2024年3月19日发(作者：盖健柏)

beta.1

勾股定理

姓名

例1．如图46，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上一点，求证：

1

BD

2

+DC

2

=2AD

2

。

例2．如图47，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=

6

，

BC=5−

3

，CD=6，求AD的长。

例3．如图48，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，

求证：BD

2

=AB

2

+BC

2

。

例4．如图49，已知△ABC中，D是BC中点，E为AB上一点，F为AC

上一点，若∠EDF=90°，且BE

2

+FC

2

=EF

2

，求证：∠BAC=90°。

1 / 4

例5．如图50，正方形ABCD中，点M为AB的中点，AE=

4

AD，点N

是EC的中点，求证：MN=

1

2

EC。

例6．求证：2n

2

+2n，2n+1，2n

2

+2n+1 (n是正整数)是一组勾股数。

例7．证明勾股数组x、y、z必有6︱xy。

第 页

beta.1

勾股定理

姓名

A卷

一、填空题

01．高为

3

的等边三角形的面积为_________。

02．从边长为4的正方形的一个顶点到这个正方形各边中点的距离和是

_________。

03．在Rt△ABC的斜边AB上，再作一个Rt△ABD，AB是斜边。若BC=2，

AC=a，AD=3，则BD=_________。

04．已知一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边之和为

1+

3

，由此三角形的面积为_________。

05．已知正方形ABCD的边长为4，M为AD的中点，连结CM，过B作

BE⊥CM，垂足为E，则BE=_________。

06．已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为

_________。

07．正方形ABCD内取一点P，使PA=BP=PH=h，且PH⊥CD，正方形的

边长为1，则h=_________。

08．如图51，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则

PA

2

+PB∙PC=_________。

1 / 4

09．如图52，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且BD=5，

CD=3，则AC=_________。

10．如图53，△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠BAC=60°，∠

DAC=45°，BD=a，则AB=_________。

二、解答题

11．如图54，已知△ABC中AB=AC，DE∥BC，求证：BE

2

=EC

2

+BC∙DE。

12．如图55，已知△ABC中，∠BAC=90°，E、D是BC的三等分点。求

证：

AE

2

AD

2



5

9

BC

2

第 页

beta.1

勾股定理

姓名

B卷

一、填空题

01．如图56，已知梯形两底分别为11和25，两腰长分别为15和13，则

BD=_________，AC=_________，AG=_________。

02．在Rt△ABC中，∠A=90°，BE和CF为△ABC的中线，则(BE

2

+CF

2

) ：

09．如图62，已知∠XOY=60°，M是∠XOY内的一点，它到OX的距离

MA=2，到OY的距离MB=11，则OM=_________。

10．如图63，在△AB C中，∠C=90°。若三角形内有一点O，使得△AOB、

△OAC和△OB C的面积相等，则(OA

2

+OB

2

) ：OC

2

=_________。

BC

2

=_________。

03．如图57，∠ABC中，AB=AC=20，BC=32，AD⊥AC，AD⊥B C于D，

则BD=_________。

04．如图58，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=

2

5

∠B，则BC=_________。

05．如图59，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，则

BC=_________，AD=_________。

06．如图60，已知△ABC中，BC=28，AC=25，AB=17，则S

△

ABC

=_________。

07．△ABC周长是24，M是AB中点，MC=MA=5，则S

△

ABC

=_________。

08．如图61，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，且P点到CD边的

距离也等于10，则S

正方形

ABCD

=_________。

1 / 4

二、解答题

11．在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，D点在AC延长线上，且

AB=

6

CD，求∠DBC的度数。

12．如图64，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，P、Q在斜

边AB上，且∠PCQ=45°，求证：PQ

2

=AP

2

+BQ

2

。

第 页

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勾股定理

姓名

C卷

解答题

01．如图65，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点P

1

、

P

2

、…、P

10

。记M

i

=AP

i

2

+P

i

B∙P

i

C(i=1、2、…、10)，求M

1

+ M

2

+⋯+M

10

的值。

02．已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，

求这个三角形三边的长。

03．已知Rt△ABC中，M是斜边BC的中点，D、E分别在AB、AC上，

且DM⊥ME，BD=3，CE=4，求线段DE长。

04．如图66，△ABC三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC

内点P向△ABC三边作垂线PD、PE、PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF

的值。

05．如图67，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，

PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。

第 1 / 4

06．如图68，点P是正方形ABCD内一点。若PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞

0)，求∠APB。

07．如图69，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4。求

OD。

08．如图70，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P是△ABC内一点，

PA=1，PB=3，PC=

7

，求∠CPA。

09．如图71，已知等边三角形ABC内一点P，PA=3，PC=4，PB=5。求△

ABC的边长。

10．如图72，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，

PC=3，求S

梯形

ABCD

。

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2024年3月19日发(作者：盖健柏)

