2024年4月6日发(作者：李谷蕊)

2022年普通高等学校招生全国统一考试

（新高考全国Ⅱ卷）数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合

A



1,1,2,4



,Bxx11

，则

AB

（

A.

{1,2}

2.

(22i)(12i)

（

A.

B.

{1,2}

）

B.

24i

C.

62i

D.

62i

C.

{1,4}



）

D.

{1,4}

24i

3.图1是中国古代建筑中的举架结构，

AA



,BB



,CC



,DD



是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称

为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中

DD

1

,CC

1

,BB

1

,AA

1

是举，

OD

1

,DC

1

,CB

1

,BA

1

是相等的

DD

1

CC

1

BB

1

AA

1



0.5,



k

,



k

,



k

3

．已知

k

1

,k

2

,k

3

成公差为0.1的等

步，相邻桁的举步之比分别为

12

OD

1

DC

1

CB

1

BA

1

差数列，且直线

OA

的斜率为0.725，则

k

3



（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9



4.已知向量

a

(3,4),

b

(1,0),

c



a

t

b

，若

a,cb,c

，则

t

（

A.

6

B.

5

C.5

）

D.6

5.

有甲、乙、丙、丁、戊

5

名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方

式共有（

A.12

种

）

B.24

种

C.36

种

）

D.48

种





sin(







)



cos(







)



22cos





6.若



sin



，则（

4



A.

tan











1

C

tan











1

B.

tan











1

D.

tan











1

.

7.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为

33

和

43

，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积

为（

A.

100π

）

B.

128π

C.

144π

D.

192π

8.已知函数

f(x)

的定义域为R，且

f(xy)f(xy)f(x)f(y),f(1)1

，则

A.

3

B.

2

C.0D.1



f

(

k

)



（

k



1

22

）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数

f(x)sin(2x



)(0



π)

的图像关于点





2π



,0



中心对称，则（



3



）

A.

f(x)

在区间



0,





5π





单调递减

12



B.

f(x)

在区间





C.直线

x

D.直线

y



π11π



,



有两个极值点

1212



7π

是曲线

yf(x)

的对称轴

6

3

x

是曲线

yf(x)

的切线

2

10.已知O为坐标原点，过抛物线

C:y

2

2px(p0)

焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一

象限，点

M(p,0)

，若

|AF||AM|

，则（）

A.直线

AB

的斜率为

26

C.

|AB|4|OF|

B.

|OB||OF|

D.

OAMOBM180

四边形

ABCD

为正方形，

ED

平面

ABCD

，

FB∥ED,ABED2FB

，记三棱锥

EACD

，

11.

如图，

FABC

，

FACE

的体积分别为

V

1

,V

2

,V

3

，则（）

A.

V

3

2V

2

C.

V

3

V

1

V

2

12.若x，y满足

x

2

y

2

xy1

，则（

A.

xy1

C.

x

2

y

2

2

）

B.

V

3

V

1

D.

2V

3

3V

1

B.

xy2

D.

x

2

y

2

1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13

已知随机变量X服从正态分布

N2,



.



2



，且

P(2X2.5)0.36

，则

P(X2.5)

____________．

14.曲线

yln|x|

过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．

15.设点

A(2,3),B(0,a)

，若直线

AB

关于

ya

对称的直线与圆

(x3)

2

(y2)

2

1

有公共点，则a

的取值范围是________．

x

2

y

2



1

在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且

16.已知直线l与椭圆



63

|MA||NB|,|MN|23

，则l的方程为___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.已知



a

n



为等差数列，



b

n



是公比为2的等比数列，且

a

2

b

2

a

3

b

3

b

4

a

4

．

（1）证明：

a

1

b

1

；

（2）求集合

kb

k

a

m

a

1

,1

m

500

中元素个数．

18.

记

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，分别以

a

，

b

，

c

为边长的三个正三角形的面积依次

为

S

1

,S

2

,S

3

，已知

S

1

S

2

S

3



（1）求

ABC

的

面积；

（2）若

sin

A

sin

C



31

,sin

B

．

23

2

，求b．

3

19.

在某地区进行流行病学调查，随机调查了

100

位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布

直方图：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间

[20,70)

的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为

0.1%

，该地区年龄位于区间

[40,50)

的人口占该地区总人口的

16%

.

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间

[40,50)

，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的

年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到

0.0001

）.

20.

如图，

PO

是三棱锥

PABC

的高，

PAPB

，

ABAC

，

E

是

PB

的中点．

（1）证明：

OE//

平面

PAC

；

（2）若

ABOCBO30

，

PO3

，

PA5

，求二面角

CAEB

的

正弦值．

x

2

y

2

21.已知双曲线

C

:

2



2



1(

a



0,

b



0)

的右焦点为

F(2,0)

，渐近线方程为

y3x

．

ab

（1）求

C

的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点

P



x

1

,y

1



,Q



x

2

,y

2



在C上，且

x

1

x

2

0,y

1

0

．过P且斜率为

3

的直线与过Q且斜率为

3

的直线交于点M.从下面①②③中选取两

个作为条件，证明另外一个成立：

①M在

AB

上；②

PQ∥AB

；③

|MA||MB|

．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分

.

22

已知函数

f

(

x

)

x

e

ax



e

x

．

.

（

1

）当

a1

时，讨论

f(x)

的单调性；

（2）当

x0

时，

f(x)1

，求a的取值范围；

（3）设

n

N



，证明：

1

1



1

2



1

2



2

2







1

n



n

2



ln(

n



1)

．

2024年4月6日发(作者：李谷蕊)

2022年普通高等学校招生全国统一考试

（新高考全国Ⅱ卷）数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合

A



1,1,2,4



,Bxx11

，则

AB

（

A.

