2024年3月29日发(作者：支幼菱)

哈密尔顿算子

哈密尔顿（on）引进了一个向量型微分记号：













ijk

xyz

成为哈密尔顿算子，读作Nabla（纳普拉）。它是一种微分运算符号，

同时又可以被看做向量，作用到数量函数u（x，y，z）上，得













u



u



u



u(ijk)uijk

xyzxyz

这就是数量函数的梯度，▽与u的乘积看作是数量运算。

哈密尔顿算子▽作用到向量函数







F(M)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k

上，有数量积与向量积两种运算，分别定义为



















F(ijk)(PiQjRk)

xyz



P



Q



R



ijkdivF(M)

xyz

和



















F(ijk)(PiQjRk)

xyz







ijk













rotF(M)





xyz





PQR





注意到▽算子的向量性质，▽·u，▽

F

，▽×u等记号都是没有意义

的，同样，▽（▽u），▽·（▽·

F

）,▽×（▽·

F

）也都是没有意义

的。

另外，▽算子和一般的向量不同。例如对一般向量

F，G

及常数



，有





F



F



F



F







GGF





GGF

可视为向量的交换相乘。对哈密尔顿算子▽，函数u（x,y,z）或

F

（x,y,z）在▽的左边和▽相乘，表示对函数u和

F

求微分，但在▽

的左边和▽相乘，▽对函数没有微分作用，乘积仍为一个微分算子，

例如













uuiujuk

xyz





FPQR

xyz







i





F



P













j

Q









k

















R



(QR)i(RP)j(PQ)k

zyxzyx











仍然可以作用在数量函数或向量函数上。

通常在运算时，利用向量乘法交换相乘的法则，把不需要求导的项

调换到▽算子的左边，而将那些仍需要求导的项留在▽的右边。

下面列出▽算子常用的几组性质，其中

F

，

G

是向量函数，u，v

是数量函数，a，b是常数

一、线性性质

（1）▽（

au+bv

）=a▽u+b▽v





（2）

(aFbG)aFbG

（3）

(aF







bG)aFbG

二、乘积性质

（1）▽(uv)=u▽v+v▽u



（2）

(uF)uFuF



（3）

(uF)uFuF









FGGFGF





（4）



F(G)(F)G







(5)

(FG)G



F



F



G











(6)

FGF(G)G(F)(G)F(F)G





其中符号

(F)G

的意义是

























(F)G



QR



P



G

yz



x



GGG

PQR

xyz

而其中（设G=Ui+Vj+Wk）



GU



V



W



ijk

xxxx



GG

,的意义与之类似。

yz

在这里给出部分性质的证明:

证性质（4）：

由三重向量积公式，我们可以得到

b

(

a



c

)

=a



(

b



c

)+ (

a



b

)

c











FGF

c

GFG

c





F

c

(G)(F

c

)GF

c

FF

c

F

于是







F(G)(F)GGFGF

















证明过程中，

F

c

、

G

c

是暂时将向量

F

，

G

看作常向量，因而，这些

项可以利用向量积的交换性质换到哈密尔顿算子的前面。

三、双重▽运算性质

（1）▽



（▽u）=▽

2

u=△U



（2）▽



(

F

)=0

（3）





u



0

（4）





F







F



F

其中符号△称为拉普拉斯(Laplace)算子，定义为

△=▽·▽=



2

2



x





2

2

y





2

2

z

这是一个数量型微分算子，其运算作用为

u

u

x

2

2



u

y

2

2



u

z

2

2



22





2

FFF

F

222

xyz

）







这里（设

FPiQjRk



2

F

x

2

2

22

P



Q



R



ijk

222

xxx

同理，



F

2

y

2

、



F

2

z

2

与此相似。

四、对向径r及复合函数的作用

（1）

r



r

r

（2）

r





3

0

（3）

r

（4）

f(u)f



(u)(u)

f

u

u

f

v

v

（5）

f(u,v)







