2024年3月15日发(作者：邰妙双)
竞赛中的复数问题
复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密
联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.
一、知识结构
1.概念与运算:
⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b∈R);②三角式:z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R);③指数
式:z=re
iθ
(r≥0,θ∈R);④欧拉公式:e
iθ
=cosθ+isinθ,θ∈R.
⑵共轭与
模:①
z
1
z
2
=
z
1
z
2
;
z
1
z
2
=
z
1
z
2
;
(
z
1
)
=
z
2
|z
1
|
|z
2
|
z
1
z
2
;②||z
1
|-|z
2
||≤|z
1
+z
2
|≤|z
1
|+|z
2
|;|z
1
z
2
|=|z
1
||z
2
|;|
z
1
z
2
|=
;③z
z
=|z|
2
=|
z
|
2
;④z=
z
z∈R;|z|=|Re(z)|
z∈R.
⑶运算法则:①乘法:r
1
(cosθ
1
+isinθ
2
)r
2
(cosθ
2
+isinθ
2
)=r
1
r
2
(cos(θ
1
+θ
2
)+isin(θ
1
+θ
2
));②除
法:
r
1
(cos
2
isin
1
)
r
2
(cos
2
isin
2
)
=
r
1
(cos(θ
1
-θ
2
)+isin(θ
1
-θ
2
));③乘方:[r(cosθ+isinθ)]
n
=r
n
(cosnθ+isinnθ);④开
r
2
方:z
n
=r(cosθ+isinθ)
z
=
n
r
(cos
2k
+isin
2k
)(k=0,1,2…,n-1).
nn
2.辐角与三角:
⑴辐角性质:①定义:若z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R),则θ称为复数z的辐角,记为Argz;特别
地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z的辐角主值,记为argz;②运
算:Argz
1
+Argz
2
=Arg(z
1
z
2
);Argz
1
-Argz
2
=Arg(
2
z
1
z
2
)=Arg(z
1
z
2
);nArgz=
22222
Argz
n
;③性质:若z=cosθ+isinθ,则1+z=2cos
(cos
+isin
);1-z=-2sin
(cos
+isin
).
⑵单位根:①定义:方程x
n
=1的n个根叫做n次单位根,分别记为
ω
k
(k=0,1,2,…,n-1);ω
k
=(cos
2k
+isin
2k
)(k=0,
nn
1,2…,n-1);②性质:ω
0
=1;ω
k
=ω
1
k
;ω
k
ω
j
=ω
k+j
;单位根的积仍是单位根;n次单位根的全部
为:1,ω
1
,ω
1
2
,…,ω
1
n-1
;③1+ω
1
+ω
1
2
+…+ω
1
n-1
=0,(x-1)(x-ω
1
)(x-ω
1
2
)…(x-ω
1
n-1
)=x
n
-1.
⑶基本结论:①实系数n次方程的虚根α与其共轭复数
成对出现;②若|z
1
|=|z
2
|=…=|z
n
|,
且z
1
+z
2
+…+z
n
=0,则z
1
,z
2
,
…,z
n
对应的点是正n边形的顶点,且正n边形的中心在坐标原点;③若复数z
1
,z
2
对应的点分
别为Z
1
,Z
2
,且z
1
=z
0
z
2
,则∠Z
1
OZ
2
=argz
0
,或argz
0
-π.
3.复数与几何:
⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi与
向量
OZ
=(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z
1
,z
2
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,则|Z
1
Z
2
|=|z
1
-z
2
|;④旋
转公式:复数z
1
,z
2
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,向量
z
1
z
2
绕点Z
1
逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则
所得向量
z
1
z
中的Z对应的复数z=z
1
+r(z
2
-z
1
)(cosθ+isinθ).
⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z
1
,z
2
对应的点分别为Z,Z
1
,Z
2
,点Z分有向线段
z
1
z
2
的比
为λ(λ≠-1),则z=
z
1
z
2
;②三点共线:若复数z,z
1
,z
2
对应的点分别为Z,Z
1
,Z
2
,则三点Z,Z
1
,Z
2
共线
1
的充要条件是:Z=λZ
1
+(1-λ)Z
2
;③平行条件:若复数z
1
,z
2
,z
3
,z
4
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,Z
3
,Z
4
,则
Z
1
Z
2
∥Z
3
Z
4
的充要条件是:z
1
-z
2
=λ(z
3
-z
4
);④垂直条件:若复数z
1
,z
2
,z
3
,z
4
对应的点分别为
Z
1
,Z
2
,Z
3
,Z
4
,则Z
1
Z
2
⊥Z
3
Z
4
的充要条件是:z
1
-z
2
=λ(z
3
-z
4
)i.
⑶几何结论:①三角形面积:若复数z
1
,z
2
,z
3
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,Z
3
,则△Z
1
Z
2
Z
3
的面积
=
1
×复数(z
1
z
3
+z
2
z
1
+z
3
z
2
)的虚部;②三角形形状:若复数z
1
,z
2
,z
3
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,Z
3
,则
2
△Z
1
Z
2
Z
3
为正三角形的充要条件是:z
1
2
+z
2
2
+z
3
2
=z
1
z
2
+z
2
z
3
+
z
3
z
1
;或z
1
+ωz
2
+ω
2
z
3
=0;③三角形相似:若复数z
1
,z
2
,z
3
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,Z
3
,复数w
1
,w
2
,w
3
对应的点分别为W
1
,W
2
,W
3
,则△Z
1
Z
2
Z
3
∽△W
1
W
2
W
3
的充要条件是:
z
2
z
1
=
w
2
w
1
;④四点共
z
3
z
1
w
3
w
1
圆:若复数z
1
,z
2
,z
3
,z
4
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,Z
3
,Z
4
,则四点Z
1
,
Z
2
,Z
3
,Z
4
共圆的充要条件是:
z
3
z
1
:
z
3
z
2
∈R.
z
4
z
1
z
4
z
2
二、典型问题
1.复数概念
[例1]:若对一切θ∈R,复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2,则实数a的取值范围为 .
[解
2024年3月15日发(作者：邰妙双)
竞赛中的复数问题
复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密
联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.
一、知识结构
1.概念与运算:
⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b∈R);②三角式:z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R);③指数
式:z=re
iθ
(r≥0,θ∈R);④欧拉公式:e
iθ
=cosθ+isinθ,θ∈R.
⑵共轭与
模:①
z
1
z
2
=
z
1
z
2
;
z
1
z
2
=
z
1
z
2
;
(
z
1
)
=
z
2
|z
1
|
|z
2
|
z
1
z
2
;②||z
1
|-|z
2
||≤|z
1
+z
2
|≤|z
1
|+|z
2
|;|z
1
z
2
|=|z
1
||z
2
|;|
z
1
z
2
|=
;③z
z
=|z|
2
=|
z
|
2
;④z=
z
z∈R;|z|=|Re(z)|
z∈R.
⑶运算法则:①乘法:r
1
(cosθ
1
+isinθ
2
)r
2
(cosθ
2
+isinθ
2
)=r
1
r
2
(cos(θ
1
+θ
2
)+isin(θ
1
+θ
2
));②除
法:
r
1
(cos
2
isin
1
)
r
2
(cos
2
isin
2
)
=
r
1
(cos(θ
1
-θ
2
)+isin(θ
1
-θ
2
));③乘方:[r(cosθ+isinθ)]
n
=r
n
(cosnθ+isinnθ);④开
r
2
方:z
n
=r(cosθ+isinθ)
z
=
n
r
(cos
2k
+isin
2k
)(k=0,1,2…,n-1).
nn
2.辐角与三角:
⑴辐角性质:①定义:若z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R),则θ称为复数z的辐角,记为Argz;特别
地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z的辐角主值,记为argz;②运
算:Argz
1
+Argz
2
=Arg(z
1
z
2
);Argz
1
-Argz
2
=Arg(
2
z
1
z
2
)=Arg(z
1
z
2
);nArgz=
22222
Argz
n
;③性质:若z=cosθ+isinθ,则1+z=2cos
(cos
+isin
);1-z=-2sin
(cos
+isin
).