{1,2}

2.

(22i)(12i)

（

A.

B.

{1,2}

）

B.

24i

C.

62i

D.

62i

C.

{1,4}



）

D.

{1,4}

24i

3.图1是中国古代建筑中的举架结构，

AA



,BB



,CC



,DD



是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称

为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中

DD

1

,CC

1

,BB

1

,AA

1

是举，

OD

1

,DC

1

,CB

1

,BA

1

是相等的

DD

1

CC

1

BB

1

AA

1



0.5,



k

,



k

,



k

3

．已知

k

1

,k

2

,k

3

成公差为0.1的等

步，相邻桁的举步之比分别为

12

OD

1

DC

1

CB

1

BA

1

差数列，且直线

OA

的斜率为0.725，则

k

3



（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9



4.已知向量

a

(3,4),

b

(1,0),

c



a

t

b

，若

a,cb,c

，则

t

（

A.

6

B.

5

C.5

）

D.6

5.

有甲、乙、丙、丁、戊

5

名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方

式共有（

A.12

种

）

B.24

种

C.36

种

）

D.48

种





sin(







)



cos(







)



22cos





6.若



sin



，则（

4



A.

tan











1

C

tan











1

B.

tan











1

D.

tan











1

.

7.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为

33

和

43

，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积

为（

A.

100π

）

B.

128π

C.

144π

D.

192π

8.已知函数

f(x)

的定义域为R，且

f(xy)f(xy)f(x)f(y),f(1)1

，则

A.

3

B.

2

C.0D.1



f

(

k

)



（

k



1

22

）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数

f(x)sin(2x



)(0



π)

的图像关于点





2π



,0



中心对称，则（



3



）

A.

f(x)

在区间



0,





5π





单调递减

12



B.

f(x)

在区间





C.直线

x

D.直线

y



π11π



,



有两个极值点

1212



7π

是曲线

yf(x)

的对称轴

6

3

x

是曲线

yf(x)

的切线

2

10.已知O为坐标原点，过抛物线

C:y

2

2px(p0)

焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一

象限，点

M(p,0)

，若

|AF||AM|

，则（）

A.直线

AB

的斜率为

26

C.

|AB|4|OF|

B.

|OB||OF|

D.

OAMOBM180

四边形

ABCD

为正方形，

ED

平面

ABCD

，

FB∥ED,ABED2FB

，记三棱锥

EACD

，

11.

如图，

FABC

，

FACE

的体积分别为

V

1

,V

2

,V

3

，则（）

A.

V

3

2V

2

C.

V

3

V

1

V

2

12.若x，y满足

x

2

y

2

xy1

，则（

A.

xy1

C.

x

2

y

2

2

）

B.

V

3

V

1

D.

2V

3

3V

1

B.

xy2

D.

x

2

y

2

1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13

已知随机变量X服从正态分布

N2,



.



2



，且

P(2X2.5)0.36

，则

P(X2.5)

____________．

14.曲线

yln|x|

过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．

15.设点

A(2,3),B(0,a)

，若直线

AB

关于

ya

对称的直线与圆

(x3)

2

(y2)

2

1

有公共点，则a

的取值范围是________．

x

2

y

2



1

在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且

16.已知直线l与椭圆



63

|MA||NB|,|MN|23

，则l的方程为___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.已知



a

n



为等差数列，



b

n



是公比为2的等比数列，且

a

2

b

2

a

3

b

3

b

4

a

4

．

（1）证明：

a

1

b

1

；

（2）求集合

kb

k

a

m

a

1

,1

m

500

中元素个数．

18.

记

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，分别以

a

，

b

，

c

为边长的三个正三角形的面积依次

为

S

1

,S

2

,S

3

，已知

S

1

S

2

S

3



（1）求

ABC

的

面积；

（2）若

sin

A

sin

C



31

,sin

B

．

23

2

，求b．

3

19.

在某地区进行流行病学调查，随机调查了

100

位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布

直方图：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间

[20,70)

的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为

0.1%

，该地区年龄位于区间

[40,50)

的人口占该地区总人口的

16%

.

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间

[40,50)

，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的

年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到

0.0001

）.

20.

如图，

PO

是三棱锥

PABC

的高，

PAPB

，

ABAC

，

E

是

PB

的中点．

（1）证明：

OE//

平面

PAC

；

（2）若

ABOCBO30

，

PO3

，

PA5

，求二面角

CAEB

的

正弦值．

x

2

y

2

21.已知双曲线

C

:

2



2



1(

a



0,

b



0)

的右焦点为

F(2,0)

，渐近线方程为

y3x

．

ab

（1）求

C

的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点

P



x

1

,y

1



,Q



x

2

,y

2



在C上，且

x

1

x

2

0,y

1

0

．过P且斜率为

3

的直线与过Q且斜率为

3

的直线交于点M.从下面①②③中选取两

个作为条件，证明另外一个成立：

①M在

AB

上；②

PQ∥AB

；③

|MA||MB|

．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分

.

22

已知函数

f

(

x

)

x

e

ax



e

x

．

.

（

1

）当

a1

时，讨论

f(x)

的单调性；

（2）当

x0

时，

f(x)1

，求a的取值范围；

（3）设

n

N



，证明：

1

1



1

2



1

2



2

2







1

n



n

2



ln(

n



1)

．