2024年4月7日发(作者：墨秋巧)

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第３】卷第５期　

２００ｒ７年９月　

江西师范大学学报（自然科学版）　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＪＩＡＮＧＸＩ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮⅣＥＲＳｒｒＹ（ＮＡ１１ｍＡＩ．ＳＣＩＥＮＣＥ）　

Ｖ０１．３１　Ｎｏ．５　

Ｓｅｐ．２ＯＯ７　

文章编号：１０００－５８６２｛２００７）０５．．０４８８－０４　

ｉ一内射半模　

曾慧平，　黄福生，　肖贤民　

（江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌３３０ｏ２２）　

摘要：该文给出了　内射半模的概念及一些较好的特征刻划，并讨论了内射半模与　内射半模的关系．　

主要有左Ｒ半模Ｅ是　内射半模当且仅当反变函子ＨｏｒｎＲ（一，Ｅ）真正合，并通过给出弱内射半模的定义　

得出左　半模Ｅ是内射半模当且仅当Ｅ既是弱内射半模又是　内射半模．　

关键词：内射半模；ｉ－内射半模；真正合列；真短正合列　

中图分类号：Ｏ　１５３．３　文献标识码：Ａ　

１　预备知识　

半模的基础结构是可换幺半群，且它的“系数”部分是半环，因此在性质上与环上模有着本质的区别．例　

如，给出半模同态口：Ｍ—Ｎ，Ｋｅｒ１２＝０是口为单同态的必要条件而不是充分条件，口（肘）＝』、『是口为满同态　

的充分但不必要条件．所以半模的研究比模的研究要困难得多．文献［１］探讨了半模的部分性质，也正因为　

如此，迄今为止，关于投射半模，内射半模的研究并未获得实质性的进展（参见［２］），文献［３］中讨论了某类　

半环上的内射性与投射性．尤其值得注意的是，Ｂ．Ｂａｎａｓｃｈｅｗｓｋｉ证明了某类半环上仅有的内射半模是｛０｝（参　

见［２］的命题ｌ７．２１），这说明内射半模的条件太强．本文试图放宽内射性的条件，通过引进　．内射半模的概　

念，使其能保留环上模内射性Ｌ４］的大部分好性质，并使在更多的半环上存在非零的ｉ．内射半模．　

在本文中，记Ｒ为带单位元１的半环．除特别声明外，文中所指半模肘均为左．Ｒ半模且所有同态均为左　

同态．其中半环与半模的定义同文献［２］中的定义一致．下面给出一些本文要用到的相关概念和结论．　

（ｉ）设口：Ａ一曰是半模同态，记Ｋｅｒ１２＝｛０∈Ａ　Ｉ口（０）：０｝，口（Ａ）：｛口（０）１　０∈Ａ｝，Ｉｍａ：｛ｂ∈　

曰Ｉ　ｂ＋口（０）＝口（０　），存在０，０　∈Ａ｝，若Ｉｍ１２＝口（Ａ），则称口是ｉ．正则的．若对０，ｎ　∈Ａ满足口（０）＝　

口

（０　），必存在ｋ，ｋ　∈Ｋｅｒ２使得０＋ｋ＝０　＋ｋ１　，则称口是ｋ．正则的．若口既是ｉ．正则的，又是ｋ．正则的，　

则称口是正则的．　

（．ｉ）若序列　

Ａ　曰上ｃ　（１）　

满足Ｋｅｒｌ＝Ｉｆｍ１２，则称（１）是正合列［　；若Ｋｅｒｌ＝口（Ａ），ｆ则称（１）是真正合列．显然，序列（１）是真正合列当　

且仅当它是正合的且口是ｉ．正则的．形如０一Ａ　８　ｃ一０的真正合列称为真短正合列．　

（ｉｉｉ）左　半模Ｅ是内射半模当且仅当对任意给定的左　半模肘及子半模Ｊ７、ｒ，任意Ｊ７、ｒ到Ｅ上的同态可　

开拓为肘到Ｅ上的同态；即Ｅ是内射半模当且仅当对任何左　半模单同态　：Ｎ—Ｍ，Ｈｏｍ（　，Ｅ）：　

ＨｏｒｎＲ（Ｍ，Ｅ）一Ｈｏｍ尺（』、ｒ，Ｅ）是左Ⅳ－满同态（其中』、ｒ为全体非负整数所成半环）．　

（ｉＶ）称左　半模的非空子集Ⅳ是可减的，当且仅当若ｍ＋ｍ　∈Ｎ，其中ｍ∈Ｎ，则有ｍ　∈Ｎ，Ｖ　ｍ，　

ｍ　∈肘；称肘是完全可减半模，若肘的任意子半模都可减．　

（Ｖ）（因子定理ｌ　Ｊ）　设肘，肘　，Ｊ７、ｒ，，Ｊ７、ｒ是左　半模，且设是厂：Ｍ—Ｊ７、ｒ是　半模同态：　

收稿日期：２００７－０３．０５　

基金项目：江西省自然科学基金资助项目（０６１１０５１）．　

作者简介：曾慧平（１９８３．），女，江西瑞金人，理学硕士研究生，主要从事半环理论的研究．　

