2024年4月13日发(作者：勇晶灵)

一、单选题

1

．直线

x3y20

的倾斜角为（

）

A

．



6

B

．



4

C

．



3

D

．

5π

6

【答案】

D

【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角

.

【详解】设斜率为

k

，倾斜角为



，

∵

y

5



3

32

．

x3

，

∴

ktan



，





3

6

33

故选：

D

．

1

2

．过点（

2

，－

3

）、斜率为



的直线在

y

轴上的截距为（

）

2

A

．

2

【答案】

B

B

．－

2 C

．

4 D

．－

4

【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令

x0

，可得答案

.

【详解】由题意得直线方程为

y3

故选：

B

．

3

．直线

3x4y120

与圆



x1







y1



9

的位置关系是（

）

A

．相交且过圆心

C

．相离

【答案】

D

【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系

.

B

．相切

D

．相交但不过圆心

22

1



x2



，令

x=0

，解得

y

＝－

2

．

2

1



，半径

r3

，圆心到直线

3x4y120

的距离【详解】圆心坐标为



1，

3



1



4







1





12

3

2



4

2

11



r

，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．

5

d



故选

:D

4

．在平面直角坐标系内，一束光线从点

A

（

1

，

2

）出发，被直线

yx

反射后到达点

B

（

3

，

6

），则

这束光线从

A

到

B

所经过的距离为（

）

A

．

25

【答案】

B

【分析】作出点

A

关于直线

yx

的对称点

C



2,1



，连接

CB

，利用光线关于直线对称得到

CB

即为

B

．

26

C

．

4 D

．

5

光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解

.

【详解】作出点

A

关于直线

yx

的对称点

C



2,1



，

连接

CB

，交直线

yx

于点

M

，

则

CB

即为光线经过路程的最小值，

且

CB



32







61



22

26

，

此即光线从

A

到

B

所经过的距离为

26

.

故选：

B

．

5

．若直线

l

1

:ykxk2

与直线

l

2

:y2x4

的交点在第一象限内，则实数

k

的取值范围是

（

）

2

A

．

k

3

B

．

k2

D

．

k

或

k2

2

3

C

．



2

k2

3

【答案】

C

【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解

.

2



k



x







y



kx



k



2



k



2

【详解】方法一：由直线

l

1

，

l

2

有交点，得

k2

．由



，得



，即交点坐标

y



2x



4

6k



4





y





k



2





2



k



0



2



k



2



2



k6k



4



,

为



，解得

k2

．



．又交点在第一象限内，所以



6k



4

3



k



2k



2







0





k



2

方法二：由题意知，直线

l

1

:y2k(x1)

过定点

P(1,2)

，斜率为

k

，直线

l

2

与

x

轴、

y

轴分别交于

点

A(2,0)

，

B(0,4)

．若直线

l

1

与

l

2

的交点在第一象限内，则

l

1

必过线段

AB

上的点（不包括点

A

，

2

2

B

）．因为

k

PA



，

k

PB

2

，所以

k2

．故

A

，

B

，

D

错误

.

3

3

故选：

C

．

6

．已知圆的方程为

x

2

y

2

6x0

，过点



1,2



的该圆的所有弦中，最短弦的长为（

）

A

．

1

【答案】

B

【分析】整理圆的方程，写出圆心坐标，利用圆的性质，以及两点之间距离公式，结合勾股定理，

可得答案

.

【详解】

x

2

y

2

6x0

整理为

(x3)

2

y

2

9

，故圆心为

A



3,0



，半径为

r3

，

设

B



1,2



，故当

AB

与圆的弦垂直时，弦最短，

其中

AB(31)

2

(02)

2

22

，

由垂径定理得：

2r

2

(AB)

2

2982

.

故选：

B

7

．已知圆



x1







y2



4

关于直线

axby10

（

a0

，

b0

）对称，则

（

）

A

．

5

2

22

B

．

2 C

．

3 D

．

4

12



的最小值为

ab

B

．

9 C

．

4 D

．

8

【答案】

B

【分析】由题可得

a2b1



a0,b0



，然后利用基本不等式即得

.

【详解】圆



x1







y2



4

的圆心为



1,2



，依题意，点



1,2



在直线

axby10

上，

22

因此

a2b10

，即

a2b1



a0,b0



，

∴

12



12



2b2a2b2a











a



2b





5



5



2



9

，

ab



ab



abab

2b2a1



，即

ab

时取

“=”

，

ab3

当且仅当

所以

12



的最小值为

9.

ab

故选：

B.