其中，

rxiyjzk,rr

2024年3月29日发(作者：支幼菱)

哈密尔顿算子

哈密尔顿（on）引进了一个向量型微分记号：













ijk

xyz

成为哈密尔顿算子，读作Nabla（纳普拉）。它是一种微分运算符号，

同时又可以被看做向量，作用到数量函数u（x，y，z）上，得













u



u



u



u(ijk)uijk

xyzxyz

这就是数量函数的梯度，▽与u的乘积看作是数量运算。

哈密尔顿算子▽作用到向量函数







F(M)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k

上，有数量积与向量积两种运算，分别定义为



















F(ijk)(PiQjRk)

xyz



P



Q



R



ijkdivF(M)

xyz

和



















F(ijk)(PiQjRk)

xyz







ijk













rotF(M)





xyz





PQR





注意到▽算子的向量性质，▽·u，▽

F

，▽×u等记号都是没有意义

的，同样，▽（▽u），▽·（▽·

F

）,▽×（▽·

F

）也都是没有意义

的。

另外，▽算子和一般的向量不同。例如对一般向量

F，G

及常数



，有





F



F



F



F







GGF





GGF

可视为向量的交换相乘。对哈密尔顿算子▽，函数u（x,y,z）或

F

（x,y,z）在▽的左边和▽相乘，表示对函数u和

F

求微分，但在▽

的左边和▽相乘，▽对函数没有微分作用，乘积仍为一个微分算子，

例如













uuiujuk

xyz





FPQR

xyz







i





F



P













j

Q









k

















R



(QR)i(RP)j(PQ)k

zyxzyx











仍然可以作用在数量函数或向量函数上。

通常在运算时，利用向量乘法交换相乘的法则，把不需要求导的项

调换到▽算子的左边，而将那些仍需要求导的项留在▽的右边。

下面列出▽算子常用的几组性质，其中

F

，

G

是向量函数，u，v

是数量函数，a，b是常数

一、线性性质

（1）▽（

au+bv

）=a▽u+b▽v





（2）

(aFbG)aFbG

（3）

(aF







bG)aFbG

二、乘积性质

（1）▽(uv)=u▽v+v▽u



（2）

(uF)uFuF



（3）

(uF)uFuF









FGGFGF





（4）



F(G)(F)G







(5)

(FG)G



F



F



G











(6)

FGF(G)G(F)(G)F(F)G





其中符号

(F)G

的意义是

























(F)G



QR



P



G

yz



x



GGG

PQR

xyz

而其中（设G=Ui+Vj+Wk）



GU



V



W



ijk

xxxx



GG

,的意义与之类似。

yz

在这里给出部分性质的证明:

证性质（4）：

由三重向量积公式，我们可以得到

b

(

a



c

)

=a



(

b



c

)+ (

a



b

)

c











FGF

c

GFG

c





F

c

(G)(F

c

)GF

c

FF

c

F

于是







F(G)(F)GGFGF

















证明过程中，

F

c

、

G

c

是暂时将向量

F

，

G

看作常向量，因而，这些

项可以利用向量积的交换性质换到哈密尔顿算子的前面。

三、双重▽运算性质

（1）▽



（▽u）=▽

2

u=△U



（2）▽



(

F

)=0

（3）





u



0

（4）





F







F



F

其中符号△称为拉普拉斯(Laplace)算子，定义为

△=▽·▽=



2

2



x





2

2

y





2

2

z

这是一个数量型微分算子，其运算作用为

u

u

x

2

2



u

y

2

2



u

z

2

2



22





2

FFF

F

222

xyz

）







这里（设

FPiQjRk



2

F

x

2

2

22

P



Q



R



ijk

222

xxx

同理，



F

2

y

2

、



F

2

z

2

与此相似。

四、对向径r及复合函数的作用

（1）

r



r

r

（2）

r





3

0

（3）

r

（4）

f(u)f



(u)(u)

f

u

u

f

v

v

（5）

f(u,v)







其中，

rxiyjzk,rr