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第５期　曾慧平，等：ｉ．内射半模　４８９　

ａ　若ｇ：Ｍ—Ｍ　是ｋ－正则满同态且满足Ｋｅｒ（ｇ）　Ｋｅｒ（ｆ），则存在唯一的半模同态ｈ：Ｍ　一Ｎ使得　

＝ｇｈ．此外，若　是单同态，则ｈ也是单同态且有Ｋｅｒｈ＝ｇ（Ｋｅｒｆ），Ｉｍ（ｈ）＝Ｉｍ（ｆ）及＿厂（　）：ｈ（Ｍ　）．所　

以ｈ是半单同态当且仅当Ｋｅｒ（ｇ）＝Ｋｅｒ（ｆ），且ｈ是满同态当且仅当＿厂是满同态．　

（ｂ）设ｇ：Ｎ　一Ⅳ是ｉ－正则单同态满足Ｉｍ（ｆ）　Ｉｍ（ｇ），则存在唯一半模同态ｈ：Ｍ—Ｎ　使得＝ｇｈ．　

此外Ｋｅｒｈ＝ＫｅｒｆＪＪ＿Ｉｍｈ＝ｇ－ｌ（Ｉａｒｆ）．ｈ是单同态当且仅当　是单同态，且ｈ是满的当且仅当ｇ（Ｎ　）＝＿厂（　）．　

２　ｉ一内射半模　

定义１　Ｅ，Ｍ均为左尼半模．称　是对于　的　．内射半模或　．内射半模当且　

仅当对任意　．正则单同态ｇ：Ｎ—　及半模同态ｙ：Ｎ—Ｅ，存在左　．半模同态　：　

—Ｅ使得图１交换，即ｙ＝　．　

定义２　半模Ｅ称为　一内射半模当且仅当Ｅ是对于任意半模的　．内射半模．　

由上定义可知，任意内射半模都是　．内射半模．　

下面我们将讨论　．内射半模与反变函子Ｈｏｍ　（一，Ｅ）的关系．　

定理１

（１）Ｅ是　．内射左　

　设Ｅ和　是左　

半模；

半模，

则下列命题等价：　

图１　同态的延拓　

・　

（２）对任意真短正合列０一Ｋ　一　一旦＋Ⅳ一０，其中ｆ，ｇ为ｋ．正则同态，则序列Ｏ—Ｈｏｍ　（Ｎ，　

：　

Ｅ）　Ｈｏｍ　（Ｍ，Ｅ）—　Ｈｏｍ　（Ｋ，Ｅ）一０是真正合列，其中ｇ（口）＝ａｇ；　

（３）对　的任意可减子半模Ｋ≤　，则任意左　同态ｈ：Ｋ—Ｅ因子通过自然单同态　：Ｋ—　．　

证（１）ｊ（２）须证（ｉ）Ｋｅｒ（ｇ）＝０，（ｉｉ）ｇ（Ｈｏｍ　（Ｎ，Ｅ））Ｃ　Ｋｅｒ（ｆ），（ｉｉｉ）Ｋｅｒ（ｆ）Ｃ　ｇ（ＨｏｍＲ（Ｎ，Ｅ）），　

（ｉＶ）ｆ为满同态．　

（ｉ）Ｖ　ａ∈Ｋｅｒｇ　ｃ　Ｈｏｍ　（Ｎ，Ｅ），则有ｇ（ａ）＝ａｇ＝０．又因为ｇ为满同态，故ａ（Ｎ）＝０，即ａ＝Ｏ，从　

而Ｋｅｒ（ｇ）＝０．　

（ｉｉ）Ｖ　ａ∈Ｈｏｍ　（Ｎ，Ｅ），则有＿厂ｇ（ａ）＝ｆ（ａｇ）＝ａ　＝０，即ｇ（ＨｏｍＲ（Ｎ，Ｅ））Ｃ　Ｋｅｒ（ｆ）．　

（ｉｉｉ）Ｖ卢∈Ｋｅｒｆ　Ｃ　Ｈｏｍ　（Ｍ，Ｅ），即有ｆ（ｆ１）＝　＝０．从而Ｋｅｒ（ｇ）＝ｆ（Ｋ）Ｃ　Ｋｅｒ（ｆ１），又因为ｇ是　正　

则满同态，故由因子定理知，存在半模同态ｈ：Ｎ—Ｅ使得卢＝ｈｇ，则有卢＝ｇｈ．即Ｋｅｒ（ｆ）　ｇ（Ｈｏｍｎ（Ｎ，　

Ｅ））．　

（ｉｖ）Ｖ　ｙ∈Ｈｏｍ　（Ｋ，Ｅ），由Ｅ是　内射左　半模知，存在卢∈Ｈｏｍ　（Ｍ，Ｅ）使得ｙ＝　＝ｆ（ｆ１），即　

．

厂为满同态．　

（２）　（１）　设有　正则单同态．厂：Ⅳ一　及半模同态ｙ：Ｎ—Ｅ．作同态列　

Ｑ—Ｎ—Ｌ　Ｍ　Ｍ／　Ｎ　一０

。　

其中ｇ为自然满同态ｇ（ｍ）＝ｍ／ｆ（Ｎ）．由于　为ｉ－正则，知　Ⅳ）可减，故有　∈　

Ｋｅｒｇｃ＝￣ｇ（ｘ）＝ｘ／ｆ（Ｎ）＝０／ｆ（Ｊ７、７）甘　ｎ１，ｎ２∈Ｎ使　＋　（ｎ１）＝　ｎ２）甘　∈　Ｎ），　

即Ｋｅｒｇ＝　Ⅳ）．又显然　为单同态，ｇ为满同态．故上同态列为真短正合列．且易见　

，ｇ　为　－正则同态，由（２）得真短正合列ｏ——Ｈ。ｍ　（Ｍ／ｆ（Ｎ），Ｅ）　Ｈ。ｍ　（　，　

。　

Ｅ）—　ＨｏｍＲ（Ⅳ，Ｅ）一０，由ｆ为满知Ｅ是　．内射的．　

（３）ｊ（１）　设有　正则单同态．厂：Ⅳ一Ｍ及同态ｙ：Ｎ—Ｅ，则取Ｋ＝．厂（Ｎ）及　

自然单同态ｇ：Ｋ—　，由因子定理，存在同构ｈ：Ｋ一／ｖ，使得图２交换，即ｇ＝．　．　

取ｙ　：Ｋ—Ｅ，由于　是　一正则单同态，故Ｋ是　的可减子半模，从而由（３）知存在

一．　

同态　：　—Ｅ，使得图２交换，即有　：—　．从而有ｙ　：—　：。　，由ｈ同构知田‘　

可减单同态扩张　

ｙ：呷厂，得证．　

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４９０　江西师范大学学报（自然科学版）　２０Ｏ７正　

（１）　（３）　直接可得．　’　