8

．若圆

M:x

2

y

2

6x8y0

上至少有

3

个点到直线

l:y1k



x3



的距离为

围是（

）

5

，则

k

的取值范

2



A

．







3,0



0,3





B

．



3,3





C

．



,



3









3,





D

．

,3



3,



【答案】

C

【分析】圆

M

先成化标准方程求得圆心

M



3,4



，半径为

5

，则至少有

3

个点到直线

l

的距离为

等价于圆心到直线

l

的距离不超过

5

，用点线距离公式列式求解即可

2

22

5

2

【详解】圆

M

的标准方程为



x3







y4



5

2

，则圆心

M



3,4



，半径为

5

，

由题意及圆的几何性质得，圆心

M



3,4



到直线

l:y1k



x3



的距离不超过

由点线距离公式得，

故选：

C

5

，

2

5

1k

2



5

，解得

k

2

3

，即

k3

或

k3

．

2

二、多选题

9

．使方程

x

2

y

2

ax2ay2a

2

a10

表示圆的实数

a

的可能取值为（

）

A

．

2

【答案】

BC

【分析】配方后，利用半径的平方大于

0

，得到不等式，解不等式求出实数

a

的取值范围

.

【详解】

x

2

y

2

ax2ay2a

2

a10

，配方得：

a



3

2

2





x









y



a





a



a



1

，

2



4



2

B

．

0 C

．

1

D

．

3

4

3

2

要想表示圆，则

aa10

，

4

解得：

2a

3

，

故选：

BC

10

．已知圆



xa







yb



4

，下列结论中正确的有（

）

A

．若圆过原点，则

a

2

b

2

4

C

．若圆与

y

轴相切，则

a2

【答案】

ACD

【分析】将原点代入圆方程可知

A

正确；由圆心为



a,b



可知

B

错误；由圆心坐标和半径可确定

CD

正确

.

【详解】对于

A

，若圆过原点，则



0a







0b



4

，即

a

2

b

2

4

，

A

正确；

22

22

2

B

．若圆心在

y

轴上，则

b0

D

．若圆与

x,y

轴均相切，则

ab2

对于

B

，由圆的方程知其圆心为



a,b



，若圆心在

y

轴上，则

a0

，

B

错误；

对于

C

，由圆的方程知其圆心为



a,b



，半径

r2

；若圆与

y

轴相切，则

ar2

，

a2

，

C

正确；

对于

D

，若圆与

x,y

轴均相切，由

C

知：

ab2

，

D

正确

.

故选：

ACD.

11

．下列结论正确的有（

）

A

．已知点

A



1,1



,B



4,2



，若直线

l:yk



x2



与线段

AB

相交，则

k

的取值范围是



1,1



B

．点



0,2



关于

yx1

的对称点为



1,1



C

．直线方向向量为



3,3



，则此直线倾斜角为

30

D

．若直线

l:2xay10

与直线

l

2

:ax2y10

平行，则

a2

或

2

【答案】

BC

【分析】易得直线

l

过定点

C



2,0



，作出图象，结合图象即可判断

A

；设点



0,2



关于

yx1

的对



b



2



1



1





a

称点为



a,b



，则



，从而可判断

B

；根据直线的方向向量求得直线的斜率，即可得直线

b



2a





1



2



2

的倾斜角，即可判断

C

；根据两直线平行的公式即可判断

D.

【详解】选项

A

，作图如下：

直线

l

过定点

C



2,0



，若与线段

AB

相交，则

k

BC



直线

l

的斜率

k



,1







1,



，故

A

错误；

2



00



1



1,k

AC



1

，

4



22



1

选项

B

，设点



0,2



关于

yx1

的对称点为



a,b



，



b



2



1



1





a

则



，解得

ab1

，

b



2a





1



2



2

所以点



0,2



关于

yx1

的对称点为



1,1



，故

B

正确；

3

选项

C

，因为方向向量为



3,3



，倾斜角的正切为

tan





，又







0,π



，

3

所以倾斜角为

30

，故

C

正确；



2

2



a

2

选项

D

，由两直线平行可得



，则

a2

，故

D

错误；

2



a



故选：

BC.

12

．已知实数

x

，

y

满足方程

x

2

y

2

4x2y40

，则下列说法正确的是（

）

A

．

4

y

的最大值为

x

3

2

B

．

y

的最小值为

0

x

C

．

xy

2

的最大值为

51

D

．

x＋y

的最大值为

32

【答案】

ABD

【分析】根据

yy

22

的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断

A

，

B

，根据

xy

的几何意义

xx

求其最值，判断

C

，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断

D.

