0
(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x
0
，y
0
)；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．
1、无论m为任何实数，二次函数
yx(2m)xm
的图像总过的点是（ ）
A. （1，3） B. （1，0） C. （－1，3） D. （－1，0）
巩固练习：
1．无论m为何实数，二次函数y=x
2
﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点 （ ）
A． （1，3） B． （1，0） C． （﹣1，3） D． （﹣1，0）
2
2．对于关于x的二次函数y=ax
2
﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（ ）
①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点； ②无论a取何值，图象必过两定
点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当
a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4 个
3.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx
2
﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，
随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经
过两个定点，请你写出这两个定点的坐标： _________ ．
4．某数学小组研究二次函救y=mx
2
﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二
次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这
两个定点的坐标： _________ ．
5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x
2
+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一
个定点，这个定点是 _________ ．
6．无论m为何实数，二次函数y=x
2
﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点 _________ ．
7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象
上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次
函数解析式： _________ ．
8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标