定理２　设　是左　半模且｛Ｅｌ｝　∈Ａ是一族左　半模，则ⅡＡＥ　是　内射左　半模当且仅当Ｖ　ｉ∈　

Ａ，Ｅ　Ｍｉ一内射左　半模．　

证　“　”对于给定的左Ｒ－半模同态图，其中厂是　正则单同态．如图３．考虑交换图４．　

・　

！　

ｉ　ｎ　

ｉ　

Ｅｉ　

ｇ　

图３　半模同态　’　０一　

图４保分量可减图　

由于ⅡＡＥ　Ｍｉ一内射左　半模，则由直积的泛性质知存在左　半模同态　１：　—ＩＩ　ＡＥ　使得　＝　

１厂．令ｈ＝　１：Ｍ一弓，则　＝　１ｆ＝丌　＝ｇ，从而图形交换．即Ｖ　ｉ∈Ａ，Ｅｉ　Ｍｉ一内射左　半模．　

“

鲁”：如图５，由于每个　都是　一内射左　半模，故对任意的＿『有　：　一弓使　

・－－－－－－－－－－

ｊ　

－－－－－－

得　＝ｈｆ．由直积的泛性质知存在左　半模同态　－：Ｍ一Ⅱ　，使得丌　－＝　．　

所以　＝ｈｉ＝　Ｌ厂，２７ｒｉｇ＝　咖　ｇ＝　Ｌ厂．得证．　

＋　

ｎ　Ｅ　ｊ　

推论１　设｛Ｅｌ｝　∈Ａ是左　半模族，则ⅡＡＥ　是　内射左　半模当且仅当　

Ｖ　ｉ∈Ａ，Ｅ　是　内射左　半模．　

推论２　设Ｒ是完全可减半模，则下列命题等价：　

（１）Ｅ是　内射左　半模；　

图５保泛性图　

（２）Ｅ是胙内射左Ｒ＿半模．　

证　由定理１中（１）臼（３）直接可得．　

定义３　真短正合列Ｏ——Ａ１　

—Ａ１使得ｈｆ＝厶　．　

＿＿璺　Ａ２——Ｏ称为可裂或可裂正合列，当存在左　半模同态　：Ｂ　

定理３　设Ｅ是　内射左　半模，则任意真短正合列Ｏ——　

证　考虑图６，由假设，下行正合且ａ是　正则单同态．　

Ａ上　——　

Ｏ可裂（１），其中ａ是　正则同态．特别地，若　是内射半模，则（１）可裂．　

由于　是　内射左　半模，则存在同态７：Ａ—　使得　＝　，从而（１）可裂．　

为得到　内射左　半模与内射左　半模之间的关系，下面我们先引入弱内射半　

模的定义．　‘　图６／－内射同态的延拓　

引理１　设Ｒ是半环，Ｊ７、，是左　半模　的子半模，记Ｊ７、，＝｛ｍ∈Ｍ　Ｉ　ｍ＋凡∈Ｎ，ｊ凡∈Ｎ｝，则Ｊ７、，是　

的可减子半模．　

证　先证　是Ｍ的可减子集．若ｎ　＋ｍ∈　，其中ｎ　∈　，则存在ｎ１，ｎ２∈Ｎ，使得ｎ　＋ｍ＋凡１∈　

Ｎ，凡　＋凡２∈Ｊ７、，　凡　＋凡１＋凡２∈Ｎ且ｍ＋（凡　＋凡１＋凡２）∈Ｎ，从而ｍ∈Ｎ．再证Ｊ７、，对　中的加法运算和　

标量运算封闭．Ｖ凡　１，凡　２∈　，则存在凡１，凡２∈Ｎ使得凡　１＋凡１，凡　２＋凡２∈Ｎ．故存在凡１＋ｎ２∈Ｎ使得　

（凡　１＋凡　２）＋（凡１＋凡２）∈Ｎ，且ｐ凡　１＋凡　２∈Ｊ７、，；ｍ　１＋ｍ１＝ｒ（几　１＋ｎ１）∈Ｊ７、，，且ｐ　ｍ　１∈Ｎ．　

定义４　设　，　是左　半模，Ｊ７、，是　的子半模．记　：｛ｍ∈Ｍ　ｌ　ｍ＋凡∈Ｎ，ｊ凡∈Ｎ｝，称　是弱　

内射半模，若满足对任意同态．厂：』ｖ—Ｅ都因子通过自然单同态　：Ⅳ一Ⅳ．　

显然，内射半模必是弱内射半模．　

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第５期　曾慧平，等：ｉ．内射半模　４９１　

定理４　设Ｒ是半环，｛　｝　∈Ａ是左　半模族，则ⅡＡＥ　是弱内射半模当且仅当Ｖ　ｉ∈Ａ，Ｅｉ是弱内射　

半模．　

定理５　设Ｅ是左　半模，则Ｅ是内射左　半模当且仅当Ｅ既是ｉ．内射左　半模，又是弱内射半模．　

证　设Ｅ是内射左　半模，显然有Ｅ既是　．内射左　

Ｒ．半模，又是弱内射半模．反之，考虑图７．其中

．

厂：Ⅳ一　

是单同态，ｙ：Ｎ—Ｅ是任意半模同态，则由引理知Ⅳ是　

的可减子半模，从而ｇ是ｉ．正则自然嵌入单同态且Ｉｍ（ｆ）　

Ｃ　Ｉｍ（ｇ）．由因子定理知存在同态ｈ：Ｎ一Ⅳ使得　

ｆ＝ｇｈ．　（２）　

又因为Ｅ是弱内射半模，则存在ｙ的开拓ｙ　：Ｎ—Ｅ　

使得　

ｙ：ｙ，ｈ．　（３）　０　

存在同态　

。．

皇　ｇ是ｉ

：　—Ｅ使得　

－正则　态且Ｅ是　－内射左　模，故　图７　内射性等价图　

７　：　ｇ．　

（４）　

