2024年3月28日发(作者：天建元)
数学学习总结资料
专题跟踪突破11 一次函数、二次函数的实际应用
1．(导学号：01262169)(2016·潍坊)旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租
赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发
现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每
辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是
1 100元．
(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少
应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，由50x－1 100＞0，解得x＞
22，又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元
(2)设每辆车的净收入为y元，当0＜x≤100时，y
1
＝50x－1 100，∵y
1
随x的增大而
增大，∴当x＝100时，y
1
的最大值为50×100－1 100＝3 900；当x＞100时，y
2
＝(50－
x－1001
2
1
2
)x－1 100＝－x＋70x－1 100＝－(x－175)＋5 025，当x＝175时，y
2
的最大值
555
为5 025，5 025＞3 900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5 025元
2．(导学号：01262170)(2016·黑龙江)甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程
中，两车离开A城的距离y与t的对应关系如图所示：
(1)A，B两城之间距离是多少千米？
(2)求乙车出发多长时间追上甲车？
(3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米．
解：(1)由图象可知A，B两城之间距离是300千米
300
(2)设乙车出发x小时追上甲车．由图象可知，甲的速度＝＝60千米/小时．乙的速
5
3003
度＝＝100千米/小时．由题意得(100－60)x＝60，解得x＝小时
32
(3)设y
甲
＝kx＋b∴y
甲
＝60x－300，设y
乙
＝k′x＋b′∴y
乙
＝100x－600，∵两车相距
20千米，∴y
甲
－y
乙
＝20或y
乙
－y
甲
＝20或y
甲
＝20或y
甲
＝280，即60x－300－(100x－600)
＝20或100x－600－(60x－300)＝20或60x－300＝20或60x－300＝280，解得x＝7或8
1
或或，∵7－5＝2，8－5＝3，－5＝，－5＝，∴甲车出发2小时或3小时或小
3333333
14
时或小时，两车相距20千米
3
3．(导学号：01262171)(2016·黄石) 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，
图中点的横坐标表示科技馆从8:30开门后经过的时间（分钟），纵坐标
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表示到达科技
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馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为，10:00之后来
的游客较少可忽略不计.
(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；
(2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区
等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减
少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
解：（1），
（2） ，15+30+（90-78）=57
分钟
所以，馆外游客最多等待57分钟
4．(导学号：01262072)(2016·青岛)某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降
价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每
月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成
本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系：
月产销量y(个)
每个玩具的固
定成本Q(元)
…
…
160
60
200
48
240
40
300
32
…
…
(1)写出月产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式；
(3)若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？
(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？
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销售单价最低为多少元？
解：(1)由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y(个)与销售单
价x(元)之间存在一次函数关系，不妨设y＝kx＋b，则(280，300)，(279，302)满足函数关
280k＋b＝300，
k＝－2，
系式，得
解得
产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式
279k＋b＝302，
b＝860，
为y＝－2x＋860
(2)观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间
m9 600
存在反比例函数关系，不妨设Q＝，将Q＝60，y＝160代入得到m＝9 600，此时Q＝
yy
(3)当Q＝30时，y＝320，由(1)可知y＝－2x＋860，所以x＝270，即销售单价为270
3011
元，由于＝，∴成本占销售价的
27099
9 600
(4)若y≤400，则Q≥，即Q≥24，固定成本至少是24元，400≥－2x＋860，解
400
得x≥230，即销售单价最低为230元
5．(导学号：01262073)(2016·绍兴)有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一
个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6
m
，如何设计这个窗户，使透光面
积最大？
2
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35
m
时，透光面积最大值约为1.05
m
.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长
仍为6
m
，利用图3，解答下列问题：
(1)若AB为1
m
，求此时窗户的透光面积？
(2)与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说
明．
1
6－1－1－1－
2
555
2
解：(1)由已知可得：AD＝＝，则S＝1×＝ (
m
)
2444
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7712
(2)设AB＝x
m
，则AD＝(3－x)
m
，∵3－x>0，∴0 447 77 2 76 2 96612 得：S＝AB·AD＝x(3－x)＝－x＋3x＝－(x－)＋，当x＝ m 时，且x＝ m 在0 44477777 9 22 的范围内，S 最大值 ＝ m >1.05 m ，∴与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大 7 数学学习总结资料
2024年3月28日发(作者：天建元)