【详解】由实数

x

，

y

满足方程

x

2

y

2

4x2y40

可得点

(x,y)

在圆



x2







y1



1

上，作其

图象如下，

22

因为

y

表示点

(x,y)

与坐标原点连线的斜率，

x

设过坐标原点的圆的切线方程为

ykx

，则

2k



1

k

2



1



1

，解得：

k0

或

k

4

，

3

4



y



y



4





y







0,



，







，





0

，

A

，

B

正确；

x



3





x



max

3



x



min

x

2

y

2

表示圆上的点

(x,y)

到坐标原点的距离的平方，圆上的点

(x,y)

到坐标原点的距离的最大值为

OC+1

，

所以

x

所以

x

2

y

2

最大值为



OC1



，又

OC2

2

1

2

，

2

2

y

2

的最大值为

625

，

C

错，

22

因为

x

2

y

2

4x2y40

可化为



x2







y1



1

，

故可设

x2cos



，

y1sin



，





所以

x

＋

y



2



cos





1



sin





3



2sin









，

4



所以当







4

时，即

x2

22

x＋y

时取最大值，最大值为

32

，

D

对，

,y1

22

故选：

ABD.

三、填空题

13

．已知

A



1,3



、

B



4,1



和

C



a1,3



三点共线，则实数

a

______

．

【答案】

9

【分析】利用直线斜率的定义列方程即可求得实数

a

的值

.

【详解】由题意可得

k

AB

k

AC

，即

解之得

a9

故答案为：

9

14

．已知两直线

l

1

:xy60

与

l

2

:3x3y20

，则

l

1

与

l

2

间的距离为

______

．

3

-

13

-

(

-

3)

=

1

-

41

-

(1

+

a)

【答案】

82

8

2

##

3

3

【分析】先将两平行直线方程

x

的系数化成相等，然后由平行直线的距离公式直接可得

.

【详解】将直线

l

1

的方程化为

3x3y180

，

则

l

1

与

l

2

间的距离

d





18



(



2)

(



3)

2



3

2



82

.

3

故答案为：

82

3

2024年4月13日发(作者：勇晶灵)

一、单选题

1

．直线

x3y20

的倾斜角为（

）

A

．



6

B

．



4

C

．



3

D

．

5π

6

【答案】

D

【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角

.

【详解】设斜率为

k

，倾斜角为



，

∵

y

5



3

32

．

x3

，

∴

ktan



，





3

6

33

故选：

D

．

1

2

．过点（

2

，－

3

）、斜率为



的直线在

y

轴上的截距为（

）

2

A

．

2

【答案】

B

B

．－

2 C

．

4 D

．－

4

【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令

x0

，可得答案

.

【详解】由题意得直线方程为

y3

故选：

B

．

3

．直线

3x4y120

与圆



x1







y1



9

的位置关系是（

）

A

．相交且过圆心

C

．相离

【答案】

D

【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系

.

B

．相切

D

．相交但不过圆心

22

1



x2



，令

x=0

，解得

y

＝－

2

．

2

1



，半径

r3

，圆心到直线

3x4y120

的距离【详解】圆心坐标为



1，

3



1



4







1





12

3

2



4

2

11



r

，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．

5

d



故选

:D

4

．在平面直角坐标系内，一束光线从点

A

（

1

，

2

）出发，被直线

yx

反射后到达点

B

（

3

，

6

），则

这束光线从

A

到

B

所经过的距离为（

）

A

．

25

【答案】

B

【分析】作出点

A

关于直线

yx

的对称点

C



2,1



，连接

CB

，利用光线关于直线对称得到

CB

即为

B

．

26

C

．

4 D

．

5

光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解

.

【详解】作出点

A

关于直线

yx

的对称点

C



2,1



，

连接

CB

，交直线

yx

于点

M

，

则

CB

即为光线经过路程的最小值，

且

CB



32







61



22

26

，

此即光线从

A

到

B

所经过的距离为

26

.

故选：

B

．

5

．若直线

l

1

:ykxk2

与直线

l

2

:y2x4

的交点在第一象限内，则实数

k

的取值范围是

（

）

2

A

．

k

3

B

．

k2

D

．

k

或

k2

2

3

C

．



2

k2

3

【答案】

C

【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解

.

