2024年5月4日发(作者：枝吉欣)

证明复数形式的拉格朗日恒等式的方法

拉格朗日恒等式是高等数学中的一个重要公式，它是指对于任意

函数 $f(x)$，都有以下形式的恒等式：

$$

sum_{i=1}^n f(x_i)cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x-x_j}{x_i-x_j} = f(x)cdot prod_{i=1}^n

(x-x_i) + R_n(x)

$$

其中，$x_1,x_2,cdots,x_n$ 是 $n$ 个不同的实数，

$R_n(x)$ 是 $n$ 次多项式，满足 $R_n(x_i) = 0$。

对于复数形式的拉格朗日恒等式，我们可以采用以下方法进行证

明：

1. 首先，我们将 $f(x)$ 和 $R_n(x)$ 分别表示为复数函数的

形式，即 $f(x) = u(x) + iv(x)$ 和 $R_n(x) = p(x) + iq(x)$，

其中 $u(x),v(x),p(x),q(x)$ 都是实数函数。

2. 然后，我们按照实数形式的拉格朗日恒等式的证明方法，将

左侧的式子展开，得到：

$$

sum_{i=1}^n (u(x_i)+iv(x_i))cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x-x_j}{x_i-x_j} = (u(x)+iv(x))cdot

prod_{i=1}^n (x-x_i) + (p(x)+iq(x))

$$

- 1 -

3. 接下来，我们将左右两边分别展开实部和虚部，即：

$$

begin{aligned}

&sum_{i=1}^n u(x_i)cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x-x_j}{x_i-x_j} - p(x)

= &(u(x) - p(x))cdot prod_{i=1}^n (x-x_i) - sum_{i=1}^n

v(x_i)cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x-x_j}{x_i-x_j} + q(x)

end{aligned}

$$

$$

begin{aligned}

&sum_{i=1}^n v(x_i)cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x-x_j}{x_i-x_j} - q(x)

= &(v(x) - q(x))cdot prod_{i=1}^n (x-x_i) + sum_{i=1}^n

u(x_i)cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x-x_j}{x_i-x_j} - p(x)

end{aligned}

$$

4. 最后，我们证明 $u(x) = p(x)$ 且 $v(x) = q(x)$。由于

$R_n(x_i) = 0$，因此 $p(x_i) = u(x_i)$ 且 $q(x_i) = v(x_i)$，

所以我们只需要证明 $p(x) = u(x)$ 即可。将 $x=x_i$ 带入上式，

- 2 -

得到：

$$

u(x_i)cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x_i-x_j}{x_i-x_j} - p(x_i) = 0

$$

注意到 $prodlimits_{j=1,j

eq i}^n frac{x_i-x_j}{x_i-x_j} = 1$，因此 $u(x_i) = p(x_i)$，

即 $u(x) = p(x)$。同理可证 $v(x) = q(x)$。

综上所述，我们证明了复数形式的拉格朗日恒等式。

- 3 -

2024年5月4日发(作者：枝吉欣)

证明复数形式的拉格朗日恒等式的方法

拉格朗日恒等式是高等数学中的一个重要公式，它是指对于任意

函数 $f(x)$，都有以下形式的恒等式：

$$

sum_{i=1}^n f(x_i)cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x-x_j}{x_i-x_j} = f(x)cdot prod_{i=1}^n

(x-x_i) + R_n(x)

$$

其中，$x_1,x_2,cdots,x_n$ 是 $n$ 个不同的实数，

$R_n(x)$ 是 $n$ 次多项式，满足 $R_n(x_i) = 0$。

对于复数形式的拉格朗日恒等式，我们可以采用以下方法进行证

明：

1. 首先，我们将 $f(x)$ 和 $R_n(x)$ 分别表示为复数函数的

形式，即 $f(x) = u(x) + iv(x)$ 和 $R_n(x) = p(x) + iq(x)$，

其中 $u(x),v(x),p(x),q(x)$ 都是实数函数。

2. 然后，我们按照实数形式的拉格朗日恒等式的证明方法，将

左侧的式子展开，得到：

$$

sum_{i=1}^n (u(x_i)+iv(x_i))cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x-x_j}{x_i-x_j} = (u(x)+iv(x))cdot

prod_{i=1}^n (x-x_i) + (p(x)+iq(x))

$$

- 1 -

3. 接下来，我们将左右两边分别展开实部和虚部，即：

$$

begin{aligned}

&sum_{i=1}^n u(x_i)cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x-x_j}{x_i-x_j} - p(x)

= &(u(x) - p(x))cdot prod_{i=1}^n (x-x_i) - sum_{i=1}^n

v(x_i)cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x-x_j}{x_i-x_j} + q(x)

end{aligned}

$$

$$

begin{aligned}

&sum_{i=1}^n v(x_i)cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x-x_j}{x_i-x_j} - q(x)

= &(v(x) - q(x))cdot prod_{i=1}^n (x-x_i) + sum_{i=1}^n

u(x_i)cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x-x_j}{x_i-x_j} - p(x)

end{aligned}

$$

4. 最后，我们证明 $u(x) = p(x)$ 且 $v(x) = q(x)$。由于

$R_n(x_i) = 0$，因此 $p(x_i) = u(x_i)$ 且 $q(x_i) = v(x_i)$，

所以我们只需要证明 $p(x) = u(x)$ 即可。将 $x=x_i$ 带入上式，

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得到：

$$

u(x_i)cdot prod_{j=1,j

eq i}^n frac{x_i-x_j}{x_i-x_j} - p(x_i) = 0

$$

注意到 $prodlimits_{j=1,j

eq i}^n frac{x_i-x_j}{x_i-x_j} = 1$，因此 $u(x_i) = p(x_i)$，

即 $u(x) = p(x)$。同理可证 $v(x) = q(x)$。

综上所述，我们证明了复数形式的拉格朗日恒等式。

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