2024年4月17日发(作者：礼平心)

§2.2 函数的基本性质

考试要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.

2.了解函数奇偶性的含义.3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数 减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D

上的任意两个自变量的值x

1

，x

2

定义

当x

1

2

时，都有f(x

1

)

2

)，

那么就说函数f(x)在区间D

上是增函数

当x

1

2

时，都有f(x

1

)>f(x

2

)，那么就说

函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格

的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

(1)对于任意的x∈I，都有

条件 f(x)≤M；

(2)存在x

0

∈I，使得f(x

0

)＝M

结论

M为最大值

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

(2)存在x

0

∈I，使得f(x

0

)＝M

M为最小值

自左向右看图象是下降的

3.函数的奇偶性

奇偶性 定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域

偶函数 内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那

么函数f(x)就叫做偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域

奇函数 内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，

那么函数f(x)就叫做奇函数

4.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，

都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，非零函数T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数

就叫做f(x)的最小正周期．

微思考

fx

1

－fx

2



1．函数y＝f(x)满足∀x

1

，x

2

∈D，x

1

≠x

2

，>0(<0)，能否判断f(x)在区间D上的单

x

1

－x

2

调性？

fx

1

－fx

2



提示 能，>0(<0)⇔f(x)在D上单调递增(单调递减)．

x

1

－x

2

2．奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？

提示 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上

具有相反的单调性．

关于原点对称

关于y轴对称

图象特点

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

1

(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )

x

(2)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( × )

(3)若y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝kf(x)(k<0)，y＝

1

在区间D上单调递减．( × )

fx

(4)若函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于x＝2对称．( √ )

题组二 教材改编

2．下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是( )

A．f(x)＝x－1

C．f(x)＝2

x

－2

x

－

B．f(x)＝x

2

＋x

D．f(x)＝2

x

＋2

x

－

2024年4月17日发(作者：礼平心)

§2.2 函数的基本性质

考试要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.

2.了解函数奇偶性的含义.3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数 减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D

上的任意两个自变量的值x

1

，x

2

定义

当x

1

2

时，都有f(x

1

)

2

)，

那么就说函数f(x)在区间D

上是增函数

当x

1

2

时，都有f(x

1

)>f(x

2

)，那么就说

函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格

的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

(1)对于任意的x∈I，都有

条件 f(x)≤M；

(2)存在x

0

∈I，使得f(x

0

)＝M

结论

M为最大值

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

(2)存在x

0

∈I，使得f(x

0

)＝M

M为最小值

自左向右看图象是下降的

3.函数的奇偶性

奇偶性 定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域

偶函数 内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那

么函数f(x)就叫做偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域

奇函数 内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，

那么函数f(x)就叫做奇函数

4.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，

都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，非零函数T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数

就叫做f(x)的最小正周期．

微思考

fx

1

－fx

2



1．函数y＝f(x)满足∀x

1

，x

2

∈D，x

1

≠x

2

，>0(<0)，能否判断f(x)在区间D上的单

x

1

－x

2

调性？

fx

1

－fx

2



提示 能，>0(<0)⇔f(x)在D上单调递增(单调递减)．

x

1

－x

2

2．奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？

提示 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上

具有相反的单调性．

关于原点对称

关于y轴对称

图象特点

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

1

(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )

x

(2)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( × )

(3)若y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝kf(x)(k<0)，y＝

1

在区间D上单调递减．( × )

fx

(4)若函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于x＝2对称．( √ )

题组二 教材改编

2．下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是( )

A．f(x)＝x－1

C．f(x)＝2

x

－2

x

－

B．f(x)＝x

2

＋x

D．f(x)＝2

x

＋2

x

－