综合（２）　（４）得　＝／＇ｇｈ＝ｙ　＝ｙ，即得Ｅ是内射左　半模．　．　

参考文献：　

［１］石定琴，黄福生，丰建文．半模范畴中的生成与余生成［Ｊ］．江西师范大学学报：自然科学版，２００５，２９（３）：２２３—２２６．　

［２］Ｇｏｌａｎ　Ｊ　Ｓ．Ｓｅｍｌｒｌｎｇｓ　ａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｋｌｕｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，１９９９．　

［３］王琦，丰建文，黄福生．可补半环上的内射半模与投射半模［Ｊ］．江西师范大学学报：自然科学版，２ＯＯ６，３０（５）：４６６－＇４６９．　

［４］Ａｎｄｅｒｓｏｎ　Ｆ　Ｗ，Ｆｕｌｌｅｒ　Ｋ　Ｒ．Ｒｉｎｇｓ　ａｎｄ　ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ　ｏｆ　ｍｏｄｕｌｅｓ［Ｍ］，Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ　Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ　Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｆｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９７３．　

［５］Ａｌ－ｒＩ１ｌａＩ１ｉ　Ｈ　Ｍ　Ｊ．Ａ　ｎｏｔｅ　ｏｎ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｏｄｕｌｓｅ［Ｊ］．Ｋｏｂｅ　Ｊ　Ｍａｔｈ，１９９５，１２（１）：８９—９４．　

［６］Ａｌ－Ｔｈａｎｉ　Ｈ　Ｍ　Ｊ．ｋ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｏｄｕｌｓｅ［ＪＪ．Ｋｏｂｅ　Ｊ　Ｍａｈｔ，１９９６，１３（１）：４９－５９．　

ＺＥＮＧ　Ｈｕｉ—ｐｉｎｇ，ＨＵＡＮＧ　Ｆｕ—ｓｈｅｎｇ，ＸＩＡＯ　Ｘｉａｎ—ｍｉｎ　

（Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｎｎａｔｉｓｃ，Ｊｉ￡　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ　３３００２２，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｔｈｅ　ｎｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉ—ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｏｄｕｌｅｓ　ｉｓ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｓｏｍｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｐｒｏｖｅｄ　ｗｈｉｃｈ　ｌｅａｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　

ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｈｔｅｓｅ　ｉ—ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｏｄｕｌｅｓ．Ｔｏ　ｇｉｖｅ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｐｒｏｐｏｓｉｉｔｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｉ—ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｏｄｕｌｅｓ　ａｎｄ　

ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｅｄｕｌｅｓ，ｗｅ　ｇｉｖｅ　ｔｈｅ　ｎｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ｗｅａｋｌｙ　ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｏｄｕｌｅｓ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｅｄｕｌｅ；ｉ・ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｅｄｕｌｅ；ｐｒｏｐｅｒ　ｅｘａｃｔ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ；ｓｈｏｒｔ　ｐｒｏｐｅｒ　ｅｘａｃｔ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　

（责任编辑：王金莲）　

2024年4月7日发(作者：墨秋巧)

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第３】卷第５期　

２００ｒ７年９月　

江西师范大学学报（自然科学版）　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＪＩＡＮＧＸＩ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮⅣＥＲＳｒｒＹ（ＮＡ１１ｍＡＩ．ＳＣＩＥＮＣＥ）　

Ｖ０１．３１　Ｎｏ．５　

Ｓｅｐ．２ＯＯ７　

文章编号：１０００－５８６２｛２００７）０５．．０４８８－０４　

ｉ一内射半模　

曾慧平，　黄福生，　肖贤民　

（江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌３３０ｏ２２）　

摘要：该文给出了　内射半模的概念及一些较好的特征刻划，并讨论了内射半模与　内射半模的关系．　

主要有左Ｒ半模Ｅ是　内射半模当且仅当反变函子ＨｏｒｎＲ（一，Ｅ）真正合，并通过给出弱内射半模的定义　

得出左　半模Ｅ是内射半模当且仅当Ｅ既是弱内射半模又是　内射半模．　

关键词：内射半模；ｉ－内射半模；真正合列；真短正合列　

中图分类号：Ｏ　１５３．３　文献标识码：Ａ　

１　预备知识　

半模的基础结构是可换幺半群，且它的“系数”部分是半环，因此在性质上与环上模有着本质的区别．例　

如，给出半模同态口：Ｍ—Ｎ，Ｋｅｒ１２＝０是口为单同态的必要条件而不是充分条件，口（肘）＝』、『是口为满同态　

的充分但不必要条件．所以半模的研究比模的研究要困难得多．文献［１］探讨了半模的部分性质，也正因为　

如此，迄今为止，关于投射半模，内射半模的研究并未获得实质性的进展（参见［２］），文献［３］中讨论了某类　

半环上的内射性与投射性．尤其值得注意的是，Ｂ．Ｂａｎａｓｃｈｅｗｓｋｉ证明了某类半环上仅有的内射半模是｛０｝（参　

见［２］的命题ｌ７．２１），这说明内射半模的条件太强．本文试图放宽内射性的条件，通过引进　．内射半模的概　

念，使其能保留环上模内射性Ｌ４］的大部分好性质，并使在更多的半环上存在非零的ｉ．内射半模．　

在本文中，记Ｒ为带单位元１的半环．除特别声明外，文中所指半模肘均为左．Ｒ半模且所有同态均为左　

同态．其中半环与半模的定义同文献［２］中的定义一致．下面给出一些本文要用到的相关概念和结论．　

（ｉ）设口：Ａ一曰是半模同态，记Ｋｅｒ１２＝｛０∈Ａ　Ｉ口（０）：０｝，口（Ａ）：｛口（０）１　０∈Ａ｝，Ｉｍａ：｛ｂ∈　

曰Ｉ　ｂ＋口（０）＝口（０　），存在０，０　∈Ａ｝，若Ｉｍ１２＝口（Ａ），则称口是ｉ．正则的．若对０，ｎ　∈Ａ满足口（０）＝　

口

（０　），必存在ｋ，ｋ　∈Ｋｅｒ２使得０＋ｋ＝０　＋ｋ１　，则称口是ｋ．正则的．若口既是ｉ．正则的，又是ｋ．正则的，　

则称口是正则的．　

（．ｉ）若序列　

Ａ　曰上ｃ　（１）　

满足Ｋｅｒｌ＝Ｉｆｍ１２，则称（１）是正合列［　；若Ｋｅｒｌ＝口（Ａ），ｆ则称（１）是真正合列．显然，序列（１）是真正合列当　

且仅当它是正合的且口是ｉ．正则的．形如０一Ａ　８　ｃ一０的真正合列称为真短正合列．　

（ｉｉｉ）左　半模Ｅ是内射半模当且仅当对任意给定的左　半模肘及子半模Ｊ７、ｒ，任意Ｊ７、ｒ到Ｅ上的同态可　

开拓为肘到Ｅ上的同态；即Ｅ是内射半模当且仅当对任何左　半模单同态　：Ｎ—Ｍ，Ｈｏｍ（　，Ｅ）：　

ＨｏｒｎＲ（Ｍ，Ｅ）一Ｈｏｍ尺（』、ｒ，Ｅ）是左Ⅳ－满同态（其中』、ｒ为全体非负整数所成半环）．　