2



k



x







y



kx



k



2



k



2

【详解】方法一：由直线

l

1

，

l

2

有交点，得

k2

．由



，得



，即交点坐标

y



2x



4

6k



4





y





k



2





2



k



0



2



k



2



2



k6k



4



,

为



，解得

k2

．



．又交点在第一象限内，所以



6k



4

3



k



2k



2







0





k



2

方法二：由题意知，直线

l

1

:y2k(x1)

过定点

P(1,2)

，斜率为

k

，直线

l

2

与

x

轴、

y

轴分别交于

点

A(2,0)

，

B(0,4)

．若直线

l

1

与

l

2

的交点在第一象限内，则

l

1

必过线段

AB

上的点（不包括点

A

，

2

2

B

）．因为

k

PA



，

k

PB

2

，所以

k2

．故

A

，

B

，

D

错误

.

3

3

故选：

C

．

6

．已知圆的方程为

x

2

y

2

6x0

，过点



1,2



的该圆的所有弦中，最短弦的长为（

）

A

．

1

【答案】

B

【分析】整理圆的方程，写出圆心坐标，利用圆的性质，以及两点之间距离公式，结合勾股定理，

可得答案

.

【详解】

x

2

y

2

6x0

整理为

(x3)

2

y

2

9

，故圆心为

A



3,0



，半径为

r3

，

设

B



1,2



，故当

AB

与圆的弦垂直时，弦最短，

其中

AB(31)

2

(02)

2

22

，

由垂径定理得：

2r

2

(AB)

2

2982

.

故选：

B

7

．已知圆



x1







y2



4

关于直线

axby10

（

a0

，

b0

）对称，则

（

）

A

．

5

2

22

B

．

2 C

．

3 D

．

4

12



的最小值为

ab

B

．

9 C

．

4 D

．

8

【答案】

B

【分析】由题可得

a2b1



a0,b0



，然后利用基本不等式即得

.

【详解】圆



x1







y2



4

的圆心为



1,2



，依题意，点



1,2



在直线

axby10

上，

22

因此

a2b10

，即

a2b1



a0,b0



，

∴

12



12



2b2a2b2a











a



2b





5



5



2



9

，

ab



ab



abab

2b2a1



，即

ab

时取

“=”

，

ab3

当且仅当

所以

12



的最小值为

9.

ab

故选：

B.

8

．若圆

M:x

2

y

2

6x8y0

上至少有

3

个点到直线

l:y1k



x3



的距离为

围是（

）

5

，则

k

的取值范

2



A

．







3,0



0,3





B

．



3,3





C

．



,



3









3,





D

．

,3



3,



【答案】

C

【分析】圆

M

先成化标准方程求得圆心

M



3,4



，半径为

5

，则至少有

3

个点到直线

l

的距离为

等价于圆心到直线

l

的距离不超过

5

，用点线距离公式列式求解即可

2

22

5

2

【详解】圆

M

的标准方程为



x3







y4



5

2

，则圆心

M



3,4



，半径为

5

，

由题意及圆的几何性质得，圆心

M



3,4



到直线

l:y1k



x3



的距离不超过

由点线距离公式得，

故选：

C

5

，

2

5

1k

2



5

，解得

k

2

3

，即

k3

或

k3

．

2

二、多选题

9

．使方程

x

2

y

2

ax2ay2a

2

a10

表示圆的实数

a

的可能取值为（

）

A

．

2

【答案】

BC

【分析】配方后，利用半径的平方大于

0

，得到不等式，解不等式求出实数

a

的取值范围

.

【详解】

x

2

y

2

ax2ay2a

2

a10

，配方得：

a



3

2

2





x









y



a





a



a



1

，

2



4



2

B

．

0 C

．

1

D

．

3

4

3

2

要想表示圆，则

aa10

，

4

解得：

2a

3

，

故选：

BC

10

．已知圆



xa







yb



4

，下列结论中正确的有（

）

A

．若圆过原点，则

a

2

b

2

4

C

．若圆与

y

轴相切，则

a2

【答案】

ACD

【分析】将原点代入圆方程可知

A

正确；由圆心为



a,b



可知

B

错误；由圆心坐标和半径可确定

CD

正确

.

【详解】对于

A

，若圆过原点，则



0a







0b



4

，即

a

2

b

2

4

，

A

正确；

22

22

2

B

．若圆心在

y

轴上，则

b0

D

．若圆与

x,y

轴均相切，则

ab2

对于

B

，由圆的方程知其圆心为



a,b



，若圆心在

y

轴上，则

a0

，

B

错误；

对于

C

，由圆的方程知其圆心为



a,b



，半径

r2

；若圆与

y

轴相切，则

ar2

，

a2

，

C

正确；

对于

D

，若圆与

x,y

轴均相切，由

C

知：

ab2

，

D

正确

.