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专题跟踪突破11 一次函数、二次函数的实际应用
1．(导学号：01262169)(2016·潍坊)旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租
赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发
现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每
辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是
1 100元．
(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少
应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，由50x－1 100＞0，解得x＞
22，又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元
(2)设每辆车的净收入为y元，当0＜x≤100时，y
1
＝50x－1 100，∵y
1
随x的增大而
增大，∴当x＝100时，y
1
的最大值为50×100－1 100＝3 900；当x＞100时，y
2
＝(50－
x－1001
2
1
2
)x－1 100＝－x＋70x－1 100＝－(x－175)＋5 025，当x＝175时，y
2
的最大值
555
为5 025，5 025＞3 900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5 025元
2．(导学号：01262170)(2016·黑龙江)甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程
中，两车离开A城的距离y与t的对应关系如图所示：
(1)A，B两城之间距离是多少千米？
(2)求乙车出发多长时间追上甲车？
(3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米．
解：(1)由图象可知A，B两城之间距离是300千米
300
(2)设乙车出发x小时追上甲车．由图象可知，甲的速度＝＝60千米/小时．乙的速
5
3003
度＝＝100千米/小时．由题意得(100－60)x＝60，解得x＝小时
32
(3)设y
甲
＝kx＋b∴y
甲
＝60x－300，设y
乙
＝k′x＋b′∴y
乙
＝100x－600，∵两车相距
20千米，∴y
甲
－y
乙
＝20或y
乙
－y
甲
＝20或y
甲
＝20或y
甲
＝280，即60x－300－(100x－600)
＝20或100x－600－(60x－300)＝20或60x－300＝20或60x－300＝280，解得x＝7或8
1
或或，∵7－5＝2，8－5＝3，－5＝，－5＝，∴甲车出发2小时或3小时或小
3333333
14
时或小时，两车相距20千米
3
3．(导学号：01262171)(2016·黄石) 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，
图中点的横坐标表示科技馆从8:30开门后经过的时间（分钟），纵坐标
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表示到达科技
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馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为，10:00之后来
的游客较少可忽略不计.
(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；
(2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区
等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减
少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
解：（1），
（2） ，15+30+（90-78）=57
分钟
所以，馆外游客最多等待57分钟
4．(导学号：01262072)(2016·青岛)某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降
价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每
月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成
本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系：
月产销量y(个)
每个玩具的固
定成本Q(元)
…
…
160
60
200
48
240
40
300
32
…
…
(1)写出月产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式；
(3)若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？
(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？
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销售单价最低为多少元？
解：(1)由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y(个)与销售单
价x(元)之间存在一次函数关系，不妨设y＝kx＋b，则(280，300)，(279，302)满足函数关
280k＋b＝300，
k＝－2，
系式，得
解得
产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式
279k＋b＝302，
b＝860，
为y＝－2x＋860
(2)观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间
m9 600
存在反比例函数关系，不妨设Q＝，将Q＝60，y＝160代入得到m＝9 600，此时Q＝
yy
(3)当Q＝30时，y＝320，由(1)可知y＝－2x＋860，所以x＝270，即销售单价为270
3011
元，由于＝，∴成本占销售价的
27099
9 600
(4)若y≤400，则Q≥，即Q≥24，固定成本至少是24元，400≥－2x＋860，解
400
得x≥230，即销售单价最低为230元
5．(导学号：01262073)(2016·绍兴)有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一
个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6
m
，如何设计这个窗户，使透光面
积最大？
2
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35
m
时，透光面积最大值约为1.05
m
.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长
仍为6
m
，利用图3，解答下列问题：
(1)若AB为1
m
，求此时窗户的透光面积？
(2)与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说
明．
1
6－1－1－1－
2
555
2
解：(1)由已知可得：AD＝＝，则S＝1×＝ (
m
)
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(2)设AB＝x
m
，则AD＝(3－x)
m
，∵3－x>0，∴0 447 77 2 76 2 96612 得：S＝AB·AD＝x(3－x)＝－x＋3x＝－(x－)＋，当x＝ m 时，且x＝ m 在0 44477777 9 22 的范围内，S 最大值 ＝ m >1.05 m ，∴与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大 7 数学学习总结资料