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勾股定理

姓名

例1．如图46，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上一点，求证：

1

BD

2

+DC

2

=2AD

2

。

例2．如图47，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=

6

，

BC=5−

3

，CD=6，求AD的长。

例3．如图48，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，

求证：BD

2

=AB

2

+BC

2

。

例4．如图49，已知△ABC中，D是BC中点，E为AB上一点，F为AC

上一点，若∠EDF=90°，且BE

2

+FC

2

=EF

2

，求证：∠BAC=90°。

1 / 4

例5．如图50，正方形ABCD中，点M为AB的中点，AE=

4

AD，点N

是EC的中点，求证：MN=

1

2

EC。

例6．求证：2n

2

+2n，2n+1，2n

2

+2n+1 (n是正整数)是一组勾股数。

例7．证明勾股数组x、y、z必有6︱xy。

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勾股定理

姓名

A卷

一、填空题

01．高为

3

的等边三角形的面积为_________。

02．从边长为4的正方形的一个顶点到这个正方形各边中点的距离和是

_________。

03．在Rt△ABC的斜边AB上，再作一个Rt△ABD，AB是斜边。若BC=2，

AC=a，AD=3，则BD=_________。

04．已知一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边之和为

1+

3

，由此三角形的面积为_________。

05．已知正方形ABCD的边长为4，M为AD的中点，连结CM，过B作

BE⊥CM，垂足为E，则BE=_________。

06．已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为

_________。

07．正方形ABCD内取一点P，使PA=BP=PH=h，且PH⊥CD，正方形的

边长为1，则h=_________。

08．如图51，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则

PA

2

+PB∙PC=_________。

1 / 4

09．如图52，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且BD=5，

CD=3，则AC=_________。

10．如图53，△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠BAC=60°，∠

DAC=45°，BD=a，则AB=_________。

二、解答题

11．如图54，已知△ABC中AB=AC，DE∥BC，求证：BE

2

=EC

2

+BC∙DE。

12．如图55，已知△ABC中，∠BAC=90°，E、D是BC的三等分点。求

证：

AE

2

AD

2



5

9

BC

2

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勾股定理

姓名

B卷

一、填空题

01．如图56，已知梯形两底分别为11和25，两腰长分别为15和13，则

BD=_________，AC=_________，AG=_________。

02．在Rt△ABC中，∠A=90°，BE和CF为△ABC的中线，则(BE

2

+CF

2

) ：

09．如图62，已知∠XOY=60°，M是∠XOY内的一点，它到OX的距离

MA=2，到OY的距离MB=11，则OM=_________。

10．如图63，在△AB C中，∠C=90°。若三角形内有一点O，使得△AOB、

△OAC和△OB C的面积相等，则(OA

2

+OB

2

) ：OC

2

=_________。

BC

2

=_________。

03．如图57，∠ABC中，AB=AC=20，BC=32，AD⊥AC，AD⊥B C于D，

则BD=_________。

04．如图58，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=

2

5

∠B，则BC=_________。

05．如图59，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，则

BC=_________，AD=_________。

06．如图60，已知△ABC中，BC=28，AC=25，AB=17，则S

△

ABC

=_________。

07．△ABC周长是24，M是AB中点，MC=MA=5，则S

△

ABC

=_________。

08．如图61，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，且P点到CD边的

距离也等于10，则S

正方形

ABCD

=_________。

1 / 4

二、解答题

11．在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，D点在AC延长线上，且

AB=

6

CD，求∠DBC的度数。

12．如图64，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，P、Q在斜

边AB上，且∠PCQ=45°，求证：PQ

2

=AP

2

+BQ

2

。

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beta.1

勾股定理

姓名

C卷

解答题

01．如图65，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点P

1

、

P

2

、…、P

10

。记M

i

=AP

i

2

+P

i

B∙P

i

C(i=1、2、…、10)，求M

1

+ M

2

+⋯+M

10

的值。

02．已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，

求这个三角形三边的长。

03．已知Rt△ABC中，M是斜边BC的中点，D、E分别在AB、AC上，

且DM⊥ME，BD=3，CE=4，求线段DE长。

04．如图66，△ABC三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC

内点P向△ABC三边作垂线PD、PE、PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF

的值。

05．如图67，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，

PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。

第 1 / 4

06．如图68，点P是正方形ABCD内一点。若PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞

0)，求∠APB。

07．如图69，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4。求

OD。

08．如图70，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P是△ABC内一点，

PA=1，PB=3，PC=

7

，求∠CPA。

09．如图71，已知等边三角形ABC内一点P，PA=3，PC=4，PB=5。求△

ABC的边长。

10．如图72，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，

PC=3，求S

梯形

ABCD

。

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