（ｉＶ）称左　半模的非空子集Ⅳ是可减的，当且仅当若ｍ＋ｍ　∈Ｎ，其中ｍ∈Ｎ，则有ｍ　∈Ｎ，Ｖ　ｍ，　

ｍ　∈肘；称肘是完全可减半模，若肘的任意子半模都可减．　

（Ｖ）（因子定理ｌ　Ｊ）　设肘，肘　，Ｊ７、ｒ，，Ｊ７、ｒ是左　半模，且设是厂：Ｍ—Ｊ７、ｒ是　半模同态：　

收稿日期：２００７－０３．０５　

基金项目：江西省自然科学基金资助项目（０６１１０５１）．　

作者简介：曾慧平（１９８３．），女，江西瑞金人，理学硕士研究生，主要从事半环理论的研究．　

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第５期　曾慧平，等：ｉ．内射半模　４８９　

ａ　若ｇ：Ｍ—Ｍ　是ｋ－正则满同态且满足Ｋｅｒ（ｇ）　Ｋｅｒ（ｆ），则存在唯一的半模同态ｈ：Ｍ　一Ｎ使得　

＝ｇｈ．此外，若　是单同态，则ｈ也是单同态且有Ｋｅｒｈ＝ｇ（Ｋｅｒｆ），Ｉｍ（ｈ）＝Ｉｍ（ｆ）及＿厂（　）：ｈ（Ｍ　）．所　

以ｈ是半单同态当且仅当Ｋｅｒ（ｇ）＝Ｋｅｒ（ｆ），且ｈ是满同态当且仅当＿厂是满同态．　

（ｂ）设ｇ：Ｎ　一Ⅳ是ｉ－正则单同态满足Ｉｍ（ｆ）　Ｉｍ（ｇ），则存在唯一半模同态ｈ：Ｍ—Ｎ　使得＝ｇｈ．　

此外Ｋｅｒｈ＝ＫｅｒｆＪＪ＿Ｉｍｈ＝ｇ－ｌ（Ｉａｒｆ）．ｈ是单同态当且仅当　是单同态，且ｈ是满的当且仅当ｇ（Ｎ　）＝＿厂（　）．　

２　ｉ一内射半模　

定义１　Ｅ，Ｍ均为左尼半模．称　是对于　的　．内射半模或　．内射半模当且　

仅当对任意　．正则单同态ｇ：Ｎ—　及半模同态ｙ：Ｎ—Ｅ，存在左　．半模同态　：　

—Ｅ使得图１交换，即ｙ＝　．　

定义２　半模Ｅ称为　一内射半模当且仅当Ｅ是对于任意半模的　．内射半模．　

由上定义可知，任意内射半模都是　．内射半模．　

下面我们将讨论　．内射半模与反变函子Ｈｏｍ　（一，Ｅ）的关系．　

定理１

（１）Ｅ是　．内射左　

　设Ｅ和　是左　

半模；

半模，

则下列命题等价：　

图１　同态的延拓　

・　

（２）对任意真短正合列０一Ｋ　一　一旦＋Ⅳ一０，其中ｆ，ｇ为ｋ．正则同态，则序列Ｏ—Ｈｏｍ　（Ｎ，　

：　

Ｅ）　Ｈｏｍ　（Ｍ，Ｅ）—　Ｈｏｍ　（Ｋ，Ｅ）一０是真正合列，其中ｇ（口）＝ａｇ；　

（３）对　的任意可减子半模Ｋ≤　，则任意左　同态ｈ：Ｋ—Ｅ因子通过自然单同态　：Ｋ—　．　

证（１）ｊ（２）须证（ｉ）Ｋｅｒ（ｇ）＝０，（ｉｉ）ｇ（Ｈｏｍ　（Ｎ，Ｅ））Ｃ　Ｋｅｒ（ｆ），（ｉｉｉ）Ｋｅｒ（ｆ）Ｃ　ｇ（ＨｏｍＲ（Ｎ，Ｅ）），　

（ｉＶ）ｆ为满同态．　

（ｉ）Ｖ　ａ∈Ｋｅｒｇ　ｃ　Ｈｏｍ　（Ｎ，Ｅ），则有ｇ（ａ）＝ａｇ＝０．又因为ｇ为满同态，故ａ（Ｎ）＝０，即ａ＝Ｏ，从　

而Ｋｅｒ（ｇ）＝０．　

（ｉｉ）Ｖ　ａ∈Ｈｏｍ　（Ｎ，Ｅ），则有＿厂ｇ（ａ）＝ｆ（ａｇ）＝ａ　＝０，即ｇ（ＨｏｍＲ（Ｎ，Ｅ））Ｃ　Ｋｅｒ（ｆ）．　

（ｉｉｉ）Ｖ卢∈Ｋｅｒｆ　Ｃ　Ｈｏｍ　（Ｍ，Ｅ），即有ｆ（ｆ１）＝　＝０．从而Ｋｅｒ（ｇ）＝ｆ（Ｋ）Ｃ　Ｋｅｒ（ｆ１），又因为ｇ是　正　

则满同态，故由因子定理知，存在半模同态ｈ：Ｎ—Ｅ使得卢＝ｈｇ，则有卢＝ｇｈ．即Ｋｅｒ（ｆ）　ｇ（Ｈｏｍｎ（Ｎ，　

Ｅ））．　

（ｉｖ）Ｖ　ｙ∈Ｈｏｍ　（Ｋ，Ｅ），由Ｅ是　内射左　半模知，存在卢∈Ｈｏｍ　（Ｍ，Ｅ）使得ｙ＝　＝ｆ（ｆ１），即　

．

厂为满同态．　

（２）　（１）　设有　正则单同态．厂：Ⅳ一　及半模同态ｙ：Ｎ—Ｅ．作同态列　

Ｑ—Ｎ—Ｌ　Ｍ　Ｍ／　Ｎ　一０

。　

其中ｇ为自然满同态ｇ（ｍ）＝ｍ／ｆ（Ｎ）．由于　为ｉ－正则，知　Ⅳ）可减，故有　∈　

Ｋｅｒｇｃ＝￣ｇ（ｘ）＝ｘ／ｆ（Ｎ）＝０／ｆ（Ｊ７、７）甘　ｎ１，ｎ２∈Ｎ使　＋　（ｎ１）＝　ｎ２）甘　∈　Ｎ），　

即Ｋｅｒｇ＝　Ⅳ）．又显然　为单同态，ｇ为满同态．故上同态列为真短正合列．且易见　

，ｇ　为　－正则同态，由（２）得真短正合列ｏ——Ｈ。ｍ　（Ｍ／ｆ（Ｎ），Ｅ）　Ｈ。ｍ　（　，　

。　

Ｅ）—　ＨｏｍＲ（Ⅳ，Ｅ）一０，由ｆ为满知Ｅ是　．内射的．　

（３）ｊ（１）　设有　正则单同态．厂：Ⅳ一Ｍ及同态ｙ：Ｎ—Ｅ，则取Ｋ＝．厂（Ｎ）及　

自然单同态ｇ：Ｋ—　，由因子定理，存在同构ｈ：Ｋ一／ｖ，使得图２交换，即ｇ＝．　．　

取ｙ　：Ｋ—Ｅ，由于　是　一正则单同态，故Ｋ是　的可减子半模，从而由（３）知存在

一．　

同态　：　—Ｅ，使得图２交换，即有　：—　．从而有ｙ　：—　：。　，由ｈ同构知田‘　

可减单同态扩张　

ｙ：呷厂，得证．　

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４９０　江西师范大学学报（自然科学版）　２０Ｏ７正　

（１）　（３）　直接可得．　’　