⑵单位根:①定义:方程x
n
=1的n个根叫做n次单位根,分别记为
ω
k
(k=0,1,2,…,n-1);ω
k
=(cos
2k
+isin
2k
)(k=0,
nn
1,2…,n-1);②性质:ω
0
=1;ω
k
=ω
1
k
;ω
k
ω
j
=ω
k+j
;单位根的积仍是单位根;n次单位根的全部
为:1,ω
1
,ω
1
2
,…,ω
1
n-1
;③1+ω
1
+ω
1
2
+…+ω
1
n-1
=0,(x-1)(x-ω
1
)(x-ω
1
2
)…(x-ω
1
n-1
)=x
n
-1.
⑶基本结论:①实系数n次方程的虚根α与其共轭复数
成对出现;②若|z
1
|=|z
2
|=…=|z
n
|,
且z
1
+z
2
+…+z
n
=0,则z
1
,z
2
,
…,z
n
对应的点是正n边形的顶点,且正n边形的中心在坐标原点;③若复数z
1
,z
2
对应的点分
别为Z
1
,Z
2
,且z
1
=z
0
z
2
,则∠Z
1
OZ
2
=argz
0
,或argz
0
-π.
3.复数与几何:
⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi与
向量
OZ
=(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z
1
,z
2
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,则|Z
1
Z
2
|=|z
1
-z
2
|;④旋
转公式:复数z
1
,z
2
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,向量
z
1
z
2
绕点Z
1
逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则
所得向量
z
1
z
中的Z对应的复数z=z
1
+r(z
2
-z
1
)(cosθ+isinθ).
⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z
1
,z
2
对应的点分别为Z,Z
1
,Z
2
,点Z分有向线段
z
1
z
2
的比
为λ(λ≠-1),则z=
z
1
z
2
;②三点共线:若复数z,z
1
,z
2
对应的点分别为Z,Z
1
,Z
2
,则三点Z,Z
1
,Z
2
共线
1
的充要条件是:Z=λZ
1
+(1-λ)Z
2
;③平行条件:若复数z
1
,z
2
,z
3
,z
4
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,Z
3
,Z
4
,则
Z
1
Z
2
∥Z
3
Z
4
的充要条件是:z
1
-z
2
=λ(z
3
-z
4
);④垂直条件:若复数z
1
,z
2
,z
3
,z
4
对应的点分别为
Z
1
,Z
2
,Z
3
,Z
4
,则Z
1
Z
2
⊥Z
3
Z
4
的充要条件是:z
1
-z
2
=λ(z
3
-z
4
)i.
⑶几何结论:①三角形面积:若复数z
1
,z
2
,z
3
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,Z
3
,则△Z
1
Z
2
Z
3
的面积
=
1
×复数(z
1
z
3
+z
2
z
1
+z
3
z
2
)的虚部;②三角形形状:若复数z
1
,z
2
,z
3
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,Z
3
,则
2
△Z
1
Z
2
Z
3
为正三角形的充要条件是:z
1
2
+z
2
2
+z
3
2
=z
1
z
2
+z
2
z
3
+
z
3
z
1
;或z
1
+ωz
2
+ω
2
z
3
=0;③三角形相似:若复数z
1
,z
2
,z
3
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,Z
3
,复数w
1
,w
2
,w
3
对应的点分别为W
1
,W
2
,W
3
,则△Z
1
Z
2
Z
3
∽△W
1
W
2
W
3
的充要条件是:
z
2
z
1
=
w
2
w
1
;④四点共
z
3
z
1
w
3
w
1
圆:若复数z
1
,z
2
,z
3
,z
4
对应的点分别为Z
1
,Z
2
,Z
3
,Z
4
,则四点Z
1
,
Z
2
,Z
3
,Z
4
共圆的充要条件是:
z
3
z
1
:
z
3
z
2
∈R.
z
4
z
1
z
4
z
2
二、典型问题
1.复数概念
[例1]:若对一切θ∈R,复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2,则实数a的取值范围为 .
[解