故选：

ACD.

11

．下列结论正确的有（

）

A

．已知点

A



1,1



,B



4,2



，若直线

l:yk



x2



与线段

AB

相交，则

k

的取值范围是



1,1



B

．点



0,2



关于

yx1

的对称点为



1,1



C

．直线方向向量为



3,3



，则此直线倾斜角为

30

D

．若直线

l:2xay10

与直线

l

2

:ax2y10

平行，则

a2

或

2

【答案】

BC

【分析】易得直线

l

过定点

C



2,0



，作出图象，结合图象即可判断

A

；设点



0,2



关于

yx1

的对



b



2



1



1





a

称点为



a,b



，则



，从而可判断

B

；根据直线的方向向量求得直线的斜率，即可得直线

b



2a





1



2



2

的倾斜角，即可判断

C

；根据两直线平行的公式即可判断

D.

【详解】选项

A

，作图如下：

直线

l

过定点

C



2,0



，若与线段

AB

相交，则

k

BC



直线

l

的斜率

k



,1







1,



，故

A

错误；

2



00



1



1,k

AC



1

，

4



22



1

选项

B

，设点



0,2



关于

yx1

的对称点为



a,b



，



b



2



1



1





a

则



，解得

ab1

，

b



2a





1



2



2

所以点



0,2



关于

yx1

的对称点为



1,1



，故

B

正确；

3

选项

C

，因为方向向量为



3,3



，倾斜角的正切为

tan





，又







0,π



，

3

所以倾斜角为

30

，故

C

正确；



2

2



a

2

选项

D

，由两直线平行可得



，则

a2

，故

D

错误；

2



a



故选：

BC.

12

．已知实数

x

，

y

满足方程

x

2

y

2

4x2y40

，则下列说法正确的是（

）

A

．

4

y

的最大值为

x

3

2

B

．

y

的最小值为

0

x

C

．

xy

2

的最大值为

51

D

．

x＋y

的最大值为

32

【答案】

ABD

【分析】根据

yy

22

的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断

A

，

B

，根据

xy

的几何意义

xx

求其最值，判断

C

，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断

D.

【详解】由实数

x

，

y

满足方程

x

2

y

2

4x2y40

可得点

(x,y)

在圆



x2







y1



1

上，作其

图象如下，

22

因为

y

表示点

(x,y)

与坐标原点连线的斜率，

x

设过坐标原点的圆的切线方程为

ykx

，则

2k



1

k

2



1



1

，解得：

k0

或

k

4

，

3

4



y



y



4





y







0,



，







，





0

，

A

，

B

正确；

x



3





x



max

3



x



min

x

2

y

2

表示圆上的点

(x,y)

到坐标原点的距离的平方，圆上的点

(x,y)

到坐标原点的距离的最大值为

OC+1

，

所以

x

所以

x

2

y

2

最大值为



OC1



，又

OC2

2

1

2

，

2

2

y

2

的最大值为

625

，

C

错，

22

因为

x

2

y

2

4x2y40

可化为



x2







y1



1

，

故可设

x2cos



，

y1sin



，





所以

x

＋

y



2



cos





1



sin





3



2sin









，

4



所以当







4

时，即

x2

22

x＋y

时取最大值，最大值为

32

，

D

对，

,y1

22

故选：

ABD.

三、填空题

13

．已知

A



1,3



、

B



4,1



和

C



a1,3



三点共线，则实数

a

______

．

【答案】

9

【分析】利用直线斜率的定义列方程即可求得实数

a

的值

.

【详解】由题意可得

k

AB

k

AC

，即

解之得

a9

故答案为：

9

14

．已知两直线

l

1

:xy60

与

l

2

:3x3y20

，则

l

1

与

l

2

间的距离为

______

．

3

-

13

-

(

-

3)

=

1

-

41

-

(1

+

a)

【答案】

82

8

2

##

3

3

【分析】先将两平行直线方程

x

的系数化成相等，然后由平行直线的距离公式直接可得

.

【详解】将直线

l

1

的方程化为

3x3y180

，

则

l

1

与

l

2

间的距离

d





18



(



2)

(



3)

2



3

2



82

.

3

故答案为：

82

3