定理２　设　是左　半模且｛Ｅｌ｝　∈Ａ是一族左　半模，则ⅡＡＥ　是　内射左　半模当且仅当Ｖ　ｉ∈　

Ａ，Ｅ　Ｍｉ一内射左　半模．　

证　“　”对于给定的左Ｒ－半模同态图，其中厂是　正则单同态．如图３．考虑交换图４．　

・　

！　

ｉ　ｎ　

ｉ　

Ｅｉ　

ｇ　

图３　半模同态　’　０一　

图４保分量可减图　

由于ⅡＡＥ　Ｍｉ一内射左　半模，则由直积的泛性质知存在左　半模同态　１：　—ＩＩ　ＡＥ　使得　＝　

１厂．令ｈ＝　１：Ｍ一弓，则　＝　１ｆ＝丌　＝ｇ，从而图形交换．即Ｖ　ｉ∈Ａ，Ｅｉ　Ｍｉ一内射左　半模．　

“

鲁”：如图５，由于每个　都是　一内射左　半模，故对任意的＿『有　：　一弓使　

・－－－－－－－－－－

ｊ　

－－－－－－

得　＝ｈｆ．由直积的泛性质知存在左　半模同态　－：Ｍ一Ⅱ　，使得丌　－＝　．　

所以　＝ｈｉ＝　Ｌ厂，２７ｒｉｇ＝　咖　ｇ＝　Ｌ厂．得证．　

＋　

ｎ　Ｅ　ｊ　

推论１　设｛Ｅｌ｝　∈Ａ是左　半模族，则ⅡＡＥ　是　内射左　半模当且仅当　

Ｖ　ｉ∈Ａ，Ｅ　是　内射左　半模．　

推论２　设Ｒ是完全可减半模，则下列命题等价：　

（１）Ｅ是　内射左　半模；　

图５保泛性图　

（２）Ｅ是胙内射左Ｒ＿半模．　

证　由定理１中（１）臼（３）直接可得．　

定义３　真短正合列Ｏ——Ａ１　

—Ａ１使得ｈｆ＝厶　．　

＿＿璺　Ａ２——Ｏ称为可裂或可裂正合列，当存在左　半模同态　：Ｂ　

定理３　设Ｅ是　内射左　半模，则任意真短正合列Ｏ——　

证　考虑图６，由假设，下行正合且ａ是　正则单同态．　

Ａ上　——　

Ｏ可裂（１），其中ａ是　正则同态．特别地，若　是内射半模，则（１）可裂．　

由于　是　内射左　半模，则存在同态７：Ａ—　使得　＝　，从而（１）可裂．　

为得到　内射左　半模与内射左　半模之间的关系，下面我们先引入弱内射半　

模的定义．　‘　图６／－内射同态的延拓　

引理１　设Ｒ是半环，Ｊ７、，是左　半模　的子半模，记Ｊ７、，＝｛ｍ∈Ｍ　Ｉ　ｍ＋凡∈Ｎ，ｊ凡∈Ｎ｝，则Ｊ７、，是　

的可减子半模．　

证　先证　是Ｍ的可减子集．若ｎ　＋ｍ∈　，其中ｎ　∈　，则存在ｎ１，ｎ２∈Ｎ，使得ｎ　＋ｍ＋凡１∈　

Ｎ，凡　＋凡２∈Ｊ７、，　凡　＋凡１＋凡２∈Ｎ且ｍ＋（凡　＋凡１＋凡２）∈Ｎ，从而ｍ∈Ｎ．再证Ｊ７、，对　中的加法运算和　

标量运算封闭．Ｖ凡　１，凡　２∈　，则存在凡１，凡２∈Ｎ使得凡　１＋凡１，凡　２＋凡２∈Ｎ．故存在凡１＋ｎ２∈Ｎ使得　

（凡　１＋凡　２）＋（凡１＋凡２）∈Ｎ，且ｐ凡　１＋凡　２∈Ｊ７、，；ｍ　１＋ｍ１＝ｒ（几　１＋ｎ１）∈Ｊ７、，，且ｐ　ｍ　１∈Ｎ．　

定义４　设　，　是左　半模，Ｊ７、，是　的子半模．记　：｛ｍ∈Ｍ　ｌ　ｍ＋凡∈Ｎ，ｊ凡∈Ｎ｝，称　是弱　

内射半模，若满足对任意同态．厂：』ｖ—Ｅ都因子通过自然单同态　：Ⅳ一Ⅳ．　

显然，内射半模必是弱内射半模．　

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第５期　曾慧平，等：ｉ．内射半模　４９１　

定理４　设Ｒ是半环，｛　｝　∈Ａ是左　半模族，则ⅡＡＥ　是弱内射半模当且仅当Ｖ　ｉ∈Ａ，Ｅｉ是弱内射　

半模．　

定理５　设Ｅ是左　半模，则Ｅ是内射左　半模当且仅当Ｅ既是ｉ．内射左　半模，又是弱内射半模．　

证　设Ｅ是内射左　半模，显然有Ｅ既是　．内射左　

Ｒ．半模，又是弱内射半模．反之，考虑图７．其中

．

厂：Ⅳ一　

是单同态，ｙ：Ｎ—Ｅ是任意半模同态，则由引理知Ⅳ是　

的可减子半模，从而ｇ是ｉ．正则自然嵌入单同态且Ｉｍ（ｆ）　

Ｃ　Ｉｍ（ｇ）．由因子定理知存在同态ｈ：Ｎ一Ⅳ使得　

ｆ＝ｇｈ．　（２）　

又因为Ｅ是弱内射半模，则存在ｙ的开拓ｙ　：Ｎ—Ｅ　

使得　

ｙ：ｙ，ｈ．　（３）　０　

存在同态　

。．

皇　ｇ是ｉ

：　—Ｅ使得　

－正则　态且Ｅ是　－内射左　模，故　图７　内射性等价图　

７　：　ｇ．　

（４）　

综合（２）　（４）得　＝／＇ｇｈ＝ｙ　＝ｙ，即得Ｅ是内射左　半模．　．　

参考文献：　

［１］石定琴，黄福生，丰建文．半模范畴中的生成与余生成［Ｊ］．江西师范大学学报：自然科学版，２００５，２９（３）：２２３—２２６．　

［２］Ｇｏｌａｎ　Ｊ　Ｓ．Ｓｅｍｌｒｌｎｇｓ　ａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｋｌｕｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，１９９９．　

［３］王琦，丰建文，黄福生．可补半环上的内射半模与投射半模［Ｊ］．江西师范大学学报：自然科学版，２ＯＯ６，３０（５）：４６６－＇４６９．　

［４］Ａｎｄｅｒｓｏｎ　Ｆ　Ｗ，Ｆｕｌｌｅｒ　Ｋ　Ｒ．Ｒｉｎｇｓ　ａｎｄ　ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ　ｏｆ　ｍｏｄｕｌｅｓ［Ｍ］，Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ　Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ　Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｆｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９７３．　

［５］Ａｌ－ｒＩ１ｌａＩ１ｉ　Ｈ　Ｍ　Ｊ．Ａ　ｎｏｔｅ　ｏｎ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｏｄｕｌｓｅ［Ｊ］．Ｋｏｂｅ　Ｊ　Ｍａｔｈ，１９９５，１２（１）：８９—９４．　

［６］Ａｌ－Ｔｈａｎｉ　Ｈ　Ｍ　Ｊ．ｋ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｏｄｕｌｓｅ［ＪＪ．Ｋｏｂｅ　Ｊ　Ｍａｈｔ，１９９６，１３（１）：４９－５９．　

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Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｔｈｅ　ｎｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉ—ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｏｄｕｌｅｓ　ｉｓ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｓｏｍｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｐｒｏｖｅｄ　ｗｈｉｃｈ　ｌｅａｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　

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（责任编辑：王金莲）